Παρουσίαση 6η Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier Σειρές ... ·...

Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος

Αναπληρωτής Καθηγητής

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

Παρουσίαση 6η: Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier

Σειρές Fourier

Περιεχόμενα του μαθήματος (1)

• ΕΝΟΤΗΤΑ 2η Σήματα και ανάλυση Fourier (ΕΡΓΑΣΙΑ 2η)

• Εισαγωγή στα σήματα (Ορισμοί, κατηγορίες σημάτων, βασικά σήματα

συνεχή και διακριτά, κατηγορίες συστημάτων)

• Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier (Ολοκληρώματα, σειρές, μιγαδικές

εκφράσεις, παραδείγματα, ανάλυση σε συνιστώσες συχνοτήτων, σειρές στο

τετράγωνο, στον κύκλο και στη σφαίρα, παραδείγματα υπολογισμού)

• Μετασχηματισμοί Fourier (Από τα ολοκληρώματα – σειρές στους

μετασχηματισμούς, παραδείγματα, χαρακτηριστικοί μετασχηματισμοί,

ιδιότητες και αποδείξεις)

Περιεχόμενα του μαθήματος (2)

• Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Διαφορές από το συνεχή

μετασχηματισμό, θεώρημα δειγματοληψίας, συχνότητα Nyquist, ιδιότητες,

υπολογισμοί, προβλήματα, φασματική διαρροή, παραποίηση, ταχύς

μετασχηματισμός Fourier – FFT, παραδείγματα)

Βιβλιογραφία

• ΕΝΟΤΗΤΑ 2η

• Hsu, H. P. (1995): Signals and Systems, Schaum’s Outlines eds.

• Proakis, J.G. and D.G. Manolakis (2006): Digital Signal Processing, Fourth ed.,

Pearson, Prentice Hall eds.

• Spiegel, M.R. (1974): Ανάλυση Fourier. Schaum’s Outline Series. McGraw-Hill,

ΕΣΠΙ Αθήνα.

• Brigham, E.O. (1988): The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice

Hall eds.

• Bracewell, R.N. (1978): The Fourier Transform and its applications. McGraw-Hill

eds.

Περιεχόμενα παρουσίασης

• Φασματικές μέθοδοι

• Πλεονεκτήματα – μειονεκτήματα φασματικών μεθόδων

• Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης

• Σειρές Fourier – Ερμηνεία

• Παραδείγματα ανάπτυξης σειρών

• Μιγαδικές εκφράσεις σειρών – Συμπαγής μορφή σειράς

• Αναπτύγματα στο επίπεδο, στον κύκλο και στη σφαίρα

Φασματικές Μέθοδοι

• Διαδικασίες ανάλυσης του σήματος σε επιμέρους συνιστώσες

απλοποίηση διαδικασιών και υπολογισμών

• Φασματική ανάλυση (ανάλυση Fourier) ανάλυση πολύπλοκων

σημάτων σε απλούστερα για ευκολότερη επεξεργασία

Σήματα

Signals

Φασματικές μέθοδοι

Spectral methods

Γεωπληροφορική

Geomatics

Πλεονέκτημα φασματικών μεθόδων

• Μεταφορά πληροφορίας από το χώρο των αριθμών στο χώρο των

συχνοτήτων απλοποίηση βασικών υπολογισμών

Time / Space Domain Spectral analysis

(Fourier transforms) Frequency Domain

Πλεονέκτημα φασματικών μεθόδων

• Αναπαράσταση ανάλυσης συνάρτησης από το χώρο των πραγματικών

αριθμών στο χώρο των συχνοτήτων (ανάλυση σε κυρίαρχες συχνότητες)

Στόχοι φασματικής ανάλυσης

• Κυματοειδής μορφή σήματος δυνατότητα ανάλυσης σε συχνότητες

• Ο χώρος των συχνοτήτων επιτρέπει ευκολότερους υπολογισμούς

πολύπλοκες συναρτήσεις αναλύονται σε απλής μορφής διαγράμματα

συχνοτήτων

Σημαντικό να γνωρίζουμε για

κάθε μέτρηση – κύμα τις

κυρίαρχες συχνότητές της

φάσμα (spectrum) της

μέτρησης

Πλεονεκτήματα φασματικής ανάλυσης

• Πληθώρα ετερογενών δεδομένων στη Γεωπληροφορική ανάγκη

ταυτόχρονης αξιοποίησης πολλών δεδομένων

• Μαθηματικό μοντέλο γεωδαιτικών προβλημάτων συνελικτική μορφή

κατάλληλη για φασματική ανάλυση

• Απλοποίηση υπολογισμών και ταχύτητα επεξεργασίας δεδομένων

δυνατότητα ανάλυσης σε σχεδόν – πραγματικό χρόνο (near-real-time

products)

• Δυνατότητες εύκολης διαχρονικής παρακολούθησης περίπλοκων φυσικών

φαινομένων

Πλεονεκτήματα φασματικής ανάλυσης

• Υψηλή υπολογιστική ταχύτητα, αποτελεσματικότητα σε δεδομένα σε

πλέγμα (ψηφιακά δεδομένα) και ταυτόχρονες εκτιμήσεις σε όλα τα σημεία

• Ταχείς υπολογισμοί σε μεγάλες περιοχές μελέτης (τμήματα της επιφάνειας

της Γης ή ολόκληρη την επιφάνεια)

• Αποτελέσματα υψηλής διακριτικής ικανότητας με την αξιοποίηση πυκνών

βάσεων δεδομένων

• Αποτελεσματική απεικόνιση των φασματικών ιδιοτήτων των μετρήσεων

συναρτήσεις συμμεταβλητότητας, συντελεστές συμμεταβλητότητας

σήματος και θορύβου και συναρτήσεις πυκνότητας φασματικής ισχύος

Μειονεκτήματα φασματικής ανάλυσης

• Παραποίηση του σήματος (aliasing effects) από τη χρήση χαμηλής

πυκνότητας δεδομένων αδυναμία ανακατασκευής του σήματος

• Παραδοχές περιοδικότητας δημιουργούν το φαινόμενο της φασματικής

διαρροής (spectral leakage error)

• Ανάγκη αναφοράς σε πλέγμα (ψηφιακή μορφή δεδομένων)

• Θέματα που επιλύθηκαν στην πορεία των εφαρμογών συνδυασμός

ετερογενών δεδομένων, μετάδοση των σφαλμάτων από τις παρατηρήσεις

στα αποτελέσματα

Εφαρμογές φασματικής ανάλυσης

• Παρεμβολή και πρόγνωση τιμών η ανάλυση διακριτών μετρήσεων σε

όρους ημιτόνου ή/και συνημιτόνου ελαχιστοτετραγωνική προσαρμογή

συνάρτησης παρεμβολή σε άλλες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής

• Εκτίμηση συνιστωσών κύματος απομάκρυνση ανεπιθύμητων

συχνοτήτων από τις εκτιμήσεις φιλτράρισμα έλεγχος σήματος και

θορύβου

• Η ανάγκη της περιοδικότητας αντιμετωπίζεται θεώρηση περιόδου

ίσης με το συνολικό χρονικό (χωρικό) διάστημα της μελέτης

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος

• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων

t

Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):



t


sin cos

Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων



t


sin cos

Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων

κύκλος (= 1 επανάληψη) ημιτόνου κύκλος (= 1 επανάληψη) συνημιτόνου



t


Συχνότητα (Frequency) f:

αριθμός κύκλων στη

μονάδα χρόνου (κύκλοι

ανά δευτερόλεπτο)

Τ

Τ

Περίοδος (Period) Τ:

χρόνος που χρειάζεται

για να επαναληφθεί ένας

κύκλος

Μήκος κύματος (wavelength) λ = cT: διάστημα που διανύει το σήμα σε μία περίοδο

c : ταχύτητα φωτός (ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας) στο κενό

1 sec

(f = 2.5 κύκλοι ανά δευτερόλεπτο)


χαμηλή

συχνότητα

υψηλή

συχνότητα


μεγάλη

περίοδος

μικρή

περίοδος


μεγάλο

μήκος κύματος

μικρό

μήκος κύματος

Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης

• Ο όρος φάσμα (spectrum) οφείλεται στον Sir Isaac Newton ανάλυση

του ηλιακού φωτός σε χρώματα μήκη κύματος ακτινοβολίας

• Principia μαθηματικές εξισώσεις στις παρατηρήσεις του Πυθαγόρα (6ος

αιώνας π.Χ.) για περιοδικά φαινόμενα

Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης

• Jean Baptist Fourier Analytic Theory of Heat (1822) οποιαδήποτε

συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε σειρές απείρων όρων με συναρτήσεις

βάσης ημιτονοειδείς ή συνημιτονοειδείς

• Ανάλυση Fourier ανάπτυξη μίας συνάρτησης σε όρους ημιτόνου ή/και

συνημιτόνου

• Ιδιαίτερη ανάπτυξη με τη χρήση της ηλεκτρονικής επιστήμης εισαγωγή

στα ψηφιακά γεωδαιτικά δεδομένα παρατηρήσεις – σήματα

1

sincosk

kkkaxBkaxAxu

Παράδειγμα φασματικής ανάλυσης

• Ανάλυση σε συχνότητες

Παράδειγμα φασματικής ανάλυσης

• Ανάλυση συνάρτησης βηματισμού – unit step function

Σειρές και μετασχηματισμοί Fourier

• Όταν μεταβαίνουμε από τα απλά ημιτονοειδή ή συνημιτονοειδή σήματα

στα πραγματικά σύνθετα

• Σειρές Fourier ανάλυση περιοδικών συναρτήσεων αρμονική

ανάλυση (harmonic analysis)

• Μετασχηματισμοί Fourier ανάλυση μη περιοδικών συναρτήσεων

φασματική ανάλυση (spectral analysis)

• Μαθηματικά εργαλεία για την ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων σε

αθροίσματα ή ολοκληρώματα απλών ημιτονοειδών ή

συνημιτονοειδών συναρτήσεων

Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal

• Ένα συνεχές ημιτονοειδές σήμα (sinusoid) έχει τη μορφή

• A εύρος σήματος (amplitude)

• ω0 γωνιακή συχνότητα (angular frequency, σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο)

• θ γωνία φάσης (phase angle, σε ακτίνια)

tAtx0

cos

Σήμα ημιτόνου


• Το συνεχές ημιτονοειδές σήμα είναι περιοδική συνάρτηση με θεμελιώδη

περίοδο

• Το αντίστροφο της θεμελιώδους περιόδου ονομάζεται θεμελιώδης

(γραμμική) συχνότητα

• Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler

• Ισχύει αντιστοίχως

0

0

2

T

)(1

0

0Hzhertz

Tf

tjerealAtA 0

0cos

tAeimaginaryAtj

0sin0

(κύκλοι/sec)


• Αναπτύσσοντας το σήμα ισχύει

• Το εύρος Α και η γωνία φάσης θ υπολογίζονται σύμφωνα με

• Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του Euler

• Το ημιτονοειδές σήμα μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση εκθετικών σημάτων

tbtatA

tAtAtA

000

000

sincoscos

sinsincoscoscos

22 baA

cosAa

sinAb

a

b arctan

tjtetxtj

00sincos0

jtjjtj

tjtj

eeA

eeAee

AtAtx 00

00

222cos)(

0


• Η ανάπτυξη μίας περιοδικής συνάρτησης σειρά Fourier

• Περιγραφή περιοδικών φαινομένων των γεωεπιστημών, π.χ.

παλίρροιες, ιονοσφαιρική επίδραση στη μετάδοση των σημάτων

• Χρησιμοποιούνται στην ανάλυση και μελέτη συνεχών ή διακριτών

συναρτήσεων αρμονική ανάλυση (harmonic analysis)

• Αναλυτική έκφραση σειράς δεδομένων ενός φυσικού φαινομένου του

οποίου δεν είναι γνωστή η ακριβής μαθηματική συνάρτηση


• Μία περιοδική συνάρτηση στο διάστημα [–Τ0/2, Τ0/2] με περίοδο Τ0 μπορεί

να αναπτυχθεί σε σειρά ημιτόνων και συνημιτόνων απείρων όρων

• Οι συντελεστές υπολογίζονται ως

0

00sincos

n

nntnbtnatx

0

0

2

T

00

0

0

)()()()(0

0

Tt

t

T

dttxdttxTtxtx

0 00

2sin

2cos)(

n

nnt

T

nbt

T

natx

2/

2/ 00

0

0

2cos)(

2T

T

ndtt

T

ntx

Ta

2/

2/ 00

0

0

2sin)(

2T

T

ndtt

T

ntx

Tb

,...2,1n

2/

2/0

0

0

0

)(1

T

T

dttxT

a


• Η σειρά Fourier μπορεί να εκφραστεί με παρόμοια μορφή στην περίπτωση

που θεωρηθεί περιοδική σε διάστημα [–L, L] με περίοδο Τ0 = 2L (άλλη

έκφραση ανάπτυξης που παρουσιάζεται στη βιβλιογραφία)

• Οι συντελεστές υπολογίζονται σε αυτή τη μορφή ως

,...2,1n

L

L

dttxL

a )(1

0

L

L

Lt

Lt

dttxdttxLtxtx0

0

2

1

0 sincos2 n

nnt

L

nbt

L

na

atx

L

L

ndtt

L

ntx

La cos)(

1

L

L

ndtt

L

ntx

Lb sin)(

1

Παραδοχές για την ισχύ των σειρών Fourier

• Η συνάρτηση x(t) έχει περιορισμένο αριθμό ακροτάτων σε μία περίοδο

• Η συνάρτηση x(t) έχει περιορισμένο αριθμό ασυνεχειών σε μία περίοδο

• Η συνάρτηση x(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη μέσα στην περίοδο

• Η τρεις παραπάνω παραδοχές για τη σύγκλιση των σειρών ονομάζονται

συνθήκες του Dirichlet (Dirichlet’s conditions)

• Με την ισχύ των ανωτέρω είναι δυνατή η ανάπτυξη οποιασδήποτε

συνάρτησης σε σειρές απείρων τριγωνομετρικών όρων

Παράδειγμα ανάπτυξης σειράς αn = bn = 1, T = 1

• Η σειρά αναπτύσσεται ως εξής

• Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση αναπτύσσεται σε τριγωνομετρικά

σήματα συχνοτήτων ω0, 2ω0, 3ω0, … ακέραια πολλαπλάσια της

βασικής συχνότητας

tbta

tbtatbtatx

1

22sin

1

22cos

1

12sin

1

12cos

1

02sin

1

02cos)(

22

1100

tttttx 4sin4cos2sin2cos1)(

1 0

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)

428

208)(

t

ttf

1

00

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

4T

4

2

2

0

4

0

2cos)8(

22cos8

22cos)(

2dt

T

nt

Tdt

T

nt

Tdt

T

nttf

Tan

4

2

2

0

4

2

2

0

2sin

82sin

82sin

2

162sin

2

16

T

nt

nT

nt

nT

nt

n

T

TT

nt

n

T

T

4

2

2

0

22sin

42sin

802sin

22sin

8

T

n

T

n

nT

n

T

n

n

000008

sin2sin0sinsin8

n

nnnn

,2,1,0n

Λύση

4

2

2

0

4

0

2sin)8(

22sin8

22sin)(

2dt

T

nt

Tdt

T

nt

Tdt

T

nttf

Tbn


4

2

2

0

4

2

2

0

2cos

82cos

82cos

2

162cos

2

16

T

nt

nT

nt

nT

nt

n

T

TT

nt

n

T

T

4

2

2

0

22cos

42cos

802cos

22cos

8

T

n

T

n

nT

n

T

n

n

nn

nnn

nnnn

cos116

cos11cos8

cos2cos0coscos8

,2,1n

11 2sin

cos1162sin)cos1(

16)(

nn

nt

n

n

T

ntn

ntf

όn

άnn

1

1cos

περιττός2

άρτιος0cos1

n

nn


3t0t2

0t30)t(f

1

00

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

Λύση

6T 36

2

T

20

1ncosn

61ncos

n4

6

3

21ncos

n4

T

3

21

6

3n2cos

n4

T

3

2

n2

T

T

nt2cos

n2

T

3

20

6

3n2sin3

n2

T

3

2dt

n2

T

T

nt2sin)t(

3

2

n2

T

T

nt2sint

3

2

dt)t(n2

T

T

nt2sin

3

2dt

T

nt2cost

6

4dt

T

nt2cost2

T

2

2222

2

22

2

22

2

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

n

312

36

2

9

6

4

2

t

6

4dtt

T

4dt0cost2

T

23

0

23

0

3

0

0

vduuvudvΟλοκλήρωση κατά μέρη


1n22 3

tnsin

n

ncos6

3

tncos

n

)1n(cos6

2

3)t(f

ncosn

6

n2

T

T

nt2sin

n

2ncos0

n

6dt

T

nt2cos

n2

T

3

2ncos3

n2

T

3

2

dtn2

T

T

nt2cos)t(

3

2

n2

T

T

nt2cost

3

2

dt)t(n2

T

T

nt2cos

6

4dt

T

nt2sint2

T

2b

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

n

1ncos 1ncos Για n άρτιο: Για n περιττό:

3t 4 t 0f(t)

0 0 t 5

1

00

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

Λύση

T 8 0

2π 2π πω

T 4 4 vduuvudvΟλοκλήρωση κατά μέρη

0

2a T

a

a f t dtT

0

2cos( )

a T

n

a

a f t n t dtT

0

2sin( )

a T

n

a

b f t n t dtT


0 0 0

n

4 4 4

0 0

4 4

0

4

2 2πnt 6 πnt 6 πnt 4α 3tcos dt t cos dt sin (t)dt

T T 8 4 8 4 πn

6 4 πnt 6 πnt 4t sin (t) sin dt

8 πn 4 8 4 πn

πn 43 3 πnt 40 4 sin cos

πn 4 πn 4 πn

12sin πn

πn

0 0

2 2

4

n2 2 2 2

12 πntcos

π n 4

12 121 cos nπ α 1 cosnπ

π n π n

0 0

02

0 ο44 4

2 6 6 1 3α 3tdt tdt t 0 16 α 6

T 8 8 2 8


0 0

n

4 4

0 0

4 4

0

4

0

4

2 2πnt 6 4 πntb 3t sin dt cos (t)dt

T T 8 πn 4

6 4 πnt 6 4 πntt cos (t) cos dt

8 πn 4 8 πn 4

3 6 4 2πnt0 4 cos nπ cos dt

πn 8 πn T

12 3 4 πntcosnπ sin

πn πn πn 4

2 2

12 12cosnπ sin nπ

πn π n

0

n

12b cosnπ

πn


2 2n 1

6 12(1 cosnπ) πnt 12cosπn πntf(t) cos sin

2 π n 4 πn 4

1ncos 1ncos

n 2 2

12α 1 cosnπ

π n

n

12b cosnπ

πn

οα 6

Για n άρτιο Για n περιττό


Αντιστοιχία χρόνου – χώρου

• Όταν η ανάπτυξη αφορά σε ανεξάρτητη μεταβλητή χώρου εκφράσεις

συναρτήσει του μήκους κύματος

cTμήκος κύματος - wavelength

ταχύτητα φωτός – speed of light

περίοδος - period

Χρόνος Χώρος

2

2k

Γωνιακή συχνότητα

Angular frequency

Γωνιακή χωρική συχνότητα

Angular spatial frequency

Tf

1

(Γραμμική) συχνότητα

(Linear) frequency

1

Κυματαριθμός

wavenumber

t sΑνεξάρτητη μεταβλητή

χρόνου

Ανεξάρτητη μεταβλητή

χώρου

sec/rad mrad /

sec/cycles mcycles /

sec m

Αντιστοιχία χρόνου – χώρου

• Σχέσεις ανάμεσα στις μεταβλητές χρόνου και χώρου

1

]sincos[)(k

kkkko tbtaatf

Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης):

απλούστερη μορφή:

22k T Tk k k s

T

0 0

2 0( ) 1 cos cos

tt t

T

0 0

2( ) cos cosa

k k

ktt t

T

2( ) sin sinb

k k

ktt t

T

0 0

1 1

( ) ( ) ( ) ( )a b

k k k k

k k

f t a t a t b t

Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(t) ορισμένης στο διάστημα [0,T ] σε σειρά Fourier

2T

T

1Ts

T

Συναρτήσεις βάσης Fourier

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

0

+1

–1

f (x)

Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης

σε σειρά Fourier

ανάλυση κάθε όρου χωριστά για k = 0, 1, 2, 3, 4, …

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1 T0

συνάρτηση βάσης k = 0

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1 T0

0a

όρος σειράς k = 0

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1 T T0 0

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

συναρτήσεις βάσης k = 1

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1

1b

1a

T T0 0

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

όροι σειράς k = 1

1

2sin

tb

T

1

2cos

ta

T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1 2

T

2

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T


0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1

2b 2a

2

T

2

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T


2

2sin

/ 2

tb

T

2

2cos

/ 2

ta

T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1 3

T

3

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T


0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1

3b

3a

3

T

3

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T


3

2sin

/ 3

tb

T

3

2cos

/ 3

ta

T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1 4

T

4

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T


0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1

4b4a

4

T

4

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T


4

2sin

/ 4

tb

T

4

2cos

/ 4

ta

T

T

0

+1

–1

f (t)

0

1 1

2 2

3 3

4 4

1

2 2cos cos

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin ( )

/ 4 / 4

a

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b f t

T T

Σχέσεις ορθογωνικότητας

• Ο υπολογισμός των συντελεστών των σειρών Fourier πραγματοποιείται

χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των σχέσεων μεταξύ συναρτήσεων

• Ξεκινώντας από τη διανυσματική ανάλυση, η επέκταση στις συναρτήσεις

μπορεί να πραγματοποιηθεί θεωρώντας τη συνάρτηση ως διάνυσμα με

άπειρο πλήθος συνιστωσών (διάνυσμα απείρων διαστάσεων)

• Η τιμή κάθε συνιστώσας του διανύσματος ορίζεται σε συγκεκριμένο

διάστημα πεδίο ορισμού της συνάρτησης [α, b]

• Οι έννοιες των διανυσματικών γινομένων οδηγούν στις σχέσεις

ορθογωνικότητας μεταξύ των συναρτήσεων

Διανύσματα

• Συμβολίζεται με βέλος

• Κάθε διάνυσμα εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός μίας τοπικής

διανυσματικής βάσης (μοναδιαία διανύσματα) και των συνιστωσών ως

προς κάθε βάση

• Τα διανύσματα βάσης δε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (γραμμικά ανεξάρτητα)

αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία διανυσμάτων και συνιστωσών

v

ve

3

2

1

3213

3

2

2

1

1

v

v

v

eeeevevevv

Διάνυσμα βάσης

Συνιστώσες βάσης

Διανύσματα

• Άθροιση διανυσμάτων παράλληλη μετάθεση

• Η παράλληλη μετάθεση είναι ιδιότητα του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη

«από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς δοσμένη

ευθεία»

Ορισμός συστήματος αναφοράς

• Επιλογή σημείου αρχής Ο και ορισμός διανυσματικής βάσης

• Διάνυσμα θέσης οποιουδήποτε σημείου P

3

2

1

x

x

x

xΔιάνυσμα καρτεσιανών συντεταγμένων

ως προς τη διανυσματική βάση

321eee

e

xe

x

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

• Η μαθηματική έκφραση της γωνίας και της απόστασης στη γεωμετρία

καλύπτεται από την έννοια του εσωτερικού γινομένου

• Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων Α και Β προκύπτει από τη διανυσματική

διαφορά των διανυσμάτων θέσης

• Το μήκος ενός διανύσματος προκύπτει από τον ορισμό του εσωτερικού

γινομένου

vu

vuvuvu

arccoscos

ABABAB

xxxxxxAB

uuu

Ορθοκανονικές βάσεις

• Στη Γεωδαισία τα συστήματα αναφοράς που χρησιμοποιούνται είναι

ορθοκανονικά άξονες σχηματίζουν ορθές γωνίες

• Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ορθοκανονικής βάσης είναι μηδενικό

• Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε ορθοκανονικές βάσεις τριών

διαστάσεων

090cos2121

eeee

3

3

2

2

1

1 eueueuu

3

3

2

2

1

1 evevevv

vuT

3

2

1

321332211

v

v

v

uuuvuvuvuvu

Εξωτερικό γινόμενο - Εμβαδόν

• Το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων συνδέεται με το εμβαδόν του

παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα u και v

• Το εξωτερικό γινόμενο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των u και v

με μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου

sinvuvuA

Μικτό γινόμενο - Όγκος

• Το μικτό γινόμενο διανυσμάτων συνδέεται με τον όγκο του

παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα διανύσματα u, v και w

cossin,, wvuwvuwvu

Εσωτερικό γινόμενο συναρτήσεων

• Γενικεύοντας στην περίπτωση των συναρτήσεων (διανύσματα απείρων

διαστάσεων) ορίζονται ως ορθογώνιες συναρτήσεις που το εσωτερικό

τους γινόμενο είναι μηδενικό

• Σε αντιστοιχία με το μοναδιαίο διάνυσμα μία συνάρτηση ονομάζεται

κανονική ή κανονικοποιημένη στο διάστημα [α, b], όταν

• Γενικεύοντας με τη χρήση του τελεστή δ του Kronecker (θυμηθείτε το σήμα

delta) για οποιεσδήποτε συναρτήσεις φ ισχύει

b

a

dxxBxA 0

12

b

a

dxxA

mn

b

a

nmdxxx

nm

nmmn

1

0

Ανάπτυγμα σε ορθοκανονική σειρά

• Αντίστοιχα με την ανάπτυξη διανυσμάτων σε συνιστώσες ως προς μία

ορθοκανονική βάση μοναδιαίων διανυσμάτων:

• Μία συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ορθοκανονικών

συναρτήσεων ορθοκανονική σειρά στο πεδίο ορισμού [α, b]

3

2

1

x

x

x

x 321

eee

e xe

x

0n

nnxcxf

Γενικευμένοι

συντελεστές Fourier

Ορθοκανονικές

συναρτήσεις βάσης Fourier

Πολλαπλασιάζοντας με φm b

a

mmdxxxfc

Προσεγγίσεις ελαχίστων τετραγώνων

• Για να προσεγγιστεί μία συνάρτηση με σειρά σε συνδυασμό με τις ιδιότητες

της ορθογωνικότητας πρέπει

• Αποδεικνύεται ότι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα γίνεται ελάχιστο όταν:

xf

xf xm

Τμηματικά συνεχείς στο πεδίο [α, b] Ορθοκανονικό σύστημα

συναρτήσεων στο πεδίο [α, b]

0

ˆ

n

nnMxaxf Προσέγγιση της xf

Πεπερασμένος αριθμός συναρτήσεων βάσης και άγνωστων συντελεστών

b

a

Mdxxfxf

abRMS

2ˆ1

Μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσέγγισης

b

a

nnndxxxfca

Ταυτότητα του Parseval

• Όταν το Μ ∞ τότε και ισχύει:

• Στην περίπτωση αυτή (ταυτότητα Parseval) το RMS 0

• Όταν το Μ ∞ (άπειροι όροι στη σειρά) τότε η σειρά συγκλίνει και το

RMS της σύγκλισης γίνεται το ελάχιστο

• Ειδικά για τις σειρές Fourier ισχύει η ταυτότητα του Parseval στη μορφή:

xfxf ˆ

0

22

n

n

b

a

cdxxf

1

22

2

02

02

10

0n

nn

T

T

baa

dxxfT

Μιγαδικές εκφράσεις σειρών

• Το ανάπτυγμα των σειρών Fourier γράφεται σε πιο συμπαγή μορφή

χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών ( )

• Αντί για βάσεις ημιτόνων και συνημιτόνων η συμπαγής μορφή της

ανάπτυξης Fourier περιέχει μόνο εκθετική βάση ως προς τις κυκλικές

συχνότητες ωn

1j

sincossincos jeje jj

n

tj

n

n

tjn

n

necectx0)(

0

0

2

T

nn

n

2/

2/0

0

0

1T

T

tj

ndtetx

Tc n

Εκθετική βάση


• Η γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών συντελεστών βασίζεται στη διαδικασία

μετασχηματισμού της αρχικής μορφής της σειράς Fourier

• Αντικαθιστώντας τις ταυτότητες σύμφωνα με τα παραπάνω και το σχήμα

tnba

btn

ba

aba

tnbtna

nn

n

nn

n

nn

nn

022022

22

00

sincos

sincos

nc

ncos

nsin

nnnnn

tnctntnc 000

cossinsincoscos

22

nnnbac

n

n

na

barctan


• Η γραφική αναπαράσταση των μιγαδικών συντελεστών cn ως προς τη

συχνότητα ονομάζεται φάσμα εύρους (amplitude spectrum)

• Η γραφική αναπαράσταση της γωνίας φάσης φn των cn ως προς τη

συχνότητα ονομάζεται φάσμα φάσης (phase spectrum)

• Δείκτης n ακέραιος εύρος και φάση φάσματος διακριτές τιμές στις

συχνότητες nω0

• Αναφέρονται και ως διακριτά φάσματα συχνότητας (discrete frequency

spectra) ή γραμμικά φάσματα (linear spectra)

Σύνδεση πραγματικών και μιγαδικών εκφράσεων

• Συνδυαστικά:

1j

n

tj

n

n

tjn

n

necectx0)(

0

0

2

T

nn

n

2/

2/0

0

0

1T

T

tj

ndtetx

Tc n

0

00sincos

n

nntnbtnatx

0

0

2

T

0 00

2sin

2cos)(

n

nnt

T

nbt

T

natx

2/

2/ 00

0

0

2cos)(

2T

T

ndtt

T

ntx

Ta

2/

2/ 00

0

0

2sin)(

2T

T

ndtt

T

ntx

Tb

,...2,1,0n

00

/2 2sin

2cos0

T

ntj

T

ntee

Tntjtj n

*

_2

1

2

1

nnnn

nnn

cjbac

jbac

2/

2/0

0

0

0

)(1

T

T

dttxT

a

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)

• Η αρμονική ανάλυση στο επίπεδο αντιστοιχεί στην εύρεση των συντελεστών

μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο πεδίο ορισμού

• Ισοδύναμο με διπλή σειρά Fourier πρώτα κατά x και στη συνέχεια κατά

y ή και το αντίστροφο

yxTyTx 00

0

Ty

Tx 0

y

my

x

nxT

mv

T

nu

mn

22

Γωνιακές συχνότητες κατά x και y


• Η αρμονική ανάπτυξη στο επίπεδο της συνάρτησης 2 μεταβλητών

0

Ty

Tx 0

0 0

,,,,,n m

d

nmnm

c

nmnm

b

nmnm

a

nmnmyxdyxcyxbyxayxf

0 0

sinsincossinsincoscoscos

,

n m

mnnmmnnmmnnmmnnmyvxudyvxucyvxubyvxua

yxf

Συναρτήσεις βάσης Fourier

yvxuyx

yvxuyx

yvxuyx

yvxuyx

mn

d

nm

mn

c

nm

mn

b

nm

mn

a

nm

sinsin,

cossin,

sincos,

coscos,


• Για τον υπολογισμό των συντελεστών της σειράς χρησιμοποιείται ο ορισμός

του εσωτερικού γινομένου συναρτήσεων

0 0

, ( , ) ( , )

yxTT

f g f x y g x y dx dy

x y

x y

x y

x y

T T

mm

yx

d

nm

yx

nm

T T

mm

yx

c

nm

yx

nm

T T

mm

yx

b

nm

yx

nm

T T

mm

yx

a

nm

yx

nm

dxdyyvxuyxfTT

fTT

d

dxdyyvxuyxfTT

fTT

c

dxdyyvxuyxfTT

fTT

b

dxdyyvxuyxfTT

fTT

a

0 0

0 0

0 0

0 0

sinsin,4

,22

cossin,4

,22

sincos,4

,22

coscos,4

,22


• Για τη μιγαδική μορφή του αναπτύγματος στο επίπεδο (2Δ)

• Ήδη στις 2 διαστάσεις γίνεται κατανοητή η απλοποίηση των εξισώσεων με

τη χρησιμοποίηση της μιγαδικής έκφρασης του αναπτύγματος

• Το γεγονός αυτό θα φανεί εντονότερα στη διαδικασία των μετασχηματισμών

και ειδικότερα στην περίπτωση του ταχύ μετασχηματισμού Fourier (FFT)

n m

yvxuj

nm

mnecyxf ,y

m

x

nT

mv

T

nu

22

x y

mn

T T

yvxuj

yx

nmdxdyeyxf

TTc

0 0

,11

Ανάπτυγμα σειράς σε n διαστάσεις

1 2

1 21 1 2 2

1 2

( )( , , , )

n

n

k k k

n n

n

i x x x

k k kf x x x c e

1 2

1 2 1 2

1 2 0 0 0

1 1 2 2

1 2

( )1( , , , )

nTT T

n n

n

n n

n

i x x x

k k kc f x x x e dx dx dx

TT T

2k

k

k

T

Mε συμβολισμό πινάκων:

1 2[ ]T

nx x xx1 2[ ]T

n ω1 2 nd dx dx dxx

[ ]

( )[ ]

( )k

Tik

f c eω x

x( )

[ ]

1( )

n

T

n

ik

c f e dV

ω x

x x

[ ]1 2

k nk k kc c

1 2[ ] nk k k k

1 1 2 2{ | 0 ,0 , ,0 }n n nx T x T x T x

1 2| |n n nV TT T

(ορθογώνιο υπερ-παραλληλεπίπεδο)

πεδίο ορισμού:

(όγκος υπερ-παραλληλεπιπέδου)

Ανάπτυγμα σειράς στον κύκλο

• Η αρμονική ανάλυση στον κύκλο επιτυγχάνεται από τους γενικούς τύπους

εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί με τη γωνία θ

• Το πεδίο ορισμό στον κύκλο (0 < θ ≤ 2π) είναι εξ’ ορισμού περιοδικό και

ισχύουν:

nn

T

n

T

n

2

22

2

0

0θ

00

sincossincosn

nn

n

nnnnnbnabaf

2

0

cos1

dnfan

2

0

sin1

dnfbn

Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα – Σφαιρικές αρμονικές

• Η σημαντικότερη οικογένεια αρμονικών συναρτήσεων που αφορούν στο πεδίο

βαρύτητας είναι οι σφαιρικές αρμονικές (spherical harmonics)

• Απαραίτητος ο μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

x

yz

yx

zyxr

arctan

arctan22

222

Σφαιρικές αρμονικές Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

• Για την εύρεση των τιμών των επιφανειακών σφαιρικών αρμονικών

απαιτείται ένας νέος διαχωρισμός της συνάρτησης σε συναρτήσεις

ανεξάρτητων μεταβλητών

• Οι λύσεις αυτών των συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι είναι της μορφής

• Οι συναρτήσεις ονομάζονται προσαρτημένες συναρτήσεις

Legendre πρώτου είδους βαθμού n και τάξης m (associated Legendre

functions of the first kind of degree n and order m)

,n

Y

hgYn

,

mPSY

mPRY

nmnmn

nmnmn

sincos,,

coscos,,

cosnm

P

Σφαιρικές αρμονικές Ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές

• Κάθε γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω εξισώσεων θα αποτελεί επίσης

λύση της εξίσωσης του Laplace (anm και bnm συντελεστές ο υπολογισμός

τους περιγράφεται αργότερα)

• Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ισχύει για τη συνάρτηση V

0 0

,,,n

n

m

nmnmnmnmnSbRaY

0 0

sincoscoscos,,n

n

m

nmnmnmnm

n

imPbmParrV

0 0

1sincoscoscos

1,,

n

n

m

nmnmnmnmnemPbmPa

rrV

Εσωτερικά της συνοριακής επιφάνειας

Εξωτερικά της συνοριακής επιφάνειας

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

n = 6, m = 0 n = 6, m = 6

n = 6, m = 4

Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές

• Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών

n=0

n=4

m=0 m=n

Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές

• Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών

Ανάπτυξη αποχών γεωειδούς

n = 30 n = 720

Επέκταση συνάρτησης στο διάστημα εκτός του [0, Τ]

0

1( ) ( )

T

k

k k

k k ki t i i tf t c e f e d e

T

( ) ( )f t f t

( ) ( )f t f t

[0, ]t T

[0, ]t T

( ) ( )f t nT f t [0, ]t T για κάθε ακέραιο n

H επέκταση είναι συνάρτηση περιοδική, με περίοδο Τ ( )f t

ΑΙΤΙΑ ΣΥΝΗΘΟΥΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΗΣ: «Η ανάλυση σε σειρές Fourier

ασχολείται με περιοδικές συναρτήσεις»

T 0 2T 3T –T –2T

( )f t

( )f t

Ανακεφαλαίωση

• Φασματική ανάλυση

• Σειρές Fourier

• Ανάπτυξη σε πραγματική και μιγαδική μορφή

• Αναπτύγματα στο επίπεδο, στον κύκλο και στη σφαίρα

• Παραδείγματα ανάπτυξης συναρτήσεων

Παρουσίαση 6η Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier Σειρές ... ·...

Documents

Transcript of Παρουσίαση 6η Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier Σειρές ... ·...