Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών

Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού

ntua ACADEMIC OPEN COURSES

Γεωμετρικές Απεικονίσεις Ι:

Γεωμετρικές Αρχές στην Αρχιτεκτονική Απεικόνιση

4. Πολυεδρικές επιφάνειες και Πολύεδρα

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη

Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΕΜΠ

Νίκος Κουρνιάτης

Λέκτωρ ΠΔ407/80, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΕΜΠ

Η κατασκευή του πολυμεσικού υλικού και των διαδραστικών αρχείων έγινε από τον Νίκο Κουρνιάτη.

Άδεια Χρήσης

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου

τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Οδηγίες για την ανάγνωση του ηλεκτρονικού υλικού

Η θεωρία παρουσιάζεται σε αρχεία τύπου:

(1) pdf για μια σύντομη ανάγνωση και σε (2) ppt με συνοδευτικά αρχεία αναλυτικών παραδειγμάτων

“βήμα προς βήμα”, που είναι συμπιεσμένα σε κοινό φάκελο με το πρόγραμμα WinRAR.

Προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση των ppt απαιτείται η αποσυμπίεση του φακέλου

και η διατήρηση όλων των αρχείων σε κοινό φάκελο.

Η θεωρία και τα θέματα των ασκήσεων είναι διαθέσιμα σε αρχεία τύπου pdf, η ανάγνωση των οποίων

γίνεται με το πρόγραμμα Acrobat Reader.

Για την εγκατάσταση του προγράμματος Acrobat Reader επισκεφτείτε την ιστοσελίδα:

http://www.adobe.com/products/acrobat/readstep2.html

Οι παρουσιάσεις των μαθημάτων είναι διαθέσιμες σε αρχεία τύπου ppt. Τα αρχεία αυτά μαζί με τα

συνοδευτικά αρχεία είναι κατατμημένα και συμπιεσμένα με το πρόγραμμα WinZip. Η πρόσβαση σε

αυτά προϋποθέτει την αποθήκευση όλων των τμημάτων του αρχείου και την αποσυμπίεση του με

το πρόγραμμα WinZip.

Για την εγκατάσταση του προγράμματος WinZip επισκεφτείτε την ιστοσελίδα:

http://www.winzip.com/downwz.htm

Επίσης, προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση των αρχείων ppt απαιτείται η εγκατάσταση

των προγραμμάτων:

Cabri Geometry II Plus Demo

http://education.ti.com/us/product/software/cabri/down/cabriwin.html

Macromedia Flash Player

http://www.macromedia.com/shockwave/download/download.cgi?P1_Prod_Version=Shockwav

eFlash

Rhino http://download.mcneel.com/rhino/3.0/eval/

Ο φάκελος που περιέχει τα αρχεία ppt περιλαμβάνει κρυφά αρχεία που είναι απαραίτητο να

συνοδεύουν πάντα το αρχείο ppt, προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση του, κάτι που

πρέπει να λαμβάνεται υπόψη σε οποιαδήποτε αλλαγή πραγματοποιηθεί (πχ μεταφορά του

αρχείου).

ΠΟΛΥΕΔΡΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

ΠΟΛΥΕΔΡΑ

ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ – ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΤΟΜΕΣ-

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΠΟΛΥΕΔΡΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ -ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Ένα σύνολο κλειστών πολυγώνων του Ευκλείδειου χώρου αποτελεί πολυεδρική

επιφάνεια εάν:

1.Κάθε πολύγωνο π του συνόλου Π έχει με ένα άλλο κοινή πλευρά ή εσωτερικό τμήμα πλευράς.

2.Η κοινή πλευρά ανήκει σε δύο και μόνο πολύγωνα του συνόλου.

Τα πολύγωνα του συνόλου Π καλούνται έδρες της πολυεδρικής επιφάνειας, οι κοινές

πλευρές ακμές της επιφάνειας και οι κορυφές των πολυγώνων κορυφές της

επιφάνειας.

Η πολυεδρική επιφάνεια της οποίας κάθε επίπεδη τομή είναι ένα ή περισσότερα

κλειστά πολύγωνα είναι ένα πολύεδρο.

Ένα πολύεδρο ονομάζεται κυρτό όταν κάθε επίπεδη τομή του είναι ένα κυρτό

Πολύγωνο.

Στερεά γωνία πολυέδρου είναι η γωνία που σχηματίζεται από το σύνολο των εδρών

που συντρέχουν σε μία κορυφή του.

ΠΟΛΥΕΔΡΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ –ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Για κάθε κυρτό πολύεδρο ισχύει ο τύπος του Euler

όπου V (vertices) το πλήθος των κορυφών του πολυέδρου, Ε(edges) το πλήθος των ακμών

του και F (faces) το πλήθος των εδρών του.

2V E F

Ένα κυρτό πολύεδρο ονομάζεται κανονικό, εάν όλες οι έδρες του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα

και όλες οι στερεές γωνίες του ίσες.

Αρχή του Δυασμού.

Δύο πολύεδρα είναι δυϊκά εάν υπάρχει μεταξύ τους αντιστοιχία κατά την οποία οι

κορυφές Α, Β, Γ.. του ενός πολυέδρου να απεικονίζονται στις έδρες α, β, γ..του άλλου και

αντίστροφα, έτσι ώστε οι ακμές ΑΒ, ΒΓ… του ενός να αντιστοιχούν στις ακμές του

άλλου που προκύπτουν από τις τομές των εδρών (α,β), (β,γ)….

ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Πυραμίδα Διπυραμίδα Τραπεζόεδρο

Ορθό Πρίσμα Πλάγιο Πρίσμα Αντίπρισμα

Κανονικό τετράεδρο

Φωτιά

Κανονικό εξάεδρο (κύβος)

Γη

Κανονικό οκτάεδρο

Αέρας

Κανονικό δωδεκάεδρο

Σύμπαν Κανονικό εικοσάεδρο

Νερό

ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Τύπος του Euler

Κ+Ε-Α=2

Κανονικό τετράεδρο

Κανονικό εξάεδρο (Κύβος)

Πηγή:https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cubic_Houses,_Rotterdam.jpg

Κανονικό οκτάεδρο

Κανονικό δωδεκάεδρο

Κανονικό εικοσάεδρο

Ημικανονικά πολύεδρα

(Αρχιμήδεια)

• Έδρες κανονικά πολύγωνα (όχι του ίδιου τύπου).

• Μεταβατικά ως προς τις κορυφές τους.

• Εγγράψιμα σε σφαίρα.

Πολύεδρα Catalan

Ημικανονικά πολύεδρα δυικά των Αρχιμήδειων.

• Έδρες κανονικά πολύγωνα (όχι του ίδιου τύπου).

• Περιγράψιμα σε σφαίρα.

• Έχουν τις ίδιες συμμετρίες με τα Αρχιμήδεια.

Κυβοκτάεδρο-Ρομβοδωδεκάεδρο

Πολύεδρα Jonson

92 Ημικανονικά πολύεδρα.

61 Σύνθετα 31 Στοιχειώδη

Πολύεδρα Kepler –Poinsot

Αστεροειδή πολύεδρα

4 κανονικά μη κυρτά πολύεδρα που προκύπτουν από τα Πλατωνικά.

Μεγάλο αστεροειδές

δωδεκάεδρο

Μεγάλο

δωδεκάεδρο

Μικρό αστεροειδές

δωδεκάεδρο Μεγάλο εικοσάεδρο

Γεωδαισιακός θόλος

Ζονόεδρα

Ζονόεδρο είναι ένα σύνολο σημείων στο

χώρο που προκύπτει από το άθροισμα

Mincowsky ν διανυσμάτων του 3-

διάστατου χώρου.

Το άθροισμα Mincowsky ν διανυσμάτων

προκύπτει σαν σύνολο μεταφορικών

επιφανειών με περίβλημα ένα κυρτό

πολύεδρο με έδρες ν(ν-1) εν γένει

παραλληλόγραμμα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΕ ΠΟΛΥΕΔΡΑ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΔΙΑΒΗΤΗ.

Παράσταση-επίπεδες τομές –αναπτύγματα.

ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΤΟΜΕΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ

ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΤΟΜΕ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ

Αληθές μέγεθος της τομής–Ανάπτυγμα.

Προβολές κύβου με τη βάση του σε τυχόν

επίπεδο.

Προβολές κύβου με τη διαγώνιο ΑΓ1

κατακόρυφη

Επίπεδες τομές κύβου

Επίπεδες τομές κύβου

ΟΜΑΔΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Ομάδες Συμμετρίας κανονικών πολυέδρων

Κανονικό Τετράεδρο

Τετραεδρική ομάδα συμμετρίας Τd

Εφαρμογές

Ομάδες Συμμετρίας κανονικών πολυέδρων

Κανονικό Εξάεδρο (Κύβος)

Κανονικό οκτάεδρο

Οκταεδρική ομάδα συμμετρίας Οh

24 περιστροφικές +24 κατοπτρικές

Εφαρμογές

Εικοσαεδρική ομάδα συμμετρίας Ιh 60 περιστροφικές +60 κατοπτρικές

Ομάδες Συμμετρίας κανονικών πολυέδρων

Κανονικό δωδεκάεδρο Κανονικό εικοσάεδρο

Κατασκευές

Εφαρμογές

Η κατασκευή του πολυμεσικού υλικού και των διαδραστικών αρχείων έγινε από τον

Νίκο Κουρνιάτη.

Οι εργασίες που παρουσιάζονται (σκίτσα, σχέδια, πινακίδες παρουσίασης,

τρισδιάστατες αναπαραστάσεις) δημιουργήθηκαν από τους Σπουδαστές της Σχολής

Αρχιτεκτόνων ΕΜΠ, στο πλαίσιο του Μαθήματος.

Τα παραδείγματα (σχέδια, σκίτσα, τρισδιάστατες απεικονίσεις, κινούμενες

αναπαραστάσεις κα) δημιουργήθηκαν από τους Διδάσκοντες.

Η λοιπή εικονογράφηση προέρχεται από τα βιβλία που συνέγραψαν οι Διδάσκοντες

του μαθήματος (βλ. βιβλιογραφία), που αποτελούν πνευματική τους ιδιοκτησία.

Σε υλικό τρίτων υπάρχει ειδική αναφορά. Ευχαριστούμε θερμά τους Δημιουργούς

που μας παραχώρησαν υλικό για την παρούσα δημοσίευση.

Σημείωση: Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας.

Βιβλιογραφία

Αναφορές σε δημιουργούς

Νίκος Κουρνιάτης, Γεωμετρία και Αρχιτεκτονική, Αθήνα 2014.

Ανθή-Μαρία Κουρνιάτη, Νίκος Κουρνιάτης, Η Προοπτική στην Αρχιτεκτονική Απεικόνιση, εκδόσεις Τζιόλα, 2012, επανέκδοση 2015.

Χρηματοδότηση

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

έργου του διδάσκοντα.

Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος

«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την

Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς

πόρους.