Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Επιβλέποντες Καθηγητές

Σοφία Παππά, ΠΕ03 – Παντελής Μπουμπούλης ΠΕ03

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

1.Τι είναι Fractal;

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Η λέξη fractal προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, η οποία μεταφράζεται ως σπασμένος ή θρυμματισμένος.

Ο γάλλος μαθηματικός Benoit Mandelbrot, έδωσε αυτό το όνομα σε σύνολα (σχήματα) τα οποία παρουσίαζαν κάποια «ιδιαίτερα» χαρακτηριστικά.

Παρότι κάποια από τα σύνολα αυτά είχαν μελετηθεί στο παρελθόν από γνωστούς μαθηματικούς, ο Mandelbrot ήταν ο πρώτος που τα ομαδοποίησε και άρχισε να τα μελετά συστηματικά.

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

A fractal dragon

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

A fractal leaf

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Η αλήθεια είναι ότι δεν μπορεί να δοθεί ένας αυστηρός μαθηματικός ορισμός της έννοιας fractal.

Παρόλα αυτά μπορούμε να αναφέρουμε μερικές από τις βασικές τους ιδιότητες.

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Για να καταλάβουμε καλύτερα το πρόβλημα, ας φανταστούμε ένα παράδειγμα πιο κοντά στην καθημερινότητα.

Πώς μπορεί να οριστεί η έννοια της ζωής; Πότε θα λέμε ότι ένας οργανισμός είναι ζωντανός;

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Η κλασσική απάντηση που δίνεται στα σχολικά βιβλία βιολογίας είναι ότι ένας οργανισμός είναι ζωντανός αν:

1. Προσαρμόζεται στο περιβάλλον

2. Αντιδρά σε εξωτερικά ερεθίσματα

3. Αναπαράγεται

4. Αναπτύσσεται

5. Χρησιμοποιεί κάποιου είδους ενεργειακή πηγή

Όλοι οι ζωντανοί οργανισμοί πληρούν αυτά τα κριτήρια.

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Όμως αυτός ο ορισμός παρουσιάζει κάποια σημαντικά προβλήματα.

Η φωτιά πληροί όλα τα προηγούμενα κριτήρια. Είναι, επομένως ζωντανός οργανισμός;

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Ένας άνθρωπος με σοβαρά εγκεφαλικά τραύματα είναι ζωντανός οργανισμός;

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Βλέπουμε λοιπόν ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά.

Παρότι όλοι σχεδόν οι ζωντανοί οργανισμοί πληρούν τα 5 κριτήρια, υπάρχουν κάποιοι οι οποίοι δεν τα πληρούν.

Υπάρχουν επίσης οντότητες που πληρούν τα κριτήρια, αλλά δεν είναι ζωντανοί οργανισμοί.

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με την έννοια fractal.

Ποιες είναι, επομένως, οι ιδιότητες που πρέπει να πληροί ένα σύνολο για να χαρακτηριστεί ως fractal;

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

1. Πρέπει να έχει τέλεια δομή. Όσο και αν το μεγεθύνουμε δεν πρέπει να βρούμε κομμάτι του, το οποίο να μοιάζει με μια ομαλή καμπύλη (ή με ένα ευθύγραμμο τμήμα).

2. Πρέπει να είναι τραχύ και να μη μπορεί να περιγραφεί από κλασικές γεωμετρικές μεθόδους.

3. Πρέπει να είναι αυτοόμοιο. Δηλαδή να περιέχει τμήματα τα οποία μοιάζουν με ολόκληρο το σύνολο.

4. Πρέπει να έχει κλασματική διάσταση (π.χ. 2.1).

5. Συνήθως τα fractal σύνολα προκύπτουν ως όρια επαναληπτικών διαδικασιών.

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

1. Πρέπει να έχει τέλεια δομή. Όσο και αν το μεγεθύνουμε δεν πρέπει να βρούμε κομμάτι του, το οποίο να μοιάζει με μια ομαλή καμπύλη (ή με ένα ευθύγραμμο τμήμα).

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

1. Πρέπει να έχει τέλεια δομή. Όσο και αν το μεγεθύνουμε δεν πρέπει να βρούμε κομμάτι του, το οποίο να μοιάζει με μια ομαλή καμπύλη (ή με ένα ευθύγραμμο τμήμα).

Fractals – Project Β΄ Λυκείου

3. Πρέπει να είναι αυτοόμοιο. Δηλαδή να περιέχει τμήματα τα οποία μοιάζουν με ολόκληρο το σύνολο.

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 1: Σύνολο Cantor

.

.

.Διάσταση ≈ 0.63

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 2: Τρίγωνο Sierpinski

Α0=Α1=Α2=Α3=Α4=Α5=Α6=Α7=Α8=

Διάσταση: log(3)/log(2) ≈1,58

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 3: Σπόγγος Menger

Διάσταση: log(20)/log(3) ≈2.72

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 4: Καμπύλη Von Koch

Διάσταση: log(4)/log(3) ≈1.26

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 5: Πλατανόφυλλο - Maple

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 6: Fractal συνάρτηση

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 7: Fractal επιφάνεια

Διάσταση: ≈2.3785

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 8: Σύνολα Julia

1

Γεωμετρία των Fractals

4

Γεωμετρία των Fractals

Η Fractal δομή είναι πολύ συχνή στη φύση.

Γεωμετρία των Fractals

Η Fractal δομή είναι πολύ συχνή στη φύση.

Γεωμετρία των Fractals

Μέσω της fractal γεωμετρίας μπορούν να κατασκευαστούν σχήματα εξαιρετικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς.

Γεωμετρία των Fractals

Μέσω της fractal γεωμετρίας μπορούν να κατασκευαστούν σχήματα εξαιρετικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς.

Γεωμετρία των Fractals

Μέσω της fractal γεωμετρίας μπορούν να κατασκευαστούν σχήματα εξαιρετικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς.