μαθηματικα β γυμνασιου

Post on 29-Jul-2015

524 views 3 download

Transcript of μαθηματικα β γυμνασιου

Φίλη�µαθήτρια,�φίλε�µαθητή�

� Τα�Μαθηµατικά�της�Β΄�Γυµνασίου�αποτελούν�τη�βάση�για�να�κατανοηθούν�πολλές�θεµελιώδεις�µαθηµατικές�έννοιες.�

� Το�βιβλίο�αυτό�έγινε�µε�σκοπό�να�συµβάλλει�στην�εξοικείωση�του�µαθητή�µε�τις�µαθηµατικές�αυτές�έννοιες,�αλλά�και�για�να�βοηθήσει�κυρίως�στην�ανάπτυξη�της�κριτι-�κής�σκέψης�του,�ώστε�να�µπορέσει�να�αξιοποιήσει�µε�τον�καλύτερο�τρόπο�στις�επόµενες�τάξεις�τις�γνώσεις�που�θα�αποκτήσει.�

� Η�ύλη�του�βιβλίου�αποτελείται�από�δύο�µέρη�(1ο�µέρος:�Άλγεβρα,�2ο�µέρος:�Γεωµε-�τρία),�τα�οποία�χωρίζονται�σε�επιµέρους�ενότητες�σύµφωνα�µε�το�σχολικό�πρόγραµµα.�

� Η�κάθε�ενότητα�περιέχει:�

•� Πλήρη�θεωρία�γραµµένη�µε�απλό,�σύντοµο�και�συστηµατικό�τρόπο.�

•� Σχόλια�και�επισηµάνσεις�µε�τίτλο�«Να�προσέξουµε»,�όπου�τονίζονται�σηµεία�της�� θεωρίας�τα�οποία�κρίνονται�απαραίτητα�για�την�καλύτερη�αφοµοίωσή�της.�

•� Ασκήσεις� λυµένες�µε�υποδειγµατικό� τρόπο,�ως�παραδείγµατα�και� εφαρµογές� της�� θεωρίας.�

•� Ερωτήσεις�κατανόησης.�

•� Ασκήσεις�για�λύση�ταξινοµηµένες�κατάλληλα.�

� Στις�περισσότερες�ενότητες�περιλαµβάνεται�και�ένα�ενδεικτικό�κριτήριο�αξιολόγησης.�

� Κάθε�µέρος�ολοκληρώνεται�µε�µια�ενότητα�στην�οποία�δίνονται�θέµατα�θεωρίας,�ερω-�τήσεις�κρίσεως�και�γενικές�ασκήσεις.�

� Στο�τέλος�του�βιβλίου�υπάρχουν�απαντήσεις�-�υποδείξεις�των�ερωτήσεων,�των�ασκή-�σεων�και�των�κριτηρίων�αξιολόγησης.�

� Γιάννης�Κ.�Μαραγούσιας�� Μαθηµατικός�

Περιεχόµενα

Άλγεβρα ....................................................................................................................... 7�

1.� Η�έννοια�της�µεταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις .............................................. 9�

2.� Εξισώσεις�α΄�βαθµού.............................................................................................. 22�

3.� Επίλυση�τύπων ....................................................................................................... 35�

4.� Επίλυση�προβληµάτων�µε�τη�χρήση�εξισώσεων.................................................... 40�

5.� Ανισώσεις�α΄�βαθµού ............................................................................................. 52�

6.� Τετραγωνική�ρίζα�θετικού�αριθµού ....................................................................... 68�

7.� Άρρητοι�αριθµοί�-�Πραγµατικοί�αριθµοί ............................................................... 80�

8.� Προβλήµατα........................................................................................................... 92�

9.� Η�έννοια�της�συνάρτησης..................................................................................... 100�

10.� Καρτεσιανές�συντεταγµένες�-�Γραφική�παράσταση�συνάρτησης........................ 112�

11.� Η�συνάρτηση�y�=�αx............................................................................................. 130�

12.� Η�συνάρτηση�y�=�αx�+�β....................................................................................... 140�

13.� Η�συνάρτηση�α

yx

= �-�Η�υπερβολή...................................................................... 154�

14.� Βασικές�έννοιες�της�Στατιστικής:�Πληθυσµός�-�∆είγµα ...................................... 164�

15.� Γραφικές�παραστάσεις ......................................................................................... 172�

16.� Κατανοµή�συχνοτήτων�και�σχετικών�συχνοτήτων .............................................. 182�

17.� Οµαδοποίηση�παρατηρήσεων .............................................................................. 195�

18.� Μέση�τιµή�-�∆ιάµεσος.......................................................................................... 204�

19.� Θέµατα�από�την�Άλγεβρα .................................................................................... 219�

Γεωµετρία ................................................................................................................ 231�

20.� Εµβαδόν�επίπεδης�επιφάνειας .............................................................................. 233�

21.� Μονάδες�µέτρησης�επιφανειών............................................................................ 242�

22.� Εµβαδά�επίπεδων�σχηµάτων................................................................................ 249�

23.� Πυθαγόρειο�θεώρηµα........................................................................................... 267�

24.� Εφαπτοµένη�οξείας�γωνίας .................................................................................. 277�

25.� Ηµίτονο�και�συνηµίτονο�οξείας�γωνίας ............................................................... 290�

26.� Μεταβολές�ηµιτόνου,�συνηµιτόνου�και�εφαπτοµένης ......................................... 300�

27.� Οι�τριγωνοµετρικοί�αριθµοί�των�γωνιών�30°,�45°�και�60° .................................. 311�

28.� Η�έννοια�του�διανύσµατος ................................................................................... 320�

29.� Άθροισµα�και�διαφορά�διανυσµάτων................................................................... 330�

30.� Ανάλυση�διανύσµατος�σε�δύο�κάθετες�συνιστώσες............................................. 342�

31.� Εγγεγραµµένες�γωνίες.......................................................................................... 352�

32.� Κανονικά�πολύγωνα............................................................................................. 362�

33.� Μήκος�κύκλου...................................................................................................... 373�

34.� Μήκος�τόξου ........................................................................................................ 378�

35.� Εµβαδόν�κυκλικού�δίσκου ................................................................................... 387�

36.� Εµβαδόν�κυκλικού�τοµέα..................................................................................... 393�

37.� Ευθείες�και�επίπεδα�στο�χώρο.............................................................................. 403�

38.� Στοιχεία�και�εµβαδόν�πρίσµατος�και�κυλίνδρου.................................................. 413�

39.� Όγκος�πρίσµατος�και�κυλίνδρου .......................................................................... 422�

40.� Η�πυραµίδα�και�τα�στοιχεία�της ........................................................................... 434�

41.� Ο�κώνος�και�τα�στοιχεία�του ................................................................................ 445�

42.� Η�σφαίρα�και�τα�στοιχεία�της............................................................................... 456�

43.� Γεωγραφικές�συντεταγµένες ................................................................................ 463�

44.� Θέµατα�από�τη�Γεωµετρία ................................................................................... 468�

Απαντήσεις�των�Ερωτήσεων,�των�Ασκήσεων�

και�των�Προβληµάτων......................................................................................... 485�

Απαντήσεις�Σχολικού�Βιβλίου ......................................................................... 591�

Πίνακας�τριγωνοµετρικών�αριθµών .............................................................. 688�

9�

– Σε ένα διαγώνισµα 10 ερωτήσεων κά-

θε ερώτηση αξιολογείται µε 2 µονάδες.

Τι βαθµό θα πάρει κάποιος εξεταζόµε-

νος;

– Εξαρτάται: Αν απαντήσει σε:

• 10 ερωτήσεις θα πάρει 2 ⋅10 = 20

• 9 ερωτήσεις θα πάρει 2 ⋅9 = 18

• 8 ερωτήσεις θα πάρει 2 ⋅8 = 16

Γενικά θα πάρει:

2 ⋅ (αριθµό απαντηµένων ερωτήσεων)

Για ευκολία συµβολίζουµε µε x τον αριθ-

µό των απαντηµένων ερωτήσεων, οπότε

ο βαθµός που θα πάρει κάποιος εξετα-

ζόµενος είναι 2⋅x.

Το γράµµα x που παριστάνει έναν οποιο-

δήποτε αριθµό από το 0 έως το 10 λέ-

γεται µεταβλητή.

� Η έννοια της µεταβλητής

Η�λύση�προβληµάτων�σε�ορισµένες�περι-πτώσεις� είναι� δύσκολη� ή� αδύνατη� µε� τηβοήθεια�µόνο�της�πρακτικής�αριθµητικής.Γι’�αυτό�αναζητήσαµε�νέα�εργαλεία�και�τρό-πους�για�την�καλύτερη�αντιµετώπισή�τους.�

Πολλές� φορές� λοιπόν� διευκολυνόµαστεστη� λύση� ενός� προβλήµατος,� αν�µπορέ-σουµε� ορισµένες� εκφράσεις� του� να� τις«µεταφράσουµε»�από�τη�συνηθισµένη�κα-θηµερινή�γλώσσα�στη�µαθηµατική�γλώσ-σα,�χρησιµοποιώντας�σύµβολα�και�αριθ-µούς.� Στη� γλώσσα� αυτή� των� µαθηµατι-κών�ένα�από�τα�πιο�σηµαντικά�εργαλείαείναι�η�µεταβλητή.�

Μεταβλητή�είναι�ένα�σύµβολο�συνήθωςγράµµα,� (x,� y,� z� κ.λπ.)� µε� το� οποίο� πα-ριστάνουµε�οποιοδήποτε�στοιχείο�ενός�συ-νόλου.�

Με�τη�βοήθεια�µιας�ή�περισσότερων�µε-ταβλητών�εκφράζουµε�στα�Μαθηµατικάδιάφορες�προτάσεις.�

�Οι παραστάσεις:

7 ⋅ (−3) + 22, − ⋅

⋅ + −2 9 2 6

5 83 5

είναι αριθµητικές παραστάσεις.

Αριθµητική παράσταση

Μια�παράσταση�που�περιέχει�πράξεις�µεαριθµούς�λέγεται�αριθµητική�παράσταση.

Τιµή�αυτής�της�παράστασης�λέµε�το�απο-τέλεσµα�που�βρίσκουµε�αν�εκτελέσουµετις�πράξεις�που�είναι�σηµειωµένες.�

10� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�

Η παράσταση Α = −2x + 6y + 11 είναι

αλγεβρική παράσταση µε όρους τους:

−2x, 6y, 11

Όταν x = −1 και y = 2 η παράσταση Α

έχει τιµή:

Α = −2 ⋅ (−1) + 6 ⋅2 + 11 =

= 2 + 12 + 11 = 25

� Αλγεβρική παράσταση

Μια�παράσταση�που�περιέχει�πράξεις�µεαριθµούς�και�µεταβλητές�ονοµάζεται�αλγε-βρική�παράσταση.�

Οι�προσθετέοι�σε�µια�αλγεβρική�παράστα-ση�λέγονται�όροι�αυτής.�

Η�τιµή�της�αριθµητικής�παράστασης�πουπροκύπτει� αν� αντικαταστήσουµε� σε� µιααλγεβρική�παράσταση�τις�µεταβλητές�µεαριθµούς�λέγεται�αριθµητική�τιµή�ή�απλάτιµή�της�αλγεβρικής�παράστασης.�

– Έστω α το πλήθος των αγοριών µιας

τάξης και β το πλήθος των κοριτσιών

της ίδιας τάξης. Αν κάθε παιδί έδωσε

ένα χρηµατικό ποσό γ για την εκδροµή

της τάξης του, τότε ποιο ποσό έδωσαν

όλα τα παιδιά;

– Το πλήθος των παιδιών είναι α + β,

οπότε έδωσαν συνολικά το ποσό (α + β) ⋅γ.

Τα αγόρια έδωσαν το ποσό α ⋅ γ. Τα κο-

ρίτσια έδωσαν β ⋅ γ, οπότε συνολικά έδω-

σαν α ⋅ γ + β ⋅ γ.

Άρα (α + β) ⋅ γ = α ⋅ γ + β ⋅ γ.

� Επιµεριστική ιδιότητα

Όταν� έχουµε�να�πολλαπλασιάσουµε�ένα

άθροισµα��α�+�β��µε�έναν�αριθµό�γ,�µπο-ρούµε�να�πολλαπλασιάσουµε�κάθε�όροτου�αθροίσµατος�µε�τον�αριθµό�και�ναπροσθέσουµε�τα�γινόµενα�που�προκύπτουν.∆ηλαδή:�

+ ⋅ = ⋅ + ⋅(α β) γ α γ β γ �

Η�επιµεριστική� ιδιότητα� ισχύει�και�στηνπερίπτωση�που�αντί�για�πρόσθεση�έχου-µε�αφαίρεση.�∆ηλαδή�ισχύει:�

− ⋅ = ⋅ − ⋅(α β) γ α γ β γ �

�– Αν Α = 3x + 11x, τότε:

Α = 3x + 11x = (3 + 11)x = 14x

Άρα Α = 14x.

– Αν Β = α + 2β − 3α + 5β, τότε:

Β = 1 ⋅α − 3α + 2β + 5β =

= (1 − 3)α + (2 + 5)β = −2α + 7β

Άρα Β = −2α + 7β.

� Αναγωγή οµοίων όρων

Με�τη�βοήθεια�της�επιµεριστικής�ιδιό-τητας� µπορούµε� να� γράφουµε� αλγεβρι-κές�παραστάσεις�µε�απλούστερη�µορφή.Η�διαδικασία�αυτή�ονοµάζεται�αναγωγήοµοίων�όρων.�

11�

��

�� Οι�µεταβλητές�παριστάνουν�αριθµούς�από�συγκεκριµένα�σύνολα.�

� Έτσι�αν�µια�µεταβλητή�α�παριστάνει�τον�αριθµό�των�ανθρώπων�µιας�πόλης,�τότε

� το�α�δεν�µπορεί�για�παράδειγµα�να�είναι�−5�ούτε�0�ούτε�5

7�κ.λπ.�

�� Το�σύµβολο�του�πολλαπλασιασµού�είναι�η�τελεία�(⋅),�την�οποία�µπορούµε�και� να�παραλείπουµε�στην�περίπτωση�που�έχουµε�γινόµενο�δύο�µεταβλητών�ή�γινό-� µενο�αριθµού�µε�µεταβλητή.�

� Έτσι,�µπορούµε�για�παράδειγµα�να�γράφουµε:�

αβ���αντί���α�⋅�β�

2x���αντί���2�⋅�x�

� ∆εν�µπορούµε�όµως�να�γράφουµε�για�παράδειγµα:�

43���αντί���4�⋅�3�

�� Η�επιµεριστική�ιδιότητα�του�πολλαπλασιασµού�ως�προς�την�πρόσθεση�εφαρµό-� ζεται�και�στην�περίπτωση�που�το�άθροισµα�έχει�περισσότερους�από�δύο�προσθε-� τέους.�Έτσι:�

+ + ⋅ = + +(x y ω) z xz yz ωz �

Απόδειξη

� Είναι:�

(x�+�y�+�ω)�⋅�z�=�[(x�+�y)�+�ω]�⋅�z�=�(x�+�y)�⋅�z�+�ωz�=�xz�+�yz�+�ωz�

�� Η�επιµεριστική�ιδιότητα�εφαρµόζεται�ακόµα�και�για�να�υπολογίσουµε�το�γινό-� µενο�δύο�αλγεβρικών�αθροισµάτων.�Έτσι:�

(α β)(γ δ) αγ βγ αδ βδ+ + = + + + �

Απόδειξη

� Είναι:�

(α�+�β)(γ�+�δ)�=�(α�+�β)�⋅�γ�+�(α�+�β)�⋅�δ�=�αγ�+�βγ�+�αδ�+�βδ�

�� Επειδή�στον�πολλαπλασιασµό�ισχύει�η�αντιµεταθετική�ιδιότητα,�δηλαδή:�

⋅ = ⋅x y y x �

12� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�

� θα�ισχύει�και:�

(α β) γ γ (α β)+ ⋅ = ⋅ + �

� οπότε�και:�

⋅ + = ⋅ + ⋅γ (α β) γ α γ β �

�� Η�επιµεριστική�ιδιότητα�είναι�ιδιαίτερα�χρήσιµη�για�την�«αναγωγή�οµοίων�όρων»

� και�για�τη�µετατροπή�αθροίσµατος�σε�γινόµενο.�

� Στην�περίπτωση�αυτή�χρησιµοποιούµε�την�επιµεριστική�ιδιότητα�µε�τη�µορφή:

⋅ + ⋅ = + ⋅α γ β γ (α β) γ �����ή����� ⋅ + ⋅ = ⋅ +γ α γ β γ (α β) �

� Για�παράδειγµα:�

� � 2γ�+�5γ�=�(2�+�5)γ�=�7γ,�� � � � � x�+�4x�=�1x�+�4x�=�(1�+�4)x�=�5x,�

� � 12α�−�3α�=�(12�−�3)α�=�9α,�� � � � 7ω�−�15ω�=�(7�−�15)ω�=�−8ω,�

� � 2φ�−�6φ�+�3φ�=�(2�−�6�+�3)φ�=�−1�⋅�φ�=�−φ�

� Ακόµη:�

� � 4x�+�4y�=�4(x�+�y),� � � � � � � 2α�+�4β�+�2�=�2(α�+�2β�+�1)�

�� Υπάρχουν�αλγεβρικές�παραστάσεις�στις�οποίες�οι�πράξεις�δεν�µπορούν�να�συνε-

� χιστούν,�αν�δεν�εφαρµόσουµε�την�επιµεριστική�ιδιότητα.�

� Για�παράδειγµα,�η�παράσταση��Α�=�(5�+�α)β�−�5β��υπολογίζεται�ως�εξής:�

(5�+�α)β�−�5β�=�5β�+�αβ�−�5β�=�(5�−�5)β�+�αβ�=�0�⋅�β�+�αβ�=�αβ�

ή�

(5�+�α)β�−�5β�=�[(5�+�α)�−�5]�⋅�β�=�(5�+�α�−�5)�⋅�β�=�αβ�

�� Όταν�σε�µια�αλγεβρική�παράσταση�αντικαθιστούµε�µεταβλητές�µε�αρνητικούς

� αριθµούς,�τότε�στη�θέση�των�µεταβλητών�βάζουµε�παρενθέσεις�«(�)»�και�µέσα

� σ’�αυτές�τον�αριθµό.�

� Για�παράδειγµα,�αν�στην�παράσταση��+

=

+2

5x 2A

3x 12��αντικαταστήσουµε�το�x�µε

� το�−3�θα�έχουµε:�

⋅ − + ⋅ − + − + −= = = = = − = −

⋅ + +⋅ − +2

5 ( 3) 2 5 ( 3) 2 15 2 13 13 1A

3 9 12 27 12 39 39 33 ( 3) 12�

13�

��

1.1��Να�χρησιµοποιήσετε�µεταβλητές�για�να�εκφράσετε�µε�µια�αλγεβρική�παρά-�σταση�τις�παρακάτω�προτάσεις:�

α)� Το�διπλάσιο�ενός�αριθµού�αυξηµένο�κατά�1.�

β)� Η�ηλικία�ενός�ανθρώπου�µετά�από�5�χρόνια�αν�γνωρίζουµε�την�σηµερινή�του�ηλικία.�

γ)� Το�συνολικό�ποσό�που�πληρώνουµε�για�να�αγοράσουµε�2�κιλά�µήλα�και�3�κιλά�κεράσια.�

δ)� Το�εµβαδόν�ενός�ορθογώνιου�τριγώνου�του�οποίου�η�µια�κάθετη�πλευρά�είναι�3�cm�µικρότερη�από�την�άλλη.�

Απάντηση

α)� Αν�συµβολίσουµε�µε�x�τον�αριθµό,�τότε�το�διπλάσιο�του�x�είναι�2x�και�αυξηµένο�

κατά�1�γίνεται��2x�+�1.�

β)� Αν�συµβολίσουµε�µε�α�την�σηµερινή�ηλικία�του�ανθρώπου,�τότε�µετά�από�5�χρόνια�

θα�είναι��α�+�5.�

γ)� Αν�µε�µ�συµβολίσουµε�την�τιµή�του�κιλού�των�µήλων�και�µε�κ�την�τιµή�του�κιλού�των�κερασιών,�τότε�τα�µήλα�κοστίζουν�2µ,�τα�κεράσια�3κ�οπότε�το�συνολικό�ποσό�που�

πληρώνουµε�είναι��2µ�+�3κ.�

δ)� Αν�µε�x�συµβολίσουµε�τη�µεγαλύτερη�κάθετη�πλευρά�του�ορθογωνίου,�τότε�η�άλλη�πλευρά�είναι�

x�−�3��και�το�εµβαδόν�του�ορθογώνιου�τριγώνου�εί-�

ναι�1x(x 3).

2− �

1.2��Να�απλοποιηθούν�οι�παραστάσεις:�

α)� 4x�−�13x�+�5x� � � � � � � � � β)� −3ω�+�17ω�+�ω�−�6ω�

γ)� 2κ�−�λ�+�15κ�+�24λ� � � � � � � � δ)� 3(x�−�y)�+�2(x�+�3y)�+�7�

Απάντηση

α)� 4x�−�13x�+�5x�=�(4�−�13�+�5)x�=�−4x�

β)� −3ω�+�17ω�+�ω�−�6ω�=�(−3�+�17�+�1�−�6)ω�=�9ω�

γ)� 2κ�−�λ�+�15κ�+�24λ�=�2κ�+�15κ�−�λ�+�24λ�=�(2�+�15)κ�+�(−1�+�24)λ�=�17κ�+�23λ�

δ)� 3(x�−�y)�+�2(x�+�3y)�+�7�=�3x�−�3y�+�2x�+�6y�+�7�=�3x�+�2x�−�3y�+�6y�+�7�=�

� =�(3�+�2)x�+�(−3�+�6)y�+�7�=�5x�+�3y�+�7�

14� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�

1.3��∆ίνονται�οι�παραστάσεις:�

= − + = − − +1

A 5x x 3,5x , B 2x 3(x 5) x2

α)� Να�γραφούν�σε�απλούστερη�µορφή.�

β)� Να�υπολογιστεί�η�τιµή�τους�για��x�=�−3.�

Απάντηση

α)�

= − + = − + = − =

1 1A 5x x 3,5x 5 3,5 x (8,5 0,5)x 8x

2 2�

�Β� =�2x�−�3(x�−�5)�+�x�=�2x�−�3x�+�15�+�x�=�2x�−�3x�+�x�+�15�=�

� =�(2�−�3�+�1)x�+�15�=�0�+�15�=�15�

β)� Είναι��A�=�8(−3)�=�−24.�

Η�παράσταση�Β�είναι�ανεξάρτητη�από�το�x.�Αυτό�σηµαίνει�ότι�για�οποιοδήποτε�x�έχει�

σταθερή�τιµή��Β�=�15.��Άρα�και�για��x�=�−3��είναι��Β�=�15.��

1.4��Να�υπολογιστεί�η�τιµή�της�παράστασης�για��x�=�2:�

= − − − −

x+1 x x

x 1 1 5A ( x + 4) + x 1 +

x 3 6�

Απάντηση

Έχουµε:�2 1 2 2 3 2 2

2 21 1 5 1 2 5A ( 2 4) 2 1 2 2

2 3 6 2 3 6

+

= − + + − − − + = + − − − + =

= + − − + = − − + =

1 4 25 2 4 254 2 4

8 9 36 8 9 36�

1 4 25 9 16 254 4 4

4 9 36 36 36 36= − − + = − − + = �

1.5��Αν�είναι� ⋅ = −

1α β

2�και��γ�+�δ�=�−2��να�υπολογιστεί�η�τιµή�των�παραστάσεων�

Α�=�α�⋅�β�⋅�γ�+�α�

⋅�β�⋅�δ��και��Β�=�(−3)�⋅�α�

⋅�(−2)�⋅�β�−�2γ�+�3�−�2δ.�

Απάντηση

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + = − − = + =1 2

A α β γ α β δ αβ(γ δ) ( 2) 12 2

Β�=�(−3)�⋅�α�⋅�(−2)�⋅�β�−�2γ�+�3�−�2δ�=�(−3)(−2)�⋅�α�⋅�β�−�2γ�−�2δ�+�3�=�6(α�⋅�β)�−�2(γ�+�δ)�+�3�=�

16 2( 2) 3 3 4 3 4

2

= − − − + = − + + =

15�

1.6��Να�υπολογιστεί�η�τιµή�της�παράστασης��Α�=�3(α�+�β)�+�α�−�7β�−�2α�+�2β�+�5,�

αν��α�−�β�=�4.�

Απάντηση

Κάνουµε�πράξεις�και�εµφανίζουµε�το��α�−�β:�

Α�=�3(α�+�β)�+�α�−�7β�−�2α�+�2β�+�5�=�3α�+�3β�+�α�−�7β�−�2α�+�2β�+�5�=�

=�3α�+�α�−�2α�+�3β�−�7β�+�2β�+�5�=�(3�+�1�−�2)α�+�(3�−�7�+�2)β�+�5�=�

=�2α�−�2β�+�5�=�2(α�−�β)�+�5�=�2�⋅�4�+�5�=�13��

1.7��Να�γραφεί�η�παράσταση��Α�=�3x�−�y�−�5��ως�παράσταση�των�α,�β�όπου:�

α�=�3x�+�2���και���β�=�y�+�1�

Απάντηση

1ος�τρόπος:�«∆ηµιουργούµε»�το��3x�+�2��και�το��y�+�1:�

Α�=�3x�−�y�−�5�=�3x�−�y�−�7�+�2�=�3x�+�2�−�y�−�7�=�3x�+�2�−�y�−�1�−�6�=�

=�(3x�+�2)�−�(y�+�1)�−�6�=�α�−�β�−�6�

2ος�τρόπος:�Επειδή�είναι��3x�=�α�−�2��και��y�=�β�−�1��έχουµε:�

Α�=�(α�−�2)�−�(β�−�1)�−�5�=�α�−�2�−�β�+�1�−�5�=�α�−�β�−�6��

1.8��Για�την�αγορά�3�γιαουρτιών�και�2�κουτιών�γάλακτος�πληρώνουµε�5�€.�Πόσο�

θα�πληρώσουµε�εάν�αυξηθεί�η�τιµή�κάθε�γιαουρτιού�κατά�20�λεπτά�και�κάθε�κου-�τιού�γάλακτος�κατά�15�λεπτά;�

Απάντηση

Αν�x�€�είναι�η�τιµή�κάθε�γιαουρτιού�και�y�€�η�τιµή�κάθε�κουτιού�γάλακτος,�τότε�είναι�

3x�+�2y�=�5.��Μετά�την�αύξηση�κάθε�γιαούρτι�θα�κοστίζει��(x�+�0,2)�€��και�κάθε�κουτί�

γάλα��(y�+�0,15)�€.��Άρα�για�τα�3�γιαούρτια�και�τα�2�κουτιά�γάλα�θα�πληρώσουµε:�

3(x�+�0,2)�+�2(y�+�0,15)�=�3x�+�3�⋅�0,2�+�2y�+�2�⋅�0,15�=�3x�+�0,6�+�2y�+�0,3�=�

=�3x�+�2y�+�0,9�=�5�+�0,9�=�5,9�€���

��

1.9��Να�εξετάσετε�αν�είναι�σωστές�ή�λανθασµένες�οι�παρακάτω�προτάσεις:�

α)� Το�εξαπλάσιο�ενός�αριθµού�x�παριστάνεται�µε�6x.�

β)� Η�αλγεβρική�παράσταση��α�+�10��εκφράζει�το�δεκαπλάσιο�του�αριθµού�α.�

γ)� Αν�η�µεταβλητή�µ�εκφράζει�τον�αριθµό�των�µαθητών�µιας�τάξης,�τότε�µπορεί�να�

είναι��µ�=�−8.�

16� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�

δ)� Αν�η�µεταβλητή�β�εκφράζει�σε�κιλά�το�βάρος�ενός�πεπονιού,�τότε�µπορεί�να�είναι�

β�=�1,74.�

ε)� Αν�η�µεταβλητή�υ�εκφράζει�το�ύψος�ενός�ανθρώπου�σε�µέτρα,�τότε�µπορεί�να�είναι�

υ�=�5.�

στ)�Την�πρόταση:�«Τριπλασιάζουµε�τα�χρήµατα�της�Ιουλίας�και�από�αυτά�αφαιρούµε�

1000�€»�µπορούµε�να�την�εκφράσουµε�µε�την�αλγεβρική�παράσταση��3x�−�1000.�

ζ)� Η�περίµετρος�ενός�ορθογωνίου�διαστάσεων�x�και�y�είναι��2(x�+�y).�

η)� Η�παράσταση��Α�=�5ω�−�8ω�+�3ω��είναι�ίση�µε�ω.�

1.10��Να�επιλέξετε�τη�σωστή�απάντηση:�

α)� Το�πενταπλάσιο�ενός�αριθµού�ελαττωµένο�κατά�2�εκφράζεται�από�την�αλγεβρική�πα-�ράσταση:�

Α.� 5�−�2x�� � � � Β.� 2�⋅�5x� � � � � Γ.� 5x�−�2�� � � � ∆.� 2�−�5x�

β)� Η�τιµή�της�παράστασης��Α�=�2x�+�5��όταν��x�=�−5��είναι:�

Α.� 2(−5�+�5)�=�0�� � � � � � � � � Β.� 2�−�5�+�5�=�2�

Γ.� 2(−5)�+�5�=�−5� � � � � � � � � ∆.� τίποτα�από�τα�προηγούµενα�

1.11��Να�συµπληρώσετε�τον�πίνακα:�

α� −3� 0�2

3− �

β� 2� 1� −

1

2�

γ� −1� −2� 3�

αγ� � � �

βγ� � � �

αγ�+�βγ� � � �

(α�+�β)γ� � � �

α(β�+�γ)� � � �

17�

1.12��Στον�επόµενο�πίνακα�να�αντιστοιχίσετε�κάθε�στοιχείο�της�1ης�στήλης�µε�ένα�

στοιχείο�της�2ης�στήλης.�

1η�Στήλη� 2η�Στήλη�

� α)� 5x�+�6x�−�11x� � � i)� −x�

� β)� −7x�+�15x�−�7x� � � ii)� x�

� γ)� 23x�−�20x�−�x�−�3x� � � iii)�−2x�

� δ)� x�+�2x�+�3x�−�4x�−�5x� � � iv)�0�

� ε)� −5x�−�8x�+�10x�+�x� � � v)� −3x�

��

��

1.13��Να�χρησιµοποιήσετε�µεταβλητές�για�να�εκφράσετε�µε�µια�αλγεβρική�παράστα-�ση�τις�παρακάτω�προτάσεις:��

α)� Το�δεκαπλάσιο�ενός�αριθµού.�

β)� Το�ένα�τρίτο�ενός�αριθµού.�

γ)� Τη�διαφορά�δύο�αριθµών.�

δ)� Το�εξαπλάσιο�ενός�αριθµού�αυξηµένο�κατά�7.�

ε)� Το�τριπλάσιο�του�αθροίσµατος�δύο�α-�ριθµών.��

1.14��Με�τη�βοήθεια�µιας�µεταβλητής�να�

γράψετε�συµβολικά:�

α)� Την�πρόταση:��«Από�έναν�αριθµό�αφαι-�

ρούµε�το�διπλάσιό�του�και�κατόπιν�προ-�

σθέτουµε�τα�3

4�του�αριθµού.»�

β)� Τον� ένα�από� τους� δύο�αριθµούς� που�

έχουν�γινόµενο�20�όταν�ο�άλλος�είναι�x.�

��������������������������������������������������������

Οι�απαντήσεις�βρίσκονται�στο�τέλος�του�βιβλίου�

γ)� Το�γινόµενο�δύο�αριθµών�που�διαφέ-�ρουν�κατά�10.�

δ)� Την�περίµετρο�ενός�τετραγώνου,�αν�γνωρίζουµε�την�πλευρά�του.�

ε)� Την�ηλικία�της�Άννας�που�είναι�30�χρό-�νια�µικρότερη�από�τη�µητέρα�της,�αν�γνω-�ρίζουµε�την�ηλικία�της�µητέρας�της.�

στ)�Το�πλήθος�των�µαθητών�της�Β΄�Γυµνα-�σίου�ενός�σχολείου,�αν�γνωρίζουµε�ότι�εί-�ναι�το�ένα�τέταρτο�των�µαθητών�του�σχο-�λείου�αυξηµένο�κατά�25.��

1.15��Ένα�βιβλίο�κοστίζει�x�€,�ένα�τετρά-�διο�y�€,�ένα�µολύβι�z�€�και�ένα�στυλό�ω�€.�Να� εκφράσετε�µε� τη� βοήθεια� των�µετα-�βλητών�αυτών�πόσο�κοστίζουν:�

α)� τρία�βιβλία,�δύο�τετράδια,�τέσσερα�µο-�λύβια�και�έξι�στυλό,�

β)� πέντε�τετράδια�και�τρία�στυλό,�

γ)� αν�πάρουµε�ένα�από�κάθε�είδος.�

18� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�

1.16��Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)� 35x�+�12x� � � β)� −3y�+�5y�

γ)� ω�+�2ω�−�3ω�� � δ)� 2α�−�5α�+�7α�

ε)� −β�+�2β�+�12β�

στ)�5κ�+�3κ�+�6κ�+�12κ�

ζ)� −λ�−�3λ�−�6λ�+�25λ�

η)� 5µ�−�2�+�6µ�−�7�+�12µ�

θ)� 0,3x�−�1,8x�−�1,5x�+�6,3x�+�1,7x�

ι)� + − − +1 9 4α 0,5α α α 6

3 2 3�

1.17��Να�κάνετε�αναγωγή�οµοίων�όρων�στις�παραστάσεις:�

α)� 3x�−�5y�+�2x�+�6y�

β)� 7α�+�5β�−�13α�−�25β�

γ)� ω�−�2�+�3ω�+�x�−�y�+�3x�+�y�

�1.18��Να�γράψετε�σε�απλούστερη�µορφή�τις�παραστάσεις:�

α)� Α�=�2x�+�5x�−�3x�

β)� Β�=�ω�−�3ω�+�6ω�+�5ω�

γ)� Γ�=�Α�+�2(Β�−�2x)�

�1.19��Να�γράψετε�σε�απλούστερη�µορφή�τις�παραστάσεις�Α�και�Β:�

Α�=�3(β�+�α)�−�3α,���Β�=�5(α�+�5)�−�25�−�5α�

�1.20��Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις�Α,�Β,�Γ�και�στη�συνέχεια�να�υπολογίσετε�την�τιµή�τους:�

Α�=�3(x�−�2)�−�5x�+�24,���όταν��x�=�3�

Β�=�2(−α�+�β)�+�3(α�+�β),�

� όταν��α�=�−1��και��β�=�2�

Γ�=�4(3κ�+�2λ)�−�3(κ�+�5λ),�

� όταν��κ�=�5��και��λ�=�−3�

1.21��∆ίνεται�η�παράσταση:�

Α�=�3(x�+�5)�+�12x�−�6(x�−�9)�

Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�όταν:�

α)� = −

1x

3� � � � β)� x�=�−2�

1.22��Αν��x�=�0,��y�=�−1��και��ω�=�0,2,�να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�

Α�=�5x�−�(−2x�+�y�−�10ω)�−�

−�(6x�+�2y�+�5ω)�+�9y�

1.23��Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

= − + − +

1 1 x 2A x (x 6)

2 3 2 3�

= + ⋅ + − + ⋅ +

4 3 5 1 7B x 2 x x

3 2 2 6 6�

1.24��∆ίνεται�η�παράσταση:�

A�=�−[α�−�5�−�(α�−�β)�+�(α�+�5�−�β)�−�−�(−α)]�+�5α�

α)� Να�απαλείψετε�τις�παρενθέσεις�και�τις�

αγκύλες.�

β)� Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�αν�1

α3

= .�

�1.25��Αν�είναι��Α�=�8�+�(x�−�7�+�y)��και�

Β�=�−(−x�+�6)�+�y�−�5,��να�υπολογίσετε�τις�

παραστάσεις��Α�−�Β,��Β�−�Α.�

1.26��Αν� �x�=�−2,� �y�=�3� �και� �z�=�−1,� �να�

υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�

A�=�−�[−x�+�2�−�(−y�+�x)]�−�(−x�−�z)��

1.27��Αν��α�=�5��και��β�=�−2,��να�υπολογί-�

σετε�την�τιµή�της�παράστασης:�

A�=�5�[β(α�−�2)�−�3]�−�4(−α)(−β)�

19�

1.28��Αν� = −

3x ,

2�να�υπολογίσετε�την�τι-�

µή�της�παράστασης:�

= − − − + − − −

1 1A (x 2)( 8 4) 4(x 2)

4 4�

1.29��Αν� = −

1x ,

2�να�υπολογίσετε�την�τι-�

µή�των�παραστάσεων:�

A�=�1

2 ( x) x (2 x)2

− − + − + + − −

B� =�−�[(x�−�2)�+�(3�−�x)]�+�� � +�[(4�−�x)�+�(x�−�5)]��

1.30��∆ύο�αριθµοί�έχουν�άθροισµα�50.�Αν�

πολλαπλασιάσουµε�κάθε�αριθµό�επί�8,�

ποιο�θα�είναι�το�νέο�άθροισµα;��

1.31��∆υο�αριθµοί�έχουν�διαφορά�63.�Αν�

πολλαπλασιάσουµε�κάθε�αριθµό�επί�5,�

ποια�θα�είναι�η�νέα�διαφορά;��1.32��Αν��α�+�β�=�6,� �να�υπολογίσετε�την�

τιµή�της�παράστασης:�

Α�=�5(α�+�2)�+�3(β�−�13)�−�2(3�−�β)�

�1.33��Αν��α�+�β�=�8��και��γ�−�δ�=�10,��να�υπο-�

λογίσετε�τις�τιµές�των�παραστάσεων:�

� � Α�=�2α�+�2β�−�(γ�−�δ)���και�

� � Β�=�3(α�+�γ)�+�3(β�−�δ)���

�����������

1.34��Να�παραστήσετε�µε�τη�βοήθεια�µιας�

µεταβλητής:�

α)� Τους�αριθµούς�που�είναι�πολλαπλάσια�

του�3.�

β)� Τους�άρτιους�αριθµούς.�

γ)� Τους�περιττούς�αριθµούς.�

δ)� Τους�φυσικούς�αριθµούς�που�όταν�διαι-�ρεθούν�µε�το�5�αφήνουν�υπόλοιπο�2.�

1.35��Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� (−α�+�β�−�γ)�⋅�δ�=�−αδ�+�βδ�−�γδ�

β)� (α�−�β)(−γ�+�δ)�=�−αγ�+�αδ�+�βγ�−�βδ�

1.36��Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παρά-�

στασης:�

A�=� −[(x�−�2)�⋅�3�−�3x]�+�� � +�[−1�−�(−2�+�10)](x�−�5)�−�9(2�−�x)��

1.37��Αν�είναι��Α�=�2x�−�5(x�−�y)��και�

Β�=�5y�−�[−(α�−�3)�+�α]�⋅�x,��να�αποδείξετε�

ότι��Α�=�Β.�

1.38��Να�γράψετε�την�παράσταση:�

Κ�=�−2x�+�y�+�7�

ως�παράσταση�των�α�και�β,�όπου:�

α�=�x�−�2,���β�=�y�+�3�

1.39��Να�γράψετε�την�παράσταση:�

Α�=�25�−�α�−�β�−�γ�

ως�παράσταση�των�x,�y,�ω,�όπου:�

x�=�−1�−�α,���y�=�−2�+�β�

και���ω�=�−3�+�γ�

1.40��Αν� �α�+�δ�=�−3� �και� �β�+�γ�=�5,� �να�

υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�

20� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�

A�=� −α�−�{−δ�−�β�−�(δ�+�γ�+�α)�−�� � −�[−δ�−�(−α)]}��1.41��Αν� �α�+�β�=�15� �και� �β�+�γ�=�3,� �να�

υπολογίσετε�την�τιµή�των�παραστάσεων:�

Α�=�2α�+�3β�+�γ,���Β�=�2(α�+�γ)�+�4β�

�1.42��Να�γράψετε�σε�απλούστερη�µορφή�

τις�παραστάσεις:�

A�=�2 1

x y x y3 3

− − + + − + −

Β�=� −�{−x�−�[−y�−�(−1)�+�y�−�2]�+�x}�−�� � −�(2�−�x)�

�1.43��Να�αποδείξετε�ότι�η�παράσταση:�

Α�=�−3�+�x�−�{x�−�[y�−�x�+�2�−�(y�−�x)]�−�3}�έχει�τιµή�ανεξάρτητη�από�τους�αριθµούς�

y�και�x.�

1.44��Αν�είναι:�

[ ] − + − + − + − − =

1 15 6 x 2( 3 y) y ( 7) 0

3 7�

να�αποδείξετε�ότι��x�=�y.�

1.45��Αν��xyz�=�−10,��να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�

Α�=�(x�+�1)(y�+�1)z�−�z(x�+�y�+�1)�

1.46��Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παρά-�στασης:�

( )

+ −

=

− + +

7xx 2 2y x y y

xy

:A

5 3 (5x) : y�

όταν�το�κλάσµα�x

y�είναι�ίσο�µε�−3.�

1.47��Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

Α�=� (x�−�3)(α�+�6)�+�7(−x�+�2)�−�x(α�−�1)�

Β�=� 4(3x�+�2y)�−�3(x�+�5y�−�1)�−�9x�

Γ�=� (κ�+�2)(2�+�5λ)�−�2(κ�−�3)�−�

� � −�λ(1�+�5κ)�+�3(2�−�3λ)�

1.48��Αν�η�περίµετρος�ενός� ισοπλεύρου�

τριγώνου�πλευράς�α�είναι�8�και�ενός�τε-�

τραγώνου� πλευράς� β� είναι� 9,� να� υπολο-�

γίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�

Α�=�(α�−�β)�⋅�3�+�5(β�−�1)�+�2(β�+�3)�+�12�

1.49��Αν�προσθέσουµε�το�τετραπλάσιο�της�

ηλικίας� της�Ευγενίας�και� την�ηλικία� του�

µπαµπά�της�θα�έχουµε�άθροισµα�100�έτη.�

Πόσο�θα�γίνει�το�άθροισµα�αυτό�µετά�από�

5�χρόνια;��

1.50��«Μαγικός»�αλγόριθµος:�

−� Σκέψου�έναν�αριθµό.�

−� Πολλαπλασίασέ�τον�µε�2.�

−� Στο�αποτέλεσµα�πρόσθεσε�3.�

−� Ό,τι�βρήκες�πολλαπλασίασέ�το�µε�5.�

−� Αφαίρεσε�το�10�από�το�αποτέλεσµα.�

−� Πολλαπλασίασε�το�νέο�αποτέλεσµα�µε�6.�

−� Αφαίρεσε�30.�

−� Ό,τι�βρήκες�διαίρεσέ�το�µε�60.�

Να�εκφράσετε�µε�µια�αλγεβρική�παρά-�σταση�την�παραπάνω�διαδικασία�και�στη�συνέχεια�να�απλοποιήσετε�την�παράσταση.�

21�

��

Θέµα 1ο

Τι�ονοµάζουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων;�

Ποια�ιδιότητα�εφαρµόζουµε�για�την�αναγωγή�των�οµοίων�όρων;�

Θέµα 2ο

Να�εξετάσετε�αν�είναι�σωστές�ή�λανθασµένες�οι�παρακάτω�προτάσεις:�

α)� Αν�η�µεταβλητή�υ�εκφράζει�το�ύψος�ενός�ανθρώπου�σε�µέτρα,�τότε�µπορεί�να�εί-�

ναι��υ�=�1,7.�

β)� Η�αλγεβρική�παράσταση��2(α�+�3)��εκφράζει�το�διπλάσιο�του�αριθµού�α�αυξηµένο�

κατά�3.�

γ)� Η�παράσταση�−

5

x 3�δεν�µπορεί�να�πάρει�την�τιµή�µηδέν.�

Θέµα 3ο

Με�τη�βοήθεια�µιας�µεταβλητής�να�γράψετε�συµβολικά:�

α)� Την�περίµετρο�ενός�ρόµβου�αν�γνωρίζουµε�την�πλευρά�του.�

β)� Την� ηλικία� της� Κωνσταντίνας� που� είναι� 2� χρόνια� µικρότερη� από� την�Μάρω� αν�

γνωρίζουµε�την�ηλικία�της�Μάρως.�

γ)� Έναν�περιττό�αριθµό.�

δ)� Ένα�φυσικό�αριθµό�που�όταν�διαιρεθεί�µε�το�6�δίνει�υπόλοιπο�3.�

Θέµα 4ο

α)� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

Α�=�2x�−�x�+�5x�−�3x�

B�=�3(x�−�2)�−�x�+�6�

β)� Αν�είναι��α�+�β�=�5,��να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�

Α�=�3(α�+�1)�+�2(α�+�3β)�−�(2�−�α)�

22� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�

��

Η Άννα και η Βασιλική είναι δύο καλές

φίλες. Αν συµβολίσουµε µε α και β τις

ηλικίες τους, τότε είναι:

α = β (Γεννήθηκαν την ίδια µέρα,

την ίδια στιγµή!)

ή α < β (Η Άννα είναι µικρότερη από

την Βασιλική.)

ή α > β (Η Άννα είναι µεγαλύτερη από

την Βασιλική.)

� Ισότητα�-�Ανισότητα�

Αν�έχουµε�δύο�αριθµούς�α�και�β,�τότεισχύει�µια�µόνο�από�τις�σχέσεις:�

= < >α β, α β, α β �

Η�σχέση� �α�=�β� �λέγεται�ισότητα�ενώ�οισχέσεις� � α� <� β,� � α� >� β� � λέγονται�ανισό-τητες.�

Έστω ότι γεννήθηκαν την ίδια µέρα, την

ίδια στιγµή, δηλαδή α = β.

Τότε µετά από 10 χρόνια θα έχουν την

ίδια ηλικία, δηλαδή:

α + 10 = β + 10

Αλλά και όταν διπλασιαστούν οι ηλικίες

τους πάλι θα είναι ίσες, δηλαδή:

2α = 2β

� Χρήσιµες�ιδιότητες�των�πράξεων�

Αν�έχουµε�ισότητα,�δηλαδή��α�=�β,��τότεισχύουν�οι�παρακάτω�ιδιότητες:�

•� Αν�και�στα�δύο�µέλη�µιας�ισότηταςπροσθέσουµε�ή�αφαιρέσουµε�τον�ίδιοαριθµό,�τότε�προκύπτει�και�πάλι�µια�ισό-τητα.�∆ηλαδή:�

= + = +

= − = −

Αν α β, τότε α γ β γ

Αν α β, τότε α γ β γ�

•� Αν�και�τα�δύο�µέλη�µιας�ισότηταςπολλαπλασιαστούν�ή�διαιρεθούν�µε�τονίδιο�αριθµό,�τότε�προκύπτει�και�πάλι�µιαισότητα.�∆ηλαδή:�

= =

= = ≠

Αν α β, τότε αγ βγ

α βΑν α β, τότε µε γ 0

γ γ

23�

– Ο µπαµπάς του Χριστόδουλου είναι 48

ετών. Αν αφαιρέσουµε την ηλικία του

Χριστόδουλου από την ηλικία του µπα-

µπά του, τότε προκύπτει το τριπλάσιο

της ηλικίας του Χριστόδουλου ελαττω-

µένο κατά 4. Με ποια εξίσωση θα βρού-

µε πόσων ετών είναι ο Χριστόδουλος;

– Συµβολίζουµε µε x την ηλικία του Χρι-

στόδουλου και έχουµε την εξίσωση:

48 − x = 3x − 4

� Η�έννοια�της�εξίσωσης�

Οι�εξισώσεις�είναι�από�τα�πιο�βασικά�ερ-γαλεία�των�Μαθηµατικών,�αφού�µας�βοη-θάνε� πολύ� στη� λύση� προβληµάτων� πουσυναντάµε� στην� καθηµερινή� µας� ζωή� ήσε�διάφορες�επιστήµες�(Φυσική,�Χηµείακ.λπ.).�Με�τις�εξισώσεις�µας�δίνεται�ηδυνατότητα� να� γράφουµε� σύντοµα� καιαπλά�µε�χρήση�µεταβλητών�και�αριθµών,προβλήµατα�και� συλλογισµούς�που� δια-

τυπώνονται�µε�καθηµερινές�εκφράσεις.�

Στην εξίσωση 48 − x = 3x − 4: Το 48 − x

είναι το 1ο µέλος, ενώ το 3x − 4 είναι

το 2ο µέλος.

Το x είναι ο άγνωστος, οι −x, 3x οι άγνω-

στοι όροι και οι 48, −4 οι γνωστοί όροι.

� Εξίσωση�µε�έναν�άγνωστο�

Εξίσωση�µε�έναν�άγνωστο�λέµε�µια�ισό-τητα� η� οποία� περιέχει� αριθµούς� και� µίαµεταβλητή.�Η� µεταβλητή� λέγεται� άγνω-στος� της� εξίσωσης.� Οι� όροι� που� περιέ-χουν�τον�άγνωστο�λέγονται�άγνωστοι�όροι,ενώ� οι� άλλοι� όροι� λέγονται� γνωστοί.� Σεµία�εξίσωση�η�παράσταση�που�γράφεται

πριν� από� το� ίσον� (=)� λέγεται� πρώτο�µέ-

λος� της� εξίσωσης� και� η� παράσταση�πουγράφεται�µετά�το� ίσον�λέγεται�δεύτερο

µέλος�αυτής.�

Στην εξίσωση 48 − x = 3x − 4 ο αριθ-

µός 13 είναι λύση, γιατί αν τον βάλουµε

στη θέση του x, προκύπτει η:

48 − 13 = 3 ⋅13 − 4

35 = 39 − 4

∆ηλαδή ισότητα που αληθεύει.

� Λύση�ή�ρίζα�της�εξίσωσης�

Θα�λέµε�ότι�ένας�αριθµός�επαληθεύει�µίαεξίσωση�όταν�βάζοντας�τον�αριθµό�αυτόνστη� θέση� του� αγνώστου� προκύπτει� ισό-τητα�που�αληθεύει.�

Ο�αριθµός� που� επαληθεύει� την� εξίσωσηλέγεται�λύση�ή�ρίζα�της�εξίσωσης.�

24� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�

– Η εξίσωση 0x = 5 δεν έχει λύση

αφού κανένας αριθµός δεν την επαληθεύει.

– Η εξίσωση 0x = 0 έχει λύση όλες τις

τιµές που µπορεί να πάρει το x.

� •� Υπάρχουν�εξισώσεις�που�δεν�έχουν�λύση.

Αυτές�λέγονται�αδύνατες.�

•� Υπάρχουν�ακόµα�εξισώσεις�που�επα-

ληθεύονται�από�όλες�τις�τιµές�του�αγνώ-

στου.�Αυτές�λέγονται�ταυτότητες.�

Πώς θα λύσουµε την εξίσωση:

48 − x = 3x − 4

Πρέπει να βρούµε το x.

Αρχικά θα «διώξουµε» το 48 από το 1ο

µέλος, προσθέτοντας και στα 2 µέλη της

εξίσωσης το −48.

∆ηλαδή:

−48 + 48 − x = −48 + 3x − 4

−x = −52 + 3x

Στη συνέχεια θα «διώξουµε» και το 3x

από το 2ο µέλος, προσθέτοντας και στα

2 µέλη της εξίσωσης το −3x.

∆ηλαδή:

−x + (−3x) = −52 + 3x + (−3x)

−4x = −52

Τέλος θα «διώξουµε» το −4 από το 1ο

µέλος, διαιρώντας και τα δύο µέλη µε −4.

∆ηλαδή:

− −

=

− −

4x 52

4 4

x = 13

Πιο σύντοµα:

48 − x = 3x − 4

−x − 3x = −48 − 4

� Λύση�εξίσωσης�

Για�να�λύσουµε�µια�εξίσωση�προσπαθού-

µε�να�«αποµονώσουµε»�τον�άγνωστο�στο

1ο�µέλος�της,�ενώ�στο�2ο�µέλος�να�έχουµε

έναν�αριθµό�που�θα�είναι�η�λύση�της.�

Η�λύση�µιας�εξίσωσης�στηρίζεται�στις�χρή-

σιµες�ιδιότητες�των�πράξεων�που�µάθαµε

παραπάνω.�

Με�βάση�αυτές�µπορούµε�και�στα�δύο

µέλη�µιας�εξίσωσης�να�προσθέτουµε�τον

ίδιο�αριθµό.�Αυτό�µας�βοηθάει�να�µετα-

φέρουµε�όρους�από�το�ένα�µέλος�της�εξί-

σωσης�στο�άλλο,�αλλάζοντάς�τους�το�πρό-

σηµο.�

Μπορούµε�ακόµα�να�πολλαπλασιάζουµε

ή�να�διαιρούµε�µε�τον�ίδιο�µη�µηδενικό

αριθµό�και�τα�δύο�µέλη�µιας�εξίσωσης.�

Έχοντας�υπόψη�µας�λοιπόν�τα�παραπάνω,

για�να�λύσουµε�µια�εξίσωση�ακολουθούµε

τα�παρακάτω�βήµατα.�

•� Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους

(µεταφέρουµε�δηλαδή�τους�άγνωστους�ό-

ρους�στο�ένα�µέλος�και�τους�γνωστούς�στο

άλλο,�προσέχοντας�αν�ο�όρος�αλλάζει�µέλος

να�αλλάζει�και�το�πρόσηµό�του).�

•� Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων�(προ-

σθέτουµε�δηλαδή�τους�αγνώστους�του�α΄

µέλους�και�τους�αριθµούς�του�β΄�µέλους).�

25�

−4x = −52

− −

=

− −

4x 52

4 4

x = 13

•� ∆ιαιρούµε�και�τα�δύο�µέλη�της�εξίσω-

σης�µε�τον�συντελεστή�του�αγνώστου

(δηλαδή�µε�τον�αριθµό�που�είναι�πολλα-

πλασιασµένος�ο�άγνωστος).�

•� Απλοποιούµε�τα�κλάσµατα.�

Η εξίσωση + +

− = −x 1 x x 2

x ,3 6 2

έχει πα-

ρονοµαστές µε Ε.Κ.Π.(2, 3, 6) = 6.

Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της

εξίσωσης µε 6 και έχουµε:

+ +⋅ − ⋅ = − ⋅x 1 x x 2

6 6 6x 63 6 2

2(x + 1) − x = 6x − 3(x + 2)

2x + 2 − x = 6x − 3x − 6

2x − x − 6x + 3x = −6 − 2

(2 − 1 − 6 + 3)x = −6 − 2

−2x = −8

− −

=

− −

2x 8

2 2

x = 4

� �

Αν�σε�µια�εξίσωση�έχουµε�και�παρονοµα-

στές�τότε:�

•� Απαλείφουµε�τους�παρονοµαστές�πολ-

λαπλασιάζοντας�τα�µέλη�της�εξίσωσης�µε

ένα�κοινό�πολλαπλάσιο�των�παρονοµα-

στών� (συνήθως�χρησιµοποιούµε� το� ελά-

χιστο�κοινό�πολλαπλάσιο�των�παρονοµα-

στών).�

•� Απαλείφουµε�τις�παρενθέσεις.�

•� Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους.

•� Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων.�

•� ∆ιαιρούµε�και�τα�δύο�µέλη�της�εξίσω-

σης�µε�τον�συντελεστή�του�αγνώστου.�

•� Απλοποιούµε�τα�κλάσµατα.�

��

�� Για� να� ελέγξουµε� εάν� πράγµατι� λύσαµε� σωστά�µια� εξίσωση� κάνουµε� επαλή-

� θευση.�Βάζουµε�δηλαδή�στη�θέση�του�αγνώστου�τον�αριθµό�που�βρήκαµε�ως�λύ-

� ση�και�εξετάζουµε�αν�αληθεύει�η�ισότητα�που�προκύπτει.�

� Για�παράδειγµα,�αν�λύσουµε�την�εξίσωση��20�−�x�=�4x�−�5��βρίσκουµε��x�=�5.�

26� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�

� Βάζοντας�λοιπόν�όπου�x�το�5,�έχουµε��20�−�5�=�4�⋅�5�−�5��δηλαδή��15�=�20�−�5

� που�πράγµατι�ισχύει.�Αν�όµως�βρίσκαµε�π.χ.��x�=�3,��τότε�θα�ήταν��20�−�3�=�4�⋅�3�−�5

� δηλαδή�17�=�12�−�5�που�δεν�ισχύει.��

�� Σε�µια�εξίσωση�που�υπάρχουν�παρονοµαστές�µε�την�απαλοιφή�τους�η�γραµµή� κλάσµατος�γίνεται�«αυτόµατα»�παρένθεση.�

� Για�παράδειγµα,�στην�εξίσωση�3x 5 x 1

35 10

− − += − �έχουµε�διαδοχικά:�

3x 5 x 110 10 3 10

5 10

− − +⋅ = ⋅ − �

− − +⋅ = ⋅ − ⋅3x 5 x 1

2 10 3 11 1

2(3x�−�5)�=�10�⋅�3�−�(−x�+�1)���κ.λπ.��

�� Σε�µια�εξίσωση�που�έχει�τη�µορφή�δύο�ίσων�κλασµάτων�η�απαλειφή�των�παρο-� νοµαστών�γίνεται�και�όταν�πολλαπλασιάσουµε�«χιαστί».�

� Για�παράδειγµα,�στην�εξίσωση��3x 2 x 4

5 4

− +=

��έχουµε�διαδοχικά:�

3x 2 x 4

5 4

− += �

4(3x�−�2)�=�5(x�+�4)���κ.λπ.��

�� Ενδέχεται� λύνοντας� µια� εξίσωση� µετά� τον� χωρισµό� γνωστών� από� αγνώστους� και�την�αναγωγή�των�οµοίων�όρων�να�προκύψει�στο�1ο�µέλος�συντελεστής�του� αγνώστου�ίσος�µε�το�µηδέν.�

� Για�παράδειγµα:�

0�⋅�x�=�5���ή���0�⋅�x�=�−22���ή���0�⋅�x�=�0���κ.λπ.�

� Στην�περίπτωση�αυτή�δεν�µπορούµε�να�λύσουµε�ως�προς�τον�άγνωστο�διαιρώ-� ντας�µε�το�συντελεστή�του,�γιατί�όπως�γνωρίζουµε�δεν�γίνεται�διαίρεση�µε�το�0.�

� Παρατηρούµε�όµως�ότι� για�κάθε� τιµή� του�αγνώστου� το�1ο�µέλος� είναι�µηδέν� οπότε:�

� •� Αν�το�2ο�µέλος�είναι�αριθµός�διαφορετικός�από�το�µηδέν,�τότε�η�εξίσωση�εί-� ναι�αδύνατη.�

� •� Αν�το�2ο�µέλος�είναι�επίσης�µηδέν,�τότε�η�εξίσωση�είναι�ταυτότητα.�

� Έτσι�οι�εξισώσεις��0�⋅�x�=�5��και��0�⋅�x�=�−22��είναι�αδύνατες,�ενώ�η�εξίσωση��0�⋅�x�=�0� είναι�ταυτότητα.�

27�

�� Συνοψίζουµε:�

� Οι�εξισώσεις�στις�οποίες�αναφερόµαστε�καταλήγουν�στη�µορφή��α�⋅�x�=�β��όπου� α�και�β�είναι�αριθµοί�και�x�είναι�ο�άγνωστος.�

� Για�την�εξίσωση��α�⋅�x�=�β��ισχύουν�τα�παρακάτω:�

� •� Αν�είναι��α�≠�0��τότε�η�εξίσωση�έχει�µία�µόνο�λύση�τη�β

x .α

= �

� •� Αν�είναι��α�=�0��και��β�≠�0,��τότε�η�εξίσωση�είναι�αδύνατη.�

� •� Αν�είναι��α�=�0��και��β�=�0��τότε�η�εξίσωση�είναι�ταυτότητα.�

��

2.1��Να�λυθούν�οι�εξισώσεις:�

α)� −3x�+�15�=�−4x�−�3� � � � � � � � β)� 2(3x�−�1)�=�3x�−�2�

γ)� −3(x�−�2)�=�4x�+�3(4�−�x)�

Απάντηση

Έχουµε�διαδοχικά:�

α)� −3x�+�15�=�−4x�−�3� � � � (Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους)�

� −3x�+�4x�=�−15�−�3� � � � (Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων)�

� x�=�−18�

β)� 2(3x�−�1)�=�3x�−�2� � � � (Απαλείφουµε�τις�παρενθέσεις)�

� 6x�−�2�=�3x�−�2� � � � � (Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους)�

� 6x�−�3x�=�2�−�2� � � � � (Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων)�

� 3x�=�0�

� x�=�0�

γ)� −3(x�−�2)�=�4x�+�3(4�−�x)� � (Απαλείφουµε�τις�παρενθέσεις)�

� −3x�+�6�=�4x�+�12�−�3x�� � (Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους)�

� −3x�−�4x�+�3x�=�12�−�6�� � (Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων)�

� −�4x�=�6� � � � � � � (∆ιαιρούµε�µε�το�συντελεστή�του�αγνώστου)�

�4x 6

4 4

= −

� � � � � � (Απλοποιούµε�τα�κλάσµατα)�

�3

x2

= − �

28� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�

2.2��Να�λυθούν�οι�εξισώσεις:�

α)�x + 4 2 + x

=5 3

� � � � � � � � � β)�− − −

− −

x 8 x 5 x 47 =

2 3 4�

Απάντηση

α)� Κάνουµε�χιαστί�και�έχουµε�διαδοχικά:�

x 4 2 x

5 3

+ += �

3(x�+�4)�=�5(2�+�x)�

3x�+�12�=�10�+�5x�

3x�−�5x�=�10�−�12�

−2x�=�−2�

x�=�1�

β)� Είναι� � Ε.Κ.Π.� (2,� 3,� 4)�=� 12.� �Πολλαπλασιάζουµε� και� τα� δύο�µέλη� της� εξίσωσης�

x 8 x 5 x 47

2 3 4

− − −

− = − �µε�το�12�και�έχουµε�διαδοχικά:�

− − −

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

x 8 x 5 x 412 7 12 12 12

2 3 4�

12�⋅�7�−�6(x�−�8)�=�4(x�−�5)�−�3(x�−�4)�

84�−�6x�+�48�=�4x�−�20�−�3x�+�12�

−6x�−�4x�+�3x�=�−84�−�48�−�20�+�12�

−7x�=�−140�

x�=�20�

2.3��Να�λυθούν�οι�εξισώσεις:�

α)�−

− −

x +1 3 2x3(2 + x) = 3x 2 +

2 4� � � � β)�

− − −

1 1 2x 1 x 12x = +

2 3 3 6 3�

Απάντηση

α)� Είναι��Ε.Κ.Π.�(2,�4)�=�4.��Εποµένως:�x 1 3 2x

3(2 x) 3x 22 4

+ −+ − = − + �

+ −⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅

x 1 3 2x4 3(2 x) 4 4 3x 4 2 4

2 4�

12(2�+�x)�−�2(x�+�1)�=�12x�−�8�+�3�−�2x�

29�

24�+�12x�−�2x�−�2�=�12x�−�8�+�3�−�2x�

12x�−�2x�−�12x�+�2x�=�−24�+�2�−�8�−�3�

0x�=�−33�

Η�εξίσωση�είναι�αδύνατη.�

β)� Η�εξίσωση�γράφεται�µε�τη�µορφή�−

− − = +1 2x 1 x 1

x .6 3 6 3

Είναι��Ε.Κ.Π.�(3,�6)�=�6.��Εποµένως:�

1 2x 1 x 16x 6 6 6 6

6 3 6 3

−− ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ �

6x�−�1�−�2�⋅�2x�=�1�+�2(x�−�1)�

6x�−�1�−�4x�=�1�+�2x�−�2�

6x�−�4x�−�2x�=�1�+�1�−�2�

0x�=�0�

Η�εξίσωση�είναι�ταυτότητα.�

2.4��∆ίνεται�η�εξίσωση:�

− −

α(2α +1)x + x = 2(α + x) (α +1)

3�

όπου�x�είναι�ο�άγνωστος�και�α�είναι�ένας�αριθµός.�Να�βρεθεί�ποια�πρέπει�να�είναι�

η�τιµή�του�α�για�να�επαληθεύεται�η�εξίσωση�από�τον�αριθµό��x�=�3.�

Απάντηση

Για��x�=�3��έχουµε:�

α(2α 1) 3 3 2(α 3) (α 1)

3+ ⋅ + ⋅ = − + − + �

6α�+�3�+�α�=�−2α�−�6�−�α�−�1�

6α�+�α�+�2α�+�α�=�−6�−�1�−�3�

10α�=�−10�

α�=�−1�

30� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�

��

2.5��Να�εξετάσετε�αν�είναι�σωστές�ή�λανθασµένες�οι�παρακάτω�προτάσεις:�

α)� Η�εξίσωση��3x�=�0��έχει�λύση�τον�αριθµό�1.

3�

β)� Η�εξίσωση��5x�=�5��έχει�λύση�τον�αριθµό�1.�

γ)� Η�εξίσωση�1x 1

7− = �έχει�λύση�τον�αριθµό�−7.�

δ)� Η�εξίσωση�1x 0

6− = �έχει�λύση�τον�αριθµό�−�6.�

ε)� Η�εξίσωση��x�+�10�=�x�−�3��είναι�ταυτότητα.�

στ)�Η�εξίσωση��2x�−�3�=�2x��είναι�αδύνατη.�

ζ)� Η�εξίσωση��5x�=�5x��έχει�µόνο�µία�λύση�τη��x�=�0.�

η)� Η�εξίσωση��3x�−�1�=�−1�+�3x��είναι�ταυτότητα.�

θ)� Οι�εξισώσεις��x�+�3�=�4��και��5�=�6�−�x��έχουν�λύση�τον�ίδιο�αριθµό.��

2.6��Να�βρείτε�ποιες�από�τις�παρακάτω�εξισώσεις�έχουν�λύση�τον�αριθµό�5:�

α)� x�+�5�=�15� � � � � � β)� 2x�+�7�=�17� � � � � � γ)� 16�−�3x�=�1�

δ)� −28�+�x�=�−13� � � � � ε)�7x

75

= − �

2.7��Να�αντιστοιχίσετε�κάθε�εξίσωση�της�1ης�στήλης�µε�τη�λύση�της�στη�2η�στήλη.�

1η�Στήλη� 2η�Στήλη�

� α)� 7x�=�−14� � � � i)� −3�

� β)� x�+�13�=�10� � � � ii)� 6�

� γ)� 5x�+�2�=�2� � � � iii)�−1�

� δ)� 5x�=�6�+�4x� � � � iv)�−2�

� ε)� −x�+�1�=�2� � � � v)� −4�

� στ)�2x�+�8�=�0� � � � vi)�0�

2.8��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� 2x�=�4�� � � � � � � β)� 6x�=�0�� � � � � � � γ)� 2x�=�0�

δ)� 5x�=�−25� � � � � � � ε)� −7x�=�1� � � � � � � στ)�−x�=�5�

31�

��

2.9��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:��

α)� 4x�+�3�=�7�

β)� −2x�+�4�=�0�

γ)� 5x�+�7�=�−3�

δ)� −7x�−�2�=�40�

2.10��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� −7x�+�2�=�3x�+�2�

β)� 2ω�−�4�=�3ω�−�4�

γ)� 4φ�−�3�=�−3�+�φ�

δ)� 1,5ρ�−�2,3�=�−2,3�+�4ρ�

2.11��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� −y�+�2�=�−2y�+�0,5�

β)� 0,2ω�+�2,5�=�1,5ω�−�10,5�

γ)� 4,6�+�z�=�5,6�−�3z�

2.12��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� 3(x�+�4)�=�15�

β)� −5(−2x�+�1)�=�−45�

γ)� 2(3x�+�2)�=�4�−�x�

2.13��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� 5�+�6(x�+�3)�=�4(x�−�1)�+�7�

β)� 10x�+�4(−3x�+�1)�−�1�=�2x�−�(4x�+�1)�

2.14��Να�λύσετε�τις�παρακάτω�εξισώσεις�

και�να�κάνετε�την�επαλήθευση:�

��������������������������������������������������������

Οι�απαντήσεις�βρίσκονται�στο�τέλος�του�βιβλίου�

α)� x�+�3�+�3(x�+�2)�=�9�−�2x�

β)� 16(x�+�1)�−�2(3�−�x)�=�−3(x�+�6)�

2.15��Να�βρείτε�τις�ρίζες�των�εξισώσεων:�

α)� 2(3ω�+�4)�+�5(3ω�−�5)�=�3(ω�−�7)�+�8�

β)� −15�+�24(y�+�2)�=�2(5y�+�9)�−�y�

2.16��Να�βρείτε�για�ποια�τιµή�του�x�είναι�

Α�=�Β��όταν:�

α)� Α�=�2(7x�−�4)�−�0,3�−�5,4x,�

B�=�5�+�2,5(x�+�2)�

β)� Α�=�0,3(x�−�6)�−�0,9(x�−�2),�

B�=�6,6�−�2(x�+�3,3)�

2.17��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� 2x�+�3�=�3x�−�(x�+�7)�

β)� 4x�−�1�=�2(2x�+�4)�+�3�

γ)� −2(−3x�+�1)�=�6(x�+�3)�−�12�

2.18��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� x�+�3�=�x�+�3�

β)� 3(x�+�1)�=�5�−�(−3x�+�2)�

γ)� −2(2x�−�1)�+�5�=�11�−�4(x�+�1)�

2.19��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)�x 1 1

2 5

+= �� � β)�

x x 1

2 3

+= �

γ)�2x 4

5x2

= � � δ)�x

x 34

+ = − �

32� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�

2.20��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)�1(x 2) (x 3) 1 (x 2)

2− − − = − − �

β)�1 1 1 3x (x 3) x

3 2 6 2− + = − − �

γ)�3x 1 6x 4

x2 7

+ −− = �

2.21��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)�x 1 2x 9 1

3 4 6

+ −= + �

β)�x 6 4 x 1

12 3 9

− +− = + �

γ)�3x 8 1 7x 8 x

4 2 10 2

− +− = − �

2.22��Να�βρείτε�τον�αριθµό�α�που�επαλη-�θεύει�τις�ισότητες:�

α)�α 3 2(α 1)

α 52 3

+ +− = − �

β)�4α 7(α 3) 2

35 10 5

−− = + �

2.23��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)�2x 3 3x 1 x 3

12 4 4

− + −− = − �

β)�6x 1 2x 3 16x 1

2 10 5

− + ++ = �

γ)�2(x 1) x x 2(x 2) x

3 2 6 3

+ + +− = − �

δ)�x 5 2(x 7) 1

2 92 10

+ + ++ = − �

2.24��Να�βρείτε�τις�ρίζες�των�εξισώσεων:�

α)� [ ]3 2(x 5) 1 x 2(x 6) 20x+ − − + + = �

β)� [ ]{ }2 x 3 (x 1) 2 6(x 1)+ − + + = + �

2.25��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις�και�να�κά-�

νετε�επαλήθευση:�

α)�x 6 x 4 x 1

x 52 4 7

− − −+ + = − �

β)�

+ − − =

2x 1 x3 1 6

3 2 9�

�−

= − +

4x 3 39 8

6 2�

2.26��Έστω�η�εξίσωση:�

(λ�+�2)x�−�(x�−�1)λ�=�x�+�λ�+�1�

α)� Αν��λ�=�3��να�αποδείξετε�ότι�η�εξίσω-�

ση�έχει�λύση��x�=�1.�

β)� Να�λύσετε�την�εξίσωση�αν��λ�=�1.�

����������

2.27��∆ίνεται�η�εξίσωση:�

(3λ�+�1)x�−�λx�+�5�=�5λx�−�12�

όπου�λ�είναι�γνωστός�αριθµός�και�x�ο�άγνωστος.�Να� βρείτε� ποια� πρέπει� να� εί-�ναι� η� τιµή� του� λ� για� να� επαληθεύεται� η�

εξίσωση�από�τον�αριθµό��x�=�1.�

2.28��Να�βρείτε�τον�αριθµό�α�ώστε�η�εξί-�

σωση��(α�−�3)x�=�6��να�είναι�αδύνατη.�

2.29��Να�προσδιορίσετε�τον�αριθµό�µ�ώστε�

η�εξίσωση�µ 1 1 x 1

x2 3 3

− ++ = �να�είναι�ταυ-�

τότητα.�

33�

2.30��Αν�λ�είναι�η�τιµή�της�παράστασης:�

Α�=�(−1)100�+�(−1)101�+�(−1)102�

να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� λx�=�1�

β)� (λ�+�1)x�=�0�

γ)� (λ�+�1)x�=�λ�

δ)� (λ�−�1)x�=�λ�−�1�

ε)� (λ�−�1)x�=�λ�

2.31��Να�βρείτε�το�x�ώστε�το�τετράπλευ-�

ρο�ΑΒΓ∆�να�είναι�ρόµβος.�

Ποιο�είναι�το�µήκος�κάθε�πλευράς�του�

ρόµβου;�

2.32��Να�λύσετε�την�εξίσωση:�

[ ]{ }1 3 5 (7 x) : 9 7 5 26+ − + − ⋅ = �

2.33��Να�βρείτε�για�ποιες�τιµές�του�ακέ-�ραιου� µ,� η� εξίσωση� � (µ�−� 3)x�=� 2� � έχει�ακέραιες�λύσεις.�

2.34��Να� αποδείξετε� ότι� το� τετράπλευρο�ΑΒΓ∆�είναι�τραπέζιο�µε�βάσεις�τις�ΑΒ�και�∆Γ�(το�φ�παριστάνει�µοίρες).�

��

34� Εξισώσεις�α΄�βαθ ού�

��

Θέµα 1ο

Τι�ονοµάζουµε�λύση�µιας�εξίσωσης;�

Ποιες�εξισώσεις�λέγονται�αδύνατες�και�ποιες�ταυτότητες;�

Θέµα 2ο

α)� Στις�παρακάτω�ισότητες�να�συµπληρώσετε�τον�αριθµό�που�λείπει:�

i)� 7�+�…�=�49� � � � � � ii)� 7�⋅�…�=�49� � � � � � iii)�20�−�…�=�20�

iv)�0�⋅�…�=�0� � � � � � � v)� 0�⋅�…�=�20�

β)� Να�εξετάσετε�αν�είναι�σωστές�ή�λανθασµένες�οι�παρακάτω�προτάσεις:�

i)� Η�εξίσωση��5x�=�0��έχει�λύση�τον�αριθµό�1.

5�

ii)� Οι�εξισώσεις��x�+�2�=�7��και��x�−�7�=�−2��έχουν�λύση�τον�ίδιο�αριθµό.�

Θέµα 3ο

Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�

α)� 2x�+�5�=�3x�+�1�+�x� � � � � � � � β)�x 2 x 3 x 7

13 2 6

− + ++ = − �

Θέµα 4ο

Στο�τετράπλευρο�του�διπλανού�σχήµατος,�το�ω�πα-�ριστάνει�µοίρες.�

α)� Να�βρείτε�το�x�αν��Α∆�=�ΒΓ.�

β)� Να�αποδείξετε�ότι��ΑΒ�//�Γ∆.�

γ)� Να�αποδείξετε�ότι�δεν�υπάρχει�τιµή�του�y,�έτσι�

ώστε�να�είναι��ΑΒ�=�Γ∆.�