Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης

Διανύσματα Περιεχόμενα

•Η Εννοια του διανύσματος •Ομόρροπα-Αντίρροπα •Διανύσματα •Ισα – Αντίθετα διανύσματα •Πρόσθεση και Αφαίρεση •Διανυσμάτων •Διάνυσμα θέσεως •Συντεταγμένες Γραμμικού •Συνδυασμού Διανυσμάτων •Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος •Συντεταγμένες Διανύσματος •με Γνωστά Άκρα •Μέτρο Διανύσματος •Συνθήκη Παραλληλίας •Διανυσμάτων •Συντελεστής Διεύθυνσης •Διανύσματος

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Η Εννοια του διανύσματος

Τα διάφορα μεγέθη διακρίνονται σε μανόμετρα ή βαθμωτά και σε διανυσματικά ή διανύσματα

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Μανόμετρα ή βαθμωτά λέγονται τα μεγέθη τα οποία προσδιορίζονται από το μέτρο τους και από την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης.

Διανυσματικά ή διανύσματα λέγονται τα μεγέθη τα οποία εκτός απο το μέτρο και την μονάδα μέτρησης προσδιορίζονται και από την διεύθυνση και την φορά τους

Η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, η θερμοκρασία κτλ. Λέγονται μανόμετρα ή βαθμωτά

Η δύναμη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση η μετατόπιση, η μαγνητική επαγωγή κτλ. Λέγονται διανυσματικά ή απλώς

διανύσματα.

Παράδειγμα

Ερωτήσεις

Τι ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα;

Τι ονομάζεται μέτρο διανύσματος;

Τι ονομάζεται φορέας διανύσματος;

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Μηδενικό ονομάζουμε κάθε διάνυσμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν

Μέτρο ενός διανύσματος ΑΒ ονομάζουμε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Φορέας του διανύσματος ΑΒ ονομάζουμε την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα ΑΒ

Απαντήσεις

Ομόρροπα-Αντίρροπα διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται ομόρροπα όταν: έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά.

Αντίρροπα λέγονται τα διανύσματα τα οποία είναι συγγραμικά και δεν είναι ομόρροπα.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Ισα – Αντίθετα διανύσματα

Ισα διανύσματα λέγονται δύο μη μηδενικά διανύσματα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα.

Αντίθετα διανύσματα λέγονται δύο διανύσματα που έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Εστω δύο διανύσματα ΑΒ=α και ΓΔ=β το διάνυσμα ΑΔ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων α και β

Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με τον λεγόμενο κανόνα του παραλληλογράμμου.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων

α+β = β+α Αντιμεταθετική ιδιότητα

(α+β)+γ = α+(β+γ) Προσεταιριστική ιδιότητα

α+0 = α

α+(-α) = 0

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Αφαίρεση διανυσμάτων

Η διαφορά α-β του διανύσματος β από το διάνυσμα α ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων α και –β δηλ.

α-β = α+(-β)

Διάνυσμα θέσεως

Εστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεταιτο διάνυσμα ΟΜ, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του ΟΜ η διανυσματική ακτίνα του Μ.

Το διάνυσμα ΑΒ και οι διανυσματικές ακτίνες ΟΒ και ΟΑ συνδέονται με την θεμελιώδη σχέση

ΑΒ=ΟΒ-ΟΑ

Κάθε διάνυσμα ισούται με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.

O

A

B

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδειχθεί ότι: ΑΔ+ΒΓ=ΑΓ+ΒΔ

Ασκηση 1

Είναι ΑΔ+ΒΓ=ΑΓ+ΒΔ

ΑΔ-ΑΓ=ΒΔ-ΒΓΓΔ=ΓΔ

Α

ΔΓ

B

Λύση

Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού

Διανυσμάτων

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Εστω τα διανύσματα

Παράδειγμα

Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά

Άκρα

Μέτρο Διανύσματος

Το μέτρο των παρακάτω διανυσμάτων είναι:

Παράδειγμα

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

Τα παρακάτω διανύσματα είναι παράλληλα

Παράδειγμα

Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος

Διάλλειμα

Διάλειμμα