Ο ΑΡΙΘΜΟ Φ

ΧΡΤΗ ΣΟΜΗ

Βλάχου Μαριανίκθ Ροφςςοσ Γιάννθσ τεφαδοφροσ Γιϊργοσ

τυλιανάκθσ Μάνοσ φακάκθ Αγλαΐα φζτςα Χαροφλα

Οριςμόσ: Θ χρυςι τομι ορίηεται ωσ το πθλίκο των κετικϊν αρικμϊν που ιςοφται περίπου με 1,618. Κεωρείται ότι δίνει αρμονικζσ αναλογίεσ και για το λόγο αυτό ζχει χρθςιμοποιθκεί ςτθν αρχιτεκτονικι και τθ ηωγραφικι, τόςο κατά τθν αρχαία Ελλάδα όςο και κατά τθν Αναγζννθςθ.

Μαθηματικόσ Τφποσ

Με a,b πλευρζσ ευκυγράμμων τμθμάτων

Από το (2)=(3) ζχουμε και αντικακιςτϊντασ ςτο (1)=(3) προκφπτει

Θ εξίςωςθ αυτι ζχει μόνο μία κετικι ρίηα, τθν = 1.618033988749895

Ιςτορική Αναδρομή

• τθν αρχιτεκτονικι των αρχαίων Αιγυπτίων και Ελλινων

• τθν Πυκαγόρεια Μουςικι ( 6ο αι. π.Χ. )

• τθν ακολουκία Fibonacci (12ο αι. μ.Χ. )

• τισ τζχνεσ που είναι βαςιςμζνεσ ςτθ «Κεία Αναλογία» του Da Vinci (15ο αι. μ.Χ. )

• τισ ςφγχρονεσ κετικζσ επιςτιμεσ

• τθν κακθμερινι ηωι

Ενϊ θ αναλογία είναι γνωςτι ωσ θ χρυςι τομι υπιρχε πάντα ςτα μακθματικά και ςτο φυςικό ςφμπαν, είναι άγνωςτο πότε ακριβϊσ ανακαλφφκθκε για πρϊτθ φορά και πότε εφαρμόςτθκε από τθν ανκρωπότθτα. Είναι λογικό να υποκζςουμε ότι ζχει ίςωσ ανακαλυφκεί και ανακαλφφκθκε εκ νζου ςτθ διάρκεια τθσ ιςτορίασ, πράγμα που εξθγεί γιατί πθγαίνει κάτω από διάφορα ονόματα. Βρίςκεται:

Εφαρμογζσ του φ • Εξετάηουμε ορκογϊνιο τετράπλευρο πλευράσ 1x2 :

– από Πυκαγόρειο κεϊρθμα

• (διαγϊνιοσ )2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5Άρα διαγϊνιοσ = √5

Διαςπάμε το ορκογϊνιο ςε 2 ορκογϊνια τρίγωνα κ χρθςιμοποιοφμε το ζνα.

• Και ζχουμε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρζσ ΑΒ = 1 , ΒΓ = √5 και ΓΑ = 2.

• Διαςπάμε τθ γωνία Γ και ςτρζφουμε τθν ορκι περί το Β, ϊςτε θ πλευρά ΑΒ να γίνει οριηόντια και να πάρει τθ κζςθ τθσ ΒΑ’.

Σαυτόχρονα ςτρζφουμε τθν πλευρά ΒΓ , ϊςτε να βρίςκεται ςτθν προζκταςθ τθσ ΒΑ’

Σο ορκογϊνιο ΑΒΓΔ που προκφπτει διακζτει:

• ΑΒ = ΓΔ = √5 + 1

• ΒΓ = ΑΔ = 2

• Αν : α= ΑΒ = ΓΔ = √5+1

• β= ΒΓ = ΑΔ = 2

• Σότε από τφπο φ : φ = α/ β= α + β/α ≈ 1,618

• α/β = √5+1 / 2= √5+1+2 / √5+1 ≈ 1,618

Συμπζραςμα : Εφόςον θ εξίςωςθ φ περιζχει ριηικό , ο αρικμόσ που προκφπτει είναι αλγεβρικόσ αρικμόσ , αλλά και άρρθτοσ , δθλαδι δεν ιςοφται με το λόγο ακεραίων. Κατά ςυνζπεια αποτελείται από άπειρο πλικοσ μθ επαναλαμβανόμενων δεκαδικϊν ψθφίων .

Χρυςό ορκογϊνιο • Εξετάηουμε ορκογϊνιο το οποίο είναι καταςκευαςμζνο με βάςθ το φ. ζχει πλευρζσ 2 και ( √5+1).

Διαιροφμε ςε ζνα τετράγωνο πλευράσ 2 και ζνα μικρότερο ορκογϊνιο.

Παρατθροφμε:

• Oι πλευρζσ μικρότερου ορκογωνίου ζχουν ίδιο λόγο με τισ πλευρζσ του μεγαλφτερου , άρα κατά ςυνζπεια είναι και αυτό ζνα Χρυςό Ορκογϊνιο .

• Θ διαδικαςία αυτι μπορεί να ακολουκείται ςυνεχϊσ και δθμιουργείται ζνα άπειρο ςφνολο από ςυνεχϊσ μικρότερα Χρυςά Ορκογϊνια, ενϊ ο λόγοσ του εμβαδοφ ενόσ Χρυςοφ Ορκογωνίου και του αμζςωσ μικρότερου είναι ακριβϊσ φ2 .

ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΟΥ Φ φ2=φ+1

• Αν φζρουμε όλουσ τουσ όρουσ ςτο πρϊτο μζροσ παίρνουμε τθν δευτεροβάκμια εξίςωςθ : φ2 - φ - 1 = 0.

• Αν λφςουμε αυτι τθν εξίςωςθ ϊςτε να βροφμε τισ τιμζσ του φ καταλιγουμε :

φ= ( 1 +√5)/ 2 και φ= ( 1 - √5) / 2

Άρα θ Χρυςι Σομι όχι μόνο ικανοποιεί τθ ςχζςθ φ2= φ + 1 , αλλά υπάρχει και άλλθ τιμι

φ2 = [(1 - √5 ) / 2] + 1

• Θ παράςταςθ: (1 - √5) /2 ≈ -0,6180339… ςυμβολίηεται με φ’ και είναι αντίςτροφο τθσ τιμισ

( 1 + √5 )/2 .

Άρα το φ και το φ’ ικανοποιοφν τθν εξίςωςθ : φ ∙ φ’ = -1

Αλλά και τθν εξίςωςθ : φ+ φ’ = 1

Άρα αν πάρουμε τθν αρχικι ςχζςθ φ2=φ+1 και πολλαπλαςιάςουμε και τα δφο μζλθ με φ :

φ3 = φ2 +φ

• υμπεραίνουμε ότι για να βροφμε τον κφβο του αρικμοφ φ χρειάηεται απλά να προςκζςουμε ςτο τετράγωνό του το ίδιο το φ.

φn = φn-1 + φn-2

Επομζνωσ, προκειμζνου να υπολογίςουμε οποιαδιποτε δφναμθ του λόγου φ, αρκεί να προςκζςουμε τισ δφο αμζςωσ μικρότερεσ δυνάμεισ του.

Από αυτι τθν ιδιότθτα του φ προκφπτει μια νζα ακολουκία αρικμϊν που να βαςίηεται ςτισ δυνάμεισ του, και ςτθν οποία κάκε όροσ υπολογίηεται από το άκροιςμα των δφο προθγοφμενων όρων ξεκινϊντασ από το 1 και το φ.

Ακολουκία φ = {1, φ, φ2 , φ3, φ4 ,…}

Σθν ακολουκία αυτι μποροφμε να τθν ξαναγράψουμε χρθςιμοποιϊντασ μόνο το φ και όχι τισ δυνάμεισ του.

• φ2 = φ +1

• φ3 = φ2 + φ = (φ + 1) + φ = 2φ +1

• φ4= φ4 + φ2 = (2φ + 1) + (φ +1) = 3φ +2

• φ5 = φ4 + φ3 = (3φ +2) + (2φ + 1) = 5φ +3

Επομζνωσ θ ακολουκία γράφεται και ωσ εξισ :

• { 1,φ ,φ +1, 2φ +1, 3φ +2, 5φ +3, 8φ +5, …}

Φ και η ακολουθία Fibonacci

Θ ακολουκία ορίηεται ωσ:

0, 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….

Θ αναλογία των δφο διαδοχικϊν αρικμϊν τθσ ςειράσ προςεγγίηει το φ (1,618...)

φμφωνα με το όριο ςυνεχόμενων πθλίκων του Κζπλερ όςο αυξάνονται οι όροι τθσ ακολουκίασ Fibonacci τόςο περιςςότερο θ αναλογία των διαδοχικϊν αρικμϊν ςυγκλίνει προσ το Φ.

Π.χ.: 555 / 343 = 1,618075801749271 > 343 / 212 = 1,61792452830188

(Φ = 1,618033988749895)

Το Φ ςτισ Τζχνεσ

τισ Αιγυπτιακζσ πυραμίδεσ:

Οι αρχαίοι Αιγφπτιοι:

• ιταν οι πρϊτοι που χρθςιμοποίθςαν μακθματικά ςτθν τζχνθ

• απζδωςαν τισ μαγικζσ ιδιότθτεσ τθσ χρυςισ τομισ

τθν αρχιτεκτονικι:

τον Παρκενϊνα:

Αφοφ αποκατζςτθςε τριγωνικό αζτωμα που είχε καταςτραφεί

Ο αρχαίοσ ναόσ ταιριάηει ςχεδόν με ακρίβεια ςε ζνα χρυςό ορκογϊνιο

Οι περαιτζρω υποδιαιρζςεισ του ορκογωνίου ευκυγραμμίηονται απόλυτα με τα κυρίωσ χαρακτθριςτικά τθσ καταςκευισ.

ε ναοφσ:

τθν καταςκευι και ςτα βιτρό Μεςαιωνικϊν κακεδρικϊν ναϊν:

το Taj Mahal:

τα ςφγχρονα κτιρια:

το κτιριο των Θνωμζνων Εκνϊν

τον Πφργο CN ςτο Σορόντο

ε πολλά ςφγχρονα κτιρια

τθ γλυπτικι:

τισ καρυάτιδεσ

τθν κλίμακα των αναλογιϊν του Corbusier

το «Δαβίδ» του Μιχαιλ Άγγελου

τθ ηωγραφικι:

• Οι καλλιτζχνεσ φαίνεται να ζχουν χάςει κάκε ενδιαφζρον για τθ χρυςι τομι ςτα μακθματικά ωσ ςφνολο, τθν χρθςιμοποιοφν όμωσ ςτα ζργα τουσ

• Ζνα χρυςό ορκογϊνιο ταιριάηει τόςο τακτοποιθμζνα γφρω από

τθν κεντρικι φιγοφρα που λζγεται ςυχνά ότι ο καλλιτζχνθσ ςκόπιμα ηωγράφιςε τθν φιγοφρα ζτςι, ϊςτε να υπάρχουν ς’ αυτιν οι αναλογίεσ του αρικμοφ φ. Γνωρίηοντασ τθν αγάπθ του για «γεωμετρικζσ αναδθμιουργίεσ» όπωσ τισ περιζγραψε αυτό είναι αρκετά πικανό.

• Θ κλαςικι υποδιαίρεςθ των γραμμϊν του ορκογωνίου ταυτίηεται με το απλωμζνο χζρι του Αγίου Λερϊνυμου

• Μια τριγωνικι ςφνκεςθ θ οποία κατζχει ζνα περίπλοκο κζμα μζςα ςε τρεισ ευκείεσ γραμμζσ. Μια κάκετθ γραμμι που διζρχεται από τθν κορυφι του τριγϊνου ςτθ βάςθ χωρίηει τθ βάςθ ςφμφωνα με τθν χρυςι τομι.

• Σα ζργα του Joseph Mallord William Turner αντικείμενο καυμαςμοφ για τθν ιδιαίτερθ χριςθ του χρϊματοσ και του φωτόσ.

• το ζργο του ζρα, Λουόμενοι, γίνεται προφανι θ χριςθ χρυςϊν υποδιαιρζςεων.

• παρατθρείται τουλάχιςτον τρεισ φορζσ θ χριςθ των χρυςϊν αναλογιϊν

• Σο Μυςτήριο του Μυςτικοφ Δείπνου από τον αλβαδόρ Νταλί (1904-1989) περιζχεται ςε ζνα χρυςό ορκογϊνιο.

• Σα χρυςά ορκογϊνια ςτο πρόςωπο τθσ Μόνα Λίηα του Ντα Βίντςι αφκονοφν.

• Ο Λεονάρντο Ντα Βίντςι είχε κάνει μια προςεκτικι μελζτθ τθσ ανκρϊπινθσ μορφισ , τα αποτελζςματα τθσ οποίασ απεικόνιςε ςτον Βιτροφβιο άνκρωπο.

τα ζργα του Λεονάρντο Ντα Βίντςι:

Σο ςϊμα ενόσ μυρμθγκιοφ, ορίηεται από χρυςά τμιματα του μικουσ του. Ακόμα και τα πόδια του, είναι χρυςά τμιματα του ςϊματόσ του.

ΤΟ Φ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ

Παραδείγματα από τθ Θεία Αναλογία και χρυςι τομι μπορεί να βρεκεί ςτα ψάρια, πουλιά, κθλαςτικά και ζντομα.

Κάθε βαςικό χαρακτηριςτικό ςτο ςϊμα των ψαριϊν Angel Falls ζχει

χρυςή τομή. Θ μφτθ, το τμιμα τθσ ουράσ, και τα κζντρα των πτερυγίων τθσ ράχθσ των ψαριϊν Angel είναι το μπλε χρυςό τμιμα. Θ δεφτερθ χρυςι τομι (κίτρινο) ορίηει τισ εςοχζσ ςτθ ράχθ και τθν ουρά κακϊσ και το πάνω μζροσ του ςϊματοσ. Σο πράςινο τμιμα κακορίηει τθ ςιμανςθ γφρω από το μάτι και το ματηζντα τμιμα κακορίηει το μάτι.

Θ ΚΕΛΑ ΑΝΑΛΟΓΛΑ ΣΟ ΑΝΚΡΩΠΛΝΟ ΩΜΑ Θ λευκι δεξιά γραμμι, ορίηει το φψοσ του ςϊματοσ.

Θ μπλε, που είναι χρυςό τμιμα τθσ λευκισ, ορίηει τθν απόςταςθ από το κεφάλι μζχρι τα δάχτυλα.

Θ κίτρινθ γραμμι, μια χρυςι τομι τθσ μπλε, ορίηει τθν απόςταςθ από το κεφάλι μζχρι τον ομφαλό και τουσ αγκϊνεσ.

Θ πράςινθ γραμμι, χρυςό τμιμα τθσ κίτρινθσ γραμμισ, ορίηει τθν απόςταςθ από το κεφάλι μζχρι τουσ ϊμουσ και ςτο εςωτερικό τθν κορυφι των χεριϊν, το μικοσ του πιχθ και του οςτοφ κνιμθσ.

Θ ματηζντα γραμμι, μια χρυςι τομι τθσ πράςινθσ γραμμισ, ορίηει τθν απόςταςθ από το κεφάλι μζχρι τθν βάςθ του κρανίου και το πλάτοσ τθσ κοιλιάσ. Οι τομζσ τμιματα τθσ ματηζντα γραμμισ κακορίηει τθ κζςθ τθσ μφτθσ και τθ γραμμι των μαλλιϊν.

Σα μάτια, το ράμφοσ και το φτερό ςτο ςϊμα του πιγκουίνου, ορίηουν χρυςά τμιματα του φψουσ του.

Αντίςτοιχα, ςτθν τίγρθ, όλα τα βαςικά χαρακτθριςτικά του προςϊπου τθσ, αποτελοφν χρυςζσ τομζσ των γραμμϊν που ορίηουν το μικοσ και το πλάτοσ του προςϊπου τθσ.

Σο μάτι, τα πτερφγια και θ ουρά, όλα

εμπίπτουν ςτο χρυςό τμιμα του μικουσ του

ςϊματοσ ενόσ δελφινιοφ.

Οι διαςτάςεισ του ραχιαίου πτερυγίου είναι

χρυςά τμιματα (κίτρινο και πράςινο). Σο πάχοσ

του τμιματοσ τθσ ουράσ του δελφινιοφ

αντιςτοιχεί ςτθν ίδια χρυςι τομι τθσ γραμμισ

από το κεφάλι μζχρι τθν ουρά.

Σο ςθμάδι που μοιάηει με μάτια ςτθ ράχθ

αυτοφ του φκινοπωρινοφ ςκϊρου αποτελεί

χρυςά τμιματα των γραμμϊν του πλάτουσ του

και του μικουσ του.

Αρικμοί Fibonacci ςτα τμιματα

φυτϊν

Οι μπανάνεσ ζχουν 3

Σα μιλα ζχουν 5

Αρικμοί Fibonacci ςτθ μονάδα διακλάδωςθσ

ε ζνα φυτό κάκε διαδοχικό επίπεδο των διακλαδϊςεϊν του

βαςίηεται ςυχνά ςε μια εξζλιξθ τθσ ςειρά Fibonacci.

Σα φυτά, παρουςιάηουν τουσ αρικμοφσ Fibonacci ςτα φφλλα, τα πζταλα, τουσ ςπόρουσ αλλά και τουσ μόςχουσ τουσ.

• Πολλά πευκόδεντρα, αποτελοφνται από αρικμοφσ Fibonacci και τον αρικμό φ.

• Από είδοσ ςε είδοσ πεφκου θ χριςθ των αρικμϊν Fibonacci διαφοροποιείται κάπωσ, αλλά ςτθν πλειοψθφία τουσ,

• θ επιφάνεια του κουκουναριοφ κακορίηεται από τθν αναλογία φ, δθμιουργείται ζνα περιςτροφικό ςφνολο ςπειρϊν

Πικανϊσ το πιο διάςθμο από όλεσ τισ χριςεισ του φ ςε ςχετικζσ αναλογίεσ είναι το κζλυφοσ του Ναυτίλου, το οποίο μασ δείχνει αρκετά ξεκάκαρα τθ χριςθ τθσ χρυςισ ςπείρασ ςτθ δομι του.

Με διαδοχικά ςημεία διαίρεςησ ενόσ χρυςοφ ορθογωνίου ςε τετράγωνα, δημιουργείται μια λογαριθμική ςπείρα η οποία είναι γνωςτή ωσ η χρυςή ςπείρα.

Με αυτόν τον τρόπο το κζλυφοσ μπορεί να αναπτυχκεί ςε οποιοδιποτε μζγεκοσ και παρ’ όλ’ αυτά να διατθριςει τθν αρχικι εξαιρετικι του ιςορροπία και δομικι ακεραιότθτα.

Πολλά ακόμθ καλάςςια ηϊα, εκτόσ από το ναυτίλο, αξιοποιοφν το φ ςτθ ςωματικι τουσ διάπλαςθ. Θ παςίγνωςτθ για τθ ςχζςθ τθσ με το φ πεντάλφα, παρουςιάηεται ςε πολλά καλάςςια πλάςματα, όπωσ ο αςτερίασ, και το ςαλάχι.

Σζλοσ, ςυνεχίηοντασ να παρατθροφμε τθν πενταγωνικι ςυμμετρία, ρίξτε μια ματιά ςτισ αναλογίεσ του προςϊπου μιασ γάτασ:

Κεωροφμε ςθμαντικό να υπογραμμίςουμε πωσ παρά τθ ςθμερινι παρεξθγθμζνθ του μορφι, θ πεντάλφα είναι ζνα ςφμβολο παγανιςτικό, που ςχετίηεται με τθν αρμονία τθσ φφςθσ και το Κεό, και όχι ςατανιςτικό. Είναι το λεγόμενο

«αςτζρι των Πυκαγορείων» , το οποίο μάλιςτα χρθςιμοποίθςαν ωσ ςφμβολο τθσ αδελφότθτασ τουσ.

Ουςιαςτικά, μια πεντάλφα καταςκευάηεται από τισ διαγωνίουσ ενόσ παραλλθλογράμμου.

Σο «μυςτικό» που ανακάλυψε ο Πυκαγόρασ ςε αυτό το ςφμβολο και τον ζκανε να το αγαπίςει τόςο, ιταν ότι παρατθρϊντασ τουσ λόγουσ των ευκφγραμμων τμθμάτων που ςχθματίηονταν, κατζλθγε κάκε φορά, όποεσ πλευρζσ κιαν ζπαιρνε, ςτον ίδιο αρικμό. Σον αρικμό που εμείσ με τθν πάροδο των χρόνων ονομάςαμε αρικμό ‘φ’ από τον αρχαίο γλφπτθ Φειδία, ο οποίοσ είχε επίςθσ ανακαλφψει τθν πολυτιμότθτα τθσ πεντάλφα.

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ

Η ΠΕΝΣΑΛΦΑ ΣΗ ΘΡΗΚΕΤΣΙΚΗ ΕΙΚΑΣΙΚΗ ΣΕΧΝΗ

Από το ιςόπλευρο πεντάπλευρο-δωδεκάεδρο (πεντάλφα) βγαίνουν οι 12 μινεσ του χρόνου, οι 30 θμζρεσ του μινα αλλλα οι 12 ϊρεσ τθσ θμζρασ.

Επιπροςκζτωσ, μζςω μιασ απλισ μακθματικισ πράξθσ, οι 5 πλευρζσ επί τισ 12 ζδρεσ, καταλιγουμε ςτα 60 λεπτά τθσ ϊρασ.

Σζλοσ, πολλοί υποςτθρίηουν πωσ τα βγαίνουν και τα 20 αμινοξζα που παράγουν τθν ηωι, φυτϊν και ηϊων, προζρχονται από τισ 20 γωνίεσ του.

Χρυςόσ κανόνασ και Πεντάλφα «κρφβονται» ςτθν κακθμερινότθτά μασ!

Το φ ςτην ελληνική γλώςςα

• Αρχικά πρζπει να εξθγιςουμε ότι το Λεξαρικμθτικό ςφςτθμα ορίηεται ωσ θ αντιςτοιχία και ταφτιςθ των αρικμϊν με τα γράμματα του Ελλθνικοφ αλφαβιτου. Ζτςι θ κάκε λζξθ περιζχει ι "ςθμαίνει" ζναν αρικμό και το αντίκετο.

• Εάν προςκζςουμε το ςφνολο των 27 γραμμάτων κα ζχουμε ςτο λεξαρικμθτικό ςφςτθμα : (1 +2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 0 + 2 0 + 3 0 + 4 0 + 5 0 + 6 0 + 7 0 + 8 0 + 9 0 + 1 0 0 + 2 0 0 + 3 0 0 + 4 0 0 + 5 0 0 + 6 0 0 + 7 0 0 + 8 0 0 +9 0 0 ) = 4 . 9 9 5

• Εάν προςκζςουμε τα ψθφία του αποτελζςματοσ "4995" κα ζχουμε : 4 + 9 + 9 + 5 = 2 7 όςοι και οι αρικμοί - τα αρχαιοελλθνικά γράμματα που χρθςιμοποιιςαμε !!!

• Πολλαπλαςιάςτε τϊρα τα ψθφία του πρϊτου μασ αποτελζςματοσ "4.995" : 4 Χ 9 Χ 9 Χ 5 = 1.620 !!

• Όμωσ 1.620 = 1.000 Φ !! (όπου Φ=1,62 - με δφο δεκαδικά ..) .

Α=1 Η=10 Ρ=100

Β=2 Κ=20 =200

Γ=3 Λ=30 Σ=300

Γ=4 Μ=40 Τ=400

Δ=5 Ν=50 Φ=500

άγνωστο

=6 Ξ=60 Υ=600

Ε=7 Ο=70 Φ=700

Ζ=8 Π=80 Χ=800

Θ=9 (κόππα)=90 (σαμπί)=900

Πίνακασ αντιςτοίχθςθσ από αρχαιοελλθνικά γράμματα ςε αραβικά ψθφία:

• Θ χριςθ , θ εφαρμογι του χρυςοφ αρικμοφ

ςτθν Αρχαία Ελλθνικι γλϊςςα είναι εκπλθκτικι. Μερικά ακόμα παραδείγματα ςτα ονόματα των κεϊν του αρχαίου ελλθνικοφ πάνκεου είναι:

Εςτία (516): Ιλιοσ (318) * Φ Απόλλων (1061): Άρτεμισ (656) * Φ Αφροδίτθ (993): Ηευσ (612) * Φ Ερμισ (353): Ιρα (109) * 2Φ

• Επίςθσ ο αρικμόσ 162 (Φ Χ 100) είναι θ λεξαρικμικι αξία τθσ ιερισ φράςθσ του Μαντείου των Δελφϊν (Δελφοί=619=1/Φ ...ςχεδόν) "Μθδζν Άγαν".