Calcolo differenziale per funzioni di più...

Calcolo differenziale per funzioni di piu variabili

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi Matematica B

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 1 / 86

Derivate direzionali e parziali

Consideriamo un insieme aperto Ω ⊆ Rn e un campo scalare

f : Ω→ R.

Sia v ∈ Rn un versore, cioe un vettore di lungheza unitaria: ‖v‖ = 1.

Definizione

Sia x0 ∈ Ω. Chiamiamo il rapporto incrementale di f nella direzione ve nel punto x0 la quantita

f (x0 + tv)− f (x0)

tt ∈ R.

Definizione

Se esiste finito, il limite

limt→0

f (x0 + tv)− f (x0)

e detto derivata direzionale di f in x0 nella direzione v e si indica con

∂v(x0), Dv f (x0).

In questo caso f si dice derivabile in x0 nella direzione v .

Nella definizione precedente intervengono solo i valori di f lungo la rettax0 + tv . Dunque l’esistenza della derivata in una direzione non garantiscel’esistenza della derivata in un’altra direzione!

Definizione

Se v = ei (il versore i−esimo della base canonica), la derivata direzionale edetta derivata parziale di f rispetto a xi e si indica con

∂xi(x0), Di f (x0).

In Di f varia solo la variabile xi . Quindi per il calcolo si puo pensare allealtre variabili come a delle costanti ed applicare le regole di derivazionevalide per le funzioni di una sola variabile.

Il caso di funzioni di due variabili

Interpretazione geometrica

Derivate direzionali e parziali: esempi1. Sia f : R2 → R data da

f (x , y) = x3 sin(y2).

2. Sia f : R3 → R data da

f (x , y , z) = x3 − 5x y2 + 4 sin(x + ez) + z cos y .

3. Sia f : R2 → R definita da

f (x , y) =

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

Attenzione! Sarebbe sbagliato calcolare le derivate parziali nel punto(0, 0) come limiti delle derivate ∂f

∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y). In generale non vale

∂x(0, 0) = lim

(x ,y)→(0,0)

∂x(x , y) NO!

∂y(0, 0) = lim

(x ,y)→(0,0)

∂y(x , y) NO!

perche a priori non abbiamo nessuna informazione circa la continuita dellederivate parziali nel punto (0, 0). In effetto, nell’esempio precedente si ha

lim(x ,y)→(0,0)

∂x(x , y) @ lim

(x ,y)→(0,0)

∂y(x , y) @

Derivabilita direzionale e continuitaA differenza delle funzioni di una sola variabile, nel caso di funzioni di piuvariabili l’esistenza delle derivate parziali non garantisce la continuita :abbiamo visto che la funzione

f (x , y) =

x yx2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

ammette entrambe le derivate parziali nel punto (0, 0). D’altra parte sivede facilmente che f non e continua in (0, 0):

Nemmeno l’esistenza di tutte le derivate direzionali garantisce lacontinuita :

Esempio

Sia f : R2 → R definita da

f (x , y) =

0 se y ≤ 0 oppure y > x2

1 se 0 < y ≤ x2.

Risulta che f ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non econtinua in (0, 0).

Percio e necessario introdurre una nozione piu forte della derivabilitadirezionale: la differenziabilita.

Funzioni differenziabili

Consideriamo per semplicita solo i campi scalari.

Definizione

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltre x ∈ Ωe supponiamo che f ammetta tutte le derivate parziali in x . Il vettore

∇f (x) = grad f (x) =

∂x1(x),

∂x2(x), . . . ,

∂xn(x)

)si chiama gradiente di f nel punto x .

Notiamo che∇f : Ω→ Rn.

Definizione

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltrex0 ∈ Ω. Diciamo che f e differenziabile in x0 se esiste λ(x0) ∈ Rn tale che

f (x) = f (x0) + λ(x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖), x → x0, (1)

Diciamo che f e differenziabile in Ω se e differenziabile in ogni punto di Ω.

Ricordiamo il significato della notazione o(‖x − x0‖) :

h(x) = o(‖x − x0‖) per x → x0 ⇔ limx→x0

‖x − x0‖= 0.

Teorema (Caratterizzazione della differenziabilita)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltrex0 ∈ Ω. Allora f e differenziabile in x0 se e solo se f ammette tutte lederivate parziali in x0 e se

limx→x0

f (x)− f (x0)−∇f (x0) · (x − x0)

‖x − x0‖= 0. (2)

Quindi f e differenziabile in x0 se vale (1) con λ(x0) = ∇f (x0):

f (x) = f (x0) +∇f (x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖), x → x0, (3)

Differenziabilita per funzioni di una variabile

Differenziabilita per funzioni di due variabili

Proprieta delle funzioni differenziabili

Teorema (Differenziabilita e continuita )

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R. Sia inoltre x0 ∈ Ω. Se f edifferenziabile in x0, allora f e continua in x0.

Il viceversa e in generale falso: la continuita non implica ladifferenziabilita !

Dimostrazione:

Teorema (Differenziabilita e derivabilita )

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R. Sia inoltre x0 ∈ Ω. Se f edifferenziabile in x0, allora f e derivabile in x0 lungo ogni direzione v e vale

Dv f (x0) = ∇f (x0) · v

Dimostrazione:

Proprieta delle funzioni differenziabiliAnche in questo caso non vale il viceversa: derivabilita in ogni direzionenon implica differenziabilita .

Esempio

La funzione

f (x , y) =

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non e differenziabile in(0, 0).

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di una variabile

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di DUE variabilI

Teorema (Differenziabilita di somme e prodotti)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Siano f , g : Ω→ R due funzionidifferenziabili in x0. Allora sono differenziabili in x0 anche le funzionisomma f + g e prodotto f g .

Teorema (Differenziabilita della composizione)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Sia f : Ω→ R una funzionedifferenziabile in x0. Sia inoltre ϕ : R→ R una funzione differenziabile inf (x0) ∈ R. Allora la funzione composta ϕ f : Ω→ R e differenziabile inx0 e vale

ϕ(f (x)) = ϕ(f (x0)) + ϕ′(f (x0))∇f (x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖),

per x → x0.

Teorema (Teorema del differenziale totale)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Sia f : Ω→ R una funzione.Supponiamo che f ammetta in Ω tutte le derivate parziali Di f , i = 1, .., n,e che esse siano continue in x0. Allora f e differenziabile in x0.

Non vale il viceversa

Definizione (Funzioni di classe C 1)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia f : Ω→ R una funzione. Diciamo che f e diclasse C 1 se esistono le derivate parziali di f in Ω ed esse sono funzionicontinue. L’insieme delle funzioni di classe C 1 da Ω in R si indica con ilsimbolo C 1(Ω).

Nel loro dominio naturale sono di classe C 1 tutte le funzioni elementari ele loro composizioni; per esempio polinomi, funzioni razionali fratte,logaritmi etc.

Dal Teorema del differenziale totale segue che ogni funzione di classeC 1(Ω) e differenziabile in Ω. Piu in generale abbiamo il seguente schemariassuntivo:

f ∈ C 1(Ω) ⇒ f differenziabile in Ω ⇒

f continua in Ω

∀ v ∈ Rn : ∃Dv f

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