บทที� 9สถิติที�ใชใ้นการประเมินผลPart 1 : สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics)

สถิติเชิงพรรณนา(Descriptive Statistics)

เป็นการนําเสนอขอ้มลูที�เก็บรวบรวมมา โดยนํามาบรรยายถึงลกัษณะของขอ้มลูที�เก็บมาได ้ในรปูแบบของ

หลกัสําคญัของสถิติเชิงพรรณนา ก็คือ เก็บขอ้มลูชนิดใดมาได ้ก็จะตอ้งอธิบายไดเ้ฉพาะขอ้มลูชนิดนั�น ไม่สามารถอา้งอิงถึงขอ้มลูในสว่นอื�นๆได้

สถิติเชิงพรรณนาประกอบดว้ย

สถิติเชิงพรรณนาDescriptive Statistics

การแจกแจงความถี�Frequency

การวดัแนวโนม้เขา้ส ูศ่นูยก์ลางCentral Tendency

การวดัการกระจายMeasure of Variation

ค่ารอ้ยละ Percentage

ค่าเฉลี�ย Mean

ค่ามธัยฐานMedian

ค่าฐานนิยม Mode

ค่าพิสยัRange

ค่าสว่นเบี�ยงเบนควอไทล์Quartile Deviation

ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานStandard Deviation

การแจกแจงความถี�Frequency

มีวิธีการแจกแจงความถี�โดยแบ่งตามชนิดของขอ้มลู ไดด้งันี�

1. แบบไม่จดักล ุม่ (Ungrouped Data)ตวัอยา่ง คะแนนสอบวิชาการประเมินผลฯของนกัศึกษา 20 คน

15 17 17 15 11 14 15 16 15 1114 16 14 12 18 15 19 11 17 16

เรยีงจากมากไปนอ้ย19 18 17 17 17 16 16 16 15 1515 15 15 14 14 14 12 11 11 11

การแจกแจงความถี� (Frequency Distribution)คะแนนวิชาการประเมินผล ขีดรอยคะแนน (Tally) จํานวน

19 I 1

18 I 1

17 III 3

16 III 3

15 IIII 5

14 III 3

12 I 1

11 III 3

N 20

การแจกแจงความถี�Frequency

2. แบบจดักล ุม่ (Grouped Data)

การหาพิสยัของคะแนน (คะแนนสงูสดุ – คะแนนตํ�าสดุ)ขั�นตอนที� 1

ขั�นตอนที� 2 ประมาณจํานวนชั�นที�จะจดั

ขั�นตอนที� 3 การหาค่าอนัตรภาคชั�น (Class Interval) โดย ...

สตูรจํานวนชั�น

พิสยั ขั�นตอนที� 4 จดัทําขีดจํากดัคะแนนในแต่ละชั�น

ขั�นตอนที� 5 ขีดรอยคะแนน (Tally) / นบัความถี�

ขั�นตอนที� 1

ขั�นตอนที� 2 ตอ้งการจดั 4 อนัตรภาคชั�น

ขั�นตอนที� 3 การหาค่าอนัตรภาคชั�น (Class Interval) โดย ...

4

ขั�นตอนที� 4 จดัทําขีดจํากดัคะแนนในแต่ละชั�น

ขั�นตอนที� 5 ขีดรอยคะแนน (Tally) / นบัความถี�

โจทยก์ารคํานวณ

ตวัอยา่ง คะแนนสอบวิชาการประเมินผลฯ ของนกัศึกษา 17 คน 18 16 17 17 15 12 11 10 8 16 14 13 10 14

14 15 17

พิสยัของคะแนน = 18 – 8 = 10

สตูร 10 = 2.5

ขั�นตอนที� 4 จดัทําขีดจํากดัคะแนนในแต่ละชั�น

ขั�นตอนที� 5 ขีดรอยคะแนน (Tally) / นบัความถี�

โจทยก์ารคํานวณ

15.50 - 18.00 คะแนน13.00 - 15.49 คะแนน10.50 - 12.99 คะแนน 8.00 - 10.49 คะแนน

ช่วงคะแนน Tally จํานวน

15.50 - 18.00 คะแนน IIII I 6

13.00 – 14.49 คะแนน IIII I 6

10.50 – 12.99 คะแนน I 1

8.00 – 10.49 คะแนน IIII 4

รวม 17

การแจกแจงความถี�Frequency

ค่ารอ้ยละ คือ การคํานวณหาสดัสว่นของขอ้มลูในแต่ละตวัเทียบกบั ขอ้มลูรวมทั�งหมด โดยใหข้อ้มลูรวมทั�งหมดมีค่าเป็น 100

รอ้ยละ (%) = X x 100N

สตูร

X = จํานวนขอ้มลู (ความถี�) ที�ตอ้งการนํามาหาคา่รอ้ยละ

N = จํานวนขอ้มลูทั�งหมด

การแจกแจงความถี�Frequency

โจทย์ ตารางแสดงการแจกแจงความถี�ดา้นอายขุองเกษตรกรที�เขา้รว่มโครงการฯ

อาย ุ(ปี) ความถี� รอ้ยละ (%)

31-35 3 10.00

36-40 5 A

41-45 6 B

46-50 9 C

51-55 4 D

56-60 3 E

รวม 30 100.00

รอ้ยละ (%) ของช่วงอาย ุ31-35 ปี

รอ้ยละ (%) = 3 x 10030

= 10.00 %

16.67

20.00

30.00

13.33

10.00

เป็นการหาค่ากลางของขอ้มลู เพื�อใชเ้ป็นตวัแทนของขอ้มลูทั�งหมด เพื�อเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบขอ้มลูแต่ละชดุ โดยไม่ต้องพิจารณาขอ้มลูทั�งหมด

สตูร

การวดัแนวโนม้เขา้ส ูศ่นูยก์ลางCentral Tendency

ค่าเฉลี�ย Mean

ค่าเฉลี�ย หรือ ค่ามชัฌิมเลขคณิต ใชส้ญัลกัษณ์

X

X = ค่าเฉลี�ยที�ไดม้าจากกล ุม่ตวัอยา่ง

X x

=N

= ค่าเฉลี�ยที�ไดม้าจากประชากรทั�งหมดค่าเฉลี�ย

ผลรวมของขอ้มลูทั�งหมด

จํานวนของขอ้มลูทั�งหมด

สตูร

โจทยก์ารคํานวณ

ขอ้มลูดิบที�เก็บรวบรวมไดจ้ากการประเมินผลโครงการ เรื�อง “ความพึงพอใจในการเขา้รว่มฝึกอบรมการทําปุ๋ ยหมกั” ซึ�งเป็นค่าตวัเลขอายขุองเกษตรกรที�เขา้รว่ม

X

X

33 43 47 54 60 45 59 3949 47 46 52 53 59 37 3640 37 50 32 44 49 46 4948 41 42 52 31 42

จงคํานวณอายเุฉลี�ยของเกษตรกรที�เขา้รว่มโครงการฯ นี�

= 33 + 43 + 47 + ..... + 52 + 31 + 4230

= 1,36230

= 45.40

โจทยก์ารคํานวณ

ขอ้มลูดิบที�เก็บรวบรวมไดจ้ากการประเมินผลโครงการ เรื�อง “ความพึงพอใจในการเขา้รว่มฝึกอบรมการทําปุ๋ ยหมกั” ซึ�งเป็นค่าตวัเลขอายขุองเกษตรกรที�เขา้รว่ม

X

การคํานวณค่าเฉลี�ยจากขอ้มลูจดักล ุม่ที�อย ูใ่นรปูตารางแจกแจงความถี�

อาย ุ(ปี) ความถี�

31-35 3

36-40 5

41-45 6

46-50 9

51-55 4

56-60 3

รวม 30

Nสตูร = fx

X โดยที� X = ค่าเฉลี�ย

fx = ผลรวมของค่าความถี�ทั�งหมด

f = ค่าความถี�

x = จดุกึ�งกลางของอนัตรภาคชั�น

N = จํานวนขอ้มลูทั�งหมด

จงหาค่าจดุกึ�งกลางของอนัตรภาคชั�นของชว่งอาย ุ31 – 35 ปี

วิธีการคํานวณ

X

อาย ุ(ปี) ความถี� จดุกึ�งกลาง (x) fx

31-35 3 33 99

36-40 5 38 190

41-45 6 43 258

46-50 9 48 432

51-55 4 53 212

56-60 3 48 174

รวม 30 1,365

2. หาค่าจดุกึ�งกลางของอนัตรภาคชั�นของช่วงอาย ุ31 – 35 ปี

1. หาค่าจดุกึ�งกลางของอนัตรภาคชั�น (X) โดยหาจากสตูร

สตูร X = ค่าสงูสดุในชั�น + ค่าตํ�าสดุในชั�น

2= 35 + 31

2= 33

fx

นําค่า fx มาแทนค่าในสตูร

X = 1,36530

X = 45.50

การวดัแนวโนม้เขา้ส ูศ่นูยก์ลางCentral Tendency

ค่ามธัยฐาน Median

ค่าของขอ้มลูที�อย ูต่รงกลางของขอ้มลูทั�งหมดที�ไดนํ้ามาเรยีงลาํดบัจากนอ้ยไปมาก หรือ จากมากไปนอ้ย แลว้

X

กรณีที� 1 : ขอ้มลูที�ไม่ไดแ้จกแจงความถี�

ตวัอยา่ง 10 12 13 17 18

Mdn

Mdn หรือ Md

10 12 13 17 18 20

13 + 17

2= 15Mdn =

X

กรณีที� 2 : ขอ้มลูที�มีการแจกแจงความถี�

สตูร Mdn = Lo + i cfN

2

f

Lo = ขีดจํากดัลา่งที�แทจ้ริงของชั�นคะแนนที�มีมธัยฐาน

N = จํานวนคะแนนทั�งหมด

cf = ความถี�สะสมคะแนนตํ�าสดุถึงชั�นคะแนนกอ่นชั�นที�มีมธัยฐานอย ู่

f = ความถี�สะสมของชั�นที�มีมธัยฐาน

i = อนัตรภาคชั�น (ช่วงห่างของขอ้มลูในแต่ละชั�น)

เมื�อ

โจทย ์: จงหามธัยฐานของอายเุกษตรกรที�เขา้รว่มโครงการฝึกอบรมฯ ?

วิธีการคํานวณ

X

อาย ุ(ปี) ความถี� ความถี�สะสม (cf)

31-35 3 3 (3+0)

36-40 5 8 (5+3)

41-45 6 14 (6+8)

46-50 9 23 (9+14)

51-55 4 27 (4+23)

56-60 3 30 (3+27)

1. หาค่าถี�สะสม โดยนําค่าความถี�ของแต่ละชั�นบวกเพิ�มกบัค่าความถี�สะสมของชั�นกอ่น หนา้นี�

2. หาตําแหน่งมธัยฐาน โดยนําจํานวนขอ้มลูทั�งหมด หาร 2 =302

= 15พิจารณาว่าค่าตําแหน่งมธัยฐานที�คํานวณไดไ้ปตกอย ูใ่นช่องความถี�สะสมช่วงใด?

วิธีการคํานวณ

X

อาย ุ(ปี) ความถี� ความถี�สะสม (cf)

31-35 3 3 (3+0)

36-40 5 8 (5+3)

41-45 6 14 (6+8)

46-50 9 23 (9+14)

51-55 4 27 (4+23)

56-60 3 30 (3+27)

3. หาขอบเขตลา่งของชั�นที�ตําแหน่งมธัยฐานอย ู ่(Lo)

ชั�นที�มีตําแหน่งมธัยฐานอย ู ่คือ ช่วงอาย ุ46 – 50 ปี ดงันั�น ขอบเขตลา่งของชั�น ก็คือ 45.5 (ขอบเขตลา่ง คือ ค่าที�นอ้ยที�สดุในชั�นลบดว้ย 0.5 สว่นขอบเขตบน คือ ค่ามากที�สดุในชั�นนั�นบวกดว้ย 0.5)

ตําแหน่งมธัยฐาน

ขอบเขตล่าง46-0.5 = 45.5

ขอบเขตบน = 50+0.5 = 50.5

X

สตูร Mdn = Lo + i cfN

2

fLo = 45.5, N = 30, cf = 14, f = 9 และ i = 5โดย

4. แทนค่าที�ไดล้งในสตูร

Mdn = 45.5 + 59

142

30

Mdn = 45.5 + 0.5556

Mdn = 46.0556

การวดัแนวโนม้เขา้ส ูศ่นูยก์ลางCentral Tendency

ค่านิยม Mode

ค่าของขอ้มลูที�มีค่าซํ�ากนัมากที�สดุในชดุขอ้มลูนั�นๆ

X

กรณีที� 1 : ขอ้มลูที�ไม่ไดแ้จกแจงความถี�

ขอ้มลูดิบที�เก็บรวบรวมไดจ้ากการประเมินผลโครงการ เรื�อง “ความพึงพอใจในการเขา้รว่มฝึกอบรมการทําปุ๋ ยหมกั” ซึ�งเป็นค่าตวัเลขอายขุองเกษตรกรที�เขา้รว่ม

33 43 47 54 60 45 59 3949 47 46 52 53 59 37 3640 37 50 32 44 49 46 4948 41 42 52 31 42

นําขอ้มลูมาเรียงลําดบัจากค่านอ้ยที�สดุไปหามากที�สดุ แลว้เลือกขอ้มลูที�มีค่าซํ�ากนัมากที�สดุ

X

ขอ้มลูดิบที�เก็บรวบรวมไดจ้ากการประเมินผลโครงการ เรื�อง “ความพึงพอใจในการเขา้รว่มฝึกอบรมการทําปุ๋ ยหมกั” ซึ�งเป็นค่าตวัเลขอายขุองเกษตรกรที�เขา้รว่ม (เรียงลําดบั)

31 32 33 36 37 37 39 4041 42 42 43 44 45 46 4647 47 48 49 49 49 50 5252 53 54 59 59 60

ดงันั�น ค่าฐานนิยม = 49

กรณีมีค่าเท่ากนั 2 ค่า สามารถจะเป็นฐานนิยมไดท้ั�งสองคา่ *

การวดัแนวโนม้เขา้ส ูศ่นูยก์ลางCentral Tendency

X

กรณีที� 2 : ขอ้มลูที�มีการแจกแจงความถี�

สตูร Mo = Lo + i21

1

เมื�อ Lo = ขอบเขตลา่งของชั�นที�มีฐานนิยมอย ู่

i = อนัตรภาคชั�น (ช่วงห่างของขอ้มลูในแต่ละชั�น)

= f1 – f0

= f1 – f2

โดย f1 = ความถี�ของชั�นที�มีฐานนิยมอย ู่

f0 = ความถี�ของชั�นตํ�ากว่าชั�น f

f2 = ความถี�ของชั�นสงูกว่าชั�น f1

1

2

วิธีการคํานวณ

X

อาย ุ(ปี) ความถี�

31-35 3

36-40 5

41-45 6

46-50 9

51-55 4

56-60 3

1. หาตําแหน่งของฐานนิยมโดยพิจารณาว่าชั�นใดมีค่าความถี�สงูสดุ

ชั�นที�มีความถี�สงูสดุ คือ ช่วงอาย ุ46-50 ปีมีค่าความถี� = 9

2. หาค่าตวัแปร 1 และ 2

= f1 – f01 = 9 - 6 = 3 2 = f1 – f2 = 9 - 4 = 5

วิธีการคํานวณ

X

3. แทนค่าในสตูร

ดงันั�น ค่าฐานนิยม = 47.375

Mo = Lo + i21

1

8

345.5 + 5=

= 45.5 + 1.875

X

การวดัการกระจายMeasure of Variation

ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานStandard Deviation (S.D.)

ค่ารากที�สองของผลรวมของความแตกต่างระหว่างขอ้มลูดิบกบัค่าเฉลี�ยยกกาํลงัสอง (Sum of Square)หารดว้ยจํานวนขอ้มลูทั�งหมด

สญัลกัษณค์่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐาน

S = ใชก้บัขอ้มลูที�เก็บมาจากกล ุม่ตวัอยา่ง

= ใชก้บัขอ้มลูที�เก็บมาจากประชากรทั�งหมด

ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานสามารถคํานวณหาได ้2 แบบ คือ 1) การคํานวณหาค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานจากขอ้มลูดิบที�ไม่อย ูใ่นรปูของตาราง แจกแจงความถี� 2) การคํานวณหาค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานจากขอ้มลูจดักล ุม่ที�อย ูใ่นรปูของตาราง แจกแจงความถี�

X

ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานStandard Deviation (S.D.)

1) การคํานวณหาค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานจากขอ้มลูดิบที�ไมอ่ย ู ่ ในรปูของตารางแจกแจงความถี�

สตูรN

x 2)( (สําหรบัขอ้มลูที�ไดจ้ากประชากรทั�งหมด)

สตูร1

)( 2

n

xx (สําหรบัขอ้มลูที�ไดจ้ากกล ุม่ตวัอยา่ง)

เมื�อ หรือ S = ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐาน

X = ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐาน

= ค่าเฉลี�ยของชดุขอ้มลูในชดุนั�นXหรือN = จํานวนขอ้มลูจากประชากรทั�งหมด

n = จํานวนขอ้มลูจากกล ุม่ตวัอยา่ง

s

X

โจทยก์ารคํานวณ

ขอ้มลูดิบที�เก็บรวบรวมไดจ้ากการประเมินผลโครงการ เรื�อง “ความพึงพอใจในการเขา้รว่มฝึกอบรมการทําปุ๋ ยหมกั” ซึ�งเป็นค่าตวัเลขอายขุองเกษตรกรที�เขา้รว่ม (เรียงลําดบั)

33 43 47 54 60 45 59 3949 47 46 52 53 59 37 3640 37 50 32 44 49 46 4948 41 42 52 31 42

วิธีการคํานวณ สตูร1

)( 2

n

xxsn = 30, x = 45.40 (ตวัอยา่งกอ่นหนา้)

130

)40.4542(...)40.4554()40.4547()40.4543()40.4533( 22222

s

130

)56.11(...)96.73()56.2()76.5()76.153(

29

20.765,1 87.60 = 7.8019

X

ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานStandard Deviation (S.D.)

2) การคํานวณหาค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานจากขอ้มลูดิบที�อย ู ่ ในรปูของตารางแจกแจงความถี�

(สําหรบัขอ้มลูที�ไดจ้ากประชากรทั�งหมด)

(สําหรบัขอ้มลูที�ไดจ้ากกล ุม่ตวัอยา่ง)

เมื�อ หรือ S = ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐาน

i = อนัตรภาคชั�น (ช่วงห่างของขอ้มลูในแต่ละชั�น)N = จํานวนขอ้มลูจากประชากรทั�งหมด n = จํานวนขอ้มลูจากกล ุม่ตวัอยา่ง

สตูร 22

)1(

nn

fdfdnis

สตูร 22

N

fd

N

fdi

f = ความถี�ในแต่ละอนัตรภาคชั�นd = ค่ากึ�งกลางอนัตรภาคชั�น - ค่าเฉลี�ยสมมติุ

อนัตรภาคชั�น

X

ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานStandard Deviation (S.D.)

ค่าเฉลี�ยสมมติุ (Assumed Mean)

ควรเป็นค่าขอ้มลูที�อย ูก่ึ�งกลางของชั�นที�อย ูต่รงกลางของจํานวนชั�นขอ้มลูทั�งหมด

ตวัอยา่งเช่น ขอ้มลูมีจํานวน 5 ชั�น แต่ละชั�นมีขอ้มลูชั�นละ 5 ตวั ค่าเฉลี�ยสมมติุ ควรจะอย ูต่วัที� 3 ของชั�นที� 3

แต่ ผ ูคํ้านวณอาจจะกําหนดค่ากึ�งกลางของชั�นใดชั�นหนึ�งให้เป็นค่าเฉลี�ยสมมติุ ก็ได ้ซึ�งผลการคํานวณจะมีค่าไม่แตกต่างกนั

X

โจทยแ์ละวิธีการคํานวณ

อาย ุ(ปี) ความถี� ( f ) d

31-35 3 -2

36-40 5 -1

41-45 6 0

46-50 9 1

51-55 4 2

56-60 3 3

N 30

1. หาค่า d ของแต่ละชั�น จากสตูร = ค่ากึ�งกลางอนัตรภาคชั�น - ค่าเฉลี�ยสมมติุอนัตรภาคชั�น

ค่า d ของช่วงอาย ุ31-35 ปี = 33- 435

มาจากขอ้มลูกึ�งกลางของชั�นที� 3 ซึ�งเป็นช่วงอาย ุ41-45 ปี= 41+45 = 43

2ความกวา้งของอนัตรภาคชั�น

= -2

X

โจทยแ์ละวิธีการคํานวณ

อาย ุ(ปี) ความถี� ( f ) d fd d2 fd2

31-35 3 -2 -6 4 12

36-40 5 -1 -5 1 5

41-45 6 0 0 0 0

46-50 9 1 9 1 9

51-55 4 2 8 4 16

56-60 3 3 9 9 27

N 30 15 69

2. หาค่า และ โดยนําค่า f และ d ที�ไดจ้ากตารางคํานวณในขั�นที� 1 มาคณูกนั ดงัตารางต่อไปนี�

fd 2fd

fd 2fd

X

โจทยแ์ละวิธีการคํานวณ

3. แทนค่าลงในสตูร s 22

)1(

nn

fdfdni

)130(30

)15()6930(5

2

x

)29(30

22520705

870

18455

1207.25

ดงันั�น ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐาน (S.D.) = 7.2813

ค่าสว่นเบี�ยงเบนมาตรฐานถา้ค่ายิ�งมาก แสดงว่า ขอ้มลู

ชดุนั�นมีการกระจายมากหรอื

ขอ้มลูชดุนั�นมีความแตกต่างกนัมาก