ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 1

Διακριτά Μαθηματικά ΙIΔέντρα Αναζήτησης

Κώστας Στεργίου

Λέκτορας

Τμήμα Μηχανικών

Πληροφοριακών & Επικοινωνιακών Συστημάτων

Πανεπιστήμιο Αιγαίου

e-mail: konsterg@aegean.gr

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 2

Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης

Ένας τρόπος αναπαράστασης μιας ταξινομημένης λίστας αντικειμένων.

Υποστηρίζει τις παρακάτω διεργασίες σε γρήγορο χρόνο (Θ(log n) πολυπλοκότητα μέσης περίπτωσης, όπως θα δούμε αργότερα): Αναζήτηση ενός υπάρχοντος αντικειμένου. Εισαγωγή ενός καινούργιου αντικειμένου, αν δεν είναι ήδη παρόν.

Υποστηρίζει την εκτύπωση όλων των αντικειμένων σε Θ(n) χρόνο

Η εισαγωγή ενός αντικειμένου σε μια συνεχόμενη ακολουθία ai είναι πιο ακριβή (Θ(n) στη χειρότερη περίπτωση).

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 3

Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης

Τα αντικείμενα αποθηκεύονται σε κόμβους του δέντρου. Το δέντρο είναι οργανωμένο κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει πάντα το παρακάτω:

Για κάθε αντικείμενο x, Το κλειδί κάθε κόμβου στο αριστερό υποδέντρο του x είναι μικρότερο του κλειδιού του x. Το κλειδί κάθε στο δεξιό υποδέντρο του x είναι μεγαλύτερο του κλειδιού του x.

7

3 12

1 5 9 15

0 2 8 11

Παράδειγμα:

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 4

Δέντρα Απόφασης

Ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης είναι μια ειδική κατηγορία ενός δέντρου απόφασης

Ένα δέντρο απόφασης (decision tree) αναπαριστά μια διαδικασία λήψης απόφασης. Κάθε πιθανό “σημείο απόφασης” ή κατάσταση

αναπαριστάται από έναν κόμβο. Κάθε πιθανή επιλογή που μπορεί να γίνει σε ένα σημείο

απόφασης αναπαριστάται με μια ακμή προς έναν κόμβο-παιδί.

Σε εκτεταμένα δέντρα απόφασης που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση αποφάσεων, συμπεριλαμβάνονται κόμβοι που αναπαριστούν τυχαία γεγονότα και τα αποτελέσματα τους.

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 5

Πρόβλημα Ζύγισης Κερμάτων

Υποθέστε ότι έχετε 8 κέρματα, ένα εκ των οποίων είναι πλαστό και ελαφρύτερο από τα άλλα, και μια ζυγαριά όπως η διπλανή. Δε χρειάζεται ζυγαριά που μετράει

ακριβές βάρος για να λυθεί αυτό το πρόβλημα!

Πόσες ζυγίσεις απαιτούνται για να είστε σίγουροι ότι βρέθηκε το πλαστό νόμισμα?

?

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 6

Ως Πρόβλημα Δέντρου Απόφασης

Σε κάθε κατάσταση, διαλέγουμε δύο διακριτά και ίσου μεγέθους υποσύνολα κερμάτων για να βάλουμε στη ζυγαριά.

Το βάρος “αποφασίζει” αν θα γείρει αριστερά, δεξιά, ή θα ισορροπήσει.

Μια δεδομένη ακολουθίαζυγισμάτων δίνει έναδέντρο απόφασης μεπαράγοντα διακλάδωσης 3.

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 7

Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Ύψους Δέντρων

Το δέντρο απόφασης πρέπει να έχει τουλάχιστον 8 φύλλα, μια και υπάρχουν 8 πιθανά αποτελέσματα. Σε σχέση με το ποιο νόμισμα είναι το πλαστό.

Το θεώρημα ύψους δέντρου μας λέει, h≥logm. Όπου και m είναι το πλήθος των φύλλων και ο παράγοντας

διακλάδωσης αντίστοιχα Οπότε το δέντρο απόφασης πρέπει να έχει ύψος

h ≥ log38 = 1.893… = 2.

Ας δούμε αν μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με μόνο 2 ζυγίσεις…

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 8

Γενική Στρατηγική Επίλυσης

Το πρόβλημα είναι παράδειγμα αναζήτησης ενός μοναδικού συγκεκριμένου αντικειμένου, ανάμεσα σε μια λίστα από n φαινομενικά ίδια αντικείμενα.

Κάτι ανάλογο του “ψάχνοντας καρφίτσα σε αχυρώνα.”

Χρησιμοποιώντας τη ζυγαριά, μπορούμε να επιτεθούμε στο πρόβλημα με μια διαίρει-και-βασίλευε στρατηγική, παρόμοια με αυτή στη δυαδική αναζήτηση.

Θέλουμε να μειώσουμε το σύνολο των πιθανών σημείων όπου το αντικείμενο που ψάχνουμε (νόμισμα) μπορεί να βρεθεί από n σε μόνο 1, με έναν λογαριθμικό τρόπο.

Κάθε ζύγιση έχει 3 πιθανά αποτελέσματα. Μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε αυτό ώστε κάθε φορά να διαιρούμε τον εναπομείναντα

χώρο αναζήτησης σε τρία τμήματα

Αυτή η στρατηγική θα οδηγήσει στο ελάχιστο πιθανό πλήθος ζυγίσεων που απαιτούνται

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 9

Γενική Στρατηγική Επίλυσης

Σε κάθε βήμα, βάλε n/3 των n νομισμάτων προς εξέταση σε κάθε πλευρά της ζυγαριάς. Αν η ζυγαριά κλίνει προς τα αριστερά, τότε:

Το ελαφρύ πλαστό βρίσκεται στο δεξιό υποσύνολο n/3 ≈ n/3 νομισμάτων. Αν η ζυγαριά κλίνει προς τα δεξιά, τότε:

Το ελαφρύ πλαστό βρίσκεται στο αριστερό υποσύνολο n/3 ≈ n/3 νομισμάτων.

Αν η ζυγαριά ισορροπήσει τότε: Το ελαφρύ πλαστό βρίσκεται στα εναπομείναντα n − 2n/3≈ n/3 νομίσματα

που δε ζυγίσαμε!

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η στρατηγική αυτή οδηγεί σε ισορροπημένο 3-δικό δέντρο.

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 10

Δέντρο Απόφασης Ζύγισης Νομισμάτων

Στη δική μας περίπτωση το δέντρο έχει την παρακάτω μορφή:

123 vs 456

1 vs. 2

δεξιά:123 ισορροπία:

78αριστερά:456

7 vs. 84 vs. 5

Α:1 Δ:2 Ι:3 Α:4 Δ:5 Ι:6 Α:7 Δ:8

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 11

Δέντρα Αναζήτησης

Binary Search Tree (BST): Ορισμοί BST Δομή Δεδομένων BST Λειτουργίες

findMin, findMax find insert remove

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 12

Δυαδικά Δέντρα

Ένα δυαδικό δέντρο (binary tree) είναι ένα δέντρο όπου κάθε κόμβος έχει το πολύ δύο παιδιά δηλαδή κάθε κόμβος έχει 0, ή 1, ή 2 παιδιά

binary tree

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 13

Δυαδικό Δέντρο Αναζήτησης

Ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης (binary search tree) (BST) είναι ένα δυαδικό δέντρο όπου για κάθε κόμβο X,

Όλοι οι κόμβοι στο αριστερό υποδέντρο του X περιέχουν κλειδί < από το κλειδί του X

Όλοι οι κόμβοι στο δεξιό υποδέντρο του X περιέχουν κλειδί > από το κλειδί του X

Οι κανόνες 1 και 2 είναι γνωστοί ως η ιδιότητα BST Το κλειδί ενός κόμβου είναι η τιμή του δεδομένου που

αποθηκεύει

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 14

Δυαδικό Δέντρο Αναζήτησης – Παράδειγμα

9

7

4

17

14

11

12

21

25

2722

• Η BST ιδιότητα ισχύει σε κάθε κόμβο

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 15

Κλειδιά Κόμβων Δέντρου Αναζήτησης

Θα χρησιμοποιήσουμε κλειδιά που είναι ακέραιοι αριθμοί Μπορούμε να χειριστούμε μη-ακέραια κλειδιά με παρόμοιο

τρόπο

Γενικά σε κάθε κόμβο του δέντρου μπορεί εκτός από το κλειδί να περιέχονται και άλλες πληροφορίες. Π.χ. ΑΜ: int (κλειδί)

Όνομα: string

Ημερομηνία Γέννησης: date

κτλ.

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 16

Βασική Δομή Δεδομένων Δέντρου Αναζήτησης

Όπως και σε ένα γενικό δέντρο, η βασική δομή δεδομένων σε ένα BST είναι ένας κόμβος που ονομάζουμε BinaryNode

Αντίθετα με τα γενικά δέντρα όπου το πλήθος των παιδιών κάθε κόμβου δεν είναι γνωστό στατικά, ένας BST κόμβος μπορεί να έχει το πολύ δύο παιδιά

Οπότε, είναι λογικό να χρησιμοποιήσουμε δύο δείκτες lchild (left-child) και rchild (right-child) υποθέτουμε ότι οι δείκτες των φύλλων είναι NULL

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 17

Βασική Δομή Δεδομένων Δέντρου Αναζήτησης

class BinaryNode{

private:

int key; // the integer key

BinaryNode *lchild; // pointer to left child

BinaryNode *rchild; // pointer to right child

public:

// public methods go here

}

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 18

Λειτουργίες σε Δέντρα Αναζήτησης

Οι βασικές λειτουργίες σε ένα BST είναι: findMin: βρες το ελάχιστο κλειδί μέσα στο BST findMax: βρες το μέγιστο κλειδί μέσα στο BST find(x): βρες το κλειδί ‘x’ μέσα στο BST insert(x): εισήγαγε το κλειδί ‘x’ μέσα στο BST remove(x): διέγραψε το κλειδί ‘x’ από το BST isEmpty: δες αν το BST είναι άδειο makeEmpty: άδειασε το BST printTree: τύπωσε όλα τα κλειδιά στο BST

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 19

findMin

Σε ένα δέντρο όλες οι διασχίσεις αρχίζουν από τη ρίζα Σύμφωνα με την BST ιδιότητα, το κλειδί του lchild της ρίζας

θα είναι < του κλειδιού της ρίζας Το κλειδί του lchild του lchild της ρίζας θα είναι < του

κλειδιού του lchild της ρίζας κ.ο.κ. Αν μια διάσχιση ενός BST αρχίσει στη ρίζα και «πηγαίνει

συνέχεια αριστερά» καθώς κατεβαίνει προς τα κάτω, ο τελευταίος κόμβος στη διάσχιση θα έχει το μικρότερο κλειδί στο δέντρο

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 20

findMin

Η παράμετρος εισόδου στη findMin μέθοδο είναι η ρίζα του BST findMin(root);

Η findMin μέθοδος επιστρέφει τον κόμβο που περιέχει το μικρότερο κλειδί στο BST

Έτσι, ο τύπος που επιστρέφει η findMin είναι BinaryNode*

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 21

findMin Algorithm

Βήματα αλγορίθμου: Ξεκίνα από τη ρίζα Αν η ρίζα είναι NULL (άδειο BST) επέστρεψε NULL Σε κάθε κόμβο πήγαινε στο lchild Ολοκλήρωσε τη διάσχιση όταν συναντηθεί ο πρώτος NULL δείκτης Επέστρεψε τον τελευταίο κόμβο που επισκέφτηκες

Ο αλγόριθμος μπορεί να υλοποιηθεί αναδρομικά ή μη-αναδρομικά

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 22

findMin Algorithm (με αναδρομή)

// Recursive algorithm

BinaryNode* findMin(BinaryNode *t){

// check if the tree is empty

if (t==NULL) return NULL;

// if the left child is null

// return the current node

if (t->lchild==NULL) return t;

return findMin (t->lchild);

}

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 23

findMin Algorithm (χωρίς αναδρομή)

// Non-recursive algorithm

BinaryNode* findMin(BinaryNode *t)

begin

// έλεγξε αν το δέντρο είναι άδειο

if (t!=NULL)

begin

// προχώρα κάτω προς το lchild σε κάθε κόμβο

while (t->lchild!=NULL)

t = t->lchild;

end

return t;

end

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 24

findMin

Παράδειγμα:

9

7

4

17

14

11

12

21

25

2722

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 25

findMax

Σύμφωνα με την BST ιδιότητα, το κλειδί του rchild της ρίζας θα είναι > του κλειδιού της ρίζας

Το κλειδί του rchild του rchild της ρίζας θα είναι > του κλειδιού του rchild της ρίζας κ.ο.κ.

Χρησιμοποιώντας παρόμοια τεχνική όπως στη findMin, το μέγιστο κλειδί σε ένα BST πρέπει να βρίσκεται ξεκινώντας από τη ρίζα και «πηγαίνοντας όλο δεξιά»

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 26

findMax

Βήματα αλγορίθμου: Ξεκίνα από τη ρίζα Αν η ρίζα είναι NULL (άδειο BST) επέστρεψε NULL Σε κάθε κόμβο πήγαινε στο rchild Ολοκλήρωσε τη διάσχιση όταν συναντηθεί ο πρώτος NULL

δείκτης Επέστρεψε τον τελευταίο κόμβο που επισκέφτηκες

Η παράμετρος εισόδου στη findMax και ο τύπος που επιστρέφει είναι ίδια με τη findMin

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 27

findMax Algorithm (με αναδρομή)

// Recursive algorithm

BinaryNode* findMax(BinaryNode *t){

// check if the tree is empty

if (t==NULL) return NULL;

// if the right child is null

// return the current node

if (t->rchild==NULL) return t;

return findMax (t->rchild);

}

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 28

findMax Algorithm (χωρίς αναδρομή)

// Non-recursive algorithm

BinaryNode* findMax(BinaryNode *t)

begin

// έλεγξε αν το δέντρο είναι άδειο

if (t!=NULL)

begin

// προχώρα κάτω προς το rchild σε κάθε κόμβο

while (t->rchild!=NULL)

t = t->rchild;

end

return t;

end

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 29

findMax

Παράδειγμα:

9

7

4

17

14

11

12

21

25

2722

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 30

find

Ο αλγόριθμος find είναι συνδυασμός των τεχνικών της findMin και της findMax

Η διαφορά μεταξύ του find και των findMin/findMax:

Οι findMin/findMax εγγυώνται ότι θα επιστρέψουν έναν κόμβο όταν το BST δεν είναι άδειο. Από την άλλη, ο αλγόριθμος find επιστρέφει έναν κόμβο μόνο όταν το ζητούμενο κλειδί ‘x’ βρεθεί μέσα στο BST

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 31

find

Οι παράμετροι εισόδου είναι η ρίζα του BST και το κλειδί προς αναζήτηση: int x find(x, root);

Η μέθοδος find επιστρέφει τον κόμβο στο BST που περιέχει το κλειδί ‘x’ αν υπάρχει, και NULL αν δεν υπάρχει

Ο τύπος που επιστρέφει είναι πάλι BinaryNode*

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 32

find Algorithm

Βήματα αλγορίθμου:1) Start at root; current_node = root

2) if current_node is NULL return NULL

3) if (x < current_node -> key)current_node = current_node -> lchild

4) if (x > current_node -> key)current_node = current_node -> rchild

Repeat steps 2-4 until x = = current_node->key or current_node = = NULL

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 33

find Algorithm

// Non-recursive algorithmBinaryNode* findMax(BinaryNode *t, key x) begin // έλεγξε αν το δέντρο είναι άδειο if (t!=NULL)

begin while (t!=NULL && x!=t->key) begin

if (x < t -> key)t = t->lchild;

else if (x > t -> key)t = t->rchild;

endend

return t;end

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 34

find Algorithm (με αναδρομή)

// ‘t’ denotes the current nodeBinaryNode* find(int x, BinaryNode *t){ // check if current node is NULL if (t==NULL) return NULL; else if (x < t->key) // search along left subtree return find(x, t->lchild); else if (x > t->key) // search along right subtree return find(x, t->rchild); else

// if we reach here it means // x == t->key. x is found // Return the node containing x return t;

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 35

find

Παράδειγμα: Εύρεση του κλειδιού ‘12’ Εύρεση του κλειδιού ‘23’

9

7

4

17

14

11

12

21

25

2722

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 36

Insert

Εισαγωγή του κλειδιού ‘5’

9

7

4

17

14

11

12

21

25

2722

9

7

4

17

14

11

12

21

25

2722

5

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 37

Insert – Παράδειγμα (εισαγωγή του 5)

Ξεκινάμε από τη ρίζα που περιέχει το κλειδί 9 5 < 9, πηγαίνουμε στο lchild του 9 που είναι το 7 5 < 7, πηγαίνουμε στο lchild του 7 που είναι το 4 5 > 4, πηγαίνουμε στο rchild του 4 που είναι το NULL Δεν υπάρχει άλλο σημείο στο BST που μπορεί να περιέχει το 5

λόγω της BST ιδιότητας Οπότε, εισάγουμε το 5 ως το rchild του 4.

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 38

Insert

Κανόνας: Διπλά κλειδιά δεν επιτρέπονται σε ένα BST Αν θέλουμε να εισάγουμε το κλειδί ‘x’, πρώτα κάνουμε ένα

find(x) Αν το ‘x’ βρεθεί, δεν κάνουμε την εισαγωγή Αν το ‘x’ δε βρεθεί, προχωράμε με την εισαγωγή

Αν το ‘x’ δε βρεθεί, τότε η find τελειώνει στον κόμβο κάτω από τον οποίο πρέπει να μπει το ‘x’

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 39

Insert

insert (5, root) Πρώτα προσπαθούμε να βρούμε αν το 5 είναι ήδη στο BST find algorithm

5 < 9 πηγαίνουμε στο lchild του 9 που είναι το 7 5 < 7 πηγαίνουμε στο lchild του 7 που είναι το 4 5 > 4 πηγαίνουμε στο rchild του 4 που είναι null και η find τερματίζει

επιστρέφοντας NULL Ο τελευταίος κόμβος που επισκεφτήκαμε ήταν ο 4 Το καινούργιο κλειδί 5 πρέπει να εισαχθεί κάτω από τον 4 Δημιουργούμε έναν καινούργιο κόμβο με κλειδί 5 και μια 5 > 4

προσθέτουμε τον καινούργιο κόμβο ως rchild του 4

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 40

Insert

Βήματα Αλγορίθμου: Τρέξε ένα find για το κλειδί που θέλουμε να εισαχθεί Αν το κλειδί βρεθεί, επέστρεψε NULL. Αν το κλειδί δε βρεθεί, εισήγαγε έναν καινούργιο κόμβο που

περιέχει το κλειδί ως αριστερό ή δεξιό παιδί του τελευταίου κόμβου που επισκέφτηκε η find

Παράδειγμα: Εισαγωγή των κλειδιών 6, 9, 14, 17, 5, 7, 16, 20, 18, 19, 4, 11 σε ένα κενό αρχικά δέντρο αναζήτησης

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 41

insert Algorithm (με αναδρομή)

// Recursive Algorithm

// ‘t’ is the current node

void insert(int x, BinaryNode *t){

// if the current node is NULL// we have not found the key

// in the BST and reached a NULL

// pointer. So, we insert a new node

// containing ‘x’ at the current_node.

if (t == NULL) {

t = new BinaryNode(x, NULL, NULL);

return;}

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 42

insert Algorithm (με αναδρομή)

// in this portion we are doing the

// steps for the find algorithm

else if (x < t->key)

return insert(x, t->lchild);

else if (x > t->key)

return insert(x, t->rchild);

else return NULL; // the code reaches here if

// x == t-> key.

}

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 43

remove

Όπως στην περίπτωση του insert, πρέπει πρώτα να κάνουμε ένα find

Αν δε βρεθεί ο κόμβος, προφανώς δε μπορούμε να τον διαγράψουμε

Αν βρεθεί υπάρχουν 3 διαφορετικές περιπτώσεις ανάλογα με το είδος του κόμβου:

κόμβοι χωρίς παιδιά (φύλλα), κόμβοι με ένα παιδί κόμβοι με δύο παιδιά

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 44

remove - Κανόνες

Κανόνες: 1) Αν ο κόμβος που

θέλουμε να διαγράψουμε είναι φύλλο, τότε διαγράφεται κατευθείαν

27

Μπορεί να διαγραφεί κατευθείαν

9

7

4

17

14

11

12

21

25

2722

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 45

remove - Κανόνες

2) Αν ο κόμβος που θέλουμε να διαγράψουμε έχει ένα παιδί, το παιδί αυτό γίνεται το καινούργιο παιδί του πατέρα του διαγραμμένου κόμβου

25

27

21 διέγραψε το 25

27

21

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 46

remove - Κανόνες

3) Αν ο κόμβος που θέλουμε να διαγράψουμε έχει δύο παιδιά• Αντικατέστησε τον κόμβο προς διαγραφή με τον κόμβο που

περιέχει το ελάχιστο κλειδί στο δεξιό του υποδέντρο (χρησιμοποιώντας τη findMin στη ρίζα του δεξιού υποδέντρου του κόμβου προς διαγραφή) Ο κόμβος με το ελάχιστο κλειδί δε μπορεί να έχει lchild. Αν είχε

τότε το lchild θα περιείχε το ελάχιστο κλεδί Οπότε ο κόμβος με το ελάχιστο κλειδί έχει μόνο rchild ή καθόλου

παιδιά

ΤΜΗΜΑ ΜΠΕΣ 47

remove - Κανόνες

6

2

1

8

5

3

4

διέγραψε το 2

Το ‘2’ έχει 2 παιδιά.findMin στη ρίζα του δεξιού υποδέντρου του ‘2’ δίνει ‘3’ που έχει ένα rchild

6

3

1

8

5

3

4

Αντικατέστησε το ‘2’με το ‘3’

Αυτός ο κόμβοςκαι οι σχετιζόμενοιδείκτες διαγράφονται