64

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN

7.1. Fungsi Logaritma Asli

Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

Dx(x3/3) = x

2

Dx(x2/2) = x

1

Dx(x) = 1 = x0

Dx(???) = x-1

Dx(-x-1

) = x-2

Dx(-x-2

/3) = x-3

Gambar 1. Jika x > 1, ln (x) = luas dari R

Definisi: Fungsi logaritma asli

Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai

ln (x) = 0,1

1

>∫ xdtt

x

Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif

y =1/t

65

Turunan fungsi logaritma asli adalah Dx 0,1

)ln(1

1

>==∫ xx

xDdtt

x

x ,

selanjutnya 0,ln1

≠+=∫ uCuduu

Contoh 1:

Tentukanlah Dx ln(√x)

Jawab:

Misalkan u = √x = x1/2

Dx ln(√x) = x

xx 2

1

2

1.

1 2/1

2/1=−

Dengan Derive: Dif(ln(√x), x) enter, lalu lkilk tanda sama dengan

66

Contoh 2:

Carilah ∫ +dx

x 72

5

Jawab:

Misalkan u = 2x + 7 maka du = 2 dx

∫ +dx

x 72

5 = ∫ u

du

2

5

= CxCu ++=+ 72ln2

5ln

2

5

Dengan Derive: Int(72

5

+x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

67

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-4, Carilah turunan yang ditunjukkan .

1. Dx ln(x2 + 3x + π)

2. Dx ln(x – 4)2

3. dy/dx jika y = 3ln(x)

4. dz/dx jika z = x2 ln(x

2) + (ln (x))

3

5. g’(x) jika g(x) = ln( 12 ++ xx )

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang ditunjukkan.

6. ∫ +dx

x 12

1

7. ∫ +

+dv

vv

v

93

962

8. ∫ dzz

z)ln(2

9. ∫ +

3

0

5

4

2dx

x

x

π

10. ∫ ++

+1

0

2 342

1dt

tt

t

11. Andaikan f(x) = ln(1,5 + sin(x))

a. Carilah titik ekstrim pada selang [0, 3π]

b. Carilah titik balik pada selang [0, 3π]

c. Hitunglah ∫ + dxx))sin(5,1ln(

12. Gambarlah grafik f(x) = x ln(1/x) dan g(x) = x2 ln(1/x) pada [0, 1]

a. Carilah luas daerah kurva ini pada selang (0, 1]

b. Carilah nilai maksimum )()( xgxf − pada selang (0, 1]

68

7.2. Fungsi Balikan dan Turunannya

7.2.1. Fungsi Balikan Polinom

Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x dari daerah asalnya D dan

memadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R. Jika beruntung, f

dapat dibalik, yakni untuk suatu y dalam R dapat dipadankan dengan x pada D

yang dinyatakan dengan f-1

.

Misalkan y = f(x) = 2x dibalik menjadi x = f-1

(x) = y2

1

Gambar 2.

Tidak semua fungsi dapat dibalik, misalkan y = f(x) = x2 untuk nilai y

tertentu terdapat dua nilai x yang berpadanan dengannya. Fungsi ini mempunyai

invers bila D dibatasi [0, ∞] atau [-∞, 0].

f

f-1

y = 2x

69

Gambar 3.

Teorema: Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f memiliki balikan.

Contoh 3:

Perlihatkan bahwa f(x) = x5 + 2x +1 memiliki balikan.

Jawab:

F’(x) = 5x4 + 2x > 0, untuk semua x. Jadi f naik pada seluruh garis real, sehingga f

memiliki balikan.

Jika f memiliki balikan f-1

maka f-1

memiliki balikan, yakni f. Kedua fungsi

ini merupakan pasangan fungsi-fungsi balikan dan terdapat hubungan

f-1

(f(x)) = x dan f(f-1

(y)) = y

Langkah-langkah mencari fungsi invers dari suatu fungsi:

1. Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y.

2. Gunakan f-1

(y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.

3. Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus f-1

(x)

y = x2

70

Contoh 4:

Carilah f-1

(x) jika f(x) = x

x

−1 dan tunjukkan bahwa f

-1(f(x)) = x dan f(f

-1(y)) = y

Jawab:

Langkah 1: x

xy

−=

1⇒ y(1- x) = x ⇒ y - yx = x ⇒ y = x + yx

⇒y = x(1 + y) ⇒y

yx

+=

1

Langkah 2: y

yyf

+=−

1)(1

Langkah 3: x

xxf

+=−

1)(1

f-1

(f(x)) = f-1

(x

x

−1) =

x

xx

x

−+

−

11

1 = xx

x

+−1 = x dan

f(f-1

(y)) = f-1

(y

y

−1) =

y

y

y

y

−+

−

11

1 =

yy

y

+−1 = y

Dengan Derive: Inverse(x/(1-x)) enter, lalu klik tanda sama dengan

71

Tugas Kelompok:

Misalkan f(x) = x3 + 1.

1. Bagaimanakah domain f(x) agar mempunyai invers?

2. Carilah invers dari f(x), apa domainnya?.

3. Gambarlah hasil 1 dan 2 dalam satu layar, apa yang anda simpulkan?

4. Carilah turunan f(x) dan inversnya.

5. Gambarlah fungsi turunan f(x) dan inversnya dalam satu layar, apa yang anda

simpulkan?

6. Isilah tabel berikut

72

Fungsi x y (f-1

)’(y) f’(x)

f(x) = x^3

+ 1

1/2

1

2

apa yang anda simpulkan terhadap hubungan (f-1

)’(y) dan f’(x)?

7. Terapkanlah hasil pada 6, untuk contoh 1, carilah (f-1

)(4).

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-3, diperlihatkan grafik y = f(x), dalam setiap kasus apakah f

mempunyai balikan? Dan bila mempunyai balikan taksirlah f-1

(2).

1.

2.

73

Dalan soal-soal 4-6, perlihatkan bahwa f memiliki balikan dengan menunjukkan

bahwa f monoton murni.

4. f(x) = -x5 – 3x

3

5. πθθθ ≤≤= 0),cos()(f

6. 1,)1()( 2 ≥−= zzzf

Dalam soal-soal 7-10, Carilah rumus untuk f-1

(x), kemudian periksalah

kebenarannya bahwa f-1

(f(x)) = x dan f(f-1

(x)) = x.

7. f(x) = x + 1

8. 3

1)(

−−=

xxf

9. f(x) = (x – 1)3

10. 1

2)(

3

3

+

+=

x

xxf

3.

74

7.2.2. Fungsi Eksponen Asli dan balikannya

Turunan dari ex adalah Dx e

x = e

x

Contoh 5:

Tentukanlah Dx e√x

Jawab:

Misalkan u = √x = x1/2

Dx e√x

= e√x

. x

ex

x

22

1 2/1 =−

Dengan Derive: Dif(e√x

), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Definisi:

Balikan ln disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh exp.

Jadi x = exp y ⇔ y = ln x

75

Selanjutnya ∫ += Cedue uu

Contoh 6:

Tentukanlah ∫− dxe x4

Jawab:

Misalkan u = -4x maka du = -4 dx atau -1/4 du = dx

Sehingga,

∫− dxe x4 = Cedue

xu +−

=− −

∫4

4

14/1

Dengan Derive: Int(e-4x

, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

76

Tugas Kelompok:

Gambarlah f(x) = x ex/2

dan turunannya menggunakan derive

Jelaskanlah berdasarkan gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan

cekung ke bawah.

77

Soal-Soal Latihan

Dalan soal-soal 1-5, carilah Dx

1. )ln(3 xey =

2. 2+= xey

3. xexy 2=

4. 22

xx eey +=

5. )(2 implisitldiferensiagunakanxyexy =+

Dalam soal-soal 6-7, Gambarlah f , f’, dan f” dalam satu jendela, berdasarkan

gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah?

6. f(x) = xex

7. 2)2()( −−= x

exf

Dalam soal-soal 8-10, Carilah integral-integral berikut.

8. ∫+ dxe x 13

9. ∫++ dxex

xx 62

)3(

10. ∫−

dxx

ex

2

/1

11. Carilah volume benda putar yang terjadi apabila daerah yang dibatasi oleh

y = ex, y = 0, x = 0, dan x = ln(3) diputar mengelilingi sumbu-x.

12. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = e-x

dan garis yang melalui

titik-titik (0, 1) dan (1, 1/e).

78

7.2.3. Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum

Dx ax = a

x ln a, dan Ca

adxa xx +=∫ )ln(

1

Contoh 7:

Carilah Dx (3√x

)

Jawab:

Misalkan u = √x

Dx (3√x

) = 3√x

ln 3. x

xx

2

3ln3

2

1 2/1 =−

Dengan Derive: Dif(3√x

, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Definisi:

Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.

ax = e

x ln a

79

Contoh 8:

Carilah ∫ dxxx 23

2

Jawab:

Misalkan u = x3 maka du = 3x

2 dx atau 1/3 du = x

2 dx

Sehingga,

∫ dxxx 23

2 = 1/3 ∫ duu2 = Cx

+2ln3

2 3

Dengan Derive: Int( xxx ,2 23

) enter, lalu klik tanda sama dengan.

80

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-5, Carilah turunan yang dibeikan

1. Dx(62x

)

2. )3( 32 2 xx

xD−

3. 102 )(102

xyx +=

4. )ln(2 )1( xxy +=

5. f(x) = xsin(x)

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.

6. dxxx

∫2

2.

7. dxx

∫−1510

8. dxx

x

∫4

1

5

9. dxx

xx

∫−+

1

33 1010

10. dxxx

∫π4

0

)sin(

81

7.2.4. Fungsi Balikan Trigonometri

Dengan memperhatikan bahwa grafik fungsi balikan f-1

diperoleh dengan

mencerminkan f terhadap garis y = x maka pada fungsi trigonometri diperoleh

balikan sin(x), cos(x), tan(x), dan sec(x) adalah sebagai berikut.

Gambar 4. Sin(x) dan Inversnya

Gambar 5. Cos(x) dan Inversnya

y = sin(x); [2

,2

ππ−]

y = cos(x); [2

,0π

]

y = sin-1

(x); [-1, 1]

y = cos-1

(x); [-1, 1]

82

Gambar. 6. Tan(x) dan Inversnya

Gambar 7. Sec(x) dan Inversnya

y = tan(x); [2

,2

ππ−]

y = tan-1

(x); [R]

y = sec-1

(x); [R]

83

Tugas Kelompok:

1. Buatlah definisi balikan dari sin(x), cos(x), tan(x), dan sekan(x).

2. Bagaimanakah hubungan grafik fungsi tersebut dengan fungsi inversnya?

3. Bagaimanakah hubungan grafik turunan fungsi tersebut dengan turunan fungsi

inversnya?

Turunan dari fungsi balikan trigonometri:

1. Dx sin-1

(x) = 11;1

1

2<<−

−x

x

2. Dx cos-1

(x) = 11;1

1

2<<−

−x

x

3. Dx tan-1

(x) = 21

1

x+

4. Dx sec-1

(x) = 1;1

1

2>

−x

xx

Selanjutnya,

1. ∫ +=−

−Cxdx

x)(sin

1

1 1

2

2. ∫ +=−

− −Cxdx

x)(cos

1

1 1

2

3. ∫ +=+

−Cxdx

x)(tan

1

1 1

2

4. ∫ +=−

−Cxdx

xx)(sec

1

1 1

2

84

Contoh 9:

Carilah Dx sin-1

(3x-1)

Jawab:

Dx sin-1

(3x-1) = )13(.)13(1

1

2−

−−xD

xx

= 22 32

3

69

3

xxxx −=

+−

Dengan Derive: dif(Asin(3x-1),x) enter, lalu klik tanda sama dengan, hasilnya

adalah sebagai berikut.

85

Contoh 10:

Hitunglah ∫−

2/1

021 x

dx

Jawab:

6)(sin

1][

2/1

0

1

2/1

02

π==

−

−

∫ xx

dx

Dengan Derive: Int(1/√(1-x2), x , 0, 1/2 ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

86

Soal-Soal latihan

Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx

1. y = ln(sec(x) + tan(x))

2. y = sin-1

(2x2)

3. y = x3tan

-1(e

x)

4. y = (tan-1

(x))3

5. f(x) = (1+ sin-1

(x))3

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.

6. dxxx∫ )2cos()2sin(

7. dxee xx

∫ )cos( 22

8. dxx∫ + 241

1

9. dxx

∫−

2

2

021

1

10. dxx∫

−+

1

1

21

1

87

7.2.5. Fungsi Hiperbola dan Balikan

Turunan fungsi-fungsi hiperbolik:

)sinh()cosh(),cosh()sinh( xxDxxD xx ==

)(csc)coth(),(sec)tanh( 22xhxDxhxD xx −==

)coth().(csc)(csc),tanh().(sec)(sec xxhxhDxxhxhD xx −=−=

Contoh 11:

Tentukanlah Dx tanh(sin(x))

Jawab:

Dx tanh(sin(x)) = ))(sin(sec).cos())(sin()).(sin(sec 22xhxxDxh x =

Atau

Misal u = sin(x) maka Dxsin(x) = cos(x)

Definisi:

Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan empat fungsi terkait lainnya

didefinisikan oleh:

2)cosh(,

2)sinh(

xxxxee

xee

x−− +

=−

=

)sinh(

)cosh()coth(,

)cosh(

)sinh()tanh(

x

xx

x

xx ==

)sinh(

1)(csc,

)cosh(

1)(sec

xxh

xxh ==

88

Dx tanh(u) = )cos(.)(cosh

1))(sin().(sec

2

2x

uxDuh x =

= )cos(.2

4)sin(.

]2

[

122

2

xee

xee uuuu ++

=+ −−

= )cos(.)1(

.4)sin(.

.21

.422

2

24

2

xe

ex

ee

eu

u

uu

u

+=

++, (dikalikan e

2u)

= 2)sin(.2

)sin(.2

)1(

)cos(..4

+x

x

e

xe

Dengan Derive: Dif(tanh(sinx), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

89

Contoh 12:

Tentukanlah ∫ dxx)tanh(

Jawab:

Misalkan u = cosh(x) maka du = sinh dx

duu

dxx

xdxx .

1

)cosh(

)sinh()tanh( ∫ ∫∫ ==

= CxCxCu +=+=+ ))ln(cosh()cosh(lnln

Cara mencari fungsi balikan y = cosh(x), untuk x ≥ 0 adalah:

2

xxee

y−+

=

xx eey −+=⇒ 2

1)(2 2 +=⇒ xx eye , (dikalikan dengan ex)

012)( 2 =+−⇒ xx yee ,

Definisi:

Fungsi balikan fungsi hiperbolik didefinisikan oleh:

)sinh()(sinh 1 xyyx =⇔= −

0),cosh()(cosh 1 ≥=⇔= − xdanxyyx

)tanh()(tanh 1 xyyx =⇔= −

0),(sec)(sec 1 ≥=⇔= − xdanxhyyhx

90

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat dalam ex yang memenuhi untuk x ≥ 0

adalah:

12

4)2(2 2

2

−+=−+

= yyyy

ex

)1ln()ln( 2 −+= yyex , (kedua ruas ditarik ln-nya)

)1ln( 2 −+= yyx

)1ln()(cosh 21 −+=− xxx

Dengan Derive: Inverse(cosh(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.

91

Tugas Kelompok:

Tunjukkan bahwa:

1. )1ln()(cosh 21 −+=− xxx

2. )1ln()(sinh 21 ++=− xxx

3. )1

1ln(

2

1)(tanh 1

x

xx

−

+=−

4. )11

ln()(sec2

1

x

xxh

−+=−

5. Carilah Dx dari masing-masing balikan fungsi hiperbolik tersebut

Soal-Soal Latihan:

Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx

1. y = sinh2(x)

2. y = cosh(3x +1)

3. y = ln(sinh(x))

4. y = tanh(x)sinh(2x)

5. y = tanh(cot(x))

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.

6. dxx∫ + )23sinh(

7. dxxx∫ + )5cosh( 2π

8. dxz

z∫ 4 3

4/12sinh(

9. ∫ dxxx ))sinh(sin()cosh(

10. ∫ dxxx ))ln(sinh()tan( 2