1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Διαφορικός Λογισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ονομάζεται μια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συχνά συμβολίζουμε τη συνάρτηση με f:Α→Β. Το Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το Β πεδίο τιμών αυ-τής. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν η συνάρτηση είναι της μορφής:

1. f(x)=P(x), όπου P(x) ένα πολυώνυμο του x, τότε η f ονομάζεται πολυωνυμική και έχει πεδίο ορισμού όλο το R.

2. ( ) ( )( )xx

Q xP

f = , όπου P(x), Q(x) πολυώνυμα του x, τότε η f ονομάζε-

ται ρητή και έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α={x∈R/ Q(x)≠0}. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) 2

x 1xx 5x 6

f−

=− +

.

ΛΥΣΗ Αφού έχουμε ρητή συνάρτηση, πρέπει ο παρονομαστής να είναι διά-φορος του μηδενός , δηλαδή πρέπει 2x 5x 6 0 x 2 και x 3− + ≠ ⇔ ≠ ≠ . Άρα το πεδίο ορισμού είναι το Α= { }R 2 3,−

3.f(x)= ( )g x , όπου g(x) είναι μια παράσταση του x, τότε η f καλείται άρρητη και έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α={ x∈R/ g(x)≥0}.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) 2x x 2x 3f = − − . ΛΥΣΗ Πρέπει 2x 2x 3 0− − ≥ . Αρχικά βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου και μετά κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων. Έχουμε

2x 2x 3 0 x 1 ή x=3− − = ⇔ = −

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α= ]( )[1 3, ,−∞ − +∞∪

x -∞ -1 3 +∞

x2-2x-3 + - +

2

ΧΡΗΣΙΜΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ

• Όταν 0Δ ≥ , η εξίσωση αx2+βx+γ = 0 έχει 2 ρίζες, x1,x2, το τριώνυμο

είναι ομόσημο του α εκτός των ριζών και ετερόσημο του α εντός αυτών

(όπως στο παραπάνω παράδειγμα) και παραγοντοποιείται ως εξής :

αx2+βx+γ = α(x-x1)(x-x2).

x x1 x2

αx2+βx+γ ομόσημο του α

ετερόσημο του α

ομόσημο του α

• Όταν Δ = 0 η εξίσωση αx2+βx+γ=0 έχει μια ρίζα, x1 ,το τριώνυμο είναι παντού ομόσημο του α (εκτός βέβαια από το σημείο στο οποίο μηδενίζε-ται) και παραγοντοποιείται ως εξής : αx2+βx+γ = α(x-x1)2. • Όταν Δ < 0 η εξίσωση αx2+βx+γ=0 δεν έχει καμία ρίζα και το τριώνυμο είναι παντού ομόσημο του α.

4.f(x)=ℓn(g(x)), όπου g(x) είναι μια παράσταση του x, τότε το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α={ x∈R/ g(x)>0}.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )x 2x 4f ln= − − . ΛΥΣΗ Πρέπει 2x 4 0 2x 4 x 2− − > ⇔ − > ⇔ < − . Άρα το πεδίο ορισμού της συ-νάρτησης είναι το Α= ( )2,−∞ − .

5.Αν μια συνάρτηση έχει τύπο που αποτελεί συνδυασμό των προηγούμενων περιπτώσεων, τότε εξετάζουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά και συναληθεύουμε τα αποτελέσματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

2

1f x1 x

( ) =−

.

ΛΥΣΗ Πρέπει 1- x2 ≥ 0 x2 ≤ 1 | x| ≤ 1 -1 ≤ x ≤ 1 και επειδή το 1-x2

βρίσκεται στον παρονομαστή πρέπει x ≠ ±1. Άρα το πεδίο ορισμού εί-ναι το σύνολο Α=(-1,1).

x x1

αx2+βx+γ ομόσημο του α

ομόσημο του α

x -∞ +∞ αx2+βx+γ ομόσημο του α

3

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Α. Τότε ορίζονται:

• To άθροισμα S(x) = f(x) + g(x) , x∈Α των δύο συναρτήσεων . • H διαφορά D(x) = f(x) - g(x), x∈Α των δύο συναρτήσεων. • To γινόμενο P(x) = f(x)· g(x), x∈Α των δύο συναρτήσεων. • Το πηλίκο Κ(x) = ( )

( )x

g xf , x∈A´={x∈A: g(x)≠0} των δύο συναρτήσεων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )3x x 4x και g x x 2f = − = − .

Να ορισθεί η συνάρτηση gf .

ΛΥΣΗ Οι δύο συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το R. Για να ορίσουμε το πηλίκο θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι ο παρονομαστής είναι διάφορος του 0, δηλαδή ( )g x 0 x 2 0 x 2≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ Άρα ορίζουμε τη συνάρτηση

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )23 x x 4x x x 2 x 2x 4xx x x 2

g x x 2 x 2 x 2fff

−⎛ ⎞ − +−= = = = = +⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠

με πεδίο ορισμού το Α = { }R 2− . Παρατήρηση Αν οι f, g έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού τότε το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο των δύο συναρτήσεων θα έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α∩Β (τομή των Α και Β ). Το πηλίκο των δυο συναρτήσεων θα έχει πεδίο ορισμού το σύνολο { x∈Α∩Β: g(x)≠0 }. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

• ƒ(x)=αx Έχει πεδίο ορισμού το R και είναι μια ευ-θεία που περνά από την αρχή των αξόνων.

• ƒ(x)=ax+b Έχει πεδίο ορισμού το R και είναι μια ευθεία που διέρχεται από το (0,b).

• Στην ειδική περίπτωση που a=0, έχουμε τη συνάρτηση ƒ(x)=b, που

4

έχει γραφική παράσταση μια ευθεία παράλληλη στον άξονα xx´.

• ƒ(x)=ax2 Έχει πεδίο ορισμού το R και η γραφική της παράσταση είναι μια παραβο-λή, η οποία αν a > 0 βρίσκεται “πάνω” από τον άξονα xx´και αν a < 0 βρί-σκεται “κάτω” από τον άξονα xx´.Έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy´. a>0 a<0

• ƒ(x)= xα

Έχει πεδίο ορισμού το R\{0}. Η γραφική της παράσταση είναι μια υπερβο-λή με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Αν a > 0 τότε βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο, ενώ αν a < 0 βρίσκεται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο. a>0 a<0

• ƒ(x)=ex και g(x)=e-x

Έχoυν πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το (0, +∞). Οι γραφικές τους παραστάσεις διέρχονται από το (0,1). ex

e-x 1 1

5

• ƒ(x)=ℓnx

Έχει πεδίο ορισμού το (0,+∞) και σύνολο τιμών το R. Η γραφική της παρά-σταση διέρχεται από το σημείο (1,0).

Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της

ℓnx βρίσκεται στα δεξιά του άξονα yy´, αφού ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για x>0.

• f(x)=ημx και g(x)=συνx

Έχουν πεδίο ορισμού το R, σύνολο τιμών το [-1,1] και είναι περιοδικές με περίοδο 2π. f(x)=ημx f(x)=συνx 1 1 0 π/2 π 3π/2 2π 0 π/2 π 3π/2 2π -1 -1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ- ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ 1.Έστω μια συνάρτηση f:Α→Β. Η f λέγεται

• γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα D⊆Α, όταν για κάθε x1, x2∈D με x1 < x2 ισχύει f(x1) < f(x2). • γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα D⊆Α, όταν για κάθε x1, x2∈D με x1 < x2 ισχύει f(x1) > f(x2).

Γνησίως μονότονη ονομάζεται μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. 2.Έστω μια συνάρτηση f:Α→Β. Η ƒ λέμε ότι παρουσιάζει

• τοπικό μέγιστο στο x1∈Α, όταν f(x)≤ f(x1) για κάθε x σε μια περιοχή κοντά στο x1.

• τοπικό ελάχιστο στο x2∈Α, όταν f(x)≥ f(x2) για κάθε x σε μια περιοχή κοντά στο x2.

3.Αντίστοιχα,αν έχουμε μια συνάρτηση f:Α→Β θα λέμε ότι παρουσιάζει

• ολικό μέγιστο στο x1∈Α, όταν f(x) ≤ f(x1) για κάθε x∈Α. • ολικό ελάχιστο στο x2∈Α, όταν f(x) ≥ f(x2) για κάθε x∈Α.

6

Ακρότατο μιας συνάρτησης f ονομάζεται ένα μέγιστο ή ελάχιστο αυτής (ο-λικό ή τοπικό). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω η συνάρτηση f(x)=ημx.Όπως είδαμε η γραφική της παράσταση είναι η ακόλουθη:

1 π 3π/2 2π

0 π/2

-1 Όπως παρατηρούμε από το σχήμα, για δύο οποιαδήποτε σημεία x1, x2 του [0,π/2] με x1 < x2 ισχύει ημx1<ημx2. Άρα η συνάρτηση f(x)=ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,π/2]. Με αντίστοιχο τρόπο προκύ-πτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [π/2,π], γνησίως φθίνουσα στο [π,3π/2] και γνησίως αύξουσα στο [3π/2,2π]. Επίσης η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο π/2, το f(π/2)=1 και ολικό ελάχιστο στο 3π/2, το f(3π/2)=-1. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τι εκφράζει η σχέση lim ƒ(x)= ℓ ; x→x0 H σχέση εκφράζει ότι όταν το x τείνει (πλησιάζει ) στο x0, οι τιμές της συ-νάρτησης τείνουν (πλησιάζουν ) στο ℓ και λέμε ότι το όριο της f, όταν το x τείνει στο x0, είναι ℓ.

Το x0 μπορεί να είναι ή να μην είναι στοιχείο του πεδίου ορι-σμού της συνάρτησης f, αρκεί να βρίσκεται «κοντά» σε αυτό.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α ονομάζεται συνεχής στο x0∈A όταν ισχύει ( ) ( )

0

0x x

x xf flim→

=

Όταν η f είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, ονομάζε-ται συνεχής στο Α.

Παρατήρηση: Εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης μόνο στα σημεία του πεδίου ορισμού της. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

• Πολυωνυμικές (π.χ. 3x2+4x-2) • Τριγωνομετρικές (π.χ. ημx, συνx, εφx) • Εκθετικές (π.χ. ex) • Λογαριθμικές (π.χ. ℓnx)

ΣΧΟΛΙΟ

7

νν mxfxx

=→

)(lim0

• Οι συναρτήσεις που προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών (π.χ. ex+ημx)

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΟΡΙΑ Έστω οι συναρτήσεις f,g και έστω ότι υπάρχουν τα όρια ( )

0x xx m Rflim

→= ∈ και

( )0x xg x n Rlim

→= ∈ . Τότε:

I. lim [f(x)+ g(x)]=m+n x→x0

II. lim [k·f(x)]= k · m x→x0

III. lim [f(x) · g(x)]=m · n x→x0

f(x) m

IV. lim ⎯⎯ = ⎯ ( για n≠0 ) x→x0 g(x) n

V. lim [f(x)]ν = mν

x→x0

VI.

ΠΡΟΣΟΧΗ Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει! Για παράδειγμα ισχύει

( )x 1 x 1

1x 1 1 1x 1lim lim

→ →

⎡ ⎤− = =⎢ ⎥−⎣ ⎦, αλλά δεν υπάρχει το

x 1

1x 1lim

→

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

8

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

I.Αν το x0 είναι σημείο του πεδίου ορισμού της f και η f είναι συνεχής,

αντικαθιστούμε το x0 στον τύπο της f,δηλαδή 0

0x x

f x f x( ) ( )lim→

=

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Να βρεθεί το : 2

2lim( 3 9)x

x x→

+ − .

ΛΥΣΗ Πεδίο ορισμού είναι το Α=R και 2∈R. Άρα

lim (x2+3x-9) = lim x2 +lim 3x+ lim (-9) = 22+3·2+(-9) = 1 x→2 x→2 x→2 x→2

II.Αν το x0 δεν είναι σημείο του πεδίου ορισμού της f, τότε, με αντικα-τάσταση του x0 , οδηγούμαστε σε μορφή 0

0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Σε αυτή την περίπτω-

ση , κάνουμε πράξεις στον τύπο της f (παραγοντοποίηση ), χρησιμο-ποιώντας γνωστές ταυτότητες (διαφορά τετραγώνων , κύβων κλπ.) μέχρι να φτάσουμε στο σημείο που επιτρέπεται η αντικατάσταση. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθεί το όριο της ( )2x 1x

x 1f

−=−

στο x0=1

ΛΥΣΗ Το πεδίο ορισμού της f είναι το Α= R\{1}, γιατί πρέπει x-1≠0 x≠1. Άρα x0∉Α. Έχουμε: ( ) ( )( )2 x 1 x 1x 1x x 1

x 1 x 1f

− +−= = = +

− −

Άρα ( ) ( )x 1 x 1

x x 1 1 1 2lim f lim→ →

= + = + =

III.Ειδικά στην περίπτωση που εμφανίζεται κλάσμα με ρίζες, στο οποίο με αντικατάσταση του x0 οδηγούμαστε σε μορφή 0

0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

πολλαπλασιάζουμε

αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση του όρου στον οποίο εμφανίζονται οι ρίζες. Έτσι φτάνουμε στο σημείο που επιτρέπε-ται η αντικατάσταση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθεί το όριο της 2

x 2 4x 4f xx x 2

( )+ − −

=− + +

στο x0=2.

ΛΥΣΗ Πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδέν και οι υπόρριζες ποσότητες μη αρνητικές. Έχουμε -x2+x+2≠0 x≠-1 και x≠2.

9

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) 41

123

42422)12(3

442)1(3

442)2()1()2(3

)442()2()1(442

442)2()1(442

442)2()1(442)442(

21442

2442

limlim

limlim

limlimlim

22

2

22

2

222

2

==−⋅++⋅+

=−++⋅+

=−++⋅−⋅+−

−−

=−++⋅−⋅+−

+−+=

−++⋅−⋅+−−−+

=−++⋅−⋅+−−++⋅−−+

=−⋅+−−−+

=++−−−+

→→

→→

→→→

xxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

xxxx

xx

xx

xxx

x+2≥0 x≥-2

4x-4≥0 x≥1

Άρα Α=[1,2)U(2,+∞) και x0∉A Έχουμε

IV.Ασκήσεις στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της. Για την επίλυση τέτοιου είδους ασκήσεων, χρησιμοποιούμε τον ορισμό της συνέχειας.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση ( )

2x 3x 2 x 2x x 2

x 2

,f

,α

− +⎧≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

να είναι

συνεχής στο x0 = 2.

ΛΥΣΗ Για να είναι συνεχής στο x0 = 2 πρέπει ( ) ( )

x 2x 2f fl im

→= . Αλλά

( ) ( )( ) ( )2

x 2 x 2 x 2 x 2

x 2 x 1x 3x 2x x 1 2 1 1x 2 x 2

lim f lim lim lim→ → → →

− −− += = = − = − =

− −

και ƒ(2) = α. Άρα πρέπει α = 1.

10

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Η f ονομάζεται παραγωγί-σιμη στο x0∈A αν υπάρχει το ( ) ( )0 0

h 0

x h xh

f flim→

+ − και είναι πραγματικός α-

ριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 , συμβολίζεται με f΄(x0) .

• Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της y= f(x) ως προς x, όταν x= x0.

• Η στιγμιαία ταχύτητα, τη χρονική στιγμή t0, ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του περιγράφεται από τη συνάρτηση x= f(t) είναι v(t0)= f΄(t0).

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

(C) (ε) Μ(x0, ƒ(x0)) ω Έστω μια συνάρτηση f με γραφική παράσταση την καμπύλη (C) του σχήμα-τος και έστω η εφαπτομένη (ε):y = λx + β της (C) στο σημείο Μ(x0, f(x0))∈C, η οποία σχηματίζει με τον xx΄ γωνία ω. Τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε),(ή αλλιώς η κλίση της ε), λ=εφω, είναι ακριβώς η παράγωγος της f στο x0, δηλαδή : λε = εφω = f΄(x0) ΧΡΗΣΙΜΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ

• Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές διεύ-θυνσής τους είναι ίσοι.

• Δύο ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσής τους έχουν γινόμενο ίσο με -1.

• Ο συντελεστής διεύθυνσης του άξονα xx΄ και κάθε ευθείας παράλλη-λης προς αυτόν είναι μηδέν.

Προσοχή :Εξετάζουμε αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη μόνο στα σημεία του πεδίου ορισμού της.

11( )

xxxxx

21

21

21 2

1121

21

===′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

′ −−

( )x

x2

1=

′

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Έστω Β το σύνολο των στοι-χείων του Α στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρ-τηση με την οποία κάθε x∈B αντιστοιχίζεται στο

( ) ( ) ( )h 0

x h x΄ x

hf f

f lim→

+ −=

Η συνάρτηση αυτή, όπως ορίστηκε, ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f΄. Αν η f΄ είναι κι αυτή παραγωγίσιμη, τότε η (πρώτη ) παράγωγός της ονομάζε-ται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f΄΄. ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν η θέση ενός κινητού, που κινείται ευθύγραμ-μα, συναρτήσει του χρόνου t είναι x(t), τότε η ταχύτητά του είναι v(t)=x΄(t), ενώ η επιτάχυνσή του είναι α(t)=x΄΄(t). ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1. Η παράγωγος της f(x)=c είναι f΄(x)=(c)΄= 0 Πράγματι, ( ) ( ) ( )

h 0 h 0

x h x c c΄ x 0h h

f ff lim lim

→ →

+ − −= = =

2. Η παράγωγος της f(x)=x είναι f΄(x)=(x)΄=1

Πράγματι ( ) ( ) ( )h 0 h 0 h 0 h 0

x h x x h x h΄ x 1 1h h h

f ff lim lim lim lim

→ → → →

+ − + −= = = = =

3. Η παράγωγος της f(x)=xρ είναι f΄(x)=(xρ)΄=ρxρ -1 Πράγματι, για ρ=2 έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

h 0 h 0 h 0

2

h 0 h 0 h 0

x h x x h x x 2xh h x΄ xh h h

h 2x h2xh h 2x h 2x 0 2xh h

f ff lim lim lim

lim lim lim

→ → →

→ → →

+ − + − + + −= = = =

++= = + = + =

Ως εφαρμογή των παραπάνω έχουμε

• 1x

′⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=( x-1)΄ = (-1)x-1-1 = -x-2 = - 2

1x

δηλαδή 2

1 1x x

′⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

•

12

δηλαδή ΧΡΗΣΙΜΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ Ισχύουν οι σχέσεις:

x ρ =1

xρ και x xμ

μν ν=

4. Η παράγωγος της f(x)=ημx είναι f΄(x)=(ημx)΄=συνx 5. Η παράγωγος της f(x)=συνx είναι f΄(x)=(συνx)΄=-ημx

6. Η παράγωγος της f(x)=ex είναι f΄(x)=(ex)΄= ex

7. Η παράγωγος της f(x)=ℓnx είναι f΄(x)=(ℓnx)΄= 1x

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ I. Πράγματι, αν θέσουμε F(x)=c·f(x), έχουμε

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

h 0 h 0

h 0 h 0

F x h F x c x h c xc x ΄ F΄ x

h hc x h x x h x

c c ΄ xh h

f ff lim lim

f f f flim lim f

→ →

→ →

+ − ⋅ + − ⋅= = = =

⋅ + − + −= ⋅ = ⋅

II.

Πράγματι, αν θέσουμε F(x)=f(x) + g(x), έχουμε

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h 0 h 0

h 0 h 0

F x h F x x h g x h x g xx g x ΄ F΄ x

h hx h x g x h g x

΄ x g΄ xh h

f ff lim lim

f flim lim f

→ →

→ →

+ − + + + − −+ = = = =

+ − + −+ = +

III.

[c·ƒ(x)]΄=c·ƒ΄(x)

[f(x)·g(x)]΄= f΄(x)·g(x)+ f(x)·g΄(x)

[f(x)+g(x)]΄= f΄(x) + g΄(x)

13

( ) ( )1

)02(12

1112

1122

2

2

2

+=+

+=

′+

+=

′+

xxx

xx

xx

f(x) ΄ f΄(x)·g(x) - f(x)·g΄(x) IV. ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ,g(x)≠0

g(x) [g(x)]2

V. [f(g(x))]΄= f΄(g(x)) · g΄(x) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Συχνά είναι καλό να χρησιμοποιούμε τους παρακάτω τύπους για την παρα-γώγιση σύνθετης συνάρτησης:

( )( ) ( )( ) ( )p p 1x p x xf f f−′⎡ ⎤ ′=⎣ ⎦

( ) 1f x f x2 f x

( ) ( )( )

′′=

( ) ( )( )

( )21 1 f x

x xf f

′⎛ ⎞′= − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )[ ] ( )[ ] ( )x x xf f fημ συν′ ′=

( )[ ] ( )[ ] ( )x x xf f fσυν ημ′ ′= − ( )( )

( )( )2

1x f xx

ff

εφσυν

′ ′= ⋅

( ) ( ) ( )x xe e xf f f′ ′⎡ ⎤ =⎣ ⎦

( )[ ]( )

( )1x f΄ xx

ln ff

′ = ⋅

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1. (3x5)΄=3(x5)΄=3·5x5-1=15x4 2. (x2-x)΄= (x2)΄+(-x)΄=2x-1 3. (x·ημx)΄= (x)΄ημx+x(ημx)΄=1·ημx+x·συνx

x+1 ΄ (x+1)΄ ·x2 – (x+1)·(x2)΄ [(x)΄+(1)΄]·x2-(x+1)·2x 4. ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =

x2 (x2)2 x4 (1+0)·x2-2x2-2x -x2-2x -x(x+2) x+2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = - ⎯⎯ x4 x4 x4 x3

5. Σύνθετες συναρτήσεις [ημ(2x+1)]΄ = συν(2x+1)·(2x+1)΄= συν(2x+1)·(2+0)= 2συν(2x+1)

14

[ημ2(3x)]΄ = [(ημ3x)2]΄= 2 (ημ3x)2-1· (ημ3x)΄=2 ημ3x·

συν3x·(3x)΄= (2·ημ3xσυν3x)·3 = ημ[(2·3x)]·3= 3ημ6x.

ημx ΄ (ημx)΄ συνx- ημx (συνx)΄ υνxσυνx- ημx(-ημx)

6. (εφx)΄= ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ συνx (συνx)2 συν2x συν2x+ ημ2x 1 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ συν2x συν2x

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ 1. Όταν ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης δοσμένης συνάρτησης σε δοσμένο σημείο

Η εξίσωση είναι της μορφής y = αx + β • ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ α 1.Βρίσκω την παράγωγο συνάρτηση f΄(x) 2.Αντικαθιστώ στην f ΄(x), όπου x, το x του σημείου .Αυτό που βρήκα θα είναι το α. 3.Αντικαθιστώ στη y = αx + β το α που βρήκα. • ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ β 1. Πάω στο τύπο της συνάρτησης ( δηλ. της f (x) )και αντικαθιστώ όπου x το x του σημείου. Το f του σημείου μπορεί να μου το δίνουν έτοιμο και έτσι δε χρειάζεται να το βρω. π.χ αν μου λένε στο σημείο (2,3) καταλαβαίνω ότι το f(2) =3 και δε χρειάζεται να το βρω. 2. Πάω στην y = αx + β και βάζω όπου x το x του σημείου και όπου y το f του σημείου. Έτσι προκύπτει μια απλή εξίσωση από την οποία βρίσκω και το β. Ξαναγράφω την ευθεία y = αx + β με τα α και β που βρήκα και τελεί-ωσα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=-2x2+x-3. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (1, f (1)).

ΛΥΣΗ Είναι ( )2f x 2x x 3 2 2x 1 4x 1( )

′′ = − + − = − ⋅ + = − + Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της ƒ στο σημείο (1, ƒ (1)) είναι της μορφής y=λx+b, όπου λ= ƒ΄(1) και αφού ƒ΄(1)=-4·1+1= -3 θα είναι της μορ-φής y=-3x+b.Αλλά το (1, ƒ (1))=(1,-4) ανήκει στην εφαπτομένη άρα επαληθεύει την εξίσωσή της, δηλαδή -4=-3·1+b b= -1. Άρα η ζητού-μενη εξίσωση είναι η y=-3x-1

15

2. Όταν ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης δοσμένης συνάρτη-σης σε κάποιο (άγνωστο) σημείο x0 , έτσι ώστε αυτή να σχηματίζει κάποια γνωστή γωνία ω: Πρώτα πρέπει να βρω το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρω την εφα-πτομένη. 1. ΓΡΑΦΩ : Έστω (x ,f(x)) είναι το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρου-

με την εφαπτομένη που σχηματίζει τη γωνία ω. Πρέπει να ισχύει f ΄(x) = εφω.

2. Βρίσκω την παράγωγο της συνάρτησης, δηλ. την f ΄(x). 3. Λύνω την εξίσωση f΄(x) = εφω από την οποία μπορεί να βρω και πα-

ραπάνω από μια λύσεις, έστω x1 , x2 . 4. Πάω στον τύπο της συνάρτησης (της f(x)) και αντικαθιστώ στη θέση

του x πρώτα το x1 και μετά το x2 . Έτσι βρίσκω το f(x1 ) και το f(x2 ). Άρα, γράφω, τα ζητούμενα σημεία είναι (x1 ,f(x1 )) και (x2 ,f(x2 )).

Αν μου ζητάει η άσκηση μόνο τα σημεία έχω τελειώσει. Αν ζητάει και την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας τότε εφαρμόζω ακριβώς τα βήματα της 1ης κατηγορίας με τη διαφορά ότι το α το έχω έτοιμο. Είναι α = εφω και συνεχίζω για να βρω και το β. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)= -x2+3x-1, x∈R. Να βρεθεί η εξί-σωση της εφαπτομένης της f που σχηματίζει με τον άξονα xx΄ γωνία 135ο. ΛΥΣΗ

Είναι f΄(x)=-2x+3. Ισχύει 135ο=180ο - 45ο. Άρα εφ135ο = - εφ45ο= -1

(ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν αντίθετες εφα-πτομένες) Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) είναι της μορφής y = αx+b όπου α = εφ135ο, άρα α = -1

Aν x0 είναι το σημείο από το οποίο φέρουμε την εφαπτομένη που σχηματίζει τη γωνία 135ο πρέπει να ισχύει

f΄(x0) = εφ135ο = -1 -2x0+3 = -1 -2x0 = -4 x0 = 2 Αλλά f΄(x0) = -2x0+3

και f(2) = -22+3 ⋅2-1=1. Η εξίσωση (ε) της εφαπτομένης στο σημείο (2,1) είναι της μορφής y = αx+b όπου α = f΄(2)= εφ135ο, άρα α = -1, δηλαδή η ευθεία είναι η y = -x+β. Το σημείο (x0,f(x0)) = (2,1) θα ανήκει και στην (ε), άρα επαληθεύει την εξίσωσή της, επομένως 1 = -2+b b=3 Άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι η y = -x+3.

3. Όταν ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης δοσμένης συνάρτησης σε κάποιο (άγνωστο) σημείο x0 , έτσι ώστε αυτή να είναι παράλλη-λη με κάποια δοσμένη ευθεία y = κx + λ. Πρώτα πρέπει να βρω το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρω την εφα-πτομένη. 1.ΓΡΑΦΩ : Έστω (x ,f(x)) είναι το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρουμε την εφαπτομένη που είναι παράλληλη με τη δοσμένη ευθεία.

16

Πρέπει οι συντελεστές διεύθυνσης των δύο ευθειών να είναι ίσοι , δηλ. πρέπει f ΄(x) = κ 2.Βρίσκω την παράγωγο της συνάρτησης, δηλ. την f ΄(x). 3.Λύνω την εξίσωση f ΄(x) = κ από την οποία μπορεί να βρω και παρα-πάνω από μια λύσεις, έστω x1 , x2 . 4.Πάω στον τύπο της συνάρτησης ( της f(x) ) και αντικαθιστώ στη θέση του x πρώτα το x1 και μετά το x2 . Έτσι βρίσκω το f(x1 ) και το f(x2 ). Άρα, γράφω, τα ζητούμενα σημεία είναι (x1 ,f(x1 )) και (x2 ,f(x2 )) . Αν μου ζητάει η άσκηση μόνο τα σημεία έχω τελειώσει. Αν ζητάει και την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας τότε εφαρμόζω ακριβώς τα βήματα της 1ης κατηγορίας με τη διαφορά ότι το α το έχω έτοιμο. Είναι α = κ και συ-νεχίζω για να βρω και το β. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αντίστοιχα εργαζόμαστε αν μας ζητούν την εξίσωση της εφαπτομένης η οποία είναι κάθετη στην ευθεία y = λx + β . (Λύνω την εξίσωση f΄(x) · λ = -1) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 xx

x 2f =

+.Να βρεθούν τα σημεία στα οποία

η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη στην ευθεία y=8x+7. ΛΥΣΗ Έστω (x ,f(x)) είναι το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρουμε την ε-φαπτομένη που είναι παράλληλη με τη δοσμένη ευθεία. Πρέπει οι συ-ντελεστές διεύθυνσης των δύο ευθειών να είναι ίσοι , δηλ. πρέπει f ΄(x) = 8. Ισχύει ( ) ( )

( ) ( )2 24 x 2 4 x 8x

x 2 x 2f

+ −′ = =+ +

. Άρα

( )

( ) ( )2 22

8 8 8 8 x 2 x 2 1 x 2 1 ή x+2=-1 x 1 ή x 3x 2

= ⇔ = + ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − = −+

Επομένως τα ζητούμενα σημεία είναι τα (-1,f(-1)) και (-3,f(-3)) δηλ. τα (-1,-4) και (-3,12)

4. Όταν δίνεται ότι η εξίσωση της εφαπτομένης σε συγκεκριμένο σημείο ικανοποιεί κάποια συνθήκη και ζητείται να βρεθεί μια πα-ράμετρος: Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιώ τα δεδομένα της άσκησης για να φτιάξω μια απλή εξίσωση και να βρω την άγνωστη παράμετρο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση 2f x 2x ax ( ) .= − . Να προσδιοριστεί το α ώ-στε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (2, f(2)) να σχηματίζει με τον άξονα xx΄ γωνία 45ο.

ΛΥΣΗ Η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο (2, f(2)) , έ-στω λ, θα ισούται με την εφαπτομένη των 45ο, δηλαδή λ = εφ45ο = 1

17

Άρα και f΄(2)=1. Αλλά f΄(x)=4x-a και f΄(2)=4·2-a=8-a Άρα πρέπει 8-a=1 a=7

5. Όταν ζητείται να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση ικανοποιεί μια σχέση ή ζητείται η τιμή μιας παραμέτρου ώστε μια συνάρτηση να ικανοποιεί μια σχέση. Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω τις ποσότητες που περιέχει η δεδομένη σχέση και είτε αποδεικνύω τη σχέση ,είτε σχηματίζω μια εξίσωση από την οποία βρίσκω την άγνωστη παράμετρο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=eax, a∈R. Να βρεθούν οι τιμές του a, ώστε να ισχύει η σχέση f΄΄(x)+2 f΄(x)=3 f(x), για κάθε x∈R. ΛΥΣΗ Είναι f΄(x)= eax ⋅(ax)΄=a·eax

και f΄΄(x) = (a·eax )΄= a ·(eax)΄= a2 ·eax

Άρα f΄΄(x) + 2·f΄(x) = 3·f(x) a2 ·eax + 2·a·eax = 3·eax a2·eax +2·a·eax -3eax = 0 eax(a2+2a-3) = 0 a2+2a-3=0 (επειδή eax≠0 για κάθε x∈R). Το τριώνυμο έχει ρίζες a1=1 και a2= -3 και αυ-τές είναι οι ζητούμενες τιμές.

18

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f : A→R και έστω ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα D ⊆ Α, τότε:

Αν f΄(x) > 0, για κάθε εσωτερικό σημείο x∈D , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο D.

Αν f΄(x) < 0, για κάθε εσωτερικό σημείο x∈D , τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο D.

ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1ΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Έστω μια συνάρτηση f : (α,β)→R , έστω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και έστω x0∈(α,β). Αν f΄(x0) = 0 f΄(x) > 0 για κάθε x∈(α,x0) f΄(x) < 0 για κάθε x∈(x0,β) τότε η f παρουσιάζει στο x=x0 μέγιστο, το f(x0). Αν f΄(x0) = 0 f΄(x) < 0 για κάθε x∈(α,x0) f΄(x) > 0 για κάθε x∈(x0,β) τότε η f παρουσιάζει στο x=x0 ελάχιστο, το f(x0). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο x0, τότε ισχύει f΄(x0)=0. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Δηλαδή, αν για κάποια f ισχύει f΄(x0)=0 για κάποιο x0 του πεδίου ορισμού της, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η fπαρουσιάζει ακρότατο στο x0. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΜΟΝΟ-

ΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1. Βρίσκω την παράγωγο της συνάρτησης, f΄(x). 2. Λύνω την εξίσωση f΄(x) =0. 3. Κάνω πίνακα προσήμων για την f΄(x), από όπου συμπεραίνω για τη

μονοτονία και τα ακρότατα της f. Αν η άσκηση είναι πρόβλημα (π.χ. ελαχιστοποίηση κόστους, μεγιστοποί-ηση κέρδους), τότε πρέπει να φτιάξω πρώτα τη κατάλληλη συνάρτηση ,χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της άσκησης και μετά να ακολουθήσω τα τρία βήματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα ακρότατα της f(x)=x2-3x. ΛΥΣΗ Ισχύει f΄(x)=2x-3. Άρα f΄(x)=0 2x-3=0 x=3/2 . Tότε έχουμε

19

Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 =3/2, το f(3/2)= -9/4.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = αx2 + βx +

2. Να βρεθούν τα α,β ∈ R ώστε η f να έχει στη θέση x = 2 τοπικό α-κρότατο ίσο με 6. ΛΥΣΗ Από τα δεδομένα της άσκησης συμπεραίνουμε ότι ( ) 22 6 2 2 2 6 4 2 2 6 4 2 4 2 2f α β α β α β α β= ⇔ ⋅ + ⋅ + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + = (1) Επίσης, αφού δίνεται ότι στο x=2 η συνάρτηση έχει τοπικό ακρότατο, θα ισχύει f΄(2) = 0. Αλλά έχουμε f΄(x) = 2αx + β f΄(2) = 4α + β = 0 (2) Από τη λύση του συστήματος των (1) και (2) έχουμε α = -1 και β = 4.

ΧΡΗΣΙΜΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ

Για τους όγκους και τα εμβαδά στερεών ισχύει: V = Εβάσης· ύψος Ε = Επαράπλευρης +2· Εβάσης , όπου Επαράπλευρης = (Περίμετρος βάσης ) · (ύψος) π.χ. για το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύει γ V= αβγ β Ε= (2α+2β)γ +2αβ α για τον κύλινδρο ισχύει ----r- h V = πr2h E = 2πrh + 2 πr2 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

x -∞ 3/2 +∞ f΄(x) - + f(x)

20

)(lim4

xfx→

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η συνάρτηση x 2f με f xx 4

( )−

=−

Να βρεθούν: το πεδίο ορισμού της το

ΛΥΣΗ Το πεδίο ορισμού είναι το [0,4)U(4,+∞), γιατί πρέπει ο παρονομαστής να εί-ναι διάφορος του 0 και το υπόριζο θετικό. Έχουμε

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

2 2

x 4 x 4 x 4

x 4 x 4

x 2 x 2 x 2x 2x 4 x 4 x 2 x 4 x 2

x 4 1 1 144 2x 4 x 2 x 2

( ) ( )

( )

lim lim lim

lim lim

→ → →

→ →

− ⋅ + −−= = =

− − ⋅ + − ⋅ +

−= = =

+− ⋅ + +

ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = ae-x + be-2x , a,b∈R Nα δείξετε ότι f΄΄ (x) + 3f΄(x) +2f(x) = 0. ΛΥΣΗ

( ) ( )( ) ( ) ( )

x 2x x 2x

x 2x x 2x x 2x

x 2x x 2x x 2x

Ισχύει f x ae x be 2x ae 2be

f x f x ae 2be ae x 2be 2x ae 4be

Άρα f x 3f x 2f x ae 4be 3 ae 2be 2 ae be

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− − − −

− − − − − −

− − − − − −

′ ′ ′= − + − = − −′′′′ ′ ′ ′= = − − = − − − − = +

′′ ′+ + = + + − − + + =x 2x x 2x x 2x ae 4be 3ae 6be 2ae 2be 0− − − − − −= + − − + + =

ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνεται η συνάρτηση 3 21f x x 2x 3x 13

( ) = + + + .Να βρεθούν τα σημεία της

καμπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες σ’αυτήν είναι παράλληλες στον άξονα xx΄. ΛΥΣΗ Είναι 3 2 2 21 1f x x 2 x 3x 1 3x 2 2x 3 x 4 x 3

3 3( )

′⎛ ⎞′ = + + + = + ⋅ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Οι εφαπτομένες της καμπύλης που είναι παράλληλες στον xx΄ έχουν συντε-λεστή διεύθυνσης 0. Έστω (x0,f (x0)) ένα από τα ζητούμενα σημεία. Τότε θα ισχύει f΄( x0)=0 x02+4x0+3=0 x0= -1 ή x0 = -3. Για κάθε μια από τις παραπάνω τιμές βρίσκουμε την αντίστοιχη τετμημένη

21

3 2

3 2

1 1f 1 1 2 1 3 1 13 31f 3 3 2 3 3 3 1 13

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

− = − + − + − + = −

− = − + − + − + =

Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α 113,⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ και Β(-3,1).

ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:

4

x

2

3 2

2

3 3

f x x

f x x

f x ef x x

f x x 2x

f x ln x

f x 3x

f x x

( )

( ) ln

( )( ) ln (ln )

( )

( )

( )

( )

συν

ημ

συν

εφ

συν

=

=

==

= ⋅

=

=

=

ΛΥΣΗ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

4 4 4 4 3

x x x x

2 2 2

2

f x x x x x 4 x

1 1 1 1f x x x2 xx x 2 x

f x e e x e x e x1 1 1 1f x x xx x x x x

f x x 2x x 2x x 2x

2 x 2 x x

( )

( ) ln

( ) ( )

( ) ln(ln ) (ln )ln ln ln

( ) ( )

συν συν συν συν

ημ συν συν

συν ημ ημ

συν συν συν

συν

′ ′′ = = = ⋅

′ ′′ = = = ⋅ =

′ ′′ = = ⋅ = ⋅ − = − ⋅

′′ ′= = ⋅ = ⋅ =⋅

′ ′′ ′= ⋅ = ⋅ + ⋅ =

⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

3 3 23 2 2

22

22 2

3 23 3 3 3

2x 2 x 2 x 2x-2x 2x

f x x x 2 x 3 2 x 2 x

1 x3 4 x 2 24x x

1 3xf x 3x 2 3x 3x 2 3x 3x 6συν 3x συν 3x

f x x x 3 x

( ) ( )

( ) ln ln ln ln ( ln )

lnln

( ) ( )

( )

ημ συν ημ

εφεφ εφ εφ εφ

συν συν συν

′⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅′ ′′ ⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤= = = = ⋅ ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

′ ′′ ′= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

′′ ⎡ ⎤′ = = = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ( )

( )

3

2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 3 3

x

3 x x x 3 x x 3x 9 x x x( )

συν

συν ημ συν ημ συν ημ

′=

′⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρεθούν 2 αριθμοί x,y με σταθερό άθροισμα 12, που να έχουν το μεγαλύτερο γινόμενο. ΛΥΣΗ

22

Έστω x,y δύο αριθμοί με x+y=12. y=12-x (1). Το γινόμενο θα είναι xy=x(12-x)=12x-x2. Άρα μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση f(x)=12x-x2 και ζητούμε το μέγι-στό της (αφού μας ζητείται το μεγαλύτερο γινόμενο). Είναι f΄(x)=12-2x Άρα f΄(x)=0 12-2x=0 2x=12 x=6 Συνεπώς είναι f΄(6)=0 f΄(x) > 0 για κάθε x<6 f΄(x) < 0 για κάθε x>6

Άρα το x=6 είναι μέγιστο (ολικό) για την f, δηλαδή για x=6 μεγιστοποιείται το γινόμενο

xy. Από την (1) έχουμε ότι y=12-x y = 12-6 δηλαδή y = 6 ΑΣΚΗΣΗ 6 ( ΘΕΜΑ 2003) Δίνεται η συνάρτηση 1x)x(f 2 −= . α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β. Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f, όταν x=3, ισούται με

4

23 .

γ. Αν h(x) = 2x

3)x(f −− για x ≠ 2, να υπολογίσετε το )x(hlim

2x→.

ΛΥΣΗ

α) Πρέπει x2-1 ≥ 0 x2 ≥ 1 x≤ -1 ή x ≥ 1 Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=(-∞,-1]U[1,+∞).

β)Ο ρυθμός μεταβολής της f όταν x=3 ισούται με το f΄(3). Είναι ( ) ( )

22 2

22 2 2

1 1 x x x 1f x x 1 x 1 2xx 12 x 1 2 x 1 x 1

( )′ ′ −′ = − = − = = =

−− − −

για x∈A\{-1,1}

Άρα f΄(3)= 2

2

3 3 1 3 8 3 2 4 3 2 2 3 23 1 8 2 4 2 4 4

− ⋅ ⋅= = = =

− ⋅ ⋅

γ)Είναι 2f x 3 x 1 3h x

x 2 x 2( )

( )− − −

= =− −

Άρα

x -∞ 6 +∞

f΄(x) + - f(x)

23

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

2 22 2 22

2 2x 2 x 2 x 2 x 2

2 2

2 2 2x 2 x 2 x 2

22x 2

x 1 3 x 1 3 x 1 3x 1 3xx 2 x 2 x 1 3 x 2 x 1 3

x 2 x 2x 1 3 x 4

x 2 x 1 3 x 2 x 1 3 x 2 x 1 3

x 2 2 2 4 2 2 332 3 32 1 3x 1 3

h( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

lim lim lim lim

lim lim lim

lim

→ → → →

→ → →

→

− − ⋅ − + − −− −= = = =

− − − + − − +

− +− − −= = =

− − + − − + − − +

+ += = = =

− +− +

i i

i i i

24