Begegnungen eines Numerikers - WebHome · 1 THE SIAM 100-DIGIT CHALLENGE Reaktionen VORHER IN DER...

TECHNISCHE UNIVERSITAT MUNCHEN ZENTRUM MATHEMATIK

Begegnungen eines NumerikersVon Monte Carlo zu Ramanujan

p =2

πarcsin

((3 − 2

√2)2(2 +

√5)2(

√10 − 3)2(51/4 −

√2 )4

)

Aus dem Kapitel 10 des Buchs

The SIAM 100-Digit Challenge —A Study in High-Accuracy Numerical Computing

Folkmar Bornemann (D), Dirk Laurie (ZA)Stan Wagon (USA), Jorg Waldvogel (CH)

BEGEGNUNGEN EINES NUMERIKERS PROF. DR. FOLKMAR BORNEMANN 1

Folkmar

Folkmar

Folkmar

Folkmar

1 THE SIAM 100-DIGIT CHALLENGE

Vorgeschichte: 100 Dollar fur 100 Ziffern

Die Herausforderung (SIAM News, Januar 2002)

• zehn kurze Aufgaben

• Antwort jeweils eine reelle Zahl

• ein Punkt je korrekte Dezimalstelle, maximal zehn pro Aufgabe

Die Spielregeln

• maximal sechs Leute pro Team

• alle Hilfsmittel zulassig

• vier Monate Zeit

They’re hard! If anyone gets 50 digits in total, I will be impressed.

— Nick Trefethen


Folkmar


Teilnehmer

• 94 Teams aus 25 Landern

Gewinner

• 20 Teams mit voller Punktzahl (D, A, CH, NL, GB, USA, CAN, AUS, ZA)

– Team von Wolfram Research (MATHEMATICA)

– Gaston Gonnet (ETH, Grunder von Maple)

– drei Teams aus Deutschland (2 × Chemnitz, 1× Munchen)


Folkmar


Reaktionen

VORHER IN DER ART

Whatever the details of the matter, it finds me too absorbed by numerousoccupations for me to be able to devote my attention to it immediately.

— John Wallis 1657 zu einer Herausforderung durch Pierre de Fermat

NACHHER

Herzlichen Gluckwunsch zu den 100 Punkten! Finde das ehrenvoller als dien + 1. Publikation (auch angesichts der Aufgaben).

— aus der Gratulation eines Kollegen


Folkmar

2 DAS ZEHNTE PROBLEM: BROWN’SCHE BEWEGUNG

Problem 10

A particle at the center of a 10 x 1 rectangle undergoes Brownian

motion till it hits the boundary. What is the probability that

it hits at one of the ends rather than at one of the sides?

Was sollten wir uber Brown’sche Bewegungen wissen?

• Isotropie

• Grenzfall h → 0 einer Irrfahrt uber Gitter der Schrittweite h

• Invarianz unter konformen Abbildungen


Folkmar

3 WARUM KEIN MONTE-CARLO-VERFAHREN?

Methode 1: Walk on Spheres (Brown/Muller 1956)

Rechteck N p

1× 1 107 4.9978 · 10−1

108 4.9998 · 10−1

√3× 1 107 1.6673 · 10−1

108 1.6665 · 10−1

10× 1 107 2 · 10−7

108 4.1 · 10−7

• 1 Durchlauf realisiert Zufallsvariable X mit E(X) = p

• N Durchlaufe realisieren SN = 1N

∑nk=1 Xk

• mittlerer quadratischer Fehler E(|SN − p|2) = N−1σ2(X) ≈ N−1

Fazit: 10 Ziffern erfordern N ≈ 1033


3 WARUM KEIN MONTE-CARLO-VERFAHREN?

Frage: Gibt es einen geeigneteren Prozess X fur das Monte-Carlo-Verfahren?

Wohl kaum:

10 Ziffern bei N ≈ 6 · 1010 Durchlaufen erfordern Varianz

σ(X) ≈ 10−11.

Das ware verkapptes deterministisches Verfahren.

Monte Carlo is an extremely bad method; it should be used only when allalternative methods are worse.

— Alan Sokal 1996


Folkmar

4 DETERMINISTISCHE FORMULIERUNG

Approximation durch Irrfahrt auf Gitter

10.2. Making it Deterministic 5

h

Figure 10.3. Approximating Brownian motion with a simple random walk

absorbing. The particle simply stops or ceases to exist at the boundary.Sometimes in mathematics a problem becomes easier if we try to solve for

more. Here, we try to determine the probability uh(x, y) that a particle startingat an arbitrary lattice point (x, y) ∈ R ∩ Lh—not just the center (0, 0) of therectangle—reaches Γ1.

Since the probability that the particle reaches Γ1 from the point (x, y) can beexpressed in terms of the probability that it moves to any of its nearest neighborsand reaches Γ1 from there, we obtain the partial difference equation

uh(x, y) =1

4

(uh(x + h, y) + uh(x− h, y) + uh(x, y + h) + uh(x, y − h)

)

with the absorbing boundary conditions uh|Γ1= 1, uh|Γ0

= 0. Problem 10 is solvedby the limit p = limh→0 uh(0, 0). The difference equation can be recast as a linearequation in R(2n−1)(20n−1); in §10.3 on numerical methods we will essentially solveit for several small values of n and extrapolate to the limit n →∞.

However, the limit is also accessible to analytical methods. Actually, thedifference equation is quite familiar, as we can see by writing it in the equivalentform

uh(x + h, y)− 2uh(x, y) + uh(x− h, y)

h2

+uh(x, y + h)− 2uh(x, y) + uh(x, y − h)

h2= 0.

We recognize the well-known five-point discretization of Laplace’s equation

∆u(x, y) =∂2

∂x2u(x, y) +

∂2

∂y2u(x, y) = 0 on R

with the Dirichlet boundary conditions u|Γ1= 1, u|Γ0

= 0. As we will see in §10.3,the discretization converges pointwise, uh(0, 0) → u(0, 0); hence we have p = u(0, 0).

Such boundary-value problems have been extensively studied in the literatureon potential theory in the plane, cf. [Hen86, §15.5][Neh52, §I.10]. Let Ω ⊂ R2 be abounded domain and let the boundary be the disjoint union

∂Ω = Γ0 ∪ Γ1 ∪ t1, . . . , tn,

All animals are equal...

uh(x, y) = P(Partikel in (x, y) erreicht Enden vor Seiten

)Partielle Differenzengleichung

uh(x, y) =1

4

(uh(x + h, y) + uh(x − h, y) + uh(x, y + h) + uh(x, y − h)

)Randbedingungen

uh|Enden = 1, uh|Seiten = 0


Bornemann

4 DETERMINISTISCHE FORMULIERUNG

Identifikation als diskrete Laplace-Gleichung

uh(x + h, y) − 2uh(x, y) + uh(x − h, y)

h2

+uh(x, y + h) − 2uh(x, y) + uh(x, y − h)

h2= 0.

Grenzubergang h → 0

∆u = 0, u|Enden = 1, u|Seiten = 0

• u heißt harmonisches Maß der Enden

• Problem 10:

Welchen Wert besitzt das harmonische Maß der Enden eines 10× 1

Rechtecks in seinem Zentrum?


Folkmar

5 NUMERISCHE ANALYSIS

Methode 2: Finite-Elemente-Software (FEMLAB)

Element-Typ # Knoten # Dreiecke # Freiheitsgrade p

Lagrange, quadratisch 29 153 57 344 115 649 3.8375 87966 · 10−7

Lagrange, quartisch 7 409 14 336 115 649 3.8375 87797 · 10−7

• Adaptivitat keine Hilfe hier, da ungeeignetes Fehlermaß implementiert

• hohe Konditionszahl diskrete Losung bereits weniger als 10 korrekte Ziffern

• Sprung in den Dirichlet’schen Randbedingungen u ∈ H2−ε


Folkmar

Folkmar

5 NUMERISCHE ANALYSIS

Methode 3: Finite-Differenzen mit Konvergenzbeschleunigung

Asymptotische Entwicklung (Peter Hofmann 1967)

uh(Zentrum) = u(Zentrum) +

m−1∑k=1

ekh2k + O(h2m)

Richardson Extrapolation mit Fehlerschatzung a la ODEs

• a posteriori Beurteilung linearer Loser Cholesky besser als FFT

• Extrapolation der Gitter: 159× 15, 199× 19, 239× 23, 279× 27, 319× 31

• FD-Losung auf 319× 31 Gitter: nur 2 korrekte Ziffern

• extrapolierte Losung

p ≈ 3.8375 87979 25075 · 10−7


Bornemann

Bornemann

Bornemann

6 REELLE ANALYSIS

Methode 4: Separation der Variablen

u(x, y) =

∞∑k=0

vk(x) ·wk(y), v ′′k/vk = −w ′′k/wk = λk Eigenwert

• Nullrandbedingung fur wk ⇒ trigonometrische Funktion

• vk Hyperbelfunktion

Losung

p =4

π

∞∑k=0

(−1)k

2k + 1sech((2k + 1)πρ/2), ρ = Seitenverhaltnis

p|ρ=10 ≈ 4π sech(5π) auf 14 Dezimalstellen

[It] is of very limited utility but when it works it is very informative.

— Jeffrey Rauch 1991


Bornemann

Bornemann

Bornemann

7 KOMPLEXE ANALYSIS

Begegnung mit Cauchy

Eine bemerkenswerte Formel

p|ρ=a/b + p|ρ=b/a = 1

∞∑

k=0

(−1)k

2k + 1sech

((2k+1)πρ−1/2

)=

π

4−

∞∑k=0

(−1)k

2k + 1sech

((2k+1)πρ/2

)A.-L. Cauchy, Sur quelques propositions fondamentales du calcul des residus, 1827

Beweismethode: Residuensatz angewendet auf π sech(πz) sech(πρz)/z


Bornemann

7 KOMPLEXE ANALYSIS

Residuensatz angewendet auf

π csc(πz) csc(πeiπ/3z)/z6m+1

liefert

und damit eine unerwartete Losung fur das√

3× 1 Rechteck

∞∑k=0

(−1)k

2k + 1sech

((2k + 1)π

√3/2

)=

π

24 p|ρ=

√3 =

1

6


7 KOMPLEXE ANALYSIS

Geometrische Funktionentheorie

Beweis ohne Formeln ( Joseph Hersch 1982)


7 KOMPLEXE ANALYSIS



1/3

1/12

1/3

1/12 1/121/12

1/12


7 KOMPLEXE ANALYSIS



1/3

1/12

1/3

1/12 1/121/12

1/12

1/12


7 KOMPLEXE ANALYSIS



1/3

1/12

1/3

1/12 1/121/12

1/12

1/12

p|ρ=√

3 = 16


Folkmar Bornemann

7 KOMPLEXE ANALYSIS

Methode 5: Konforme Abbildungen16 Chapter 10. Hitting the Ends

<z

=z

φ

A′

B′

C′

D′

<w

=w

A B

!

C

"

D

w = f(z)

Figure 10.4. Symmetry preserving conformal mapping f : D → R

imaginary axis are the axes of symmetry. The vertices of the rectangle are thengiven by

(A,B,C,D) = (a + ib,−a + ib,−a− ib, a− ib).

By the Riemann mapping theorem [Hen74, Cor. 5.10c] and the reflection principleof Riemann and Schwarz [Hen74, Thm. 5.11b], there is a conformal one-one mapf : D → R that respects the symmetries, cf. Fig 10.4,

f(−z) = −f(z), f(z) = f(z). (10.12)

In particular we have f(0) = 0: the center of the rectangle is the image of thecenter of the disk. By the Osgood-Caratheodory theorem [Hen86, Thm. 16.3a] theconformal mapping f extends as a homeomorphism of the closure of D onto theclosure of R. The preimages of (A,B,C,D) are therefore

(A′, B′, C ′, D′) =(

eiφ/2,−e−iφ/2,−eiφ/2, e−iφ/2)

for some angle 0 < φ < π. By taking Γ1 as the union of the arc from B′ to C ′

and the arc from D′ to A′, Lemma 10.2 and the invariance of the value p of theharmonic measure at the center show that

φ = p π.

The conformal transformation f is explicitly given by the Schwarz-Christoffel for-mula [Hen86, Eq. (16.10-1)],

f(z) = 2c

∫ z

0

dζ√

(1− e−ipπ/2ζ)(1 + eipπ/2ζ)(1 + e−ipπ/2ζ)(1− eipπ/2ζ)

= 2c

∫ z

0

dζ√

(1− e−ipπζ2)(1− eipπζ2).

• Schwarz’sches Spiegelungsprinzip Erhalt der Symmetrien

• Schwarz-Christoffel Abbildung f : z 7→ w

• Parameterproblem φ

Losung von Problem 10:p = φ/π


Bornemann

7 KOMPLEXE ANALYSIS

Numerische Schwarz-Christoffel Abbildungen

Schwarz-Christoffel Toolbox fur MATLAB (Toby Driscoll 1996)

>> pol = polygon([10+i -10+i -10-i 10-i]);

>> f = center(diskmap(pol,scmapopt(’Tolerance’,1e-11)),0);

Warning: Nonlinear equations solver did not terminate normally.

Warning: Check solution.

Numerische Schwierigkeit: crowding der Urbilder (prevertices)

>> f = center(crdiskmap(pol,scmapopt(’Tolerance’,1e-11’)),0);

>> prevert = get(diskmap(f),’prevertex’);

>> p = angle(prevert(1))/pi

p = 3.837587979278246e-007


Bornemann

Bornemann

Bornemann

Bornemann

Bornemann

Bornemann

7 KOMPLEXE ANALYSIS

Analytische Auswertung der Schwarz-Christoffel Abbildung16 Chapter 10. Hitting the Ends

<z

=z

φ

A′

B′

C′

D′

<w

=w

A B

!

C

"

D

w = f(z)

Figure 10.4. Symmetry preserving conformal mapping f : D → R

imaginary axis are the axes of symmetry. The vertices of the rectangle are thengiven by

(A,B,C,D) = (a + ib,−a + ib,−a− ib, a− ib).

By the Riemann mapping theorem [Hen74, Cor. 5.10c] and the reflection principleof Riemann and Schwarz [Hen74, Thm. 5.11b], there is a conformal one-one mapf : D → R that respects the symmetries, cf. Fig 10.4,

f(−z) = −f(z), f(z) = f(z). (10.12)

In particular we have f(0) = 0: the center of the rectangle is the image of thecenter of the disk. By the Osgood-Caratheodory theorem [Hen86, Thm. 16.3a] theconformal mapping f extends as a homeomorphism of the closure of D onto theclosure of R. The preimages of (A,B,C,D) are therefore

(A′, B′, C ′, D′) =(

eiφ/2,−e−iφ/2,−eiφ/2, e−iφ/2)

for some angle 0 < φ < π. By taking Γ1 as the union of the arc from B′ to C ′

and the arc from D′ to A′, Lemma 10.2 and the invariance of the value p of theharmonic measure at the center show that

φ = p π.

The conformal transformation f is explicitly given by the Schwarz-Christoffel for-mula [Hen86, Eq. (16.10-1)],

f(z) = 2c

∫ z

0

dζ√

(1− e−ipπ/2ζ)(1 + eipπ/2ζ)(1 + e−ipπ/2ζ)(1− eipπ/2ζ)

= 2c

∫ z

0

dζ√

(1− e−ipπζ2)(1− eipπζ2).

Schwarz-Christoffel Formel

f(z) = c

∫z

0

dζ√(1 − e−ipπζ2)(1 − eipπζ2)

ausgewertet in z = A ′:

a + ib = c eipπ/2

∫1

0

dt√(1 − t2)(1 − e2ipπt2)

= 2c eipπ/2 K(eipπ)

K(k) vollstandiges elliptische Integral erster Gattung


Bornemann

Bornemann

Bornemann

8 THEORIE ELLIPTISCHER FUNKTIONEN

Trennung von Real- und Imaginarteil reelle transzendente Gleichung

ρ =a

b=

K ′(sin(pπ/2))

K(sin(pπ/2))

0 1 5 10 1210

−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

1/2

1/6

√3

aspect ratio ρ

pro

bab

ility

p

p|ρ=10

p8e−π ρ/2/π

Elliptic Functionology

• τ = iK ′(k)/K(k) Weierstraß’sches Periodenverhaltnis

• k2 = λ(τ) Legendre’sche elliptische Modulfunktion

Methode 6: Modulfunktion

p =2

πarcsin

√λ(iρ)

MATHEMATICA

In[1]:= N2ΠArcSinModularLambda10,100

Out[1]= 3.8375879792512261034071331862048391007930055940725095

69030022799173436606852743276500842845647269910 107


Bornemann

Bornemann

8 THEORIE ELLIPTISCHER FUNKTIONEN

Begegnung mit Jacobi

Vergleich zweier Losungen fur Problem 10

arcsin k = 2

∞∑n=0

(−1)n

2n + 1sech

((2n + 1)πρ/2

)=

∞∑n=0

(−1)n 4 qn+1/2

(2n + 1)(1 + q2n+1)

mit q = eiπτ = e−πρ

C.G.J. Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionem ellipticarum, 1829

14

arcsin k =

∞∑n=0

(−1)n arctan qn+1/2


Bornemann

9 THEORIE SINGULARER MODULN

Singulare Moduln (Abel 1828, Kronecker 1857)

τ =√

−n, n ∈ N ⇒ Periodengitter besitzt komplexe Multiplikation⇒ Modul kn ist durch Radikale ausdruckbar

•”

Kroneckers Jugendtraum“

Charakterisierung abelscher Erweiterungen von Zahlkorpern

• Klassenkorpertheorie (Weber 1889, Hilbert 1897, Furtwangler 1907)

Q(kn) ist Ringklassenkorper der Ordnung O = [1,√

−n] in Q(√

−n)

• Modulargleichung Minimalpolynom von kn


Folkmar


Methode 7: Berechnung von k100

•√

n× 1 Rechteck

p =2

πarcsin kn

• Beispiele

k1 = sin(π/4) = 1/√

2, k3 = sin(π/12) = (√

3 − 1)/√

8

Was ist k100? Begegnung mit Weber

H. Weber, Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen, 1891

Weber’sche Klasseninvariante f1(√

−n) =6√

2 12√

k ′2n /kn


Folkmar

Folkmar


Modulargleichung zweiter Ordnung k4n = (1 − k ′n)/(1 + k ′

n)

Borwein/Borwein 1987

k25 = (√

5 − 2)(3 − 2 · 51/4)/√

2 k100 =

√2 − (

√5 − 2)(3 + 2 · 51/4)√

2 + (√

5 − 2)(3 + 2 · 51/4)

Ein Anfangerfehler...

Aus der E-Mail eines Kollegen

Eine Frage zu Deiner geschlossenen Formel. Maple sagt mir, dass diese

Formel zwar auf 3 Stellen stimmt, aber nicht exakt ist. Ist das nur ein

Tippfehler, oder steckt mehr dahinter?

In der Tat, statt p.= 3.83758797925 10−7

> evalf(2*arcsin((sqrt(2)-(sqrt(5)-2)*(3+2*5 (1/4)))/

(sqrt(2)+(sqrt(5)-2)*(3+2*5 (1/4))))/Pi);

3.844352992 10−7


Folkmar

Folkmar

Folkmar


Der Fehler: Ausloschung fuhrender Ziffern

Subtraktion zweier Zahlen ≈ 100 mit Ergebnis ≈ 10−7 ⇒ Verlust von 7 Ziffern

> Digits:=17:

> evalf(2*arcsin((sqrt(2)-(sqrt(5)-2)*(3+2*5 (1/4)))/

(sqrt(2)+(sqrt(5)-2)*(3+2*5 (1/4))))/Pi);

3.8375879790549810 10−7

Maxims about Numerical Mathematics and Life On Earth

#17: Just because there’s an exact formula doesn’t mean it’s necessarily a goodidea to use it.

— Nick Trefethen 1997


Folkmar

Folkmar

Folkmar


Begegnung mit Ramanujan: eine weitere Herausforderung

aus dem Brief Ramanujans an Hardy vom 27. 2. 1913

k210 =

(√

2−1)2(2−√

3)(√

7−√

6)2(8−3√

7)(√

10−3)2(4−√

15)2(√

15−√

14)(6−√

35)

...one of the most striking of Ramanujan’s results.

— G. H. Hardy 1940

• Weber 1891:

• Beweis durch Watson 1931

Findet sich eine derartige Formel fur k100?


Folkmar

Folkmar


Aus Ramanujans erstem Notizbuch (Berndt 1997)

k4n =

(√G12

n + 1 −

√G12

n

)2 (√G12

n −

√G12

n − 1

)2

, Gn = (2knk ′n)−1/12

Mit etwas Inspiration (Namagiri?) und G25 = (1 +√

5)/2 (Weber 1891)

k100 = (3 − 2√

2)2 (2 +√

5)2 (√

10 − 3)2 (51/4 −√

2 )4

In fact, there are so many relations present that when someone finds a newidentity, not many people get excited about it any more, except the discoverer.

— Don Knuth 1997


Folkmar

Folkmar

10 EXPERIMENTELLE MATHEMATIK

Ein experimenteller Zugang zu k100 mit Mathematica (B./Borwein ’05)

(a) Minimalpolynom aus 50 Ziffern mittels PSLQ-AlgorithmNumberTheory`Recognize`

k100SqrtNumerical N ModularLambda 10 1 4, 50 ;

p Recognize k100SqrtNumerical, 12, t

1 1288 t 20 t2

1288 t3

26 t4

1288 t5

20 t6

1288 t7

t8

(b) Zerfallung uber Q[√

2, 51/4]

k100 k100SqrtRadical Factor p, Extension 2 , 51 4 3 . t 0

k100 161 114 2 108 51 4

76 2 51 4

72 5 48 53 4

34 2 53 4

51 10

(c) Factorisierung in algebraische Einheiten (intelligentes Rates)

k100SqrtRadicalFactored a1 a2 2 a3 5 a4 10 a5 2 51 42

;

k100

k100SqrtRadicalFactored . First Solve # 0 & Coefficient Expand

k100SqrtRadicalFactored k100SqrtRadical . 2 51 4 u1,

2 53 4 u2, 2 u3, 5 u4, 51 4 u5, 53 4 u6, 10 u7 ,

Table ui, i, 7 , Table ai, i, 5 Simplify2

k100 3 2 22

2 51 4

4

2 52

3 102


Folkmar Bornemann

Rechteck

Folkmar Bornemann

Rechteck

Folkmar Bornemann

Rechteck

AUSBLICK

Anwendbarkeit der Methoden auf allgemeinere Probleme

Methode Genauigkeit Off-Center 2D-Polygon nD-Quader

1 Monte Carlo ! ! !!

2 FEM ! ! !

3 FD mit Extrapolation ⊕ ! % !

4 Separation ⊕⊕ ! % !

5 Konforme Abbildung ⊕ ! ! %

6 Elliptische Integrale ⊕⊕ ! % %

7 Singulare Moduln ∞ % % %

— Mao Zedong 1956


Folkmar Bornemann

Begegnungen eines Numerikers - WebHome · 1 THE SIAM 100-DIGIT CHALLENGE Reaktionen VORHER IN DER...

Documents

Transcript of Begegnungen eines Numerikers - WebHome · 1 THE SIAM 100-DIGIT CHALLENGE Reaktionen VORHER IN DER...