Càlcul d'una variable

Repàs de trigonometria

J Llosa

Departament de Física Fonamental, UB

14 de setembre de 2012

0

Triangles rectangles

sinα =b

a, b = a sinα

cosα =c

a, c = a cosα

tgα =b

c, b = ctgα

c2 + b2 = a2 ⇒ cos2 α + sin2 α = 1 tgα =b/a

c/atgα =

sinα

cosα

Altres relacions

secα =1

cosα, cosecα =

1

sinα, cotgα =

1

tgα

Angles

1 radian: Angle per al qual

longitud d'arc = longitud radi

lcircumferencia = 2πr circumferència 2π radians

α =l

r, → l

r· 360◦

2π

Funcions trigonomètriques

Angles aguts 0 ≤ α ≤ π/2

cosα = x ,

sinα = y , x2 + y2 = 1

tgα = y/x

Altres angles

cosα := x , sinα := y ,

tgα := y/x

Periodicitat

cos(α + 2kπ) = cosα , . . .

Relacions entre angles

Angles suplementaris

cos(π − α) = − cosα ,

sin(π − α) = sinα ,

tg (π − α) = −tgα

Angles complementaris

cos(π/2− α) = sinα ,

sin(π/2− α) = cosα ,

tg (π/2− α) = cotgα

Angles oposats

cos(π + α) = − cosα ,

sin(π + α) = − sinα ,

tg (π + α) = tgα

Paritat

cos(−α) = cosα ,

sin(−α) = − sinα ,

tg (−α) = −tgα

Valors destacats

α sinα cosα tgα

0 0 1 0

π/6 1/2√

3/2 1/√

3

π/4√

2/2√

2/2 1

π/3√

3/2 1/2√

3

π/2 1 0 ∞

Raons trigonomètriques de la suma d'angles

OD = OB = 1

MA = CA′ = CB · cosα

CB = OB −OD · cos β = 1− cos β MA = (1− cos β) cosα

MN = CN ′ = CD · sinα

CD = OD · sin β = sin β MN = sinα sin β

OA = OB · cosα OA = cosα

cos(α + β) =ON

OD= ON = OA−MA−MN

= cosα− (1− cos β) cosα− sinα sin β = cosα cos β − sinα sin β

Fórmules suma i diferència

cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β , cos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β

sin(α + β) = sinα cos β + cosα sin β , sin(α− β) = sinα cos β − cosα sin β

tg (α + β) =tgα + tg β

1− tgα tg β, tg (α− β) =

tgα− tg β

1 + tgα tg β

Angle doble

cos(2α) = cos2 α− sin2 α , sin(2α) = 2 sinα cosα , tg (2α =2tgα

1 + tg 2α

cosα = ±√

1 + cos(2α)

2, sinα = ±

√1− cos(2α)

2

Conversió de sumes en productes

cosα + cos β = 2 cosα + β

2cos

α− β2

, cosα− cos β = −2 sinα + β

2sin

α− β2