Bab 6MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

Metoda Euler

growth_rate = 0.10

population(0) = 100

growth(t) = growth_rate * population(t - Δt)

population(t) = population(t - Δt) + growth(t) * Δt

growth is the derivative of the function at the previous time step, t – Δt

𝑃 𝑡 + ∆𝑡 ≈ 𝑃 𝑡 + 𝑃′(𝑡)∆𝑡

Algoritma Metoda Euler

Example

Algoritma Metoda Euler (2)

Graphs of analytical solution and Euler’s Method solution with Δt = 1

Dari 3 teknik simulasi yang dipelajari, Metoda Euler memiliki waktueksekusi paling cepat, namun paling tidak akurat.

Error dalam metoda Euler dapat direduksi dengan menggunakan Δtyang lebih kecil, namun akan memperlambat simulasi.

Metoda Runge-Kutta 2

f(tn, Pn) menotasikan dP/dt pada langkah ke-n.

Metoda Euler menggunakan f(tn-1, Pn-1), yang sama dengan gradiengaris singgung di (tn-1, Pn-1) untuk memperoleh estimasi berikut:

Akan digunakan gradien garis yang menghubungkan (tn-1, Pn-1) ke (tn, Pn), bukan gradien garis singgung di (tn-1, Pn-1).

Euler vs Runge-Kutta 2

Algoritma Runge-Kutta 2

Estimasi (8, P(8))

First Estimate

Second Estimate

Third Estimate

Fourth Estimate

Algoritma Runge-Kutta 4