TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES …TOMOGRAPHIE 2D TOMOGRAPHIE 3D D. Mariano-Goulart Tomographie 2D...

TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES MEDICALES (II)

TOMOGRAPHIE 2D

TOMOGRAPHIE 3D

D. Mariano-Goulart

Tomographie 2D et 3D

p(s,φφφφ,z,,,,θθθθ)))) : plansp(s,φ) φ) φ) φ) : lignes

z

θφ

s

Tomographie 2D

Imagerie médicale

Modélisations analytique

algébrique

Théorème de Radon

Rétroprojection filtrée

Algorithmes itératifs

Régularisation

Artefacts

Quantification

II00

XX

II

TDM (scanner X)

n21 µ ... µ µ p +++=

Imagerie médicale

TEMP γ

I0p

a 1

a na 2

n21 a ... a a p +++=

γγγγγγγγ

9943 Tc

Imagerie médicale

Exemples TEMP γγγγγγγγ

Cations lipophiles-Tc

Diphosphonate-Tc

Imagerie médicale

Modélisation analytique (I)

i

j

s

t

f

( ) [ ] x.dθ , x s ).δxf( spθ ∫ −=r

r

( ) x.d).xf( )xf( R spθ ,x

θ

rr

r

r ∫=

==s

=

j

i x

r ( ) ( )s , θ p spθr

r =

θsin

θ cos θ

=

r( )spθr

Modélisation

( ) ( )dθ x.θ , θ p x p) (Rπ

0θ∫=

∗ = rrrr

s = i.cosθ + j.sinθ

s1

i

j

θrx

r

2121 pR f p , f R ∗=

s3

s2

Rétroprojection ou épandage

Rm :

Modélisation analytique (II)

Modélisation

Modélisation algébrique (I)

f1

f4f3

f2 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

p2 = r2,3 f3 + r2,4 f4

Système linéaire de n² équations et n² inconnues

p3 = r3,1 f1 + r3,3 f3

p4 = r4,2 f2 + r4,4 f4

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4,4 4,3 4,2 4,1

3,43,3 3,2 3,1

2,4 2,3 2,2 2,1

1,4 1,3 1,2 1,1

pppp

ffff

.

rrrrrrrrrrrrrrrr

p fR.rr

=

ri,j = % du pixel j intersecté par la projection i

Modélisation

b1 = r1.1 p1 + r3,1 p3 p1

p2

p3

p4

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4,4 3,4 2,4 1,4

4,33,3 2,3 1,3

4,2 3,2 2,2 1,2

4,1 3,1 2,1 1,1

bbbb

pppp

.

rrrrrrrrrrrrrrrr

b pR.trr

=Rétroprojection ou épandage :

R R t↔∗

Modélisation algébrique (II)

b2 = r1.2 p1 + r4,2 p4

b3 = r2.3 p2 + r3,3 p3 b4 = r2,4 p2 + r4,4 p4

Modélisation

Projection / Rétroprojection

p fR.rr

= b pR.trr

=

f

p

b

p

Modélisation

Problème d’Hadamard bien posé

R surjectif existence de la solution

A = tRR symétrique, définie positive

Revient à minimiser l’équation normale

R injectif unicité de la solution (initialisation)

R-1 continue Mais aussi || R-1|| limitée

2pfrrr

−qpR.fA fR.R tt rrrr

===

pδ.Rfδ alors pδp )fδfR( Si 1 rrrrrr−≤+=+

Modélisation

Théorème de Radon 2D

i

j

s

t

f

=

j

i x

r

( ) x.d).xf( spθ ,x

θ

r

r

r ∫=

=s

( ) ( )∫−=

s

i.s.θθ

ds.esp σp σrr

( ) .dtds .e)xf( σps

i.s.σ

sθ,x

θ ∫ ∫−

=

=rr

rr

( ) ( ) .djdi.ej)f(i, σpi

j.sinθi.cosθi.σ.

jθ ∫ ∫

+−=r

( ) ( ) ( )θσ.f σsinθ , σ.cosθf σpθ

rr ==

θsin

θ cos θ

=

r

Théorème de Radon

i

j

s

t

f

θr

( ) ( )θσ.f σpθ

rr =

ξ1

ξ2

σ

t

θr

( )spθr s ( )σθ

pr

σ

T F

T F

R ||

f

Interprétation (I)

Théorème de Radon

Interprétation (II)

?

( )spθr ( )σθ

pr

T F

T F

||R

f

( ) ( )θσ.f σpθ

rr =

f

Théorème de Radon

Interprétation (II)

( )spθr ( )σθ

pr

T F

T F

||R

f

( ) ( )θσ.f σpθ

rr =

f

Théorème de Radon

Rétroprojection filtrée (I)

( ) ( ) ( ) ( )∫∫

+= 21 j.ξ i.ξ 2iπ

21 dξdξe ξ ,ξ fU ji,f 21

( ) ( ) ( )∫ ∫=

+∞=

−∞=

+=π

0θ

σ

σ

j.sinθ i.cosθ σ 2iπ dθ dσ σ e θ σ f ji,fr

( ) ( ) ( )∫ ∫=

+∞=

−∞=

+=π

0θ

σ

σ

j.sinθ i.cosθ σ 2iπ dθ dσ e σ p ji,f σθr

( ) [ ]( ).dθj.sinθi.cosθ abs . pTF ji,fπ

0θ

θ

1s∫

=

− += r

ξ1

ξ2ρ

θ


( ) [ ]( ).dθj.sinθi.cosθ abs . pTF ji,fπ

0θ

θ

1s∫

=

− += r

( ) ( )x )p (R xf 'rr

∗=

[ ](s) abs . pTF s) , θ( p' (s) pθ

1s

'θ

rr

r−==

( ) ( )dθ x.θ , θ p x p) (Rπ

0θ∫=

∗ = rrrr

Rétroprojection filtrée (II)


θpr

θpr abs

x

[ ] 'θθ

1s p abs . pTF rr =−

s = i.cosθ + j.sinθ

s1

s2

s3

i

j

Projections sur 180°

( ) ( )ji, )p (R ji,f '∗=

Rétroprojection filtrée (III)


2r) (kπ1 - ∆ k impair

0 k ≠ 0 pair

2r)4(1∆ k = 0

RL(k.∆r) =

2ef

r 2.∆1 mf ==

mf

( ) ( ) ( )22

m mm

x2π xf 2πcos1

πxxf 2πsin f xRL −−=

Rétroprojection filtrée (IV)


Rétroprojection filtrée (V)


f1 f2

p2

∆2

f1

f2

∆1 ∆2

r1,2

∆1 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2

r1,1 r2,1

r2,2

p1

Kaczmarz

Algebraic Reconstruction Technique (I)


f1

f2

∆1 ∆2

1,2

1,11 r

rωr

1nf +r

n2

n1n

ff f

rdr

1

1n1n

ω

ω d f f r

rrr+=+

1

1n

1

ω

ω , f p d r

rr−

=

12

1

n11n1n ω

ω

pp f fr

r

rr −+=+

n2 1,2

n1 1,1

n1 fr fr p +=

)pp( f f n11*n1n −+=+ R

rr

∆2

∆1 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2

Algebraic Reconstruction Technique (II)


0 0

0 0

0

0

0

00

45

45 - 0

4590

45 - 0 = 15 + 15 + 15

90 - 0 = 30 + 30 + 30 15 15

15 15

30

15

15

3030

45 4590

-15 -1530

60 6060-

10 10

10 10

25

25

25

2540

)pp( f f n11*n1n −+=+ R

rr

Algebraic Reconstruction Technique (III)


MLEM et OSEM

Maximiser -log[Proba(p/f)]

Bruit de Poisson sur p

=

∑+

p

p

r

1 . f f

nl

l

l'i,l'

n1n *

Rrr

∑∑∑ =

==

=+ P

lN

s

nssl

lilP

lil fr

pr

r 1

1,

,

1','

1.n

if1n

if

f1

f2

∆1 ∆2

∆’2


Gradient conjugué :

Minimiser

)fRp( R . aff n*nn1nrrrr

−+=+

2nn2 pfR)f(χ

rrr−=

))f(χ( R.R , )f(χ

)f(χa

n2*n2

2n2

n rrrr

rr

∇∇

∇=

)fRp(R )f(χ n*n2rrrr

−=∇

Gradient Conjugué


Exemples

MLEM Gradient Conjugué


Comparaison des résultats

GC 16GC 6MLEM 6 MLEM 200


APPROCHE EXPERIMENTALE (I)

1

2

3

J

Pixel i : (mi, σi)Vraie valeur : ti

∑=

−=K

1i

2ii )V(mbiais∑

=

⋅=K

1i i

i

m

σ

K

100RMS%

Régularisation

APPROCHE EXPERIMENTALE (II)

D. Mariano-Goulart et al., CMIG 03; 27

∑=

−=K

1i

2ii )V(mbiais∑

=

⋅=K

1i i

i

m

σ

K

100RMS%

Régularisation

Approche intuitive (I)

f1 f2

: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2

f1

f2

∆1

∆1

∆2

∆2

Régularisation

64² = 4 096128² = 16 384256² = 65 536512² = 262 144

f1

f2

∆1

∆2

f1 f2

: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2

∆1

∆2

Régularisation

Approche intuitive (II)

Hadamard : R bijectif, R-1 continue

Mais :

( )( )

+

−≤

RδR

ppδ

RδR

R κ 1

Rκ f

fδr

r

r

r

( )min

max

λλ 1R R Rκ =−=

Régularisation

Approche théorique

Exemple

=

31332332

1111

10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10

=

−

30,933,122,932,1

1,15,4

12,6-9,2

10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10

=

−

31,132,923,131,9

1,35,2

14,67,2-

10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10

( ) 2984 010.0

30,289 R 30,289 3,858; 0,843; 0,010; Sp(R) ==⇒≈ κ

Régularisation

Objectifs

• Garantir la convergence de l’algorithme– Définir un critère d’arrêt

– garantir la stabilité de l’algorithme au fil des itérations

• Optimiser la régularisation en terme de :– résolution

– niveau de bruit (quantification)

• Quantification du bruit dans les coupes

Régularisation

Convergence: Critère d’arrêt

Erreur inverse (backward error) :

f

r λ

1 εj

j

max

j r

r

=

δ+=δ+

δδ=

δδ q q x A)(A /

β

q ,

α

A Max )xε( Min

q ,A

rrrr

r

r

β x α q - xA

)xε(+

= r

rrr

⇒==δ= A αet 0 q 0, βr

D. M-Goulart et al. CMIG 07

Régularisation

Convergence: Stabilité

CONDITIONNEMENT : ( )min

max1-

λλ A A Aκ ==

( )qqδ

Aκ f

fδr

r

r

r

≤

( )( )

+δ−

≤AδA

qqδ

AA

A κ 1

Aκ f

fδr

r

r

r

Régularisation

q .A r d *00rrr

==

j*j

2jj

d.A.Ad

rω rr

r

=

jjj1j d.ωffrrr

+=+

j*jj1j d.A..Aωrrrrr

−=+

j2j

21j1j1j d.

r

rrd

r

r

rrr +

++ +=

2

Cf q - fA min arg frr

∈=

Gradient conjugué

Régularisation

j*

j

2jj

d.R.Rd

rω rr

r

=2j

21jj

r

r β r

r +

=

+−

−

+−

−

=

−

−

−

−

−

−

1j

1j

j1j

1j

1j

1j

0

0

10

0

0

0

0

j

ωβ

ω1

ωβ

00

ωβ

0

0ωβ

ω1 ω

β

00ωβ

ω1

GOO

O

Matrice de Galerkine

Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. P. Lascaux & R. Théodor (II). MASSON

Régularisation

Exploitation du spectre

Erreur sur les coupes :

Erreur sur les valeurs propres :

Nbre de conditionnement:

v λ

vω

β

)λ~

η( λ~

λλimax

λder

1i

1i

r+

+

=≤−

f

r λ

1 εj

j

max

j r

r

=

min

max

λλ N =

Régularisation

Stratégies de régularisation

Régularisation algorithmique

Utiliser un information statistique a priori

Régularisation sous contrainte

Régularisation

Régularisation algorithmique (I)

( ) ( ) j)(i,S )j',(i' ; j',i'f ji,ε kk ∈∧=

( ) ( )ji,ε ji,E kk

k ∨=

S1

S2

S5

Régularisation

( ) ( )

∧= ∨∧ kk

kkk

kγ , γ θ ϕϕ

( ) ( )

∨= ∨∧ kk

kkk

kγ , γ τ ϕϕ

τθ;δ OCA ∞∨=

δε εδ γ oo == ϕ

Régularisation algorithmique (II)

Régularisation

q .A r d *00rrr

==

j*j

2jj

d.A.Ad

rω rr

r

=

jjj1j d.ωffrrr

+=+

j*jj1j d.A..Aωrrrrr

−=+

j2j

21j1j1j d.

r

rrd

r

r

rrr +

++ +=

2

Cf q - fA min arg frr

∈=

Régularisation algorithmique (III)

Régularisation

( )j*jj1j d.R..RωrOCAr

rrr−=+ (MN 99)

D. Mariano-Goulart et al., Médecine nucléaire 1999; 23

Régularisation algorithmique (IV)

Régularisation

)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr

ΡΡ=ΡΡΡ=Ρ

Bayes :

[ ])f( log )f/p(logminargf~

f

rrrrr Ρ−Ρ−=

Régularisation statistique (I)

Régularisation

)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr

ΡΡ=ΡΡΡ=ΡStratégie de Bayes :


f

rrrrr Ρ−Ρ−=

Adéquation aux données régularisation

Régularisation statistique (II)

Régularisation


f

rrrrr Ρ−Ρ−=

Distribution de Gibbs( )∑

=−

ji,jiji, f -f.Vwβ.

K1 e)fΡ(

r

( )

+−= ∑

ji,jiji,f)f-V(fwβ f/pΡ logminargf

~ rrrr

Régularisation statistique (III)

Régularisation

∑∑∑ ∂β+

=+=

==

P

1lN

1s

nss,l

li,lP

1'li,'l fr

pr.

U .r

1.n

if1nif

MAP-EM-OSL

∑ −∂∂=∂

∈ )f(Vfki.k,i

ik

)ff(r

VwU

Régularisation statistique (IV)

Régularisation

2

CffRpmin arg frr

−=∈

Régularisation par contrainte

+−=

∈)fα.ρ(fRp min arg f

2

Cf

rrr

Remplacer : par

( )

∈ ∑i

ii

2

... ; fln f ; 2

fQf ;

2

f )fρ(

rrr

rExemples :

Régularisation

fc

( ) f.B1 fB. f −+=

pB.TF p' pB. fB. ' f ' p -1s=⇒===

à régulariser

Adéquation à p’ = R.f ’

Réf: P.Maréchal, D. M-Goulart, L. Giraud, S. Gratton. Lect. Notes Comput. Sciences.2004; 3117;64-4

FRECT (I)

Régularisation

Résolution par BFGS ou GC

( ) ( ) ( ) 221s f.B1 Rf pB.TF fE −+−= −

( )( )

2

2

qfA.

0

p*b

- f

UB-1

R

fErr

r

r−=

=

fc[ ]

=−+ 0

p * b f UB)(1 U RR 21-t

rr fB.

fB).-(1

Régularisation

FRECT (I)

Résolution par GC

– d0 = r0 = RETRO [TF-1 B TF (p)]– tR R dj = RETRO [ PRO (dj) ] + TF-1 (1-B)² TF (dj)

– Calcul et diagonalisation des matrices de Galerkine– Arrêt si erreur inverse < εεεε– Nombre de conditionnement en fonction de fc

Régularisation

FRECT (III)

Régularisation

FRECT (IV)

Résolution par BFGS (contrainte de positivité)

– BF = TF-1 B TF (p)

– Boucle HF = TF-1 (1-B)² TF (f)r = PRO(f) – BFE = (|| r ||² + || HF ||² )/2Grad(E) = RETROPRO(r) + HFBFGS [E, Grad(E)]

– Arrêt par seuil sur résidu (car convergence)

Régularisation

FRECT (V)

Régularisation

RPF

FRECT

20 % 50 %40 %30 %

Comparaison RPF-FRECT

Régularisation

GC 16GC 6MLEM 6 MLEM 200

FRECT 34 (CV)

Comparaison MLEM-GC-FRECT

Régularisation

Réponses impulsionnelles du collimateur Prise en compte dans les opérateurs R et tR

Relation fréquence-distance

Auto-atténuation Source externe ou TDM

Prise en compte dans les opérateurs R et tR

Rayonnement diffusé Soustraction de fenêtres hors du pic PE

Artefacts en SPECT

Artefacts

Kohli et al. PMB. 1998

Relation fréquence-distance

i

j

s

t

θ

ωnt −=

ω

n

s

θ

TF2Une désintégration contribue à

quand θ permet que ( )npc ,ˆ ω( ) dtj).f(i, s,pc ∫=θ

( )npc ,ˆ ω

ωnt −=

Artefacts

Déconvolution en TEMP

2

2

2

2

1)( t

i

t

t eih σ

σπ

−

=

th

p p . hp t=c

th

1p

( ) ( )nphnp nc ,ˆ).(ˆ,ˆ ωωωω

−=

( ) ( )nph

np c

n

,ˆ.)(ˆ

1,ˆ ω

ωω

ω−

=ω

n

( )npc ,ˆ ω

Edholm, Lewitt et al. Proc SPIE 1986, et IEEE-TMI, 1989

Artefacts

pd . S fd pd S fdrrrr

≤⇒=

( ) ( ) *S . pdCov . S fdCovrr

=

S = (R*R + H*H)-1 R* (TF-1 B TF)

Calculs inextricables…

Quantification

Comparaison de ROIs en TEMP

S1

A1

Pα = S1.A1

α

S1

A1

Pα = S1.A1 + (S2+S3).A2

P’α = (S1+S3)A1 + S2.A2

A2

S3

S2

Projections Sup et Inf

Quantification

S1

A1

Pα et P’α

αα’

A2∈ [min’ ; max’]

A1∈ [min ; max ]

A. Rico, O. Strauss, D. Mariano-Goulart. Fuzzy sets & Systems. 2008

Quantification intervalliste

Quantification

Tomographie 3D

Tomographie par émission de positons

Théorème de Radon 3D

Synthèse des projections manquantes

Reconstructions 3D vraies

Corrections des artefacts

Visualisation volumique

Tomographie en coïncidence 3D

ai

n21 a ... a a p +++=γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

189 F

188 O

TEP

Exemples de TEP

Métabolisme18F DG

18F DOPA, voiePré-synaptique

Perte fonction DaT

Putamen D

18F DG18F Na

1818FF1818FF

OHOH

HOHO

OO

OHOH

HOHO

TEP

Reconstruction en TEP

• Reconstruction 2D de données 2D (septa)• Faible statistique de comptage

• Réarrangement 2D de données 3D• Algorithmes de «rebinning » (single, multi, FORE)• S/B mais approximation

• Reconstruction 3D de données 3D• S/B mais temps de calcul

• Techniques analytiques ou algébriques

TEP

Un théorème de Radon 3D…

⊥ωr

ωr

( ) ( )ξ=ξ⊥∈ξ∀rrrr

r f p ,ω ω

( ) ( )ds syf yp ,ω y S, ω ∫ ω+=ω⊥∈∀∈∀ rrr

rrrr

TF2

TF3

f

f

( ) ( ) yd ds e syf p .y i2 rrrr rr

r

r ξπ−

ωω ∫∫ ∫

⊥

ω+=ξ

( ) ( ) ( )ξ==ξ ∫∫∫ ξπ−ω

rrrr rrr f xd exf p .x i2

yr

ξr

Radon 3D

S, ω ⊂Ω∈∀r

Si Ω contient au moins un cercle équatorial de S

(ou si Ω intersecte tout cercle équatorial de S)ωr

⊥ωr

z

( ) ( )ηf η ,ω η ωP =⊥∈∀ r

r

Ω

SS. Orlov. Sov.Phys. Crystallogr., Vol 20, 3:312-4 et 4:429-433

… un peu difficile à appliquer…1- Condition d’Orlov :

Radon 3D

… plutôt difficile à appliquer…

2 - si les projections ne sont pas tronquées (projections complètes)

ωr

3 – moyennant une interpolation 3D dans le domaine des fréquences

1- Condition d’Orlov

Conditions pour une reconstruction analytique

( ) )cos,cossinsin ,sinsincos(ˆ ,ˆ 1212121 φξθξφθξθξφθξξξ −+−= fp

1- Condition d’Orlov (TEP cylindrique)

2 – Projections tronquées estimées

3 –Interpolation 3D en fréquence

Radon 3D

Problème des projections tronquées

1- Se limiter aux données complètes Reconstruction 2D avec septa

Re-arrangement* puis reconstruction 2D

2- Synthétiser des projections complètes En 3 temps :

Reconstruction 2D,

projection,

reconstruction 3D

Re-arrangement* rebinning

Projections manquantes

p(s, φφφφ, z = (zA+zB)/2, δ, δ, δ, δ= tg θ)θ)θ)θ)


Ré-arrangement 2D

Ré-arrangement exactsi invariance Tz:

p (s,φ,z,δ): TF(s,φ) puis TF(z)

( ) ( )0 , ,k ,1 p e , ,k , p 2)arctan( ik ζα+ω=δζω α−

( ) ( )δζα−ω=ζω α+ , ,k ,1 p e 0 ,,k , p 2)arcsin( ik

ωδζ=α

Problèmes : invariance en z, interpolation

Réf: M. Defrise et al. IEEE Trans Med Imaging 16:2; 145-158


Single-Slice Rebinning

DL(α)(α)(α)(α) l’ordre 0 :

P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,δ) δ) δ) δ) ≈≈≈≈

P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,0,0,0,0)θ

z

Si la source est proche de l’axe du TEP


Multi-Slice Rebinning

z

Plus précis que SSRMoins stable


Fourier Slice Rebinning (FORE)

Pas TF(z) : invariance inutileInterpolation en z seulement

( ) ( )0 , ,k , p e , ,k , p ik ζω≈δζω α−

( ) ( )0 ,k-z ,k , p ,z ,k , p ωδω≈δω

( ) ( )δωδ+ω≈ω ,kz ,k , p 0 ,z ,k , p

: ζωδ=αA l’ordre 1 sur

Réf: M. Defrise et al. IEEE Trans Med Imaging 1997. 16:2; 145-158


P(ωωωω,k,z,0) ) ) ) ≈≈≈≈ 0000

P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,0) ) ) ) ≈≈≈≈ Moy P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,δ),δ),δ),δ)

P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,0) ) ) ) ≈≈≈≈

Moy P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z+(k.δδδδ/ωωωω),δ),δ),δ),δ)

k = ω.RFOV

k

ω

Fourier Slice Rebinning (FORE)


Synthèse des projections

Approximation :

F. Ben Bouallègue, et al. 2007, IEEE TMI

( ) ( )' , ,k , p e , ,k , p i δζχω=δζω ∆Φ−

( ) 2

222

' 1 ω

ζδ−δ+=χ

( ) ' , 'arctg arctg k δ>δ

ζχω

δ−ζωδ=∆Φ

( ) ( )

δω

δ−δ−ω≈δω ' ,'kz ,k , p ,z ,k , p

Algorithme itératif exact:


Modélisations de la projection

( ) )0

A(f )Adet( ,p 2

11t1

21w

ξξ

=ξξ −−)

],,[ 21 wuuA=

Reconstructions 3D

D. Mariano-Goulart & JF. Crouzet, CR Physique 2005; 6:133-137 et Comput Med Imaging Graphics 2008.

( ) ), tan sin

tan

,(ˆ |sin sin|

1 ,ˆ 2

21121 ξ

ϕθξ

θξξ

ϕθξξ −−= fpw

Optimisation de l’interpolation

( ) ) , , cos tan

tan(ˆ | sin cos |

1 ,ˆ 21

2121 ξξ

θϕξξ

ϕξξ −−= θf

θpw

Reconstructions 3D

Rétroprojection filtrée 3D

ξr

Dans les conditions d’Orlov, avec des projections non tronquées,

( ) ωd sP )xf(Ω

' ω

rrrr∫=

( ) ( ) ( ) td t-s h sP' ω

rrrrrr

r

rr ωω

ω∫⊥

= tP

( ))ξ(L

ξ

τd )τ.ξδ(

1 ξ h

Ω

ωr

r

rrrr

r ==∫

)ξ(Lr

Ω

Colsher. Phys Med Biol 25(1), 103-115, 1980

Reconstructions 3D

OSEM 3D

Même méthode qu’en 2D

Facilité pour implémenter les corrections d’artefacts

Pas de nécessité de disposer de projections complètes

Reconstructions 3D

Correction d’artefacts par traitement multimodal

Quantification en TEP

Fenêtre de détection des coïncidences

Coïncidences fortuites


Soustraction des fortuits

• Estimation :

– Dans une LOR hors du patient– F = T(d1).T(d2).2.ττττ ∝∝∝∝ (Activité)²

• Mesure :

– Dans une fenêtre temporelle décalée

Détecteur 1À 511 keV

Détecteur 2À 511 keV

et

-et

Soustraction des fortuits

Retard

Fenêtre de détection des coïncidences

Interactions Photons-Matière


AtténuationsPhoto-électrique

Sous-estimation des activités «profondes»

Compton 20% (2D) à 50% (3D) des détections

Médiocre résolution en énergie (15-20%)

Activité du cerveau et de la vessie

ρ EZ

k µ 3

3

PE ≈

ρ k' µC ≈


Tomographie de transmission

µ 1

µ nµ 2

I0 I

x

∑=

=i

i0

µ IIln

x1 - p

e I I iiµ-x

0

∑=

ρ EZ

k µ 3

3

PE ≈

ρ k' µC ≈


µ511(tissu mou)

µ511(air)

µ511(os)

Segmentation

Correction des artefacts

d’atténuation et de diffusion


Correction de l’atténuation P.E.

Simple division par une constante f sur chaque projection

f = f1 x f2 = exp(-µµµµoxo-µµµµtmxtm-µµµµaxa)

f2 = exp(-µoxo2-µtmxtm

2-µaxa2)

xa1

f1 = exp(-µoxo1-µtmxtm

1-µaxa1) = I1/Io


Correction du diffusé Compton

Simulation (Monte-Carlo) à partir des µµµµC à 511 keV

N1

N2

N3


Qualité globale d’un TEP

( )

=++==

mLµCi f

k.FDVV

BS NECR

22

k=1 sauf si F sont mesurés (k=2)


Fusion TEP-CT Quantification en TEP

« L’imagerie moléculaire »

IRM1H

Métabolisme18FDG

18F-DOPA, voiePré-synaptique

Perte fonction DaT

Putamen D

18F-EthylSpipérone, voiePost-synaptique

Pas d’atteinte

RD2

Hémi Parkinson cliniquement gauche


VISUALISATION VOLUMIQUE

Visualisation 3D

Rendu volumique

vi,0 vi,1 vi,j-1 vi,jvi,z maxpi

( ) ( ) ( )∑=

= maxz

1j ji,vContrib ji,vλc ipλ

C

)]f(v)f(vv ji,ji,ji, a[ k. ]. [ s )α( ∇=r

( ) L . ji,vf dk ak )ji, v; dk ,aP(krr

n∇+=

( ) ( ) ( ) ( )( )∏−

=−=

1j

0kki,vα1 ji, v; dk ,akP ji,vα ji,vContrib

Visualisation 3D

Rendu volumique

vi,0 vi,1 vi,j-1 vi,jvi,z maxpi

( ) ( ) ( )∑=

= maxz

1j ji,vContrib ji,vλc ipλ

C

Visualisation 3D

MLEM puis MIP

TEP (FORE) TDM

Visualisation 3D

Lymphome et Hodgkin Visualisation 3D

MIP EN IRM Visualisation 3D

Merci de votre attention…

The Mathematics of Computerized Tomography.F. Natterer. 2001. SIAM.

Positron Emission Tomography. Basic Sciences and Clinical Practice.PE Valk, DL Bailey, DW Towsend, MN Maisey. 2003. Springer.

[email protected]

TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES …TOMOGRAPHIE 2D TOMOGRAPHIE 3D D. Mariano-Goulart Tomographie 2D...

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