Isometrias

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ISOMETRIAS

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Isometria: do grego ισο + μέτρο

(ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida)

Uma isometria é uma transformação

geométrica que preserva as distâncias entre

pontos e consequentemente as amplitudes dos

ângulos, transformando uma figura noutra

figura congruente.

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Existem quatro tipos de isometrias:

• Rotação

• Translação

• Reflexão

• Reflexão deslizante

Rodar uma figura em

torno de um ponto

chamado centro de

rotação (O).

Fig. 1

Fig. 2

O

O que é uma rotação?

A distância dos

pontos ao centro de

rotação mantém-se

constante.

ROTAÇÃO

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A

A’

180º

Uma rotação é uma transformação geométrica, associada a

um ponto, o centro da rotação, e a um ângulo, cuja

amplitude pode ser positiva ou negativa.

ROTAÇÃO

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Numa rotação:

• um segmento de recta é transformado num segmento de

recta congruente

• um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e

com o mesmo sentido

Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo

orientado.

Convencionou-se que a rotação tem

sentido positivo quando a rotação se

efectua no sentido contrário ao do

movimento dos ponteiros de um relógio.

Quando se efectua uma rotação no

sentido do movimento dos ponteiros de

um relógio, então diz-se que se efectuou

uma rotação no sentido negativo.

Sentido positivo

ângulo orientado +90º

Sentido negativo

ângulo orientado -90º

ROTAÇÃO

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ISOMETRIAS

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Rotação no sentido positivo Rotação no sentido negativo

Pavimentações usando as rotações

Pavimentações usando as rotações

“Deslocamento” de

uma figura segundo um

vector

(um vector é um ser

matemático que é

caracterizado por uma

direcção, um sentido e

um comprimento). Fig. 1

Fig. 2

Vector v

O que é uma translação? TRANSLAÇÃO

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Em baixo, a figura B é a imagem da figura A pela

translação T no plano.

A figura A é a figura original (o

objecto) e a figura B é a sua

imagem (o transformado) através

de uma translação.

11 José Carvalho@2007

TRANSLAÇÃO

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A figura D não foi obtida

por translação da figura C.

Não existe nenhuma

translação que permita

obter a figura D a partir da

figura C.

12 José Carvalho@2007

TRANSLAÇÃO

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Na figura que podes observar agora, o deslocamento foi feito

segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi

mantida a distância em todos os deslocamentos.

Uma translação transforma uma figura numa outra figura

geometricamente igual.

Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de

um “deslocamento” de todos os pontos da figura original

definidos por:

• uma direcção;

• um sentido;

• um comprimento.

13 José Carvalho@2007

TRANSLAÇÃO

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Todos os segmentos orientados que

têm a mesma direcção, o mesmo

sentido e o mesmo comprimento (ou

norma) representam o mesmo

vector.

14 José Carvalho@2007

TRANSLAÇÃO

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O vector é o representante de todos os

segmentos de recta equipolentes (ou

seja, com a mesma direcção, mesmo

sentido e mesmo comprimento).

15 José Carvalho@2007

TRANSLAÇÃO

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Um vector fica então definido desde que se conheça:

• a direcção (que é dada pela recta

onde esse vector se encontra: - a recta

suporte do vector)

• o sentido (um dos dois possíveis na

direcção)

• o comprimento (ou norma)

Consideremos o triângulo da

figura abaixo e vamos obter a sua

imagem através da translação

associada ao vector representado

a vermelho.

16 José Carvalho@2007

TRANSLAÇÃO

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1.º passo:

A partir de cada um dos vértices

do triângulo, com régua e

esquadro, vamos traçar paralelas

com a direcção do vector dado

2.º passo:

Abrimos o compasso com

comprimento igual ao do vector

dado

17 José Carvalho@2007

TRANSLAÇÃO

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3.º passo:

Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido

indicado pelo vector

4.º passo:

Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as

imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original

18 José Carvalho@2007

TRANSLAÇÃO

ISOMETRIAS

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Concluindo:

19 José Carvalho@2007

• Uma translação transforma um

segmento de recta num outro

segmento de recta paralelo e

congruente .

PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO

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• Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo

congruente (com a mesma amplitude).

• Uma translação transforma uma figura noutra figura

geometricamente igual.

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Translação associada ao vector u=(1,1)

Pavimentações usando as translações

Pavimentações usando as translações

Reflexão em redor de um eixo.

Dada uma recta L chama-se

reflexão em torno do eixo L ao

movimento que transforma um

ponto C em outro ponto C'

verificando que:

• O segmento CC' é perpendicular a L.

• Os pontos C e C' são equidistantes

do eixo L.

REFLEXÃO

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O que é uma reflexão?

Dito de outra forma o eixo L é a mediatriz do segmento CC'

Reflexão

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Exemplos de Reflexões

A reflexão deslizante é a

combinação de uma reflexão

com uma translação.

REFLEXÃO DESLIZANTE

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O que é uma reflexão deslizante?

A figura que resulta da combinação de uma reflexão com uma

translação chama-se de reflexão deslizante.

O vector associado à translação tem de ser paralelo ao eixo de reflexão

Reflexão deslizante ISOMETRIAS

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O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se

o quadrilátero [A’B’C’D’].

Em seguida, sofre uma translação associada ao vector u, obtendo-se

o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’].

Assim, o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’] é a imagem do quadrilátero

[ABCD] segundo uma reflexão deslizante.

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SIMETRIAS

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Existe uma simetria para cada um

dos quatro tipos de isometrias:

• Simetria de Reflexão

• Simetria de Rotação

• Simetria de Translação

• Simetria de reflexão deslizante

Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa

a figura globalmente invariante.

… se conseguirmos dobrar a figura de

tal modo que as duas partes obtidas se

sobreponham exactamente

… se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo

a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja

exactamente igual à figura toda

SIMETRIA DE REFLEXÃO

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Tal pode ser identificado…

SIMETRIA DE REFLEXÃO

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A simetria de reflexão também se designa por simetria axial;

o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou

linha de simetria

Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz

a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao

meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da

outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de

simetria.

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EIXO DE SIMETRIA

2 eixos

1 eixo

6 eixos 1 eixo

Não tem eixos

EIXOS DE SIMETRIA

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2 eixos

Os eixos de simetria duma

circunferência são as rectas

que passam pelo centro.

Uma circunferência tem

uma infinidade de eixos de

simetria.

EIXOS DE SIMETRIA numa circunferência

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EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares

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Triângulo

3 lados

Quadrado

4 lados Pentágono

5 lados Hexágono

6 lados Octógono

8 lados

3 eixos 4 eixos 5 eixos 6 eixos 8 eixos

Um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria

EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares

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Se o número de lados do polígono

regular é ímpar, cada um dos eixos de

simetria une um vértice ao ponto médio

do lado oposto

EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares

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Se o número de lados do polígono regular é par, cada

um dos eixos de simetria une dois vértices opostos

ou une os pontos médios dos lados opostos

Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude

superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura

globalmente invariante.

SIMETRIA DE ROTAÇÃO

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… se conseguirmos girar a figura em

torno de um ponto fixo (centro da

figura), de modo a que a imagem

resultante, através da rotação,

coincida com a figura original.

Tal pode ser identificado…

SIMETRIA DE ROTAÇÃO

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O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a

figura roda (centro da figura)

O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que

descreve o movimento da figura

Figura original Um terço de volta

120º

Dois terços de volta

240º

Um volta inteira

360º

Exemplos de simetrias de rotação

Esta simetria de reflexão deslizante

caracteriza-se por ser uma reflexão

que envia a pegada de baixo para cima

seguida de um deslizamento que a faz

avançar um passo.

1º A pegada sofre uma reflexão em

torno da recta r.

2º A pegada sofre uma translação na

direcção e no sentido de um vector

paralelo ao eixo de simetria.

r SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE

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NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas

FIM ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE