Post on 16-Feb-2019
Esercizi di riepilogo - Fisica 1 Esercizio 1 Una corpo (punto materiale) di massa m=5Kg scivola lungo un piano avente un coefficiente di attrito dinamico π!=0.2 ed inclinato di un angolo ΞΈ=30Β° rispetto all'orizzontale. Nel punto A, il corpo possiede inizialmente una velocita' π£! = 1π/π diretta lungo il piano inclinato (vedi Figura 1). Dopo aver percorso un tratto L=1m lungo il piano, il corpo incontra nel punto B l'estremo libero di una molla ideale di costante elastica k e la comprime. Si misura che la massima compressione della molla e' pari a Ξx=20cm. Determinare: a) il lavoro della forza di attrito nel tratto AB di lunghezza L; b) il modulo della velocita' del corpo nel punto B; c) la costante elastica k della molla; d) il tempo tra l'istante in cui il corpo passa per il punto B e l'istante in cui la molla ha raggiunto la massima compressione [N.B. l'attrito e' presente lungo tutto il piano inclinato e quindi anche durante la fase di compressione della molla.] Soluzione: a) πΏ!""!"#$ = β πΉ! β πΏ = βπ! βππ cos π β πΏ = -8.5 J (πΉ! = ππππ§π ππ‘π‘πππ‘π ππππππππ) b) πΏ!""#$"% = ΞE = E! β E! E! =
!!ππ£!! +ππβ!
E! =!!ππ£!! +ππ(β! + πΏ sin π)
v! = π£!! + 2ππΏ(sin π β π! cos π) = 2.72 π/π
c) πΏ!""#$"%β² = ΞE = E! β E! πΏ!""#$"%β² = βπ! βππ cos π β Ξπ₯ E! = ππβ!"# +
!!πΞπ₯!
E! =!!ππ£!! +ππ(β!"# + Ξπ₯ sin π)
π = 2ππΞπ₯(!"#!!!! !"#!)!
!!!!!
!
!!!= 1085 π/π
d) Perricavareiltempoe'necessarioscrivereesplicitamentel'equazionedelmotodelpuntomateriale.SisceglieunsistemadiriferimentoconoriginenelpuntoB(posizionediequilibriodellamolla)edassexorientatolungoilpianoinclinatoversoilbasso.SiassumeinoltrechenelpuntoBiltempoπ‘! = 0. Nellafasedicompressionedellamolla(corpochesimuovedall'altoversoilbasso),inunistantegenericoilpuntomaterialeoccupalaposizionexchecoincideconlacompressionedellamollarispettoallaposizionediequilibrio.
Lungol'assexagisconolaforzaelastica,laforzadiattritodinamicoelacomponentelungoxdellaforzapeso.Tenendocontodelversodell'assex,l'equazionedelmotoe'quindi:πΉ!!"! = ππ!
βππ₯ β πΉ! +ππ sin π = ππ!π₯ππ‘!
doveπΉ! =modulodellaforzadiattritodinamico=π! βππ cos πQuindi:βππ₯ +ππ(sin π β π! cos π) = π !!!
!"![1]
Cambiodivariabile:βππ¦ = βππ₯ +ππ(sin π β π! cos π)dacui:π¦ = π₯ β !"
!(sin π β π! cos π) = π₯ β πΆ
conπΆ = !"
!(sin π β π! cos π)(>0conidatidelproblema)
Inoltre:! !!"
= ! !!"
e!!!!"!
= !!!!"!(lavelocita`el'accelerazionenoncambiapassandodaxay)
L'equazione[1]espressainfunzionediye'quelladiunoscillatorearmonico:βππ¦ = π !!!
!"!
lacuisoluzionee':π¦(π‘) = π΄ cos(ππ‘ + π)[2]
conpulsazioneπ = !!
Lavelocita'e'quindi:π£!(π‘) = βπ΄π sin(ππ‘ + π)[3]Lecondizioniinizialidelmotosono:π¦(π‘ = π‘! = 0) = π₯(π‘ = π‘! = 0) β πΆ = βπΆπ£!(π‘ = π‘! = 0) = π£!(π‘ = π‘! = 0) = v!Sostituendonella[2]enella[3]π΄ cos(π) = βπΆβπ΄π sin(π) = v!siricavanol'ampiezzaπ΄elafaseπ:tan(π) =
v!ππΆ
π΄ = βC
cos(π)= βπΆ 1 + tan! π < 0
Lasoluzioneperx(t)e':π₯(π‘) = π΄ cos(ππ‘ + π) + πΆLamassimacompressionedellamollasihaquandoπ₯(π‘!) = Ξπ₯assumeilvaloremassimo.EssendoA<0,questacondizionesiverificasecos(ππ‘! + π) = β1IltemponelpuntoCequindi:ππ‘! + π = ππ = ππππ‘ππ(
v!ππΆ
)
π‘! =!!!!=0.11s
Comeverifica,sipuo'inoltrericalcolareilvaloredellacostanteelasticakrichiestaalpuntoc)apartiredall'equazionedelmoto.Ξπ₯ = π₯ π‘! = βπ΄ + πΆ-->Ξπ₯ = πΆ 1 + tan! π + πΆ-->!!
!β 1 = 1 + tan! π
Ξπ₯πΆ
!+ 1 β 2
Ξπ₯πΆ= 1 + tan! π
Ξπ₯! β 2Ξπ₯πΆ = v!!
!sostituendo
π =2ππΞπ₯(sinπβππ cosπ)+ππ£π΅2
Ξπ₯2= 1085 π/π(comeottenutonelpuntoc))
Esercizio 2 Due blocchi (punti materiali) di lato πΏ e di massa π! ed π! sono sovrapposti come mostrato in Figura. Sul corpo 1 agisce la forza costante F. Inoltre e' presente attrito tra i due corpi con coefficienti di attrito statico π! ed attrito dinamico π! , mentre non c'e' attrito tra il corpo 2 e il piano. Determinare: a) il valore minimo del coefficiente di attrito statico π!,!"# tale che i due corpi si muovano in maniera solidale Se π! < π!,!"# , determinare: b) l'accelerazione relativa tra i due blocchi c) il tempo necessario perche' il blocco π! inizi a cadere dal blocco π! Soluzione:
a) Se i corpi 1 e 2 si muovono in maniera solidale allora π! = π! = π πΉ β πΉ! = π!π! = π!π [1] πΉ! = π!π! = π!π dove πΉ! e' la forza di attrito "statico" dal momento che il corpo 1 e' fermo rispetto al corpo 2. Dalle [1] si ricavano le due incognite π ed πΉ!:
π =πΉ
(π! +π!)
πΉ! =π!
(π! +π!)πΉ
πΉ! e' dunque la forza di attrito statico necessaria per realizzare la condizione che i due corpi si muovano solidalmente. πΉ! < πΉ!,!"# = π!π! = π!π!π
π! > π!,!"# =π!
π!
πΉ(π! +π!)π
b) Se π! < π!,!"# il corpo 1 si muove rispetto al corpo 2 con π! > π! . E' quindi presente una forza di attrito "dinamico" πΉ! tra i due corpi. Le equazioni del moto (simili alla [1]) diventano: πΉ β πΉ! = π!π! πΉ! = π!π! con πΉ! = π!π! = π!π!π da cui:
π! =πΉ β π!π!π
π!
π! =π!π!ππ!
L'accelerazione realtiva e' : π!"# = π! β π! c) I due corpi eseguono moti uniformemente accelerati con accelerazioni π! > π!. π₯!(π‘) = 1/2 π!π‘! π₯!(π‘) = 1/2 π!π‘! Il corpo 1 inizia a cadere quando il suo centro si trova sul bordo del corpo 2, ovvero quando il corpo 1 ha percorso una distanza L/2 rispetto al corpo 2: π₯!(π‘!"#$%") β π₯!(π‘!"#$%") = πΏ/2
π‘!"#$%" =πΏ
π! β π!=
πΏπ!"#