Análisis Estadístico de

Datos Climáticos

Análisis Estadístico de

Datos Climáticos

Facultad de Ciencias – Facultad de Ingeniería

2009

M. Barreiro – M. Bidegain – A. Díaz

Revisión de probabilidad y aplicaciones

Análisis exploratorio de datos univariados

Revisión de conceptos sobre probabilidad

• Utilizamos las probabilidades para cuantificar la incertidumbre

• Eventos o sucesos, espacio muestral Ω, partición de Ω

B

ΩA

C

Diagramas de Venn

Axiomas de probabilidad

1) P(A) ≥ 0 si A є Ω

2) P(Ω) = 1

3) Si A1, A2,….An son disjuntos dos a dos, P(A1 U A2 U…..U An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

Interpretaciones de la probabilidad

Ley de los grandes números

(Ley “débil”)

• Interpretación bayesiana (subjetiva)

Es el fundamento para estimar probabilidades a partir de las frecuencias.

Frecuencia: “Casos favorables” / “Casos posibles”

• Interpretación frecuencista

Algunas propiedades:

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(B) P(A) BA Si

P(A)1)P(Ac

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Probabilidad condicional

A ∩ B

Es la probabilidad de que ocurra un suceso A, dada la ocurrencia de otro suceso B, de probabilidad no nula.

Def: P(A | B) = P (A ∩ B) / P(B) con P(B)≠ 0

Ω

Es un concepto especialmente importante porque en el clima hay muchas variables interaccionando.

Ejemplos

1) P(llueva mañana | hoy llovió)

3) P(ocurra un evento meteorológico | fue pronosticado)

2) P(TSM promedio en el Pacífico ecuatorial sea > 27,5 ºC mañana | hoy es > 28 ºC)

4) P(en Uruguay llueva por encima de “lo

normal” en noviembre | en setiembre la TSM en el Pacífico ecuatorial está 1ºC por encima del promedio)

No confundir relaciones estadísticas con relaciones causa-efecto!!

DATOS ESTACIÓN METEOROLÓGICA CARRASCOHumedad Relativa y Precipitación

Diciembre 1997

DIA HR (%) PP (mm) DIA HR (%) PP (mm)1 71 0 17 70 0

2 54 0 18 75 0

3 61 23.88 19 92 0

4 52 0 20 86 0

5 70 0 21 74 0

6 67 0 22 89 13.97

7 85 23.11 23 88 84.07

8 65 0 24 81 0

9 81 0 25 80 0

10 91 3.05 26 94 5.08

11 89 2.03 27 77 29.97

12 98 0 28 67 0

13 97 8.89 29 81 0

14 82 27.94 30 73 1.02

15 72 7.11 31 63 0

16 65 0

Estimar:

a) P( PP > 1 mm)

b) P( PP > 1 mm mañana | PP > 1 mm hoy)

c) P(HR > 75%)

d) P( PP > 1 mm | HR > 75 %)

e) P( PP > 1 mm | HR <= 75 %)

Independencia

• Concepto: Dos sucesos E1 y E2 son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

Independencia ↔ P(E1∩E2) = P(E1).P(E2)

o P(E1|E2)=P(E1), o P(E2|E1)=P(E2)

Ej: 1) fenómenos naturales 2) pronósticos

Aplicación: Persistencia (o “memoria”)

• Es la existencia de dependencia estadística positiva entre valores sucesivos de una misma variable.

• La persistencia se da en diferentes escalas, dependiendo del fenómeno que se trate. Ej, TSM y presión atmosférica.

• Está asociada a la probabilidad condicional, y tiene consecuencias estadísticas.

Ley de probabilidad total

Ω

A

Si los eventos Ei forman una partición de Ω:

Teorema de Bayes

Ω

A

Sirve para “invertir” probabilidades condicionales, combinando información previa con información nueva

Ejercicio:

Estimar

P(HR>75 % | PP> 1 mm),

usando Bayes y los resultados anteriores.

Verificar por cálculo directo.

Datos univariados

Análisis exploratorio de datos

Datos climáticos

Observaciones (datos medidos; datos interpolados)

Salidas de modelos numéricos:

Simulaciones o pronósticos (posibilidad de variar condiciones iniciales o de borde)

• Robustez y resistencia

• Cuantiles (percentiles)

• Medidas numéricas de resumen

• Técnicas gráficas de resumen

Análisis exploratorio de datos univariados

Robustez y resistencia

Es deseable que un método de análisis de datos sea poco sensible a suposiciones sobre la naturaleza de los datos.

P. ej., que los resultados no dependan esencialmente de que los datos sigan una distribución gaussiana.

Un método es robusto cuando sus resultados no dependen esencialmente de cuál sea la distribución de los datos.

Un método es resistente si no es influido considerablemente por unos pocos datos atípicos (“outliers”)

Ejemplo:

dados los conjuntos

{11 12 13 14 15 16 17 18 19}

y

{11 12 13 14 15 16 17 18 91}

Distintas medidas de “tendencia central”:

En ambos casos, el valor central es 15, pero los promedios son 15 y 23 respectivamente.

Estadísticos de orden de una muestra aleatoria

Sea { x1, x2, ..., xn } una muestra aleatoria de datos

Se ordenan en forma ascendente:

{ x(1), x(2) , ..., x(n) } son los estadísticos de orden

( cumpliéndose que x(1) ≤ x(2) ≤ …≤ x(n) )

Ej: {7 -2 1 7 -3 4 0} {-3 -2 0 1 4 7 7}

Cuantiles de una muestra aleatoria(percentiles)

Ej.: 1) Sea la muestra aleatoria {7 -2 2 7 -3 4 0}

¿Cómo podemos estimar un valor central que, en sentido amplio, deje probabilidad ½ a ambos lados? {-3 -2 0 2 4 7 7}

Parece natural tomar un valor que deje la misma cantidad de datos a cada lado, en este caso el 2:

{-3 -2 0 2 4 7 7}. Se dice que la mediana de la muestra es 2.

q0.5 = 2 “percentil 50”

Cuantiles…

Ej. 2) Sea ahora la muestra {7 1 7 -3 4 0}

¿Cuál será la mediana?

{-3 0 1 4 7 7}

Convencionalmente, se suele tomar el promedio entre los dos valores centrales, o sea

(1 + 4) /2 = 2.5.

Pero, si no se tiene más información, podría elegirse cualquier valor en ese intervalo (1,4)

Generalizando, sea p tal que 0 < p < 1.

Los p-quantiles (qp) ( o percentiles) son valores que dejan,en cierto sentido, probabilidad p a su izquierda, y probabilidad 1-p a su derecha.

• • •• • •••• •

p

•1- p

qp

P(X ≤ qp) = p P(X ≥ qp) = 1 - p

Estimación de los cuantiles

En general, los percentiles no son únicos y por lo tanto, no hay una única forma de estimarlos.

Una forma posible para una muestra aleatoria de tamaño n es:

1)tomar los estadísticos de orden como los cuantiles (0.5/n), (1.5/n), ..., ([n-0.5]/n) respectivamente

2) para los cuantiles con probabilidades entre (0.5/n) y ([n-0.5]/n), se interpola linealmente.

3) los valores mínimo o máximo de la muestra se asignan a los cuantiles para probabilidades fuera de ese rango.

Principales medidas numéricas de resumen de un conjunto de datos

1) Localización: valor de “tendencia central” del conjunto

2) Dispersión: alrededor del valor central

3) Simetría: cómo están distribuidos los datos respecto del valor central

4)…

Localización

Media

Mediana q0.50

N

xx

N

1i

i_

La mediana “divide el conjunto de datos en dos subconjuntos ordenados con igual cantidad de datos” .

Importante: la mediana permite trabajar con estimaciones de probabilidades

La media está comprendida entre el mínimo y el máximo de la muestra.

Ejemplo: (con muy pocos datos!!)

2 4 9 11 14

2 4 9 11 7004

8x_

1406x_

(outlier) ??

Localización

La media no es robusta ni resistente

Se puede estimar que P (X ≥ 9) ~ 0.5 ~ P(X ≤ 9)

Los cuantiles más usados…

• Mediana q0.5

• Cuartiles, q0.25 , q0.75

• Terciles, q0.33 , q0.66

• Quintiles, deciles,

• q0.05 q0.95

Localización

4

2 0.750.5 0.25 qqq Trimedia

Robustez vs. Eficiencia

¿Por qué se usa más la media que la mediana?

Porque en el caso (“muy frecuente”) de una distribución gaussiana es un estimador más eficiente que la mediana: es decir que tiene menos dispersión alrededor del valor a estimar, o de otra forma, con menos valores (una muestra más pequeña) se obtiene la misma dispersión.Además, la media es más fácil de tratar matemáticamente, y es única para una muestra dada.

Matlab

Variable Comando

media mean

cuantil quantile

percentil prctile

mediana median

Dispersión

• Intervalo intercuartil

IQR = q0.75 - q0.25

(Robusto y resistente)

“No usa” el 25% superior e inferior de los datos

Dispersión

• Desviación estándar muestral

σ)x(x1N

1s

N

1i

2_

i

(σ2 = varianza de la población)

(Ni robusta ni resistente)

•Desviación absoluta de la mediana

MAD = median |xi – q0.5|

Simetría

Coeficiente de asimetría de la muestra

Ambos son adimensionados

γ < 0

γ > 0

Indice de Yule-Kendall

Técnicas gráficas de resumen

• Boxplots

• Histogramas

• Distribuciones de frecuencia acumulada

Boxplots (“barritas”)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

. . . . .

Min = 3.20

q0.25 = 43.645

q0.50 = 60.345

q0.75 = 84.96

Max = 124.27

Boxplots (“barritas”)

Temperatura diaria máxima en Melbourne

Se destacan valores extremos inusuales

Histogramas

Además de la localización, la dispersión, y la simetría, también muestran si los datos son multimodales

HistogramasPrecipitación Rivera agosto 1914-1997

0 50 100 150 200 250 3000

5

10

15

20

25

mm

No.

de

ocur

renc

ias

Precipitación Rivera agosto 1914-1997

mediana=78.5 mm

media = 97.9 mm

HistogramasPrecipitación Rivera abril 1914-1997

mediana=110.5 mm

media = 141.7 mm

Histogramas

Distribuciones empíricas de frecuencia acumulada

P (X ≤ x)

mediana=110.5 mm

P(X≤110.5) = 0.5

110.5 mm

Distribuciones empíricas de frecuencia acumulada

Matlab

“Variable” Comando

Desviación estándar, varianza

std

var

Intervalo intercuartil

iqr

Desv. abs. de la

mediana

mad

histograma hist

Distr. de frecuencia acumulada

ecdf