energie molto minori W F La Violazione di CP Vale per g ... · nel Modello Standard ... •...

La Violazione di CP nel Modello Standard

prof. Domenico Galli

Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori Dottorato di Ricerca in Fisica

νeW−

µ− g

Accoppiamento Debole

•  I processi leptonici sono i soli processi deboli non contaminati dall’interazione forte.

•  Le ampiezze di probabilità per processi a energie molto minori della massa del W sono proporzionali alla Costante di Fermi GF: –  Vale per tutti i fermioni eccetto il top.

•  La costante g nei vertici è la carica debole: –  Adimensionale, di grandezza confrontabile con l’accoppiamento

elettromagnetico √α. •  L’elemento di matrice M è proporzionale al prodotto di due

accoppiamenti e un propagatore:

DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 2!

M ∝ g−i gµν − tµtν

MW2( )

MW2 − t

t = p2µ − p1

µ( ) p2µ − p1µ( )

M = 12 ψνµ

γ µ12 1− γ

5( )ψ µ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ ggµν − tµtν

MW2 − t

g ψ eγ ν12 1− γ

5( )ψνe⎡⎣

⎤⎦

Accoppiamento Debole (II)

•  Se il 4-impulso trasferito t è piccolo: si può approssimare:

•  In queste condizioni il 4-impulso trasferito t è troppo piccolo per distinguere i 2 vertici e l’interazione si comporta come una interazione puntiforme di 4 fermioni.

•  Costante di Fermi GF:

νeW−

µ− g

e−GF

M ∝ ggµν − tµtν

MW2 − t

µν , − t MW2

t = p2µ − p1

µ( ) p2µ − p1µ( )

−t MW2

GF =28g 2

MW2 NU( )

GFc( )3

MWc2( )2

Universalità dell’Accoppiamento Debole

•  L’interazione debole in corrente carica ha la stessa costante di accoppiamento per tutti i fermioni: –  Questa proprietà è evidente per i leptoni, ma non per i quark.

•  Per i 3 decadimenti leptonici in figura si ha:

τ− gτ

W− νµ

gµ µ− ge

νeW−

µ− gµ

Γ τ − → µ−νµντ( )∝ gτ2

MW2 mτ

Γ τ − → e−νeντ( )∝ gτ2

MW2 mτ

Γ µ− → e−νeνµ( )∝ gµ2

MW2 mµ

⎪⎪⎪⎪

Γ τ − → µ−νµντ( )Γ τ − → e−νeντ( ) =

Γ µ− → e−νeνµ( )Γ τ − → e−νeντ( ) =

⎪⎪⎪

Universalità dell’Accoppiamento Debole (II)

•  Sperimentalmente si ha: e si ottiene:

τ− gτ

W− νµ

gµ µ− ge

νeW−

µ− gµ

Γ τ − → µ−νµντ( )Γ τ − → e−νeντ( ) =

BR τ − → µ−νµντ( )BR τ − → e−νeντ( )

Γ µ− → e−νeνµ( )Γ τ − → e−νeντ( ) =

1BR τ − → e−νeντ( )

⎪⎪⎪

= 1.001± 0.002

gµgτ

= 1.001± 0.003

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

ge = gµ = gτ =def

g (universalità)

L’Accoppiamento ai Quark

•  Nel settore dei quark, il bosone W si accoppia con coppie quark-antiquark formate da un quark up-like e un anti-quark down-like.

•  I decadimenti in cui cambia la stranezza: sono tuttavia sfavoriti rispetto ai decadimenti in cui non cambia:

•  Per esempio il decadimento: è sfavorito rispetto al decadimento:

νeW−

s→ u ΔF = 1

d→ u ΔF = 0

Λ→ pe−νe ΔF = 1

n→ pe−νe ΔF = 0

L’Accoppiamento ai Quark (II)

•  Analogamente il decadimento in cui cambia la stranezza: è sfavorito rispetto al decadimento in cui non cambia:

•  Nell’ipotesi dell’universalità gli elementi di matrice sarebbero uguali nei due casi:

W−νµ

µ−d

W−νµ

K− → µ−νµ ΔF = 1

π − → µ−νµ ΔF = 0

M ∝GF µLγ ανµL( ) uLγ αsL( )M ∝GF µLγ ανµL( ) uLγ αd L( )

L’Accoppiamento ai Quark (III)

•  Nell’ipotesi dell’universalità risulterebbe, per l’estensione in fase:

•  Mentre sperimentalmente si ha:

W−νµ

µ−d

W−νµ

Γ K− → µ−νµ( )Γ π − → µ−νµ( ) =

mK− 1−

mµ−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

mπ− 1−

mµ−

mπ−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

2 = 8.06

Γ K− → µ−νµ( ) = 1

τK−

BR K− → µ−νµ( ) = 0.64

1.24 ×10−8s−1

Γ π − → µ−νµ( ) = 1

τπ−

BR π − → µ−νµ( ) = 1

2.6 ×10−8s−1

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Γ K− → µ−νµ( )Γ π − → µ−νµ( ) = 1.34

L’Accoppiamento ai Quark (IV)

•  Nell’ipotesi dell’universalità, basandosi sulla vita media del muone: –  La vita media del neutrone sarebbe un po’ troppo corta; –  La vita media delle particelle strane sarebbe di gran lunga troppo

corta. •  Nel settore dei quark, la costante di accoppiamento debole

sembra dipendere dal tipo di processo.

gl > gdu gsu

Miscelamento di Cabibbo

•  Si può trovare un angolo piccolo θC, tale che:

gdu = gl cosθCgsu = gl sinθC

gl = g

gdu = g cos θC

sgsu = g sin θC

Γ K− → µ−νµ( )Γ π − → µ−νµ( ) =

mK− 1−

mµ−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

mπ− 1−

mµ−

mπ−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

2 tan2θC

gl > gdu gsugl > gl cosθC gl sinθC

θC = 12.9º ,cosθC = 0.974,sinθC = 0.221

Miscelamento di Cabibbo (II)

•  La relazione tra le costanti di accoppiamento: equivale a supporre che valga l’universalità, ma che gli stati che si accoppiano al vertice debole siano stati miscelati:

gdu = gl cosθCgsu = gl sinθC

s sin θC gd cos θC

µLγ ανµL( ) g g sinθC( )MW

2 uLγαd L( ) ⎯→⎯ µLγ ανµL( ) ggMW

2 uLγαd L sinθC( )

µLγ ανµL( ) g g cosθC( )MW

2 uLγαsL( ) ⎯→⎯ µLγ ανµL( ) ggMW

2 uLγαsL cosθC( )

Miscelamento di Cabibbo (III)

•  Si può generalizzare supponendo che gli stati che si accoppiano al vertice debole siano:

•  Lo stato d′ che si accoppia all’interazione debole è diverso dall’autostato di sapore d.

⎝⎜⎞

⎠⎟ L,

⎝⎜

⎠⎟L

,u′d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L

dcosθC + ssinθC

⎝⎜⎞

⎠⎟ L

gd cos θC + s sin θC

Miscelamento di Cabibbo (IV)

•  Ma se d′ è una sovrapposizione degli stati d e s: perché non dovrebbe esistere la sovrapposizione ortogonale s′?

•  In tal caso la relazione tra le due basi sarebbe la rotazione:

•  Ma avremmo un doppietto incompleto di stati accoppiati al vertice debole:

⎝⎜⎞

⎠⎟ L,

⎝⎜

⎠⎟L

,u′d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L

′d =dcosθC + ssinθC

′s =− dsinθC + scosθC

′d′s=

cosθC sinθC− sinθC cosθC

Il Meccanismo GIM

•  Inoltre, a causa del miscelamento di Cabibbo, nella lagrangiana sarebbe presente una transizione in corrente neutra che cambia il sapore (FCNC):

•  Sperimentalmente, tuttavia, i corrispondenti processi fisici sono fortemente soppressi.

J cn = uLγαu L + ′dLγ

α ′d L = uLγαu L + dL cosθC + sL sinθC( )γ α d L cosθC + sL sinθC( ) =

= uLγαu L + cos

2θCdLγαd L + sin

2θC sLγαsL

+ cosθC sinθC dLγαsL + sLγ

αd L( )ΔS =1 FCNC( )

Il Meccanismo GIM (II)

•  Per esempio il decadimento in corrente neutra con : è soppresso rispetto al decadimento in corrente carica con : mentre dovrebbe avere probabilità simile guardando i diagrammi.

•  Glashow, Iliopulos e Maiani (1970) ipotizzarono l’esistenza di un quarto quark, il charm, partner mancante dell’s′ nella formazione di un secondo doppietto di quark:

ΔF = 1

K+ →π + + νe + νe BR = 1.5−0.9+1.3 ×10−10

ΔF = 1

K+ →π 0 + νe + e+ BR = 4.98 ± 0.07( ) ×10−2

⎝⎜⎞

⎠⎟ L,

⎝⎜

⎠⎟L

,u′d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L

Il Meccanismo GIM (III)

•  Con l’aggiunta del quark charm: la corrente neutra si scrive:

⎝⎜⎞

⎠⎟ L,

⎝⎜

⎠⎟L

,u′d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L

dcosθC + ssinθC

⎝⎜⎞

⎠⎟ L,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L

−dsinθC + scosθC

⎝⎜⎞

⎠⎟ L

α ′d L + cLγα cL + ′sLγ

α ′sL =

= uLγαu L + dL cosθC + sL sinθC( )γ α d L cosθC + sL sinθC( ) +

+ cLγα cL + −dL sinθC + sL cosθC( )γ α −d L sinθC + sL cosθC( ) =

= uLγαu L + cos

2θCdLγαd L + sin

2θC sLγαsL

ΔS=0 +cosθC sinθC dLγ

αsL + sLγαd L( )

ΔS =1 FCNC( ) +

+cLγα cL + sin

2θCdLγαd L + cos

2θC sLγαsL

− sinθC cosθC dLγαsL + sLγ

αd L( )ΔS =1 FCNC( )

= uLγαu L + cLγ

α cL + dLγαd L + sLγ

Il Meccanismo GIM (IV)

•  Le FCNC si cancellano. •  Restano le correnti neutre che conservano il sapore. •  La rotazione di Cabibbo è irrilevante per le correnti neutre:

–  Si scrivono nella stessa forma nelle due basi.

α ′d L + cLγα cL + ′sLγ

α ′sL =

= uLγαu L + dLγ

αd L + cLγα cL + sLγ

αsLΔS =0

Tutto in ordine?

•  Vignetta presentata da Cabibbo nel 1966…

Il Punto

•  Universalità delle interazioni deboli anche nel settore dei quark: –  Rotazione di Cabibbo:

•  Differenze leptoni-quark; •  Soppressione decadimenti ;

•  Soppressione FCNC: –  GIM; –  Ipotesi quark charm.

•  Nessuna previsione di violazione di CP nel modello. •  1973: l’esistenza di 3 doppietti di quark è proposta da M.

Kobayashi e K. Maskawa come una possibile spiegazione della violazione di CP.

•  1975 (Mark I): scoperto il terzo leptone carico (τ); •  1977 (FNAL): scoperto il quark bottom (b); •  1987 (Argus): evidenza indiretta del quark top (t) nell’oscillazione

dei B0. •  1995 (Fermilab): scoperto il quark top (t);

ΔF = 1

⎝⎜⎞

⎠⎟ L,

⎝⎜

⎠⎟L

,u′d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L

′d′s=

cosθC sinθC− sinθC cosθC

Da 2 a 3 Famiglie di Sapore

•  2 famiglie:

•  3 famiglie:

⎝⎜⎞

⎠⎟ L,

⎝⎜

⎠⎟L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L

′d′s=V

V =cosθC sinθC− sinθC cosθC

⎝⎜⎞

⎠⎟ L,

⎝⎜

⎠⎟L

⎝⎜⎞

⎠⎟ Lu′d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ L

′d′s′b=VCKM

VCKM =

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

VCKM =

c12c13 s12c13 s13e− iδ

−s12c23 − c12s23s13eiδ c12c23 − s12s23s13e

iδ s23c13s12s23 − c12c23s13e

iδ −s23c12 − s12c23s13eiδ c23c13

sij = sinθijcij = cosθij

⎧⎨⎪

⎩⎪, i, j = 1,2,3

Le 3 Famiglie di Quark

•  I quark sono classificati in tre famiglie di sapore:

•  L'elemento superiore in ciascuno dei doppietti è il quark up-like della famiglia, di carica elettrica + ⅔;

•  L'elemento inferiore è il quark down-like, di carica − ⅓. •  A ogni quark corrisponde lo stato di particella coniugato di carica

(anti-quark) con numeri quantici opposti. •  I quark differiscono, oltreché per il valore della carica elettrica,

per il valore della massa e per i numeri quantici di sapore. •  I quark sono dotati della carica di colore responsabile delle

interazioni forti.

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 13

up-likedown-like

Correnti Deboli Cariche

•  La dinamica del sapore nelle interazioni deboli, nel Modello Standard è descritta dalla densità di lagrangiana in corrente carica: la quale rappresenta il processo di trasformazione dello stato di sapore, che avviene mediante l'accoppiamento tra la corrente dei quark Jµ

cc e il campo Wµ del bosone W carico; g è la costante di accoppiamento debole.

•  La corrente carica Jµcc dei quark si scrive:

dove VCKM è la matrice di miscelamento del sapore dei quark.

Lccq = − g

2Jµcc†Wµ + Jµ

ccWµ†( )

Jµcc = u, c, t

Lγ µVCKM

VCKM =

Parametri Fisici nella Matrice di Miscelamento

•  Matrice complessa N × N 2N2 parametri. •  Unitarietà: N2 vincoli:

•  per esempio, per N = 3:

•  Totale 2N2 − N2 = N2 parametri.

V †V = 11 ⇒ Vik*Vij = δkj , j,k = 1,2,…,N

Vud* Vcd

* Vtd*

Vus* Vcs

* Vts*

Vub* Vcb

* Vtb*

=1 0 00 1 00 0 1

Parametri Fisici nella Matrice di Miscelamento (II)

•  I campi dei quark sono definiti modulo una fase arbitraria: –  L’espressione della corrente carica:

non cambia per una sostituzione:

•  L’arbitrarietà di queste 2N fasi, può essere utilizzata per eliminare 2N − 1 parametri: –  La fase globale è irrilevante (se si modifica allo stesso modo la fase di

tutti i quark, V non cambia). •  I parametri fisici diventano N2 − 2N + 1 = (N − 1)2.

Jµcc = u, c, t

Lγ µVCKM

q j → eiφ j q j

Vij → e− iφiVijeiφ j = ei φ j −φi( )Vij

⎧⎨⎪

⎩⎪

Parametri Fisici nella Matrice di Miscelamento (III)

•  Se la matrice V fosse reale essa sarebbe ortogonale: angoli di rotazione indipendenti tra gli N vettori della base.

•  I rimanenti: parametri sono fasi complesse irriducibili.

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=N N −1( )

Np = N −1( )2 − N N −1( )2

= 2N2 − 4N + 2 − N 2 + N

2 − 3N + 22

=N −1( ) N − 2( )

Parametri Fisici nella Matrice di Miscelamento (IV)

Numero Famiglie

Numero Parametri

Numero Angoli

Numero Fasi Irriducibili

2 1 1 0 3 4 3 1 4 9 6 3 N

N −1( )2 N N −1( )2

N −1( ) N − 2( )2

•  N ≥ 3 richiesto per avere almeno 1 fase complessa irriducibile.

Fasi Complesse Irriducibili e Violazione di CP

•  Se la matrice CKM è reale non è compatibile con la violazione di T e quindi neppure con la violazione di CP.

•  Una fase complessa irriducibile nella matrice CKM consente la violazione di CP.

Vub V ∗ub

Parametrizzazioni della Matrice CKM

•  Parametrizzazione originale di Kobayashi e Maskawa. •  Utilizza 3 angoli, θ1, θ2 e θ3 e una fase δ che viola CP. •  L’angolo θ1 è l’angolo di Cabibbo.

VCKM =

c1 −s1c3 −s1s3s1c2 c1c2c3 − s2s3e

iδ c1c2s3 + s2c3eiδ

s1s2 c1s2c3 + c2s3eiδ c1s2s3 − c2c3e

ci = cosθisi = sinθi

Parametrizzazioni della Matrice CKM (II)

•  Parametrizzazione standard. •  Utilizza i 3 angoli di Eulero, θ12, θ23 e θ13 e una fase δ che viola CP. •  L’angolo θ12 è l’angolo di Cabibbo.

•  Attuale miglior stima dei parametri:

VCKM =

c12c13 s12c13 s13e− iδ13

−s12c23 − c12s23s13eiδ13 c12c23 − s12s23s13e

iδ13 s23c13s12s23 − c12c23s13e

iδ13 −c12s23 − s12c23s13eiδ13 c23c13

cij = cosθijsij = sinθij

θ12 = 13.04 ± 0.05( ) º , θ13 = 0.201± 0.011( ) º , θ23 = 2.38 ± 0.06( ) º , δ13 = 1.20 ± 0.08( ) º

Parametrizzazioni della Matrice CKM (III)

•  Parametrizzazione standard fattorizzata. •  Utilizza i 3 angoli di Eulero, θ12, θ23 e θ13 e una fase δ che viola CP. •  L’angolo θ12 è l’angolo di Cabibbo.

VCKM =

c12c13 s12c13 s13e− iδ13

−s12c23 − c12s23s13eiδ13 c12c23 − s12s23s13e

iδ13 s23c13s12s23 − c12c23s13e

iδ13 −c12s23 − s12c23s13eiδ13 c23c13

=1 0 00 c23 s230 −s23 c23

c13 0 s13e− iδ13

0 1 0−s13e

+ iδ13 0 c23

c12 −s12 0

s12 c12 0

cij = cosθijsij = sinθij

λ = s12Aλ2 = s23Aλ3 ρ − iη( ) = s13e− iδ13

VCKM =

1− λ2

2− λ4

8λ Aλ3 ρ − iη( )

−λ +A2 1− 2ρ( )

2λ5 − iA2ηλ5 1− λ2

2− 18+ A

⎝⎜⎞

⎠⎟λ4 Aλ2

Aλ3 1− 1− λ2

⎝⎜⎞

⎠⎟ρ + iη( )⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

−Aλ2 1− λ2

⎝⎜⎞

⎠⎟1+ λ2 ρ + iη( )⎡⎣ ⎤⎦ 1− A

+O λ6( )

Parametrizzazioni della Matrice CKM (IV)

•  Parametrizzazione di Wolfenstein. •  Utilizza i 4 parametri λ, A, ρ ed η:

•  L’angolo λ è il seno dell’angolo di Cabibbo.

•  La violazione di CP è contenuta nel termine . •  Attuale miglior stima dei parametri:

ρ − iη

λ = 0.2257−0.0010+0.0009 , A = 0.814−0.022

+0.021 , ρ = 0.135−0.016+0.031 , η = 0.349−0.017

+0.015

Struttura Gerarchica della Matrice CKM

•  La parametrizzazione di Wolfenstein mette in luce la struttura gerarchica della matrice CKM: –  Ordine 0:

–  Ordine 1:

–  Ordine 2:

VCKM =

=1 0 00 1 00 0 1

+O λ( )

VCKM =

=1 λ 0−λ 1 00 0 1

+O λ2( )

VCKM =

1− λ2

−λ 1− λ2

0 −Aλ2 1

+O λ3( )

Struttura Gerarchica della Matrice CKM (II)

–  Ordine 3:

–  Ordine 5:

VCKM =

1− λ2

2λ Aλ3 ρ − iη( )

−λ 1− λ2

Aλ3 1− ρ − iη⎡⎣ ⎤⎦ −Aλ2 1

+O λ4( )

VCKM =

1− λ2

2− λ4

8λ Aλ3 ρ − iη( )

−λ +A2 1− 2ρ( )

2λ5 − iA2ηλ5 1− λ2

2− 18+ A

⎝⎜⎞

⎠⎟λ4 Aλ2

Aλ3 1− 1− λ2

⎝⎜⎞

⎠⎟ρ + iη( )⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

−Aλ2 1− λ2

⎝⎜⎞

⎠⎟1+ λ2 ρ + iη( )⎡⎣ ⎤⎦ 1− A

+O λ6( )

Struttura Gerarchica della Matrice CKM (III)

•  Favorite transizioni nella stessa famiglia; •  Transizioni famiglie 1⟶2 soppresse per un fattore λ; •  Transizioni famiglie 2⟶3 soppresse per un fattore λ2;!•  Transizioni famiglie 1⟶3 soppresse per un fattore λ3.!

Transizioni in corrente carica; lo spessore indica la probabilità di transizione.

Gli accoppiamenti più piccoli sono complessi e producono violazione di CP.

VCKM =

1 λ λ3

−λ 1 λ2

λ3 λ2 1

Relazioni di Universalità Debole

•  Dalla relazione di unitarietà della Matrice CKM: seguono le 3 relazioni di universalità debole:

•  La corrente carica totale di un quark up-like con tutti i quark down-like è di intensità universale.

•  Nessuna informazione riguardo CP (termini reali).

V †V = 11 ⇒ Vik*Vij = δkj , j,k = 1,2,3

∑ = 1, i = 1,2,3

Vud2+ Vus

2+ Vub

Vcd2+ Vcs

2+ Vcb

Vtd2+ Vts

2+ Vtb

⎪⎪

Triangoli Unitari

•  Dalle stesse relazione di unitarietà della Matrice CKM: seguono anche le 6 relazioni triangolari (triangoli nel piano complesso):

V †V = 11 ⇒ Vik*Vij = δkj , j,k = 1,2,3

Vij*Vik

∑ = 0, j,k = 1,2,3, j ≠ kj = 1,k = 2j = 3,k = 1j = 2,k = 3

Vud*Vus +Vcd

*Vcs +Vtd*Vts = 0

Vub*Vud +Vcb

*Vcd +Vtb*Vtd = 0

Vus*Vub +Vcs

*Vcb +Vts*Vtb = 0

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Vji*Vki

∑ = 0, j,k = 1,2,3, j ≠ kj = 1,k = 3j = 3,k = 2j = 1,k = 2

Vud*Vtd +Vus

*Vts +Vub*Vtb = 0

Vtd*Vcd +Vts

*Vcs +Vtb*Vcb = 0

Vud*Vcd +Vus

*Vcs +Vub*Vcb = 0

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Vub*Vud

Vcb*Vcd

Vtb*Vtd

Triangoli Unitari (II)

•  Si osservino, nella parametrizzazione di Wolfenstein gli ordini di grandezza dei lati in λ:

Vud*Vus +Vcd

*Vcs +Vtd*Vts = 0

Vub*Vud +Vcb

*Vcd +Vtb*Vtd = 0

Vus*Vub +Vcs

*Vcb +Vts*Vtb = 0

Vud*Vtd +Vus

*Vts +Vub*Vtb = 0

Vtd*Vcd +Vts

*Vcs +Vtb*Vcb = 0

Vud*Vcd +Vus

*Vcs +Vub*Vcb = 0

⎪⎪⎪⎪

O λ( ) +O λ( ) +O λ5( ) = 0O λ3( ) +O λ3( ) +O λ3( ) = 0O λ4( ) +O λ2( ) +O λ2( ) = 0O λ3( ) +O λ3( ) +O λ3( ) = 0O λ4( ) +O λ2( ) +O λ2( ) = 0O λ( ) +O λ( ) +O λ5( ) = 0

⎪⎪⎪⎪⎪

Vub*Vud

Vcb*Vcd

Vtb*Vtd

VCKM =

1 λ λ3

−λ 1 λ2

λ3 λ2 1

Triangoli Unitari (III)

Vud*Vus +Vcd

*Vcs +Vtd*Vts = 0

Vub*Vud +Vcb

*Vcd +Vtb*Vtd = 0

Vus*Vub +Vcs

*Vcb +Vts*Vtb = 0

Vud*Vtd +Vus

*Vts +Vub*Vtb = 0

Vtd*Vcd +Vts

*Vcs +Vtb*Vcb = 0

Vud*Vcd +Vus

*Vcs +Vub*Vcb = 0

⎪⎪⎪⎪

VCKM =

1 λ λ3

−λ 1 λ2

λ3 λ2 1

Vtd*Vts λ

Vcd*Vcs λ

Vud*Vus λ

Vcb*Vcd λ

Vub*Vud λ

3Vtb*Vtd λ

Vus*Vub λ

Vts*Vtb λ

Vcs*Vcb λ

Vub*Vtb λ

Vud*Vtd λ

3Vus*Vts λ

Vtd*Vcd λ

Vtb*Vcb λ

Vts*Vcs λ

Vub*Vcb λ

Vud*Vcd λ

Vus*Vcs λ

•  Consideriamo in particolare il triangolo:

•  Definiti: si ha: e il triangolo si può scalare in modo che sia:

Triangoli Unitari (IV)

Vub*Vud +Vcb

*Vcd +Vtb*Vtd = 0

Vtb*Vtd λ

Vcb*Vcd λ

Vub*Vud λ

ρ = ρ 1− λ22( )

η =η 1− λ22( )

⎧⎨⎪

⎩⎪

Vub*Vud = Aλ

3 ρ + iη( )Vcb*Vcd = −Aλ3

Vtb*Vtd = Aλ

3 1− ρ − iη( )

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

VCKM =

1− λ2

2λ Aλ3 ρ − iη( )

−λ 1− λ2

Aλ3 1− ρ − iη⎡⎣ ⎤⎦ −Aλ2 1

+O λ4( )

ρ + iη

1− ρ − iηx

C = 0,0( ) B = 1,0( )

A = ρ,η( )

BC =Vcb*VcdVcb*Vcd

= Aλ3

Aλ3= 1

•  In tal caso i lati risultano:

Triangoli Unitari (V)

Vtb*Vtd λ

Vcb*Vcd λ

Vub*Vud λ

AC =Vub*VudVcb*Vcd

= ρ + iη2= ρ2 +η 2 =

BC =Vcb*VcdVcb*Vcd

= Aλ3

Aλ3= 1

AB =Vtb*Vtd

Vcb*Vcd

= 1− ρ − iη2= 1− ρ( )2 +η 2 =

⎪⎪⎪⎪⎪

ρ + iη

1− ρ − iηx

C = 0,0( ) B = 1,0( )

A = ρ,η( )

Vub*VudVcb*Vcd

Vtb*Vtd

Vcb*Vcd

•  Per quanto riguarda gli angoli, si ha:

•  L’angolo γ coincide con buona approssimazione con la fase irriducibile δ.

Triangoli Unitari (VI)

α = argVub*VudVtb*Vtd

⎝⎜⎞

⎠⎟

β = argVtb*Vtd

Vcb*Vcd

⎝⎜⎞

⎠⎟= arctan η

1− ρ

γ = argVub*VudVcb*Vcd

⎝⎜⎞

⎠⎟= arctanη

Vub*VudVcb*Vcd

Vtb*Vtd

Vcb*Vcd

ρ + iη

1− ρ − iηx

C = 0,0( ) B = 1,0( )

A = ρ,η( )αγ β

•  La relazione di unitarietà: si può anche scrivere come:

Triangoli Unitari (VII)

Rbeiγ + Rte

− iβ = 1 1

Vub*VudVcb*Vcd

Vtb*Vtd

Vcb*Vcd

ρ + iη

1− ρ − iηx

C = 0,0( ) B = 1,0( )

A = ρ,η( )αγ β

Vub*Vud +Vcb

*Vcd +Vtb*Vtd = 0

•  I moduli sono tipicamente calcolati dal rapporto tra ratei di decadimento.

•  Esempio: Vud: –  Rapporto tra ratei di decadimento di neutrone e muone; –  Rapporto proporzionale a |Vud|2; –  |Vud| = 0.9735 ± 0.0008.

Misura degli Elementi della Matrice CKM

VCKM =

νeW−

VudνeW−

•  Esempio: Vus: –  Rapporto tra il rateo di decadimento semileptonico del K− e il rateo di

decadimento del muone; –  Rapporto proporzionale a |Vus|2; –  |Vus| = 0.2196 ± 0.0023.

Misura degli Elementi della Matrice CKM (II)

VCKM =

VusνeW−

•  Esempio: Vcb: –  Rapporto tra il rateo di decadimento

e il rateo di decadimento del muone;

–  Rapporto proporzionale a |Vcb|2; –  |Vcb| = 0.0402 ± 0.0019.

Misura degli Elementi della Matrice CKM (III)

VCKM =

VcbνeW−

Bd0 → D*−l+ν

•  Esempio: Vub: –  Rapporto tra il rateo di decadimento:

e il rateo di decadimento:

–  Rapporto proporzionale a |Vub/Vcb|2; –  |Vub/Vcb| = 0.090 ± 0.025.

Misura degli Elementi della Matrice CKM (IV)

VCKM =

uπ−

Bd0 → D*−l+ν

Bd0 →π−l+ν

•  Esempio: Vtd: –  Rateo di oscillazione:

–  Dominato dalla massa del top:

Misura degli Elementi della Matrice CKM (V)

VCKM =

Bd0 ↔ Bd

t t ∝mt2 VtbVtd

* 2 ∝mt2λ6

cc ∝mc2 VcbVcd

* 2 ∝mc2λ6

c t , ct ∝mcmtVtbVtd*VcbVcd

* ∝mcmtλ6

ΔmBd0 ∝

mW2 mBd0 Vtd

•  Esempio: Vts (CDF, 2006): –  Ratei di oscillazione:

–  Dominati dalla massa del top;

Misura degli Elementi della Matrice CKM (VI)

VCKM =

V ∗qs

Bd0 ↔ Bd

Bs0 ↔ Bs

ΔmBd0

ΔmBs0

≈Vtd

Vts2 ≈

λ4= λ2

VtdVts

= 0.2060 ± 0.0007 Δms( )−0.0060+0.0081

Δmd + teor.( )

!-1 -0.5 0 0.5 1

)#+$sin(2

sm&dm&

cbVubV

!-1 -0.5 0 0.5 1

Attuali Vincoli del Triangolo Unitario

•  Collaborazione UTfit: –  Determinazione della

miglior stima dei parametri del triangolo unitario;

–  Sulla base delle misure sperimentali provenienti dai diversi esperimenti.

Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica

domenico.galli@unibo.it http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

http://lhcbweb2.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica

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