Ντίνα ΛύκαΕαρινό Εξάμηνο, 2013

lika@biology.uoc.gr

ΒιομαθηματικάBIO-156

Ολοκλήρωση

Ορισμός αντιπαραγώγου(ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης)

Μια συνάρτηση F ονομάζεταιαντιπαράγωγος της f σε ένα διάστημαΙ, αν F'(x)=f(x) για x� I.

Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει μίαπαράγωγο, αλλά μια συνάρτηση έχει ένασύνολο αντιπαραγώγων.

Αν η F(x) είναι μια αντιπαράγωγος της f(x) τότε όλες οι συναρτήσεις G(x)=F(x)+c, cσταθερά, είναι αντιπαράγωγοι (γενικήαντιπαράγωγος) της f(x).

Αόριστο ολοκλήρωμα

Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων τηςσυνάρτησης f ονομάζεται αόριστοολοκλήρωμα της f ως προς x καισυμβολίζεται

cxFdxxf +=∫ )()(

Αντιπαράγωγοι βασικών συναρτήσεων

Γραμμικότητα του ολοκληρώματος

Έστω και

Τότε

1.

2.

3.

cxFdxxf +=∫ )()(

cxGdxxg +=∫ )()(

cxaFdxxfadxxaf +=∫=∫ )()()(

( )cxGxF

dxxgdxxfdxxgxf

++=

∫+∫=∫ +

)()(

)()()()(

( )cxGxF

dxxgdxxfdxxgxaf

++=

∫+∫=∫ +

)()(

)()()()(

βα

βαβ

Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων

μέθοδος ολοκλήρωσης μεαντικατάσταση ή αλλαγήςμεταβλητής

μέθοδος ολοκλήρωσης κατά μέρηή κατά παράγοντες

ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεωνή ολοκλήρωση με μερικάκλάσματα.

Μέθοδος με αντικατάσταση ήαλλαγής μεταβλητής- βασίζεται στην παραγώγιση σύνθεσης

συναρτήσεων

Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων τηςμορφήςανάγεται στον υπολογισμόολοκληρωμάτων της μορφής

όπου u=g(x) και du=g΄(x)dx

∫ ′ dxxgxgf )()]([

∫ duuf )(

Παραδείγματα

cxcu

duuduudxx

++=+=

==+ ∫∫∫

2/3

2/3

)32(31

2/321

21

232 .1

Θέτουμε u=2x+3 με du=2dx

ce

cu

du

uee

t

t

t

dt

++

−=

+−+

== ∫∫

)1(2

1

2

1

2

1

)1(

2

222

2

.2

Θέτουμε u=1+e2t με du=2e2tdt

Μέθοδος ολοκλήρωσης κατάμέρη ή κατά παράγοντες

- βασίζεται στον κανόνα παραγώγισης τουγινομένου

Αν οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναιπαραγωγίσιμες, τότε

∫∫ ′−=′ dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()(

Παραδείγματα (1)

cxecexedxexedxxexedxexdxxe

x

xxxx

xxxx

+−=+−=−=

′−=′=

∫

∫∫∫

)1(

)()( .1

cxxxdxxx

dxxxxx

dxxxdxxxdx

+−=−=

′−=

′⋅=⋅=

∫

∫

∫∫∫

lnln

)(lnln

)(ln1lnln .2

Παραδείγματα (2)

cxxecexeex

dxxeexdxxeexdxxeexdxexdxex

x

xxx

xxxx

xxxx

++−=+−−=

−=−=

′−=′=

∫∫

∫∫∫

)22( )(2

22 )()( .3

2

2

22

2222

( )( ) ceex

ceue

duuedxe

xx

uu

uxdxxdu

xu

+−=

+−=

∫=∫==

2 2

2 .42

1

Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων

Για να ολοκληρώσουμε ρητέςσυναρτήσεις είναι συνήθως αναγκαίονα γράψουμε τη συνάρτηση σανάθροισμα ενός πολυωνύμου και πιοαπλών ρητών συναρτήσεων τηςμορφής

ή

όπου A,B,C,a,b, και c είναι σταθερές και k θετικός ακέραιος. Ο παρανομαστής τουδευτέρου κλάσματος δεν αναλύεται σε γινόμενοπρωτοβάθμιων όρων, δηλαδή δεν έχειπραγματικές ρίζες.

kaxA

)( − kcbxxCBx

)( 2 +++

Η διαδικασία ανάλυσης σε μερικάκλάσματαΒήμα 1 Αν στον παρανομαστή υπάρχει

πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσουαπό το βαθμό του πολυωνύμου τουαριθμητή τότε πριν κάνουμε την ανάλυσησε μερικά κλάσματα πρέπει πρώτα ναεκτελέσουμε τη διαίρεση του αριθμητήδια τον παρανομαστή.

Βήμα 2 Αναλύουμε τον παρανομαστή σεγινόμενο πρωτοβάθμιων (x-a)k καιδευτεροβάθμιων (x2+bx+c)k (με b2-4c<0) παραγόντων.

Βήμα 3. γραμμικοί παράγοντες

Σε κάθε απλό γραμμικό παράγοντα τουπαρονομαστή x-α, αντιστοιχεί στηνανάλυση του κλάσματος ένας όρος τηςμορφής

Αν ο γραμμικός παράγοντας x-a εμφανίζεται k φορές στηνπαραγοντοποίηση του παρονομαστή,τότε η ανάλυση σε μερικά κλάσματαπεριέχει όρους της μορφής

axA−

k

k

axA

axA

axA

)()( 2

21

−+

−+

−L

Υπολογισμός του ολοκληρώματος

Αν k =1, τότε

Αν k≥2, τότε

∫−

dxax k)(

1

caxk

dxax kk

+−−

−=− −∫ 1)(

11

1)(

1

caxdxax

+−=−

∫ ln1

Παράδειγμα 1Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Αναλύουμε σε μερικά κλάσματα

Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε

Οπότε A+C =15A+B+4C=06A+3B+4C=0

∫ ++dx

xxx

)3()2( 2

2

3)2(2)3()2( 22

2

++

++

+=

++ xC

xB

xA

xxx

)436()45()( )2()3()3)(2(

2

22

CBAxCBAxCAxCxBxxAx

+++++++=++++++=

A=-8B=4C=9

cxxx

xdx

xdx

xdxdx

xxx

++++−+−=

++

++

+−=

++

−

∫∫∫∫

3ln9)2(42ln8

39

)2(4

28

)3()2(

1

22

2

Παράδειγμα 2Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου στοναριθμητή = το βαθμό του πολυωνύμουστον παρανομαστή

∫ −−dx

xxx

)2)(1(

2

.2

41

11)2)(1(

231)2)(1(

2

−+

−−=

−−−

+=−− xxxx

xxx

x

διαίρεση Ανάλυσησε μερικά κλάσματα

cxxxxdx

xdxdxdx

xxx

+−+−−=

−+

−−=

−−∫∫∫∫

2ln41ln 2

41)2)(1(

2

Βήμα 3. δευτεροβάθμιοι παράγοντες

Αν ο δευτεροβάθμιος παράγοντας x2+bx+c (με b2 -4c<0) εμφανίζεται k φορές στηνπαραγοντοποίηση του παρονομαστή, τότε ηανάλυση σε μερικά κλάσματα περιέχειόρους της μορφής

όπου Bi και Ci είναι σταθερές

Γράφουμε τον δευτεροβάθμιο παράγονταστη μορφή (x-μ)2 +ν με συμπλήρωσητετραγώνου

k

kk

cbxxCxB

cbxxCxB

cbxxCxB

)()( 222

22

2

11

+++

+++

++

+++

L

Παράδειγμα 3

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Ανάλυση σε μερικά κλάσματα

Ολοκληρώνοντας

∫+++ dx

xxx

22

2

)1(1

22222

2

)1(11

)1(1

++

+=

+++

xx

xxxx

cx

x

cu

x

udux

dxx

xdxx

dxx

xx

xu

++

−=

+−=

+=

++

+=

+++

−

−

−

+=∫

∫∫∫

)1(21tan

21tan

tan

)1(11

)1(1

2

1

1

2

1

1

22222

2

2

12

Ολοκληρώματα και ΑθροίσματαΠαράδειγμα

Ρυθμός μεταβολής του όγκου νερού σε ένα δοχείο

V(t) : όγκος νερού (cm3) t : χρόνος (s)

Ζητάμε τη συνολική μεταβολή του όγκου από t=0 μέχρι t=1

2tdtdV

=

Συνολική μεταβολή

dtdV

t t

dtdV

Ολοκληρώματα και Αθροίσματα

Έστω ότι ο ρυθμός μεταβολής της Μ στοδιάστημα [α,β] είναιΖητάμε τη συνολική μεταβολή της Μ στο

διάστημα [α,β].

Pn μια διαμέριση του διαστήματος [α,β]

Η διαμέριση αυτή χωρίζει το διάστημα[a,β] σε n υποδιαστήματα

[t0, t1], [t1, t2], ..., [tn-1, tn]Δtj= tj - tj-1 μήκος του υποδιαστήματος [tj-1, tj]

Πλάτος της διαμέρισης :||P|| = max{Δt1, Δt2,…, Δtn}

)(tfdt

dM=

β=<<<= nn tttaP L10 :

Ολοκληρώματα και Αθροίσματα

Σε κάθε υποδιάστημα [tj-1, tj] παίρνουμε ένα σημείο ξj καισχηματίζουμε το άθροισμα

Άθροισμα Riemann της f στο [α,β].

β=<<<= nn tttaP L10 :

nn

n

jjjP

tftftfSn

Δ++Δ=Δ= ∑=

)()()(11

1ξξξ L

α βtj-1 tjξj t

y

f(ξj)

Ορισμός: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Έστω , n=1,2,…μια ακολουθία διαμερίσεων του [α,β] με||P|| 0. Το ορισμένο ολοκλήρωμα της fαπό το α στο β είναι

αν το όριο υπάρχει. Τότε λέμε ότι ηf(x) είναι ολοκληρώσιμη στο [α,β].

Θεώρημα: Αν η f(x) είναι συνεχής στο[α,β], τότε είναι ολοκληρώσιμη στο

[α,β].

β=<<<= nn tttaP L10 :

∫ ∑ Δ==→

β

ξa

jjPtfdttf )(lim)(

n

1j0||||

Παραδείγματα - ΟρισμένοολοκλήρωμαΓια μια συνεχή συνάρτηση f(t) το είναιανεξάρτητο από τη διαμέριση και την επιλογήτων σημείων ξj

Για χάρη απλότητας υποθέτουμε ότι τομήκος κάθε διαστήματος είναι το ίδιοκαι επιλέγουμε ως ξj τα δεξιά άκρα τωνυποδιαστημάτων [tj-1, tj]

Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το ∫1

0tdt

nPPS

0||||lim

→

nat −

=Δβ

njn

ajatjaj ,,2,1 , L=−

+=Δ+=βξ

21

2)1(111

)1

1

0

21

21

11

limlim(lim

lim)(lim

=+

∞→=

∞→=

∞→

=∞→

=∞→

===

==

∑∑

∑∑∫nn

nnn n

n

jn

n

jn

n

jjn

n

jjn

jn

j

ΔtΔtftdt ξξ

Θεμελιώδες θεώρημα τουαπειροστικού λογισμού

Έστω f (x) μια συνεχής συνάρτηση στοδιάστημα [α,β], τότε

όπου F(x) είναι μια αντιπαράγωγοςτης f (x), δηλαδή F’ (x) = f (x).

ββ

β aaxFaFFdxxf )()()()( =−=∫

Τεχνικές ολοκλήρωσης

- με αντικατάσταση ή αλλαγή μεταβλητής

- κατά παράγοντες

∫∫==′

)(

)()()()]([

)(

ββ g

agaduufdxxgxgf

xgu

∫

∫

′−−=

=′

β

β

ααββa

a

dxxgxfgfgf

dxxgxf

)()()()()()(

)()(

Ιδιότητες των ορισμένωνολοκληρωμάτωνΈστω ότι f(x) και g(x) είναι ολοκληρώσιμεςστο [α, β]. Τότε

0)( =∫a

adxxf

∫∫ −=α

β

β

dxxfdxxfa

)()(

∫∫∫ +=ββ

γ

γ

dxxfdxxfdxxfaa

)()()(5. Αν α<γ<β, τότε

1.

2.

,0)(είναι ],[ Αν ≥∈∀ tfat β

4.

0)( ≥∫β

adttf

),()(είναι ],[ Αν tgtfat ≤∈∀ β

3.

∫∫ ≤ββ

aadttgdttf )()(

σταθερά ,)()( kdxxfkdxxkfaa∫∫ =ββ

6.

7.

( ) ∫∫∫ +=+β

α

β

α

β

αdxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Εφαρμογές της ολοκλήρωσης

Υπολογισμός εμβαδούa) Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο

[α, β] και f(x) ≥ 0 στο [α, β], τότε

όπου Α το εμβαδόν της περιοχήςμεταξύ του x-άξονα και τουγραφήματος της f στο [α, β].

Adxxfa

=∫β

)(

y

α βΔx

A f(x)

x

y=f(x)

∑∫ Δ=→Δ

xxfdxxfxa

)(lim)(0

β

Υπολογισμός εμβαδού

Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο [α, β]και f(x) < 0 στο [α, β], τότε

όπου Α το εμβαδόν της περιοχήςμεταξύ του x-άξονα και τουγραφήματος της f στο [α, β].

Adxxfa

−=∫β

)(

y

α β

Ax

y=f(x)

y= -f(x)

B

Επειδή εμβαδόν του A= εμβαδόν του B, και

∫ −=β

adxxfB )]([

Υπολογισμός εμβαδού

c) Εμβαδόν χωρίου μεταξύγραφημάτων

∫ −β

adxxgxf )()(

f(x)

g(x)

α βx

y

Μέση τιμή

Έστω f μια συνεχή συνάρτηση στο[a,β]. Η μέση τιμή της f στο διάστημα[a,β] είναι

∫−

=β

β adxxf

af )(1

Υπολογισμός της μάζας αντικειμένου(μια διάσταση)

μάζα αντικειμένου =

όπου ρ(x) η πυκνότητα στη θέση x.

βα

∫βρ

adxx)(

Αφθονία ενός είδους στη στήλητου νερού

A(x) : αριθμός ατόμων (π.χ. φυτοπλαγκτού, ψαριών) από την επιφάνεια στο βάθος x ( ή συνολικήποσότητα αλατιού, νιτρικών κ.α.)

ρ(x) : πυκνότητα ή συγκέντρωση στο βάθος x

Δx

1m1m

x

x +Δx

∫=x

dyyxA0

)()( ρ

Όγκος στερεού

Όγκος στερεού από περιστροφή μιαςπεριοχής Α(x) μεταξύ α και β

A

α β x

r=f(x)Δx

y

α β

[ ]∫∑ ⎯⎯ →⎯Δ →Δ

βππ

adxxfxxf x

20

2 )()]([

[ ]∫=βπ

adxxfV 2)(

Καταχρηστικά ή γενικευμέναολοκληρώματα (improper integrals)

Χαρακτηριστικά των καταχρηστικώνολοκληρωμάτων

1. Το ένα ή και τα δύο όρια τηςολοκλήρωσης είναι το άπειρο, δηλαδή το διάστημα ολοκλήρωσηςδεν είναι φραγμένο

2. Η συνάρτηση που ολοκληρώνεταιδεν είναι φραγμένη, δηλαδήαπειρίζεται σε ένα ή περισσότερασημεία στο διάστημα ολοκλήρωσης

α) Πρώτου είδους- μη φραγμένοδιάστημα ολοκλήρωσης

ή ή

Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο[α, ∞), ορίζουμε

Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο(-∞, β], ορίζουμε

∫∞

adxxf )( ∫

∞−

βdxxf )( ∫

∞

∞−dxxf )(

∫∫ ∞→=

∞ z

aadxxfdxxf

z)()( lim

∫∫ →−∞=

∞−

ββ

zdxxfdxxf

z)()( lim

Παράδειγμα

Έστω ότι ο ρυθμός παραγωγής ενόςχημικού μειώνεται εκθετικά με τοχρόνο σύμφωνα με την εξίσωση

Η ποσότητα της ουσίας που παράγεταιμεταξύ t=0 και t=T είναι

Πόση ποσότητα της ουσίας θαπαραγόταν αν το πείραμα διαρκούσεάπειρο χρόνο;

)(moles/sec te

dtdP −=

Tt eT

dte −− −=∫ 10

( ) (mole) 11limlim00

=−== −

∞→

−

∞→

− ∫∫∞

T

T

t

T

t eT

dtedte

Παράδειγμα

Παραγωγή χημικού με ρυθμό

Πόσο χημικό παράγεται μετά από πολύχρόνο;

)(moles/sec 1

1tdt

dQ+

=

( ) !!!! )1ln(limlim00 1

11

1∞=+===

∞→∞→∞ ∫∫ ++

∞TQ

TT

Tdtdt

tt

Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο[α, ∞). Αν

υπάρχει και έχει πεπερασμένη τιμή, λέμε ότι το ολοκλήρωμα

συγκλίνει. ∆ιαφορετικά, λέμε ότι τοολοκλήρωμα αποκλίνει

∫∞→

z

adxxf

z)(lim

∫∞

adxxf )(

Παραδείγματα

Η συνάρτηση είναι συνεχήςστο [1,∞) και η g(x)=e-ax είναι συνεχής στο[0,∞)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤<∞=∫

∞

1 ,1-p

11p0 ,

1

1px

dxp

0 ,1

)( >= px

xfp

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤∞+

>=∫

∞−

0 ,

0 ,1

0

a

aadxe ax

∆ιάστημα ολοκλήρωσης (-∞, ∞)

Έστω f(x) μια συνεχής συνάρτηση στοδιάστημα (-∞, ∞). Τότε

όπου α πραγματικός αριθμός. Αν καιτα δύο καταχρηστικά ολοκληρώματαστο δεξιό μέλος συγκλίνουν, τότε ητιμή του καταχρηστικού ολοκληρώματοςστο αριστερό μέλος ισούται με τοάθροισμα των δύο οριακών τιμών στοδεξιό μέλος.

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=a

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

β) ∆ευτέρου είδους- μη φραγμένησυνάρτηση

Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε έναδιάστημα (α,β] και , τότε τοΟλοκλήρωμα

αν το όριο υπάρχει (πεπερασμένο) τότε τοκαταχρηστικό ολοκλήρωμα λέμε ότισυγκλίνει. Αν το όριο είναι ±∞ τότε λέμεότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Η συνάρτηση f(x) =1/√x είναι συνεχής στο (0,1], αλλάγια x 0+, f(x) ∞. Για c � (0,1) υπολογίζουμε

±∞=+→)(lim xf

ax

),()(lim)( , βββ

α

acdxxfdxxfca

c

∈= ∫∫+

→

1

0

1∫ dx

x

cc

xdxxc

221

211

−==∫

2)22(lim1

lim1

0

11

0 0

=−=++

→→

=∫∫ cdxx

dxx cc

c

Παράδειγμα

Η συνάρτηση είναι συνεχήςστο (0, 1]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥∞=∫ 1 ,

p-11

1p , 11

0px

dxp

pxxf

1)( =

Προτεινόμενη Βιβλιογραφία

C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004Chapter 6: όλοChapter 7: 7.1, 7.2, 7.3 και 7.4

F. R. Adler. “Modeling the dynamics of life: calculus and probability for life scientists”. Brooks/Cole, 1998. Chapter 4: 4.3- 4.8

M. R. Cullen “Mathematics for the biosciences”. Techbooks, 1983Sections: 18-25