Ερευνητική Εργασία Β΄ Λυκείου: Ο μαγικός κόσμος των...

$: Ερευνητική Εργασία Β΄ Λυκείου: Ο μαγικός κόσμος των fractals$
Fractals – Project Β΄ Λυκείου

Επιβλέποντες Καθηγητές

Σοφία Παππά, ΠΕ03 – Παντελής Μπουμπούλης ΠΕ03


1.Τι είναι Fractal;


Η λέξη fractal προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, η οποία μεταφράζεται ως σπασμένος ή θρυμματισμένος.

Ο γάλλος μαθηματικός Benoit Mandelbrot, έδωσε αυτό το όνομα σε σύνολα (σχήματα) τα οποία παρουσίαζαν κάποια «ιδιαίτερα» χαρακτηριστικά.

Παρότι κάποια από τα σύνολα αυτά είχαν μελετηθεί στο παρελθόν από γνωστούς μαθηματικούς, ο Mandelbrot ήταν ο πρώτος που τα ομαδοποίησε και άρχισε να τα μελετά συστηματικά.


A fractal dragon


A fractal leaf


Η αλήθεια είναι ότι δεν μπορεί να δοθεί ένας αυστηρός μαθηματικός ορισμός της έννοιας fractal.

Παρόλα αυτά μπορούμε να αναφέρουμε μερικές από τις βασικές τους ιδιότητες.


Για να καταλάβουμε καλύτερα το πρόβλημα, ας φανταστούμε ένα παράδειγμα πιο κοντά στην καθημερινότητα.

Πώς μπορεί να οριστεί η έννοια της ζωής; Πότε θα λέμε ότι ένας οργανισμός είναι ζωντανός;


Η κλασσική απάντηση που δίνεται στα σχολικά βιβλία βιολογίας είναι ότι ένας οργανισμός είναι ζωντανός αν:

1. Προσαρμόζεται στο περιβάλλον

2. Αντιδρά σε εξωτερικά ερεθίσματα

3. Αναπαράγεται

4. Αναπτύσσεται

5. Χρησιμοποιεί κάποιου είδους ενεργειακή πηγή

Όλοι οι ζωντανοί οργανισμοί πληρούν αυτά τα κριτήρια.


Όμως αυτός ο ορισμός παρουσιάζει κάποια σημαντικά προβλήματα.

Η φωτιά πληροί όλα τα προηγούμενα κριτήρια. Είναι, επομένως ζωντανός οργανισμός;


Ένας άνθρωπος με σοβαρά εγκεφαλικά τραύματα είναι ζωντανός οργανισμός;


Βλέπουμε λοιπόν ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά.

Παρότι όλοι σχεδόν οι ζωντανοί οργανισμοί πληρούν τα 5 κριτήρια, υπάρχουν κάποιοι οι οποίοι δεν τα πληρούν.

Υπάρχουν επίσης οντότητες που πληρούν τα κριτήρια, αλλά δεν είναι ζωντανοί οργανισμοί.


Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με την έννοια fractal.

Ποιες είναι, επομένως, οι ιδιότητες που πρέπει να πληροί ένα σύνολο για να χαρακτηριστεί ως fractal;


1. Πρέπει να έχει τέλεια δομή. Όσο και αν το μεγεθύνουμε δεν πρέπει να βρούμε κομμάτι του, το οποίο να μοιάζει με μια ομαλή καμπύλη (ή με ένα ευθύγραμμο τμήμα).

2. Πρέπει να είναι τραχύ και να μη μπορεί να περιγραφεί από κλασικές γεωμετρικές μεθόδους.

3. Πρέπει να είναι αυτοόμοιο. Δηλαδή να περιέχει τμήματα τα οποία μοιάζουν με ολόκληρο το σύνολο.

4. Πρέπει να έχει κλασματική διάσταση (π.χ. 2.1).

5. Συνήθως τα fractal σύνολα προκύπτουν ως όρια επαναληπτικών διαδικασιών.


1. Πρέπει να έχει τέλεια δομή. Όσο και αν το μεγεθύνουμε δεν πρέπει να βρούμε κομμάτι του, το οποίο να μοιάζει με μια ομαλή καμπύλη (ή με ένα ευθύγραμμο τμήμα).


3. Πρέπει να είναι αυτοόμοιο. Δηλαδή να περιέχει τμήματα τα οποία μοιάζουν με ολόκληρο το σύνολο.

Γεωμετρία των Fractals

Παράδειγμα 1: Σύνολο Cantor

.

.

.Διάσταση ≈ 0.63


Παράδειγμα 2: Τρίγωνο Sierpinski

Α0=Α1=Α2=Α3=Α4=Α5=Α6=Α7=Α8=

Διάσταση: log(3)/log(2) ≈1,58


Παράδειγμα 3: Σπόγγος Menger

Διάσταση: log(20)/log(3) ≈2.72


Παράδειγμα 4: Καμπύλη Von Koch

Διάσταση: log(4)/log(3) ≈1.26


Παράδειγμα 5: Πλατανόφυλλο - Maple


Παράδειγμα 6: Fractal συνάρτηση


Παράδειγμα 7: Fractal επιφάνεια

Διάσταση: ≈2.3785


Παράδειγμα 8: Σύνολα Julia

1


4


Η Fractal δομή είναι πολύ συχνή στη φύση.


Μέσω της fractal γεωμετρίας μπορούν να κατασκευαστούν σχήματα εξαιρετικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς.

Ερευνητική Εργασία Β΄ Λυκείου: Ο μαγικός κόσμος των...

Education

Transcript of Ερευνητική Εργασία Β΄ Λυκείου: Ο μαγικός κόσμος των...