Elena Ferretti

I circoli di Mohr 1/22

Esercizi sui circoli di Mohr

ESERCIZIO A Sia assegnato lo stato tensionale piano nel punto B: σ x = -30 N/mm² σ y = 30 N/mm² τ xy= -40 N/mm² 1. Determinare le tensioni principali attraverso il metodo analitico e mediante il metodo grafico del

circolo di Mohr. 2. Individuare le direzioni principali mediante l’impiego del circolo di Mohr e disegnarle nel

riferimento Bxy. 3. Disegnare i tre circoli principali di Mohr, individuare la giacitura su cui la tensione tangenziale

è massima e valutarne il modulo. 4. Scrivere le equazioni parametriche delle tre circonferenze di Mohr considerate al punto

precedente. ESERCIZIO B Sia assegnato lo stato tensionale piano nel punto B: σ x = -70 N/mm² σ y = -10 N/mm² τ xy= 40 N/mm² 1. Determinare le tensioni principali attraverso il metodo analitico e mediante il metodo grafico del

circolo di Mohr. 2. Individuare le direzioni principali mediante l’impiego del circolo di Mohr e disegnarle nel

riferimento Bxy. 3. Disegnare i tre circoli principali di Mohr, individuare la giacitura su cui la tensione tangenziale

è massima e valutarne il modulo. 4. Scrivere le equazioni parametriche delle tre circonferenze di Mohr considerate al punto

precedente. ESERCIZIO C Sia assegnato lo stato tensionale piano nel punto B: σ x = 80 N/mm² σ y = 20 N/mm² τ xy= -40 N/mm² 1. Determinare le tensioni principali attraverso il metodo analitico e mediante il metodo grafico del

circolo di Mohr. 2. Individuare le direzioni principali mediante l’impiego del circolo di Mohr e disegnarle nel

riferimento Bxy. 3. Disegnare i tre circoli principali di Mohr, individuare la giacitura su cui la tensione tangenziale

è massima e valutarne il modulo. 4. Scrivere le equazioni parametriche delle tre circonferenze di Mohr considerate al punto

precedente.

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I circoli di Mohr 2/22

ESERCIZIO A

2x mm/N30−=σ

2y mm/N30=σ

2xy mm/N40−=τ

σ =-30 N/mm²

B

x ≡ x

y ≡ x

2

3

1 σ ≡ τ = -40 N/mm²σ ≡ τ = -40 N/mm²yx21

xy12

y22

11 x

σ ≡ σ =

30 N/mm²

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I circoli di Mohr 3/22

1. (METODO ANALITICO)

TENSORE DEGLI SFORZI

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=σ=σ

0000304004030

EQUAZIONE CARATTERISTICA O SECOLARE

000

0304004030

=σ−

σ−−−σ−−

a

a

a

AUTOVALORI DI σ ( 1 2 3σ ≥ σ ≥ σ )

21 mm/N50=σ , 2

2 mm/N0=σ2

3 mm/N50−=σ .

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I circoli di Mohr 4/22

1. (METODO GRAFICO)

PIANO DI MOHR: LE τ CHE DANNO ROTAZIONE ORARIA SONO POSITIVE, LE τ CHE DANNO ROTAZIONE ANTIORARIA SONO NEGATIVE

x ≡ x1

y ≡ x2

40

30 σ

τB

-30

-40

X ≡ (σ ,τ )

σx

y τ =xy τyxτyxτ xy

x xy

Y ≡ (σ ,τ )y yx

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I circoli di Mohr 5/22

ησ=σ1 , ζσ=σ2 , ξσ=σ3 .

x ≡ x1

y ≡ x2

X

Y

40

30 σ

τB

-30

-40

σξ ση

Qξ ηQzC

σx

yτxy

( )0,0C ≡

50R 2xy

2x =τ+σ=

50=ση

50−=σξ 0=σζ

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I circoli di Mohr 6/22

2. (METODO DELLE NORMALI ALLE TRACCE DELLE GIACITURE)

x ≡ x1

y ≡ x2

X

Y

40

30 σ

τB

ξ

-30

-40

2ϕ2ϕ=atg 43

ϕ

σξ ση

Qξ ηQzC

σx

yτxy

rette orientate

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I circoli di Mohr 7/22

2. (METODO DELLE PARALLELE ALLE TRACCE DELLE GIACITURE)

IL POLO DI MOHR È QUEL PUNTO DEL CIRCOLO DI MOHR CHE GODE DELLA SEGUENTE PROPRIETÀ: CONDUCENDO PER IL POLO DI MOHR UNA RETTA PARALLELA ALLA TRACCIA DELLA GIACITURA SULLA QUALE SI VOGLIONO CONOSCERE LE COMPONENTI SPECIALI DI TENSIONE, TALE RETTA INTERSECA IL CIRCOLO IN UN SECONDO PUNTO, OLTRE AL POLO STESSO, LE CUI COORDINATE SONO LA TENSIONE NORMALE E LA TENSIONE TANGENZIALE TOTALE RELATIVE ALLA GIACITURA LA CUI TRACCIA È PARALLELA ALLA RETTA TRACCIATA.

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I circoli di Mohr 8/22

POLO DI MOHR PER IL CIRCOLO DI SOSTEGNO z ≡ ζ

DA X SI MANDA LA PARALLELA ALLA TRACCIA (SUL PIANO x/y) DELLA GIACITURA DI NORMALE x.

x ≡ x1

y ≡ x2

X

YP

40

30 σ

τB

σξ ση

Qξ ηQzC

σx

yτxy

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I circoli di Mohr 9/22

PQξ È LA DIREZIONE DELLA TRACCIA DELLA GIACITURA PRINCIPALE SU CUI AGISCE ξσ

PQη È LA DIREZIONE DELLA TRACCIA DELLA GIACITURA PRINCIPALE SU CUI AGISCE ησ

x ≡ x1

y ≡ x2

X

YP

40

30 σ

τB

η

ξ

σξ ση

Qξ ηQzC

σx

yτxy

σξ

σξ

σξ

ση

ση

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I circoli di Mohr 10/22

3. (CIRCOLI PRINCIPALI)

ξC HA PER SOSTEGNO L’ASSE PRINCIPALE ξ

ηC HA PER SOSTEGNO L’ASSE PRINCIPALE η

x ≡ x1

y ≡ x2

X

Y

40

30 σ

τB

-30

-40

σξ ση

Qξ ηQ

ξCηC

zC

σx

yτxy

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I circoli di Mohr 11/22

4. (GIACITURA CON τMAX)

2

T mm/N50=τ

x ≡ x1

y ≡ x2

X

YP

40

30 σ

τB

T' τ =−σξ ση

Qξ ηQzC

T ≡ (σ ,τ )TT

τTT'

τTτT

τT

τT

T

σx

yτxy

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I circoli di Mohr 12/22

4. EQ. PARAMETRICHE

ϕσ−σ

+σ+σ

=σ 2cos22

2121a ,

ϕσ−σ

=τ 2sin2

21ab ; CON 21 σ≥σ

CIRCONFERENZA DI CENTRO Cη≡(−25,0) E RAGGIO R=25

ϕ+−=σ 2cos2525a , ϕ=τ 2sin25ab

CIRCONFERENZA DI CENTRO Cz≡(0,0) E RAGGIO R=50

ϕ=σ 2cos50a , ϕ=τ 2sin50ab

CIRCONFERENZA DI CENTRO Cξ≡(25,0) E RAGGIO R=25

ϕ+=σ 2cos2525a , ϕ=τ 2sin25ab

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I circoli di Mohr 13/22

ESERCIZIO B

2x mm/N70−=σ

2y mm/N10−=σ

2xy mm/N40=τ

B

x ≡ x

y ≡ x

2

3

1 σ ≡ τ = 40 N/mm²σ ≡ τ = 40 N/mm²yx21

xy12

σ ≡ σ =

-10 N/mm²y22

σ =²

11 x

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I circoli di Mohr 14/22

1. (METODO ANALITICO)

σ ′′

τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ±

σ+σ=

σ′

2xy

2yxyx

22

DOVE:

1σ=σ′

20 σ=σ ′′⇒≥σ ′′ , 03 =σ 30 σ=σ ′′⇒<σ ′′ , 02 =σ

2

1 mm/N10=σ , 22 mm/N0=σ

23 mm/N90−=σ

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I circoli di Mohr 15/22

1. (METODO GRAFICO)

x ≡ x1

y ≡ x2

40

-10 σ

τ B

-70

-40

τ =xy τyx

σx

σyτyxτ xy

X ≡ (σ ,τ )x xy

Y ≡ (σ ,τ )y yx

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I circoli di Mohr 16/22

ησ=σ1 , ζσ=σ2 , ξσ=σ3 .

x ≡ x1

y ≡ x2

X

Y 40

-10 σ

τ B

-70

-40

σx

σy

σξ ση

Qξ ηQ

zC

τxy

( )0,40C −≡

2x y 2

xyR 502

σ −σ⎛ ⎞= +τ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

10=ση

90−=σξ 0=σζ

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I circoli di Mohr 17/22

2. (METODO DELLE NORMALI ALLE TRACCE DELLE GIACITURE)

x ≡ x1

y ≡ x2

X

Y 40

-10 σ

τ B

ξ-70

-40

2ϕ

2ϕ=atg 43

ϕσx

σy

σξ ση

Qξ ηQ

zC

τxy

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I circoli di Mohr 18/22

1. (METODO DELLE PARALLELE ALLE TRACCE DELLE GIACITURE)

DA X SI MANDA LA PARALLELA ALLA TRACCIA (SUL PIANO x/y) DELLA GIACITURA DI NORMALE x.

x ≡ x1

y ≡ x2

X

YP 40

-10 σ

τ B σx

σy

σξ ση

Qξ ηQ

zC

τxy

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I circoli di Mohr 19/22

PQξ È LA DIREZIONE DELLA TRACCIA DELLA GIACITURA PRINCIPALE SU CUI AGISCE ξσ PQη È LA DIREZIONE DELLA TRACCIA DELLA GIACITURA PRINCIPALE SU CUI AGISCE ησ

x ≡ x1

y ≡ x2

X

YP 40

-10 σ

τ B

ξη

σx

σy

σξ ση

Qξ ηQ

zC

τxy

ξ

σξ

σξ

ση

η

ση

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I circoli di Mohr 20/22

3. (CIRCOLI PRINCIPALI)

ξC HA PER SOSTEGNO L’ASSE PRINCIPALE ξ

ηC HA PER SOSTEGNO L’ASSE PRINCIPALE η

x ≡ x1

y ≡ x2

X

Y 40

-10 σ

τ B

-70

-40

σx

σy

σξ ση

Qξ ηQ

zC

τxy

ξCηC

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I circoli di Mohr 21/22

3. (GIACITURA CON τMAX)

2

T mm/N50−=τ

x ≡ x1

y ≡ x2

X

YP 40

-10 σ

τ BT' σx

σy

σξ ση

Qξ ηQ

zC

τxy

τT

τTτT

τT'

T ≡ (σ ,τ )TT

σT'

σT

σT

σTσTσT

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I circoli di Mohr 22/22

ESERCIZIO C

( )0,Q ξξ σ≡ , ( )0,Q ηη σ≡

ξσ=σ1 , 032 =σ=σ=σ=σ ηζ .

σx

σyτxy

x ≡ x1

y ≡ x2

X

Y

40

80 σ

τB

20

-40P

≡QξηQ

ξC

ηCzC