Post on 04-Jul-2015
description
Εξέταση Προόδου
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Αντιστροφοι Πίνακες
Θεωρήματα και Ασκήσεις
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
17 Οκτωβρίου 2014
Εξέταση Προόδου
Γινόμενο Πινάκων
Κάθε στήλη του γινομένου των δύο πινάκων A B ισούται με τογινόμενο του A με την αντίστοιχη στήλη του B.
A ·
...
.
.
.
Bστ1 · · · Bστn...
.
.
.
=
...
.
.
.
A ·Bστ1 · · · A ·Bστn...
.
.
.
Κάθε γραμμή του γινομένου των δύο πινάκων A B ισούται με τογινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του A επί τον B.
· · · Aγρ1 · · ·...
· · · Aγρn · · ·
·B=
· · · Aγρ1 ·B · · ·
.
.
.
· · · Aγρn ·B · · ·
Εξέταση Προόδου
Ορισμός αντιστρόφου
Ο αντίστροφος ενός πίνακα A είναι ένας άλλος πίνακας B τέτοιοςώστε
AB=BA= I
Ο αντίστροφος συνήθως συμβολίζεται με A−1.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος του αντίστροφου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο
πίνακας. Δηλαδή (A−1
)−1 =A
.
Απόδειξη.
AA−1 =A−1A= I.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος του αντίστροφου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο
πίνακας. Δηλαδή (A−1
)−1 =A
.
Απόδειξη.
AA−1 =A−1A= I.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο,
με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους.
Δηλαδή
(AB)−1 =B−1A−1.
Απόδειξη.
(B−1A−1
)(AB) =B−1
(A−1A
)B=B−1IB=B−1B= I.
(AB)(B−1A−1
)=A
(BB−1
)A−1 =AIA−1 =AA−1 = I.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο,
με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1 =B−1A−1.
Απόδειξη.
(B−1A−1
)(AB) =B−1
(A−1A
)B=B−1IB=B−1B= I.
(AB)(B−1A−1
)=A
(BB−1
)A−1 =AIA−1 =AA−1 = I.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο,
με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1 =B−1A−1.
Απόδειξη.
(B−1A−1
)(AB) =B−1
(A−1A
)B=B−1IB=B−1B= I.
(AB)(B−1A−1
)=A
(BB−1
)A−1 =AIA−1 =AA−1 = I.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο,
με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1 =B−1A−1.
Απόδειξη.
(B−1A−1
)(AB) =B−1
(A−1A
)B=B−1IB=B−1B= I.
(AB)(B−1A−1
)=A
(BB−1
)A−1 =AIA−1 =AA−1 = I.
Εξέταση Προόδου
Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B=BI =B(AC) = (BA)C= IC=C.
Εξέταση Προόδου
Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B
=BI =B(AC) = (BA)C= IC=C.
Εξέταση Προόδου
Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B=BI
=B(AC) = (BA)C= IC=C.
Εξέταση Προόδου
Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B=BI =B(AC)
= (BA)C= IC=C.
Εξέταση Προόδου
Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B=BI =B(AC) = (BA)C=
IC=C.
Εξέταση Προόδου
Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B=BI =B(AC) = (BA)C= IC=C.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότεÏ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax= b γιαοποιοδήποτε b
Ï και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.
Απόδειξη.
Ax= b⇒A−1Ax=A−1b⇒ x=A−1b.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότεÏ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax= b γιαοποιοδήποτε b
Ï και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.
Απόδειξη.
Ax= b
⇒A−1Ax=A−1b⇒ x=A−1b.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότεÏ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax= b γιαοποιοδήποτε b
Ï και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.
Απόδειξη.
Ax= b⇒A−1Ax=A−1b
⇒ x=A−1b.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότεÏ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax= b γιαοποιοδήποτε b
Ï και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.
Απόδειξη.
Ax= b⇒A−1Ax=A−1b⇒ x=A−1b.
Εξέταση Προόδου
΄Υπαρξη αντιστρόφου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος ενός πίνακα A υπάρχει ανν όλα τα οδηγά στοιχείαμετά την απαλοιφή με οδήγηση του A είναι μη μηδενικά.
Απόδειξη.
Για να υπάρχει πρέπει να μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις
στήλες του.
Πρέπει δηλαδή τα συστήματα Avj = ejγια j= 1,2, . . . ,n να έχουν
όλα λύση.
Εξέταση Προόδου
Αντίστροφος τριγωνικού
Θεώρημα
Ο αντίστροφος ενός άνω(κάτω) τριγωνικού πίνακα είναι
άνω(κάτω) τριγωνικός πίνακας.
Απόδειξη.
Εύκολη αλλά θέλει τον χρόνο της και είναι βαρετή.
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
EA=1 0 0
0 1 π
0 0 1
2 2 40 1 −3−2 7 4
=??
Α)
2 2 4−2π 1+7π −3+4π−2 7 4
Β)
2 2 40 1 −3
2π−2 2π+7 4π+4
Γ)
2 2 4+2π0 1 −3+π−2 7 4+7π
Δ)
2 2 40 1 −3−2 π+7 4−3π
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[1 32 4
]είναι ο
[−2 32
1 −12
].
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1
Α)
[1 23 1
]Β)
[10
]Γ)
[03
]Δ)
[ 12 0−0 1
]Δικαιολογήστε την απάντησή σας
Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων
[1 32 4
]x=
[12
]άρα
λύση είναι η Β):
[−2 32
1 −12
][12
]=
[10
]
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[1 32 4
]είναι ο
[−2 32
1 −12
].
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1
Α)
[1 23 1
]Β)
[10
]Γ)
[03
]Δ)
[ 12 0−0 1
]Δικαιολογήστε την απάντησή σας
Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων
[1 32 4
]x=
[12
]άρα
λύση είναι η Β):
[−2 32
1 −12
][12
]=
[10
]
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[1 32 4
]είναι ο
[−2 32
1 −12
].
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1
Α)
[1 23 1
]Β)
[10
]Γ)
[03
]Δ)
[ 12 0−0 1
]
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων
[1 32 4
]x=
[12
]άρα
λύση είναι η Β):
[−2 32
1 −12
][12
]=
[10
]
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[1 32 4
]είναι ο
[−2 32
1 −12
].
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1
Α)
[1 23 1
]Β)
[10
]Γ)
[03
]Δ)
[ 12 0−0 1
]Δικαιολογήστε την απάντησή σας
Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων
[1 32 4
]x=
[12
]άρα
λύση είναι η Β):
[−2 32
1 −12
][12
]=
[10
]
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[1 32 4
]είναι ο
[−2 32
1 −12
].
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1
Α)
[1 23 1
]Β)
[10
]Γ)
[03
]Δ)
[ 12 0−0 1
]Δικαιολογήστε την απάντησή σας
Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων
[1 32 4
]x=
[12
]άρα
λύση είναι η Β):
[−2 32
1 −12
][12
]=
[10
]
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθεπραγματικό αριθμό r 6= 0 ισχύει
(rA)−1 = 1r
A−1
(1r
A−1)rA= (r(1r
A−1))A=A−1A= I
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθεπραγματικό αριθμό r 6= 0 ισχύει
(rA)−1 = 1r
A−1
(1r
A−1)rA= (r(1r
A−1))A=A−1A= I
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Είναι ο πίνακας
A=1 2 3
1 2 41 2 5
Αντιστρέψιμος;
Α Ναι.
Β ΄Οχι.
Γ ΄Ισως.
Δ Τα έχω χαμένα.
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα1 1 12 −1 03 4 5
x=0
00
έχει σαν λύση μόνον την x=~0 τι ισχύει για το σύστημα1 1 1
2 −1 03 4 5
x=−1
7−3
?
Α Υπάρχει τουλάχιστον μία λύση x.Β Υπάρχει το πολύ μια λύση x.Γ Και τα δύο απο τα παραπάνω
Δ Τίποτε απο τα παραπάνω.
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα1 1 12 −1 03 4 5
x=0
00
έχει σαν λύση μόνον την x=~0 τι ισχύει για το σύστημα1 1 1
2 −1 03 4 5
x=−1
7−3
?
Α Υπάρχει τουλάχιστον μία λύση x.Β Υπάρχει το πολύ μια λύση x.Γ Και τα δύο απο τα παραπάνω
Δ Τίποτε απο τα παραπάνω.
Εξέταση Προόδου
΄Ασκηση
Η ισότητα (A+B)T =AT +BTισχύει
Α Για κάθε ζεύγος n×n πινάκων A και B.Β Για κανένα ζεύγος n×n πινάκων A και B.Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n×n πινάκων A και B ενώ για άλλαδεν ισχύει