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TECHNISCHE UNIVERSITAT MUNCHEN ZENTRUM MATHEMATIK
Begegnungen eines NumerikersVon Monte Carlo zu Ramanujan
p =2
πarcsin
((3 − 2
√2)2(2 +
√5)2(
√10 − 3)2(51/4 −
√2 )4
)
Aus dem Kapitel 10 des Buchs
The SIAM 100-Digit Challenge —A Study in High-Accuracy Numerical Computing
Folkmar Bornemann (D), Dirk Laurie (ZA)Stan Wagon (USA), Jorg Waldvogel (CH)
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 1
1 THE SIAM 100-DIGIT CHALLENGE
Vorgeschichte: 100 Dollar fur 100 Ziffern
Die Herausforderung (SIAM News, Januar 2002)
• zehn kurze Aufgaben
• Antwort jeweils eine reelle Zahl
• ein Punkt je korrekte Dezimalstelle, maximal zehn pro Aufgabe
Die Spielregeln
• maximal sechs Leute pro Team
• alle Hilfsmittel zulassig
• vier Monate Zeit
They’re hard! If anyone gets 50 digits in total, I will be impressed.
— Nick Trefethen
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 2
1 THE SIAM 100-DIGIT CHALLENGE
Teilnehmer
• 94 Teams aus 25 Landern
Gewinner
• 20 Teams mit voller Punktzahl (D, A, CH, NL, GB, USA, CAN, AUS, ZA)
– Team von Wolfram Research (MATHEMATICA)
– Gaston Gonnet (ETH, Grunder von Maple)
– drei Teams aus Deutschland (2 × Chemnitz, 1× Munchen)
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 3
1 THE SIAM 100-DIGIT CHALLENGE
Reaktionen
VORHER IN DER ART
Whatever the details of the matter, it finds me too absorbed by numerousoccupations for me to be able to devote my attention to it immediately.
— John Wallis 1657 zu einer Herausforderung durch Pierre de Fermat
NACHHER
Herzlichen Gluckwunsch zu den 100 Punkten! Finde das ehrenvoller als dien + 1. Publikation (auch angesichts der Aufgaben).
— aus der Gratulation eines Kollegen
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 4
2 DAS ZEHNTE PROBLEM: BROWN’SCHE BEWEGUNG
Problem 10
A particle at the center of a 10 x 1 rectangle undergoes Brownian
motion till it hits the boundary. What is the probability that
it hits at one of the ends rather than at one of the sides?
Was sollten wir uber Brown’sche Bewegungen wissen?
• Isotropie
• Grenzfall h → 0 einer Irrfahrt uber Gitter der Schrittweite h
• Invarianz unter konformen Abbildungen
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3 WARUM KEIN MONTE-CARLO-VERFAHREN?
Methode 1: Walk on Spheres (Brown/Muller 1956)
Rechteck N p
1× 1 107 4.9978 · 10−1
108 4.9998 · 10−1
√3× 1 107 1.6673 · 10−1
108 1.6665 · 10−1
10× 1 107 2 · 10−7
108 4.1 · 10−7
• 1 Durchlauf realisiert Zufallsvariable X mit E(X) = p
• N Durchlaufe realisieren SN = 1N
∑nk=1 Xk
• mittlerer quadratischer Fehler E(|SN − p|2) = N−1σ2(X) ≈ N−1
Fazit: 10 Ziffern erfordern N ≈ 1033
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 6
3 WARUM KEIN MONTE-CARLO-VERFAHREN?
Frage: Gibt es einen geeigneteren Prozess X fur das Monte-Carlo-Verfahren?
Wohl kaum:
10 Ziffern bei N ≈ 6 · 1010 Durchlaufen erfordern Varianz
σ(X) ≈ 10−11.
Das ware verkapptes deterministisches Verfahren.
Monte Carlo is an extremely bad method; it should be used only when allalternative methods are worse.
— Alan Sokal 1996
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 7
4 DETERMINISTISCHE FORMULIERUNG
Approximation durch Irrfahrt auf Gitter
10.2. Making it Deterministic 5
h
Figure 10.3. Approximating Brownian motion with a simple random walk
absorbing. The particle simply stops or ceases to exist at the boundary.Sometimes in mathematics a problem becomes easier if we try to solve for
more. Here, we try to determine the probability uh(x, y) that a particle startingat an arbitrary lattice point (x, y) ∈ R ∩ Lh—not just the center (0, 0) of therectangle—reaches Γ1.
Since the probability that the particle reaches Γ1 from the point (x, y) can beexpressed in terms of the probability that it moves to any of its nearest neighborsand reaches Γ1 from there, we obtain the partial difference equation
uh(x, y) =1
4
(uh(x + h, y) + uh(x− h, y) + uh(x, y + h) + uh(x, y − h)
)
with the absorbing boundary conditions uh|Γ1= 1, uh|Γ0
= 0. Problem 10 is solvedby the limit p = limh→0 uh(0, 0). The difference equation can be recast as a linearequation in R(2n−1)(20n−1); in §10.3 on numerical methods we will essentially solveit for several small values of n and extrapolate to the limit n →∞.
However, the limit is also accessible to analytical methods. Actually, thedifference equation is quite familiar, as we can see by writing it in the equivalentform
uh(x + h, y)− 2uh(x, y) + uh(x− h, y)
h2
+uh(x, y + h)− 2uh(x, y) + uh(x, y − h)
h2= 0.
We recognize the well-known five-point discretization of Laplace’s equation
∆u(x, y) =∂2
∂x2u(x, y) +
∂2
∂y2u(x, y) = 0 on R
with the Dirichlet boundary conditions u|Γ1= 1, u|Γ0
= 0. As we will see in §10.3,the discretization converges pointwise, uh(0, 0) → u(0, 0); hence we have p = u(0, 0).
Such boundary-value problems have been extensively studied in the literatureon potential theory in the plane, cf. [Hen86, §15.5][Neh52, §I.10]. Let Ω ⊂ R2 be abounded domain and let the boundary be the disjoint union
∂Ω = Γ0 ∪ Γ1 ∪ t1, . . . , tn,
All animals are equal...
uh(x, y) = P(Partikel in (x, y) erreicht Enden vor Seiten
)Partielle Differenzengleichung
uh(x, y) =1
4
(uh(x + h, y) + uh(x − h, y) + uh(x, y + h) + uh(x, y − h)
)Randbedingungen
uh|Enden = 1, uh|Seiten = 0
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 8
4 DETERMINISTISCHE FORMULIERUNG
Identifikation als diskrete Laplace-Gleichung
uh(x + h, y) − 2uh(x, y) + uh(x − h, y)
h2
+uh(x, y + h) − 2uh(x, y) + uh(x, y − h)
h2= 0.
Grenzubergang h → 0
∆u = 0, u|Enden = 1, u|Seiten = 0
• u heißt harmonisches Maß der Enden
• Problem 10:
Welchen Wert besitzt das harmonische Maß der Enden eines 10× 1
Rechtecks in seinem Zentrum?
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 9
5 NUMERISCHE ANALYSIS
Methode 2: Finite-Elemente-Software (FEMLAB)
Element-Typ # Knoten # Dreiecke # Freiheitsgrade p
Lagrange, quadratisch 29 153 57 344 115 649 3.8375 87966 · 10−7
Lagrange, quartisch 7 409 14 336 115 649 3.8375 87797 · 10−7
• Adaptivitat keine Hilfe hier, da ungeeignetes Fehlermaß implementiert
• hohe Konditionszahl diskrete Losung bereits weniger als 10 korrekte Ziffern
• Sprung in den Dirichlet’schen Randbedingungen u ∈ H2−ε
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 10
5 NUMERISCHE ANALYSIS
Methode 3: Finite-Differenzen mit Konvergenzbeschleunigung
Asymptotische Entwicklung (Peter Hofmann 1967)
uh(Zentrum) = u(Zentrum) +
m−1∑k=1
ekh2k + O(h2m)
Richardson Extrapolation mit Fehlerschatzung a la ODEs
• a posteriori Beurteilung linearer Loser Cholesky besser als FFT
• Extrapolation der Gitter: 159× 15, 199× 19, 239× 23, 279× 27, 319× 31
• FD-Losung auf 319× 31 Gitter: nur 2 korrekte Ziffern
• extrapolierte Losung
p ≈ 3.8375 87979 25075 · 10−7
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6 REELLE ANALYSIS
Methode 4: Separation der Variablen
u(x, y) =
∞∑k=0
vk(x) ·wk(y), v ′′k/vk = −w ′′k/wk = λk Eigenwert
• Nullrandbedingung fur wk ⇒ trigonometrische Funktion
• vk Hyperbelfunktion
Losung
p =4
π
∞∑k=0
(−1)k
2k + 1sech((2k + 1)πρ/2), ρ = Seitenverhaltnis
p|ρ=10 ≈ 4π sech(5π) auf 14 Dezimalstellen
[It] is of very limited utility but when it works it is very informative.
— Jeffrey Rauch 1991
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 12
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Begegnung mit Cauchy
Eine bemerkenswerte Formel
p|ρ=a/b + p|ρ=b/a = 1
∞∑
k=0
(−1)k
2k + 1sech
((2k+1)πρ−1/2
)=
π
4−
∞∑k=0
(−1)k
2k + 1sech
((2k+1)πρ/2
)A.-L. Cauchy, Sur quelques propositions fondamentales du calcul des residus, 1827
Beweismethode: Residuensatz angewendet auf π sech(πz) sech(πρz)/z
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 13
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Residuensatz angewendet auf
π csc(πz) csc(πeiπ/3z)/z6m+1
liefert
und damit eine unerwartete Losung fur das√
3× 1 Rechteck
∞∑k=0
(−1)k
2k + 1sech
((2k + 1)π
√3/2
)=
π
24 p|ρ=
√3 =
1
6
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 14
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Geometrische Funktionentheorie
Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 15
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Geometrische Funktionentheorie
Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 15
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Geometrische Funktionentheorie
Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 15
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Geometrische Funktionentheorie
Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 15
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Geometrische Funktionentheorie
Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 15
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Geometrische Funktionentheorie
Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)
1/3
1/12
1/3
1/12 1/121/12
1/12
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7 KOMPLEXE ANALYSIS
Geometrische Funktionentheorie
Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)
1/3
1/12
1/3
1/12 1/121/12
1/12
1/12
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 15
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Geometrische Funktionentheorie
Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)
1/3
1/12
1/3
1/12 1/121/12
1/12
1/12
p|ρ=√
3 = 16
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7 KOMPLEXE ANALYSIS
Methode 5: Konforme Abbildungen16 Chapter 10. Hitting the Ends
<z
=z
φ
A′
B′
C′
D′
<w
=w
A B
!
C
"
D
w = f(z)
Figure 10.4. Symmetry preserving conformal mapping f : D → R
imaginary axis are the axes of symmetry. The vertices of the rectangle are thengiven by
(A,B,C,D) = (a + ib,−a + ib,−a− ib, a− ib).
By the Riemann mapping theorem [Hen74, Cor. 5.10c] and the reflection principleof Riemann and Schwarz [Hen74, Thm. 5.11b], there is a conformal one-one mapf : D → R that respects the symmetries, cf. Fig 10.4,
f(−z) = −f(z), f(z) = f(z). (10.12)
In particular we have f(0) = 0: the center of the rectangle is the image of thecenter of the disk. By the Osgood-Caratheodory theorem [Hen86, Thm. 16.3a] theconformal mapping f extends as a homeomorphism of the closure of D onto theclosure of R. The preimages of (A,B,C,D) are therefore
(A′, B′, C ′, D′) =(
eiφ/2,−e−iφ/2,−eiφ/2, e−iφ/2)
for some angle 0 < φ < π. By taking Γ1 as the union of the arc from B′ to C ′
and the arc from D′ to A′, Lemma 10.2 and the invariance of the value p of theharmonic measure at the center show that
φ = p π.
The conformal transformation f is explicitly given by the Schwarz-Christoffel for-mula [Hen86, Eq. (16.10-1)],
f(z) = 2c
∫ z
0
dζ√
(1− e−ipπ/2ζ)(1 + eipπ/2ζ)(1 + e−ipπ/2ζ)(1− eipπ/2ζ)
= 2c
∫ z
0
dζ√
(1− e−ipπζ2)(1− eipπζ2).
• Schwarz’sches Spiegelungsprinzip Erhalt der Symmetrien
• Schwarz-Christoffel Abbildung f : z 7→ w
• Parameterproblem φ
Losung von Problem 10:p = φ/π
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 16
7 KOMPLEXE ANALYSIS
Numerische Schwarz-Christoffel Abbildungen
Schwarz-Christoffel Toolbox fur MATLAB (Toby Driscoll 1996)
>> pol = polygon([10+i -10+i -10-i 10-i]);
>> f = center(diskmap(pol,scmapopt(’Tolerance’,1e-11)),0);
Warning: Nonlinear equations solver did not terminate normally.
Warning: Check solution.
Numerische Schwierigkeit: crowding der Urbilder (prevertices)
>> f = center(crdiskmap(pol,scmapopt(’Tolerance’,1e-11’)),0);
>> prevert = get(diskmap(f),’prevertex’);
>> p = angle(prevert(1))/pi
p = 3.837587979278246e-007
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7 KOMPLEXE ANALYSIS
Analytische Auswertung der Schwarz-Christoffel Abbildung16 Chapter 10. Hitting the Ends
<z
=z
φ
A′
B′
C′
D′
<w
=w
A B
!
C
"
D
w = f(z)
Figure 10.4. Symmetry preserving conformal mapping f : D → R
imaginary axis are the axes of symmetry. The vertices of the rectangle are thengiven by
(A,B,C,D) = (a + ib,−a + ib,−a− ib, a− ib).
By the Riemann mapping theorem [Hen74, Cor. 5.10c] and the reflection principleof Riemann and Schwarz [Hen74, Thm. 5.11b], there is a conformal one-one mapf : D → R that respects the symmetries, cf. Fig 10.4,
f(−z) = −f(z), f(z) = f(z). (10.12)
In particular we have f(0) = 0: the center of the rectangle is the image of thecenter of the disk. By the Osgood-Caratheodory theorem [Hen86, Thm. 16.3a] theconformal mapping f extends as a homeomorphism of the closure of D onto theclosure of R. The preimages of (A,B,C,D) are therefore
(A′, B′, C ′, D′) =(
eiφ/2,−e−iφ/2,−eiφ/2, e−iφ/2)
for some angle 0 < φ < π. By taking Γ1 as the union of the arc from B′ to C ′
and the arc from D′ to A′, Lemma 10.2 and the invariance of the value p of theharmonic measure at the center show that
φ = p π.
The conformal transformation f is explicitly given by the Schwarz-Christoffel for-mula [Hen86, Eq. (16.10-1)],
f(z) = 2c
∫ z
0
dζ√
(1− e−ipπ/2ζ)(1 + eipπ/2ζ)(1 + e−ipπ/2ζ)(1− eipπ/2ζ)
= 2c
∫ z
0
dζ√
(1− e−ipπζ2)(1− eipπζ2).
Schwarz-Christoffel Formel
f(z) = c
∫z
0
dζ√(1 − e−ipπζ2)(1 − eipπζ2)
ausgewertet in z = A ′:
a + ib = c eipπ/2
∫1
0
dt√(1 − t2)(1 − e2ipπt2)
= 2c eipπ/2 K(eipπ)
K(k) vollstandiges elliptische Integral erster Gattung
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8 THEORIE ELLIPTISCHER FUNKTIONEN
Trennung von Real- und Imaginarteil reelle transzendente Gleichung
ρ =a
b=
K ′(sin(pπ/2))
K(sin(pπ/2))
0 1 5 10 1210
−8
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
1/2
1/6
√3
aspect ratio ρ
pro
bab
ility
p
p|ρ=10
p8e−π ρ/2/π
Elliptic Functionology
• τ = iK ′(k)/K(k) Weierstraß’sches Periodenverhaltnis
• k2 = λ(τ) Legendre’sche elliptische Modulfunktion
Methode 6: Modulfunktion
p =2
πarcsin
√λ(iρ)
MATHEMATICA
In[1]:= N2ΠArcSinModularLambda10,100
Out[1]= 3.8375879792512261034071331862048391007930055940725095
69030022799173436606852743276500842845647269910 107
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 19
8 THEORIE ELLIPTISCHER FUNKTIONEN
Begegnung mit Jacobi
Vergleich zweier Losungen fur Problem 10
arcsin k = 2
∞∑n=0
(−1)n
2n + 1sech
((2n + 1)πρ/2
)=
∞∑n=0
(−1)n 4 qn+1/2
(2n + 1)(1 + q2n+1)
mit q = eiπτ = e−πρ
C.G.J. Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionem ellipticarum, 1829
14
arcsin k =
∞∑n=0
(−1)n arctan qn+1/2
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 20
9 THEORIE SINGULARER MODULN
Singulare Moduln (Abel 1828, Kronecker 1857)
τ =√
−n, n ∈ N ⇒ Periodengitter besitzt komplexe Multiplikation⇒ Modul kn ist durch Radikale ausdruckbar
•”
Kroneckers Jugendtraum“
Charakterisierung abelscher Erweiterungen von Zahlkorpern
• Klassenkorpertheorie (Weber 1889, Hilbert 1897, Furtwangler 1907)
Q(kn) ist Ringklassenkorper der Ordnung O = [1,√
−n] in Q(√
−n)
• Modulargleichung Minimalpolynom von kn
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 21
9 THEORIE SINGULARER MODULN
Methode 7: Berechnung von k100
•√
n× 1 Rechteck
p =2
πarcsin kn
• Beispiele
k1 = sin(π/4) = 1/√
2, k3 = sin(π/12) = (√
3 − 1)/√
8
Was ist k100? Begegnung mit Weber
H. Weber, Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen, 1891
Weber’sche Klasseninvariante f1(√
−n) =6√
2 12√
k ′2n /kn
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 22
9 THEORIE SINGULARER MODULN
Modulargleichung zweiter Ordnung k4n = (1 − k ′n)/(1 + k ′
n)
Borwein/Borwein 1987
k25 = (√
5 − 2)(3 − 2 · 51/4)/√
2 k100 =
√2 − (
√5 − 2)(3 + 2 · 51/4)√
2 + (√
5 − 2)(3 + 2 · 51/4)
Ein Anfangerfehler...
Aus der E-Mail eines Kollegen
Eine Frage zu Deiner geschlossenen Formel. Maple sagt mir, dass diese
Formel zwar auf 3 Stellen stimmt, aber nicht exakt ist. Ist das nur ein
Tippfehler, oder steckt mehr dahinter?
In der Tat, statt p.= 3.83758797925 10−7
> evalf(2*arcsin((sqrt(2)-(sqrt(5)-2)*(3+2*5 (1/4)))/
(sqrt(2)+(sqrt(5)-2)*(3+2*5 (1/4))))/Pi);
3.844352992 10−7
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 23
9 THEORIE SINGULARER MODULN
Der Fehler: Ausloschung fuhrender Ziffern
Subtraktion zweier Zahlen ≈ 100 mit Ergebnis ≈ 10−7 ⇒ Verlust von 7 Ziffern
> Digits:=17:
> evalf(2*arcsin((sqrt(2)-(sqrt(5)-2)*(3+2*5 (1/4)))/
(sqrt(2)+(sqrt(5)-2)*(3+2*5 (1/4))))/Pi);
3.8375879790549810 10−7
Maxims about Numerical Mathematics and Life On Earth
#17: Just because there’s an exact formula doesn’t mean it’s necessarily a goodidea to use it.
— Nick Trefethen 1997
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 24
9 THEORIE SINGULARER MODULN
Begegnung mit Ramanujan: eine weitere Herausforderung
aus dem Brief Ramanujans an Hardy vom 27. 2. 1913
k210 =
(√
2−1)2(2−√
3)(√
7−√
6)2(8−3√
7)(√
10−3)2(4−√
15)2(√
15−√
14)(6−√
35)
...one of the most striking of Ramanujan’s results.
— G. H. Hardy 1940
• Weber 1891:
• Beweis durch Watson 1931
Findet sich eine derartige Formel fur k100?
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 25
9 THEORIE SINGULARER MODULN
Aus Ramanujans erstem Notizbuch (Berndt 1997)
k4n =
(√G12
n + 1 −
√G12
n
)2 (√G12
n −
√G12
n − 1
)2
, Gn = (2knk ′n)−1/12
Mit etwas Inspiration (Namagiri?) und G25 = (1 +√
5)/2 (Weber 1891)
k100 = (3 − 2√
2)2 (2 +√
5)2 (√
10 − 3)2 (51/4 −√
2 )4
In fact, there are so many relations present that when someone finds a newidentity, not many people get excited about it any more, except the discoverer.
— Don Knuth 1997
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 26
10 EXPERIMENTELLE MATHEMATIK
Ein experimenteller Zugang zu k100 mit Mathematica (B./Borwein ’05)
(a) Minimalpolynom aus 50 Ziffern mittels PSLQ-AlgorithmNumberTheory`Recognize`
k100SqrtNumerical N ModularLambda 10 1 4, 50 ;
p Recognize k100SqrtNumerical, 12, t
1 1288 t 20 t2
1288 t3
26 t4
1288 t5
20 t6
1288 t7
t8
(b) Zerfallung uber Q[√
2, 51/4]
k100 k100SqrtRadical Factor p, Extension 2 , 51 4 3 . t 0
k100 161 114 2 108 51 4
76 2 51 4
72 5 48 53 4
34 2 53 4
51 10
(c) Factorisierung in algebraische Einheiten (intelligentes Rates)
k100SqrtRadicalFactored a1 a2 2 a3 5 a4 10 a5 2 51 42
;
k100
k100SqrtRadicalFactored . First Solve # 0 & Coefficient Expand
k100SqrtRadicalFactored k100SqrtRadical . 2 51 4 u1,
2 53 4 u2, 2 u3, 5 u4, 51 4 u5, 53 4 u6, 10 u7 ,
Table ui, i, 7 , Table ai, i, 5 Simplify2
k100 3 2 22
2 51 4
4
2 52
3 102
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 27
AUSBLICK
Anwendbarkeit der Methoden auf allgemeinere Probleme
Methode Genauigkeit Off-Center 2D-Polygon nD-Quader
1 Monte Carlo ! ! !!
2 FEM ! ! !
3 FD mit Extrapolation ⊕ ! % !
4 Separation ⊕⊕ ! % !
5 Konforme Abbildung ⊕ ! ! %
6 Elliptische Integrale ⊕⊕ ! % %
7 Singulare Moduln ∞ % % %
— Mao Zedong 1956
BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 28