ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α...ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α 182 ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1 ο Α. Έστω x 1...

ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄

ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α

181

ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο

Α. Αν θ >0, να δείξετε ότι x < θ ⇔ θ− <x < θ Μονάδες 12

Β. Έστω οι ευθείες με εξισώσεις (ε1): y = α1x + β1 και (ε2): y = α2x + β2. Πότε είναι

παράλληλες; Μονάδες 5

Γ. Να σημειώσετε αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος(Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις:

α. Εάν α < β και γ < δ τότε α γ <β⋅ ⋅ δ

β. Εάν α , β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει: α + β ≤ α + β

x + yγ. Αν x , y >0 τότε x + y =

δ. Εάν x1, x2 ρίζες της αx2 + βx + γ = 0 , (α ≠0) τότε

x1 + x2 = βα

− και x1 ⋅ x2 =γα

Μονάδες 8

Θέμα 2ο

Α. Να λυθεί η εξίσωση: x 2 4

2− −

=2 x 5

3 3−

Μονάδες 10 −

Β. Να λυθεί η ανίσωση: ( ) ( )2 2 4x + 4

1

−

2x + 5y = λx + y = 5

2

2

x + 5x 6 x

x + x

− ⋅

− −≤ 0 Μονάδες 15

Θέμα 3ο

Δίνεται το σύστημα: λ⎧

⎨⎩

α. Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ ∈ το σύστημα:

1. έχει άπειρες λύσεις και να γράψετε τη μορφή των άπειρων λύσεων Μονάδες 7

2. έχει μοναδική λύση την οποία και να βρείτε Μονάδες 6

β. Αν (x0, y0) = (λ +5 , ) η μοναδική λύση του συστήματος να λυθεί η ανίσωση: λ−

≤ 2− Μονάδες 12 0λx + 20y

Θέμα 4ο

Δίνεται η εξίσωση: x2 ( λ )x +1 = 0 − 3−

A. Για ποιες τιμές του λ ∈ η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες; Μονάδες 9

Β. Αν x1, x2 οι ρίζες της να δικαιολογήσετε γιατί είναι αντίστροφες Μονάδες 4

Γ. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε :

( )( ) = λ2 + 8 Μονάδες 12 1x 2− 2x −


182


Α. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0. Να δείξετε ότι:

x1 + x2 = βα

− και = 1 2x x⋅

γα

Μονάδες 9

Β. Αν θ >0 να συμπληρώσετε τις ισοδυναμίες:

α. x < θ ⇔…………

β. x > θ ⇔ ………… Μονάδες 4

Γ. Να χαρακτηρίσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

α. α + β < α + β για κάθε α, β ∈

β. ν

ν

αβ

= ναβγια α ≥0 και β >0

γ. Το σύστημα , με D = 0, Dx = 0 και Dy ≠0 είναι αόριστο. αx + βy = γα΄x + β΄y = γ΄

⎧⎨⎩

δ. Αν Δ = 0, η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 με α ≠0 έχει μία διπλή ρίζα.

ε. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ, α ≠ 0, όταν Δ = 0 είναι ομόσημο του α, για κάθε x ∈

στ. Για κάθε x ≠ 0, ισχύει: 2x

x= 1 Μονάδες 12

Θέμα 2ο Α. Να λυθεί η εξίσωση:

3 x +1 2 x 1

+2 3

−=

x + 24

Μονάδες 15

Β. Αν x < 3, να απλοποιηθεί η παράσταση:

Α = 3 x + x + 3− Μονάδες 10

Θέμα 3ο Α. Για ποιες τιμές της παραμέτρου λ, το σύστημα:

έχει άπειρες λύσεις Μονάδες 15 (λ + 2)x y = λ3x + (λ 2)y =1

−

−

⎧⎨⎩

Β. Για λ = 1, να λύσετε το παραπάνω σύστημα Μονάδες 10 Θέμα 4ο Α. Να λυθεί η εξίσωση:

21 1

x + 4 x + + 3x x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 0 Μονάδες 12

Β. Να λυθεί η ανίσωση:

2

2

( x + 5) (x 8x +12)(x +1)

− ⋅ −≥ 0 Μονάδες 13


183


Α. Αν θ >0 να αποδείξετε ότι x <θ ⇔ θ− <x <θ Μονάδες 10 Β. α. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιττή Μονάδες 3 β. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της Μονάδες 3 Γ. α. Οι ευθείες ε1: y = (2λ − 1)x + 5, ε2: y = 3λx − 2 είναι παράλληλες όταν το λ είναι: i. 3 ii. 1 iii. iv. 0 Μονάδες 3 1−

β. ( )21 2 1− −= 2 Σ, Λ Μονάδες 3

γ. Η ευθεία y = 3x − 5 διέρχεται από το σημείο (1, 2− ) Σ, Λ Μονάδες 3 Θέμα 2ο

Δίνεται η εξίσωση x2 + 3x = 0 με ρίζες x1, x2 1−A. να υπολογιστούν οι παραστάσεις; α. x1 + x2 Μονάδες 5 β. x1 x2 Μονάδες 5 ⋅

γ. 1 2

1 1+

x x Μονάδες 5

Β. να βρεθεί η εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες: α. ρ1 = x1 + 3 β. ρ2 = x2 + 3 Μονάδες 10 Θέμα 3ο

Δίνεται το σύστημα , λ ∈ λx + y =1x + y = λ

⎧⎨⎩

α. για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μοναδική λύση Μονάδες 5 β. να βρεθεί η μοναδική λύση του συστήματος Μονάδες 10

γ. αν (x0, y0) η μοναδική λύση του συστήματος και ισχύει 2 0x + y0 = 8 να βρεθεί το λ

Μονάδες 10 Θέμα 4ο

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2(λ 1)− − 5x + 3λ + 14

, με λ ≠1

α. να δείξετε ότι Δ = − 12λ2 + 11λ + 26 όπου Δ η διακρίνουσα της f(x) Μονάδες 8

β. να βρεθεί το πρόσημο της Δ για τις διάφορες τιμές του λ με λ ≠1 (δίνεται ότι 372 = 1369)

Μονάδες 8

γ. να βρεθούν οι τιμές του λ ≠1 για τις οποίες f(x) >0 για κάθε x ∈

Μονάδες 9


184


π ίξετε ότι αν θ > 0, τότε . Μονάδες 11 1 και ε1: y = αx2 + β2

ευθείες

Μονάδες 4 στές

α. α,β ισχύει πάντοτε

Α. Να α οδε x < θ θ < x < θ⎢ ⎢ ⇔ −Β. Δίνονται οι ευθείες ε1: y = αx1 + β Να γράψετε τη συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε οι δύοα. Να είναι παράλληλες β. Να είναι κάθετες Γ. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε στην κόλλα σας το γράμμα Σ αν είναι σω

και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένες : Αν α > β και γ < 0 τότε αγ > βγ.

β. Για τους πραγματικούς αριθμούς α + β ⎢ ⎢ ≤ α ⎢ ⎢ + β ⎢ ⎢ γ. Για τα σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) του επιπέδου, ο ει την τύπος που δίν απόστασή τους

είναι (ΑΒ)= ( ) ( )2 2x x + y y− −

η εξίσωση έχει

2 1 2 1

δ. Αν αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 δύο πραγματικές ρίζες ρ1, ρ2 διαφορετικές με-

ταξύ τους, τότε ρ1+ρ2 = β

α

ε. Αν α > 0 και αx2 + βx + γ > 0 για κάθε x∈ , τότε β2 – 4αγ <0

Μονάδες 10 Θέμα 2

εξίσωση λ2·(x –2) –3λ = x +1.

ωση να έχει μοναδική λύση, η οποία και να

Μονάδες 13

B. Να λύσετε την εξίσωση

ο

Α. Δίνεται η

Να βρεθούν οι τιμές του λ∈ ώστε η εξίσβρεθεί.

x 1 1 1 3 x 1 2⎢ − ⎢− − ⎢ − ⎢

=2 3 3

− . Μονάδες 12

Θέμα 3

θείες ε1: y = ( λ2 – 5λ)· x – 2 και ε2: y = – 6x +

ο

3λ + 25

Δίνονται οι ευ

α. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε οι δύο ευθείες ε1 και ε2 να είναι

το

νάδες 8 Θέμα4ο

συνάρτηση με τύπο f(x) =

παράλληλες. Μονάδες 8 β. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η ευθεία ε1 να διέρχεται από σημείο Α(1,–6) Μονάδες 9 γ. Για λ = 1, να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία ε2 τέμνει τους άξονες.

Μο

23x +x 2− +Α. Δίνεται η . Μονάδες 8

σες. Μονάδες 7

β. Αν x1, x2 οι ρίζες της, να βρείτε την τιμή του λ ώστε

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

Β. Δίνεται η εξίσωση 3x2 + ( λ – 1)x – 2 = 0, λ∈ .

α. Να αποδείξετε ότι έχει 2 ρίζες πραγματικές και άνι

2 2 71 2 1 2x x x x

9+ + ⋅ =

Μονάδες 10


185


0 αποδείξτε την ισοδυναμία:

A. Αν θ >

x <θ ⇔ < x < θ Μονάδες 15

B. Χαρακτηρίστε Σωστό – Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:

δύο ρίζες πραγματικές

και α <0 , η εξίσωση xν = α έχει λύση x =

− θ

α. Αν α, γ ετερόσημοι τότε η εξίσωση αx2 + βx +γ = 0 έχει

και άνισες ν α− − β. Αν ν περιττός

γ. Για κάθε x, y ∈ ισχύει x + y = x + y

δ. Αν μ, ν θετικοί ακέραιοι και α ≥0 ισχύει μ να α⋅ = μ + ν α

ε. Αν ν θετικός ακέραιος, ισχύει ν να = α, για κάθε α ∈ Μονάδες 10

Θέμα 2

ι ευθείες:

1

(ε2): y =

την τιμή της λ ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες

ες 9

ο

Δίνονται ο

(ε ): y = ( )2λ 1 x + 5−

( )λ + 2 x 7− −

α. Βρείτε παραμέτρου

Μονάδ

β. Αν λ = 1, βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η (ε1) με τον άξονα x΄x Μονάδες 8

γ. Αν λ = 1, εξετάστε αν το σημείο Α(2, − 7) ανήκει στην (ε1) Μονάδες 8

Θέμα 3ο

x2 + λ 1 = 0 (x άγνωστος, λ παράμετρος)

νισες Μονάδες 8

ες 8

Δίνεται η εξίσωση x −

α. Δείξτε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο ρίζες πραγματικές και ά

β. Εκφράστε συναρτήσει του λ, το άθροισμα S και το γινόμενο Ρ των ριζών

Μονάδ

γ. Λύστε την ανίσωση S + 2P >1 Μονάδες 9

Θέμα 4

Δίνεται το σύστημα

α. Βρείτε τις ορίζουσες D, Dx, Dy σε παραγοντοποιημένη μορφή Μονάδες 8

0 0

ο

: ( ) ( )

( )λ + 2 x +7 λ 3 y = 35

x + λ 3 y = λ

−

−

⎧⎪⎨⎪⎩

β. Βρείτε τη μοναδική λύση (x0, y0) του συστήματος Μονάδες 8

γ. Βρείτε το λ ώστε να ισχύει x + 3y 1 Μονάδες 9


186

ΘΕΜΑΤΑ οΘέμα 1

Α. Αν θ > 0 να αποδείξετε ότι : | x | < θ . εξίσωση :

θ ⇔ – θ < x <

( )λ λ 1 x = λ(λ+1)−Β. Έστω η .

κάτω πίνακα στο πλήθος των που φαίνεται στη στήλη Β.

Γ. Να χαρακτηρίσετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) , αν είναι σωστές , ή με

ι λανθασμένες :

α κάθε x∈R ισχύει ότι 2 x x 2 0⎢ ⎢ − ⎢ − ⎢ − ⎢⎢> . y = 3 και 4y + 2x 1= 0 είναι κάθετες.

χύει ότι

Να αντιστοιχήσετε τις τιμές του Rλ ∈ της στήλης Α του παραλύσεων της εξίσωσης

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

Α. λ =3 Β. λ= 0 Γ. λ = 1

1. άπειρες 2. μία μόνο 3. δύο 4. καμία

(Λ) , αν είναα. Για κάθε α, β∈R ισχύει ότι | α + β | = |α| + |β| . β. Γιγ. Οι ευθείες με εξίσωση : 2x − −

2 2δ. Για κάθε α > 0 και β > 0 ισ α +β = α . + β

ε. Ισχύει ότι : 2 2 x λx + λ− > 0 , ( )0λ ≠ για κάθε x R . Μονάδε∈ ς 12 + 3 +10

οΘέμα 2

Έστω 2 6

+6 + 2

ι 2 2x 2x x 6x 9 με 1 x 3K = 6 2−

κα Λ 2 1= − + − + ≤ ≤ . +

οδείξετε ότι : Κ = 2. αποδείξετε ότι Λ = x +1

)x + (λ + 1) = 0 , λ∈R . .

τε τις τιμές του λ∈R για τις οποίες η (Ε) έχει μια διπλή ρίζα και να βρείτε τη

α. Να απβ. Να . γ. Να ⎢ = Κ λύσετε την εξίσωση : ⎢ Λ . Μονάδες 8 + 10 + 7

Θέμα 3ο Δίνεται η εξίσωση (Ε) : x2 – (λ – 2α. Να βρείτε τις τιμές του λ∈R για τις οποίες η (Ε) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζεςβ. Να βρείρίζα αυτή . γ. Υπάρχουν τιμές του λ∈R ώστε οι ρίζες της (Ε) να είναι αντίθετες ;

Μονάδες 13 + 6 + 6 Θέμα 4ο

Δίνετ ( )λx + 2y = 4

αι το σύστημα : 2Σ , λ R2x + λy = λ

∈⎧⎨⎩

α. Για ποιές τιμές του λ R∈ το ( )Σ έχει μοναδική λύση ;

.

x0, y0) να ισχύει : 20 0y x λ .− ≤

Μονάδες 10 + 8 + 7

β. Βρείτε το λ R∈ ώστε το ( )Σ να είναι αδύνατο

λ R∈ τε για

γ. Βρείτε τις τιμές του , ώσ τη μοναδική λύση (


187


Α. Για θ > 0, να αποδείξετε ότι: x | θ θ| θ x< ⇔ − < < . Μονάδες 15

ακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη

μμα που αντιστοιχεί σε κά

β. Για κάθε α, β ≥ 0, ισχύει

Β . Να χαρ

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γρά θε πρόταση.

α. Η εξίσωση αx = β είναι αόριστη (ταυτότητα) όταν α = 0 και β ≠ 0.

νν να +β= α+ β .

γ. Η ένωση δυο συνόλων Α, Β αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν είτε στο σύ-

είτε και στα δύο σύνολα.

ε. , τότε η εξίσωση που έχει ρίζες αυ-

αι η ς 10

Να

νολο Α είτε στο σύνολο Β

δ. Αν λ1 = λ2 τότε οι ευθείες 1 1y = λ x + β και 2 2y = λ x + β είναι παράλληλες.

Αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο δυο αριθμών

τούς τους δυο αριθμούς είν Μονάδε 2x + Sx + P = 0 .

Θέμα 2ο

λύσετε την ανίσωση: |x 3| 2 12 |x 3|

1− − − −36 5|x 3|

+ <3 4 2

− −− − Μονάδες 25

Θέμα 3ο

Δίνεται η εξίσωση (1).

ίτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού

2x (λ 1)x + 1 = 0, λ IR− − ∈

λΑ. Να βρε , για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει

τικές και άνισες. Μονάδες 10

υ

σύστημα:

για κάθε πραγματικό αριθμό λ, έχει μοναδική λύση , η οποία

και να βρεθεί. Μονάδες 12

δύο ρίζες πραγμα

Β. Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της (1), να εκφράσετε, σ ναρτήσει του λ, το άθροισμα x1 + x2 και

το γινόμενο x1⋅x2 . Μονάδες 5

Γ. Αν x1, x2 οι ρίζες της (1), να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες

ισχύει: λ x x (x + x ) + 3x + 3x = 5⋅ ⋅ ⋅ . Μονάδες 10 1 2 1 2 1 2

Θέμα 4ο

Δίνεται το λx y = λ

x + λy = 1

−

−

⎧⎨⎩

.

Α. Να αποδείξετε ότι 0 0(x , y )

Β. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες ισχύει: 1< − . 0 0x + y

Μονάδες 13


188


Ο. Α. Ν. Δ.. α β⋅ = α β⋅ Μονάδες 10

συντελεστής

Γ. Χαρακτηρίστε με σωστό ή λάθος τις προτάσεις:

Β. Τι λέγεται διεύθυνσης της ευθείας ε: y = αx + β Μονάδες 5

α. Αν λ = 1 τότε η εξίσωση (λ− 1)x = λ2 + 1 είναι αδύνατη

β. 2 2x = x

γ. Οι ευθείες ε1: y = α1x + β1 και ε2: y = 2x− + 3 είναι κάθετες

αx2 0) δίνεται από τον δ. Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης + βx + γ = 0, (α ≠

τύπο: S = β

2α

τεε. Αν x <0 τό x = x− Μονάδες 10

σύστημα , λ ∈

σες D, Dx και Μονάδες 10

Β. Για τις διάφορες τιμές του λ, λύστε το σύστημα Μονάδες 15

Θέμα 2ο

Δίνεται το : λx 4y = 2λ

x + λy = λ−

−

⎧⎨⎩

Α. Βρείτε τις ορίζου Dy

Θέμα 3ο Α. Ν. Δ. Ο. λύση της ανίσωσης:

x 1 + 3 2 x 1 6−

2< 3

3− είν

− −αι η 2− <x <4 Μονάδες 13

τη λύση τοΒ. Χρησιμοποιήστε υ (Α) ερωτήματος και λύστε την εξίσωση:

x + 2 + 2 x 4− = 8 Μονάδες 12

α 4

Δίνεται εξίσωση:

+ 4) = 0, (μ ≠ 0) (1)

Α ισες ρίζες για κάθε μ ≠ 0 Μονάδες 6

α. 2 αντίθετες ρίζες Μονάδες 6

Θέμ ο

η2 −μx 2(μ + 2)x + (μ

Α. ποδείξτε ότι η εξίσωση (1) έχει 2 άν

Β. Βρείτε το μ ώστε η εξίσωση (1) να έχει:

β. Γινόμενο ριζών ρ 3 Μονάδες 7

Γ. Αν x1, x2 είναι ρίζες της εξίσωσης (1), βρείτε το μ ώστε 21 2x x⋅ + 2

1 2x x⋅ = 2

Μο νάδες 6


189


άζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού;

) κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις:

<0

οι αριθ

A. Τι ονομ

Β. Να απαντήσετε αν είναι σωστή (Σ) ή λάθος (Λ

α. Ισχύει πάντα x ⎢ ⎢≥0

β. Ισχύει πάντα + x x ⎢ ⎢

γ. Αν x,y ομόσημ μοί x + y = x + y

δ. Αν θ >0 x >θ⇔ x < θ− ή x > θ

ε. x +1 = 3 x = 2⇔

Θέμα 2ο

Δίδεται το σύστημα λ ∈

α. Να βρείτε τις ορίζουσες D, Dx, Dy.

στημα έχει μοναδική λύση (x, y) και να την προσδι

ύστημα;

τριώνυμα:

α. Να βρεθούν οι ς των τριωνύμων.

μικρότερη και τη μεγαλύτερη ρίζα των f και g

συναρτήσεις:

:2λ x 8y = 8

x 2y = λ−

−

⎧⎨⎩

β. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το σύ

ορίσετε σαν συνάρτηση του λ.

γ. Για λ = 2 πόσες λύσεις έχει το σ

Θέμα 3ο

Δίνονται τα2f(x) = x 5x + 6− και g(x) 2 = 2x + 5x 3− −

ρίζε

β. Να βρείτε ένα τριώνυμο h(x) με ρίζες τη

αντίστοιχα.

Θέμα 4ο

Δίνονται οι

xf(x) =

x +1 3− και g(x) = 3 x 4− −

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων

ε ότι το σημείο Α ανήκει στη συνάρτηση

.

β. Αν Α(3, 3) και Β(7, 0) δύο σημεία, να αποδείξετ

f ενώ το σημείο Β ανήκει στη συνάρτηση g.

γ. Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α και Β


190

ΘΕΜΑΤΑ έμα 1ο

1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης , α ≠0 Δ >0. Αν με S συμβολίσουμε

Θ

αx2 + βx + γ = 0A. Έστω x

το άθροισμα x1 + x2 και με Ρ το γινόμενο 1 2x x⋅ των ριζών αυτής, να αποδείξετε ότι:

α. S = x1 + x2 = β

− και α

β. Ρ = 1 2

γx x =⋅

α Μονάδες 10

κτηρί2 ισες

B. Να χαρα σετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

α. Αν αγ <0 η : αx + βx + γ = 0, έχει πάντα δύο ρίζες πραγματικές και άν

β. Ισχύει ( )2x 1− = 1 x−

γ. Αν α, β, αγ, δ πραγματικοί ριθμοί με α > β και γ > δ, τότε α γ⋅ > β δ⋅

δ. Ισχύει x + y = x + y για κάθε x , y στο

ε. Η εξίσω = ση y 2− παρ ηλη στον άξονα y΄y Μονάδες 15

Θέμα 2 ιστάνει ευθεία παράλλ

ο

τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: α. Να βρείτε

x 1 3x 1− < x + 5 και x +

2 2

2− ≤ Μονάδες 15

1 ≤ ρείτε αξύ π

ς 10

Θέμα 3

ευτεροβάθμια εξίσωση ως προς x:

β. Αν x < 3, να β μετ οιών τιμών βρίσκεται η τιμή της παράστασης

Α = 5x 4− Μονάδεο

( ) 2 23x 1 λ + 3−Δίνεται η δ = 2λ x⋅ (1) η οποία έχει ρίζα

Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό λ Μονάδες 15 αι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις x , x , να βρεθεί η τιμή της παράστασης

τον αριθμό 2 α. β. Αν λ = 1 κ 1 2

1 2

1 1+

x x, χωρίς να βρεθούν οι ρίζες Μονάδες 10

Θέμα 4ο

σύστημα (Σ

σες D, Dx, D να τις παραγοντοποιήσετε Μονάδες 9 β. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του (Σ)

Δίνεται το ):2λx + y = λ

x + λy =1

⎧⎨⎩

α. Να βρείτε τις ορίζου y και

τέμνονται και να βρεθεί το σημείο τομής τους συναρτήσει του λ Μονάδες 9 γ. Για ποια τιμή του λ το (Σ) είναι Αόριστο και να βρείτε τη μορφή των άπειρων λύσεων Μονάδες 7


191


Α. Να δείξετε ότι ισχύει: α β⋅ = α β⋅ για κάθε α, β ∈ Μονάδες 15

ρώσε τις πΒ. Αν α, β ≥0 να συμπλη τε αρακάτω σχέσεις:

ν να. α β⋅ = …….

ν ναβ. = ……….

μ ν αγ. = ………

νρ μραδ. = …….. Μονάδες 10

Θέμα 2ο

Να λύσετε = 9− Μονάδες 5 α. την εξίσωση: x +7

β. Να λύσετε την ανίσωση: x + 4 > Μονάδες 10 7

άστασγ. Να απλοποιήσετε την παρ η Α = 5 x 2− − Μονάδες 10

Θέμα 3ο

να σημειώσετε

μένη):

⎟⎠έχει τιμή μηδέν

β. Το σύστημα

Α. Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις το Σ (σωστή) ή το Λ

(λανθασ

α. Η ορίζουσα: ⎜

⎝

2009 0⎛ ⎞ 0 6

: 2

x + 6y = 5−32x 18y =15− −

⎧⎪⎨⎪⎩

είναι αδύνατο

γ. Το σύστημα: έχει λύση την (x, y, ω) = (2, 0, x 4y 3ω = 5 2y ω = 7 ω = 1

− −

−

−

⎧⎪⎨⎪⎩

1− )

15

α. Να λύσετε την εξίσωση Μονάδες 15

β. Να λύσετε την ανίσωση: 5<0 Μονάδες 10

Μονάδες

Β. Να λύσετε το σύστημα: 3x 4y = 18− −

⎨⎩

Μονάδες 10 2x + 7y = 17⎧

Θέμα 4ο

: 4 2x 8x 9 = 0− −

2x 4x− −


192

ΘΕΜΑΤΑ έμα 1ο

1, x2 οι πραγματικές ρίζες τη βx + γ = 0 , α ≠ 0 . Αν μβολίσουμε

Θς εξίσωσης αx2 + Α. Έστω x

με S συ ⋅ x το άθροισμα x1+ x2 και με Ρ το γινόμενο x1 2 ν ριζώντω αυτών,

να αποδείξετε ότι: S = x1 + x2 = βα

− και Ρ = x1 ⋅ x2 = γα

Μονάδες 15

Β. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Αν θ > 0 , τότε x >θ ⇔……………..

θ : β. Αν α , β ≥0 και ν ετικός ακέραιος τότε ν να β⋅ = …………. ω η γωνία ατίζει η ευθεία με τον

γ. Έστω η ευθεία ε με εξίσωση y = αx + β και που σχημ άξονα των x . Αν α >0 τότε η γωνία ω πα ές……………ίρνει τιμ .

2 = 0 τότε η εξίσωσηδ. Έστω η εξίσωση αx + βx + γ = 0 , α ≠ 0 . Αν η διακρίνουσα της Δ έχει ……………… ………….ρίζα(ες) …ε. Έστω f(x) = αx2 + βx + γ , με α ≠ 0 . Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου τότε η f(x) μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων από τον τύπο f(x) = ……….. Μονάδες 10 Θέμα 2ο Α. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = ( )2

5 και Γ = 2( 10)− , Β = 2 8+

Να απλοποιήσετε τις παραστάσ εις. 12

34

Β. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = και Β = 7 5−

Να τραπούν οι παραστάσεις σε δύναμες ζι ισο χωρίς ρι κά στους παρονομαστές. 22x 1

x + 3−⎧

⎩Γ. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ αν x <1 , αν x ≥1

Να βρείτε τα f(0), f(1) και f(2 ) 3x 1x + 2

−Δ. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 3x2 − 2x +1 , g(x) = και h(x) = 2x +1

σεων. Ε. Να βρείτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση που έχει για ρίζες τους αριθμούς 5,

+3+6 +4

Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παραπάνω συναρτή 2−

Θέμα 3ο Μονάδες 6+6Δίνονται οι ευθείες ε1: (λ + 3) x y⋅ − = 2 και ε2: (1 2λ)− x + y = 3.

Α. Για ποια τιμή το λ ίες αυτές ξύ τους παυ ∈ οι ευθε είναι μετα ράλληλες; Μονάδες 5

μείο 5 + 5

στημα Α. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D , Dx και Dy .

ή της παραμέτρ

Β. Για ποια τιμή του λ ∈ οι ευθείες αυτές είναι τεμνόμενες; Γ. Για λ = 1− να αποδείξετε ότι οι παραπάνω ευθείες τέμνονται στο σημείο (1, 0)Δ. Να βρείτε την απόσταση του σημείου τομής των παραπάνω ευθειών από το ση ( 3,3− ) Μονάδες 5 +10 + Θέμα 4ο

Έστω το σύ :4 x + λ y = 4⋅ ⋅

⎨⎩

λ x + y = 2⋅⎧

Β. Να βρεθεί η τιμ ου λ ∈ ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις.

Γ. Αν (x0, y0) = 2 4

,⎛ ⎞⎜ ⎟ είναι η μοναδική λύση του παραπάνω συστήματος να λ + 2 λ + 2⎝ ⎠

βρείτε

τα λ ∈ τα οποία ικανοποιούν τη σχέση: 0 0

1 1+

x y= 4 . Μονάδες 8 + 8+ 9


193

ΘΕΜΘέμα 1ο

ΑΤΑ

Α. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτη αριθμού α Μονάδες 5

ς τιμής ενός πραγματικού

Β. Αν θ > 0 τότε να αποδείξετε ότι: x <θ ⇔ θ− <x <θ Μονάδες 10

Γ. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Αν x = α ⇔…………….

β. Αν α , β ∈ τότε ισχύει d(α , β) = ……………..

γ. Αν α ≥ 0 και μ , ν θετικοί ακέραιοι τότε: μν α = …………..

1 1 2 2 ση των σημείων αυτών δίνεται από τον

παραγόντων από τον τύπο f(x) = ……… Μονάδες 10

δ. Έστω τα σημεία Α(x , y ) και Β(x , y ). Η απόστα τύπο (ΑΒ) = ………….. ε. Έστω f(x) = αx2 + βx + γ, με α ≠ 0. Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου τότε η f(x) μετατρέπεται σε γινόμενοΘέμα 2ο

2 x +1 2 x +1 4⋅ ⋅ −− >Α. Να λυθεί η ανίσωση:

3 6x +1 2− Μονάδες 10

2(x + 3)Β. Να λυθεί η ανίσωση: ≥ 1

Γ. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων σε μορφή διαστημάτων

Μονάδες 10

Μονάδες 5 οΘέμα 3

Δίν 22x 5x + λ− = 0 εται η εξίσωση:

Α. Για ποιες τιμές του λ ∈ η παραπάνω εξίσωση έχει:

ατικές και άν Μονάδες 3 Μονάδες 3

α. Δύο ρίζες πραγμ ισες β. Μια διπλή πραγματική ρίζα γ. Δεν έχει πραγματικές ρίζες Μονάδες 3 Β. Για λ = 1 η παραπάνω εξίσωση μετατρέπεται στην 2x2 − 5x + 1 = 0. Αν x , x είναι οι 1 2

ρίζες της παραπάνω εξίσωσης τότε χωρίς να βρεθούν οι ρίζες να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

α. x1 + x2 , x1 ⋅ x2 , 2 21 2x + x , ( )1 2x x− Μονάδες2 9

σωση που δέχεται ως ρίζες τους αριθμούς ρ1 , ρ2 όπου ρ1 = x1 + 1 και

β. Να βρεθεί η εξί ρ2 = x2 + 1 Μονάδες 7

οΘέμα 4 2Α. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = λ + λ 2 και Β = λ + 5λ + 6 2−

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α και 1Β

Μονάδες 4

β. Δίνεται η εξίσωση Α x = Β. Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λ ∈ ώστε η παραπάνω

⋅

εξίσωση να έχει άπειρες λύσεις Μονάδες 6 Β. Δίνονται οι ευθείες: ε1: λ x y⋅ − = λ και ε2: (λ 2) x + λ y− ⋅ ⋅ = 1−

α. Για ποιες τιμές του λ ∈ οι παραπάνω ευθείες είναι παράλληλες. Μονάδες 6

β. Για ποιες τιμές του λ ∈ απάνω ευθε . οι παρ ίες είναι τεμνόμενες Μονάδες 6

γ. Για λ = 1 να αποδείξετε ότι οι παραπάνω ευθείες ταυτίζονται . Μονάδες 3


194


A. Αν θ >0, τότε: x <θ ⇔ <x<θ Μονάδες 15

B. Να απαντήσετε με Σ για σωστό ή Λ για λάθος στις παρακάτω:

α.

θ−

2x = x, για κάθε x ∈

β. 1

2 3−= 2 3− −

12

γ. Οι ς ε1 ευθείε : y = x + 1 και ε2: y = 0,3x είναι παράλληλες.

δ. x− ορίζεται όταν x ≤0

ε. Αν (x2)3 = 1, τότε x = 2 Μονάδες 10

2ο Θέμα

Δίνονται οι ευθείες ε1: y = λ2x + 3 και ε2: y = ( 5λ 6− )x + 8 α. Να βρεθεί ο λ ώστε ε1 // ε2 Μονάδες 15

ις των ν Μονάδες 10

θεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ ∈

β. Να βρεθεί η μοναδική αυτή λύση Μονάδες 8

β. Για λ = 2 να γίνουν οι γραφικές παραστάσε ευθειώ

Θέμα 3ο

α. Να δειχ x + λy = 4⎨

⎩

(λ +1)x 2y = λ + 2−⎧

Μονάδες 10

γ. Για λ = 2 να λυθεί το σύστημα Μονάδες 7

Θέμα 4ο

Δίνεται το τριώνυμο f(x) = 2x 2(λ 2)− − x + 2λ 4−

A. Να βρεθεί το λ ∈ ώστε το τριώνυμο να έχει πραγματικές ρίζες

Μονάδες 8

B.

α. αν x1, x2 οι ρίζες του τριωνύμου να βρείτε x1 + x2 και x1 ⋅ x2 συναρτήσει του λ

Μονάδες 5

1 2

1 1β. να βρείτε λ ∈ ώστε +

x x≤

14

Μονάδες 7

γ. να βρεθεί λ ∈ ώστε η η f(x) = x2 να είναι ταυτότητα εξίσωσ

Μονάδες 5


195


Α. Να δείξετε ότι: Αν θ > 0, τότε:

x <θ ⇔ <x <θ Μονάδες 9

μούς:

ι υ

β.

γεται γνησίως αύξουσα στο Δ

ς συνάρτησης f. Μονάδες 16

θ−

Β. Να δώσετε τους παρακάτω ορισ

α. Τ λέγεται σ νάρτηση

Πότε μια συνάρτηση λέγεται άρτια

γ. Πότε μια συνάρτηση λέ

δ. Πότε η τιμή f(x0) λέγεται μέγιστο τηοΘέμα 2

24x + 4x +1 Μονάδες 9 Α. Αν x <

1− να βρείτε την τιμή της παράστασης Α =

2 2x +1

Β. Να λυθεί η εξίσωση: 2x 3− = x +1 Μονάδες 8

Γ. Να λυθεί η ανίσωση: 3x 2− ≥1 Μονάδες 8

+ 2 >0 για κάθε λ ∈ Μονάδες 13

σύστημα:

Θέμα 4ο

το τριώνυμο: λ

ί λ ∈ ώστε το τριώνυμο να έχει πραγματικές ρίζες Μονάδες 8

Β. Να βρεθεί λ ∈ ώστε για τις ρίζες x1, x2 του τριωνύμου να ισχύει: x1 + x2 =

Θέμα 3ο

Α. Να δείξετε ότι:

λ2 + 2λ

Β. Να δείξετε ότι το

(λ + 2)x 2y = 2−⎧

⎨ έχει μοναδική λύση Μονάδες 12 x + λy = 3λ⎩

Δίνεται x2 − (λ + 3)x + λ, λ ≠0

Α. Να βρεθε

52

Μονάδες 8

Γ. Να βρεθεί λ ∈ ώστε το τριώνυμο να είναι μικρότερο από το 0 για κάθε x ∈

Μονάδες 9


196

ΘΕΜΑΤΑ

έμα 1ο

. Αν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης αx2 0 να δείξετε ότι:

=

Θ

Α + βx + γ = 0, α ≠

βα

− x1 + x2 Μονάδες 15

Β. Να δώσετε τους ορισμούς:

υμ

β. Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α Μονάδες 10

α. Τι ονομάζο ε συνάρτηση

Θέμα 2ο

Α. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 3x 2− = 7

β. x 1− = x + 2 Μονάδες 16

λυθΒ. Να εί η ανίσωση: 3x 2− 4 Μονάδες 9

α 3ο

εί το σ

, λ ∈ Μονάδες 25

Θέμα 4

Να βρεθεί γ

2)(2x2 + 1)(2x2 + 3x + 5) Μονάδες 25

Θέμ

Να λυθεί και να διερευνηθ ύστημα:

λx + y = λ⎧x + λy = 1⎨

⎩ο

ια τις διάφορες τιμές του x ∈ το πρόσημο του γινομένου:

Ρ(x) = (x + x −


197

ΘΕΜΑTA έμα 1ο

Α. Να αποδείξετε ότι

Θ

α κάθε α,β∈ α β = α β⋅⋅ γι . Μονάδες 12

αι απόσταση δύο αριθμών α και β. Μονάδες 5

ς προτάσεις ν γ

B. Τι λέγετ

Γ. Να χαρακτηρίσετε τι που ακολουθού ράφοντας στο γραπτό σας

δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό ή Λάθος. νρ νμρ μα = α όπου ν,μ,ρ θετικοί ακέραιοι αριθμοί και α∈ . α. Ισχύει

β. Αν α, β, γ, δ θετικοί αριθμοί και α < β και γ < δ τότε α β<γ δ

.

γ. Ισχύει αx2 + βx + γ >0 για κάθε x∈ όταν α>0 και Δ<0.

των x η

ες 4×2

δ. Αν α < 0 τότε 90 180° < ω < ° ,όπου ω η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα

ευθεία με εξίσωση y = αx +β. Μονάδ

Θέμα 2ο

Έστω 2α = και ( )2

5 1β = − . 5 2−

α. Να αποδείξετε ότι: α + β = 10. Μονάδες 12

β. Να λύσετε την εξίσωση ( )2x 7.α + β − = Μονάδες 13

Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις

Θέμα 3ο

( ) ( )1ε :y = 2 λ x+1− και ( )2λ λ

2ε :y = x+9 3

− όπου x, y άγ-

νωστοι και .

τε:

ς να τέμνονται και τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους.

Μονάδες 12

λ ∈

Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ώσ

α. Oι ευθείε και1ε 2ε

β. Oι ευθείες και να είναι παράλληλες. Μονάδες 6 1ε 2ε

γ. Οι εξισώσεις ( 1ε ) και ( 2ε ) να παριστάνουν την ίδια ευθεία. Μονάδες 7

Θέμα 4ο

Δίνεται η εξίσωση ( )2x 1 2 3 xλ − λ = λ − , όπου x άγνωστος και λ ∈ . : +

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση για κάθε0x λ ∈ την οποία και να

Μονάδες 10 βρείτε.

β. Αν 1 2,λ λ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 04x +1= , να κατασκευάσετε εξίσωση 0

2ου βαθμού με ρίζες 1 1x 1= λ + και 2 2x 1.= λ + Μονάδες 7


198

γ. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ λ 0 με ≠ ώστε: 01 1xλ − ≤λ

. Μονάδες 8

Θ ΜΑΤΕ Α Θέμα 1ο A.

≥0 και ν θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότια. Αν α, β : ν ν να β = αβ⋅

Μ ονάδες 10 β. Δώ

ε τα

σιανό σύστημα συντεταγμένων,

α1x + β1 και ε2: y = α2x + β2, τότε

αx2 + βx + γ, α ≠0 είναι θετικό για κάθε x ∈ , τότε

>β ⇔ αγ…..βγ

α >0 και ν άρτιος είναι:………. Μονάδες 10

τριώνυμο f(x) =

στε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α Μονάδες 5 B. Να αντιγράψετε τις σχέσεις που είναι ελλιπείς στην κόλλα σας και να συμπληρώσετ κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: α. Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία σε καρτε τότε η απόστασή τους (ΑΒ) είναι: (ΑΒ) = … β. Αν ε1, ε2 είναι δύο ευθείες με εξισώσεις ε1: y =

ισχύει: ε1 // ε2 ⇔……

γ. Αν το τριώνυμο f(x) =

Δ…0 και α…0

δ. Αν γ <0 τότε: α

ε. Οι λύσεις της εξίσωσης xν = α με

Θέμα 2ο

Δίνεται το 22x + 5x 3−

α. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0 Μονάδες 9

σύστημα (Σ): λ ∈

σες D, Dx, Dy Μονάδες 9 ει μοναδική λύση (x , y ) η οποία ν εί

ες

β. Να αναλυθεί το f(x) σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων Μονάδες 8

γ. Να λυθεί η ανίσωση f(x) ≤ 0 Μονάδες 8

Θέμα 3ο

Δίνεται το ( )

( )λ + 2 x y = λ

3x + λ 2 y =1

−

−

⎧⎪⎨⎪⎩

,

α. Να βρεθούν οι ορίζου

β. Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχ 0 0 α υπολογιστ Μονάδες 8 γ. Αν (x0, y0) η μοναδική λύση του συστήματος, να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποί ισχύει x0 + y0 = 1− Μονάδες 8 Θέμα 4ο

: 2x 6x + 2λ 1− −Δίνεται η εξίσωση = 0 , λ ∈ (1)

του λ η εξίσωση αγματικές και άνισες άδες 10

A . Για ποιες τιμές (1) έχει ρίζες πρ ΜονΒ. Αν x , x οι ρίζες της (1) 1 2

ώστε x1x2 = 5 Μονάδες 7 α. Να βρεθούν οι τιμές του λ


199

β. Αν λ = 1− να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α = 2 21 2 1 1 2 2x x + x + x x + x

Μονάδες 8

Θέμα 1ο

x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2 � βx � γ = 0, α ≠ 0, να αποδείξετε τις

ΘΕΜΑΤΑ

Α. Αν x1,

σχέσεις:

S = βα

− και Ρ = γα

όπου S το άθροισμα και Ρ το γινόμενο των ριζών x1, x2.

Μονάδες 15

Β. Συμπληρώστε τα παρακάτω:

β. μ ν αα. νν α = …….. με α ≥ 0 = ……… με α ≥ 0

x2 � βx � γ = γράψτε

Να λυθεί το σύστημα για τις διάφορες τιμές του λ∈ℜ: .

Μονάδες 25

έμα

η εξίσωση: ⎢x– 2 ⎢ =

γ. ⎢ x ⎢< θ τότε ………….. αν θ > 0 δ. ⎢– α ⎢ = ………

ε. αν στην εξίσωση δεύτερου βαθμού α 0, α ≠ 0 είναι Δ = 0,

πόσες λύσεις έχει η εξίσωση και τον τύπο που τις δίνει. Μονάδες 10

Θέμα 2ο

(λ +1)x + y = λ3x + (λ 1)y = 2−

⎧⎨⎩

Θ 3ο

47

α. Να λυθεί . Μονάδες 12

β. Να λυθεί η εξίσωση: 2 x 2 + 1 2 x + =

3 2⎢ − ⎢ ⎢ − ⎢

1 Μονάδες 13

Θέμα 4

οι ευθείες ε1, ε2 με εξισώσεις ε1: y = λ3x � 3λ και ε2: y = 4λx – 6.

άδες 10

εξισώσεις των ευθειών ε1 και ε2. Μονάδες 5

, Β τα σημεία του (β) ερωτήματος, βρείτε την απόσταση (ΑΒ). Μονάδες 5

ο

Δίνονται

A. Για ποιες τιμές του λ οι ευθείες ε1, ε2 είναι παράλληλες; Μον

Β. Για λ = 2

α. Βρείτε τις

β. Βρείτε σε ποιά σημεία η ευθεία ε2 τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y. Μονά-

δες 5

γ. Αν Α


200


α, β ∈ να αποδείξετε ότι: Α. Για κάθε

α β⋅ = α β⋅ Μονάδες 13

χαρακτηρί

Β. Να σετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).

α. Αν α, β >0 τότε ισχύει α + β = α + β

1x + 3

2β. Οι ευθείες (ε1): y = 2x + 1 και (ε2): y = είναι παράλληλες.

γ. Αν στην εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 με α, β, γ ∈ α ≠0 είναι Δ ≥0 τότε έχει ρίζες

πραγματικές.

δ. Αν x ∈ τότε 2x = x Μονάδες 12

ανίσωση:

Θέμα 2ο

Να λυθεί η

2x 6 +1− 9x 3

3− − >

3x 34

− − Μονάδες 25

Θέμα 3ο

σύστημα:

λ ∈

α. Να δείξετε ότι για κάθε λ ∈ το σύστημα έχει μοναδική λύση Μονάδες 8

ε

λ ∈ Μονάδες 9

ξίσωση: x2 λ + 3)x + λ + 2 = 0 με λ ∈

Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ Μονάδες 10

< 0 Μονάδες 10

Δίνεται το

λx y = 3−⎧x + λy = 2−

⎨⎩

β. Να βρεθεί η λύση του συστήματος Μονάδες 8

γ. Αν (x0, y0) είναι η μοναδική λύση του συστήματος να δείξετε ότι 2x0 + 3y0 <0 για κάθ

Θέμα 4ο

Δίνεται η ε − (

Β. Να λυθεί η εξίσωση όταν λ = 1− Μονάδες 5

Γ. Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ισχύει:

2 21 2 1 2x x + x x⋅ ⋅


201


Α. Αν οι ρίζες της εξίσωσης 1 2x , x 2αx + βx + γ =0 με α 0≠ να δείξετε ότι

1 2

βS = x + x =

α−

και 1 2

γP = x x =

α⋅ Μονάδες 15

Β. Να χαρακτηρίσετε στην κόλλα σας με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω προ-τάσεις :

1. Η εξίσωση xα β= έχει μοναδική λύση όταν 0α ≠

2. Αν ν νν Ν τότε ισχύει η ισοδυναμία α = β α = β∈ ⇔

3. Όταν α ≥ 0 τότε η α παριστάνει τη λύση της εξίσωσης x2 = α

4. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει – ⎢ α ⎢ ≤ α ≤ ⎢ α ⎢

5. Αν 1 1Α(x , y )και 2 2B(x , y ) τότε 2 21 2y y )− 1 2d(Α, B)= (x x ) + (−

Μονάδες 10

Θέμα 2ο

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστημα(λ 2)x +3λy = 33λx + (λ 2)y = λ 2

− −

− −⎧⎨⎩

για τις διάφορες

τιμές του λ∈R Μονάδες 20

2. Αν 3(λ 2) λ + 4(x, y) = ,

4(2λ 1) 4(2λ 1)−

− − −⎛ ⎞

⎟ είναι μια λύση του παραπάνω συστήματος,

να βρεθεί για ποιά τιμή του λ η λύση αυτή ανήκει στην ευθεία 0x y+ =

Μονάδες 5

⎜⎝ ⎠

Θέμα 3ο

α. Nα λυθεί η ανίσωση 3x 2 1− ≥ Μονάδες 15

β. Να λυθεί η εξίσωση 22 1x x x+ = + Μονάδες 10

Θέμα 4ο

Δίνεται η εξίσωση 2λx (λ+1)x +1 = 0 με λ 0− ≠

α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντοτε πραγματικές ρίζες τις οποίες και να υπο-λογίσε

β. Να υπολογίσετε με τη βοήθεια του λ το άθροισμα και το γινόμενο

1S = x + x2

1 2P = x x⋅

γ. Για ποιές τιμές του ισχύει λ∈R S 2P 2λ− < Μονάδες 8 + 8 + 9


202


Α. Αν συν(α + β) 0≠ και συνα ≠ 0, συνβ ≠0 να αποδείξετε ότι, εφα + εφβ1 εφα εφβ

εφ(α + β) = − ⋅

Β. Να χαρακτηρίσετε στην κόλλα σας με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω

προτάσεις:

6. ημ(α + β) = ημα + ημβ

7. Αν αlog θ = x τότε αx = θ

8. Αν (x + ρ) παράγοντας του πολυωνύμου P(x) τότε P( ρ) = 0−

9. 2 1 συν2αημ α =

2−

10. Για κάθε 1 2x , x (0, )∈ +∞ ισχύει 1 2 1 2log(x x ) (logx ) (logx )⋅ = +

Μονάδες. 15 + 10

Θέμα 2ο

Να αποδείξετε ότι: ημ2α = εφα

1+ συν2α

Να λυθεί η εξίσωση 0, 2πσυν2x ημ x 1 0 στο− − = ⎡ ⎤⎣ ⎦ Μονάδες 11 + 14

Θέμα 3ο

Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P(x) = α x (5 + β)x 10x β 1− + − + , όπου α πραγματικοί α-

ριθμοί.

, β

Α. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο x 1− να είναι παρά-

γοντας του πολυωνύμου και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(

με το πολυώνυμο να είναι ίσο με –3. Μονάδες 8

)(xP x)

x 2−

Β. Αν α = 2 και β = 4

α. Να κάνετε την αλγοριθμική διαίρεση και να γράψετε την ταυτότη-

τά της

P(x) :(2x + 1)

β. Να λύσετε την ανίσωση P( . Μονάδες 8 + 9 x) 0≥

Θέμα 4ο

Δίνεται η συνάρτηση x

x

e 2f(x) = x + ln

e 4−

+

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β. Να λυθεί η εξίσωση f( x) ln 5 ln 3= −

γ. Να λυθεί η ανίσωση 2x x

x

e 2eln 0

e 4−

>+

Μονάδες 8 + 8 + 9


203


Α. Nα δείξετε ότι για κάθε θετικό αριθμό θ ισχύει η ισοδυναμία . x < θ θ < x < θ⎢ ⎢ ⇔ −

Μονάδες 12

Β. Πώς ορίζεται η απόσταση (ΑΒ) δύο σημείων Α(x1, y1) και B(x2, y2) του επιπέδου;

Μονάδες 5

Γ. Να απαντήσετε αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις:

α. Μία συνάρτηση f ορισμένη στο είναι άρτια αν ισχύει f(–x) = –f(x) για κάθε x∈R

β. Οι ευθείες y = – x +3 και y = x +5 είναι κάθετες.

γ. Για κάθε α > 0 ισχύει 4 66 9α = α .

δ. Ο αριθμός 25(2 )− είναι ίσος με 2 – 5 . Μονάδες 4×2

Θέμα 2ο

Δίνεται η εξίσωση ( ) ( )2λ x λ = 2λ x 2− − με λ∈R.

α. Nα βρεθούν οι τιμές του λ∈R για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση η

οποία και να βρεθεί. Mονάδες 12

β. Για ποιές τιμές του λ∈R η παραπάνω εξίσωση είναι αόριστη; Μονάδες 13

Θέμα 3ο

Δίνεται το σύστημα . ( )( )

λ+1 x + 4y = 22x + λ 1 y = λ 2− −

⎧⎨⎩

α. Να βρεθούν οι τιμές του λ∈R ώστε να έχει μοναδική λύση (x0, y0).

Μονάδες 12

β. Για ποιές τιμές του λ∈R είναι ⎢ x0 + y0 ⎢ = 2; Μονάδες 13

Θέμα 4ο

Δίνεται η εξίσωση 3x2 – (λ +2)x + λ – 1 = 0 .

α. Να δείξετε ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ∈R. Μονάδες 8

β. Να βρείτε για ποιές τιμές του λ∈R οι ρίζες αυτές είναι θετικές.

Μονάδες 5

γ. Αν x1, x2 οι ρίζες της να βρείτε τις τιμές του λ∈R ώστε να ισχύει η σχέση

2 21 2 1 2

λ + 16x + x + x x >

9. Μονάδες 12


204


Α. Αν θ >0 να αποδείξετε ότι: x <θ ⇔ θ− < x < θ Μονάδες 10

Β. Να συμπληρώσετε τα κενά: (να αντιγραφούν στην κόλα αναφοράς)

α. Για κάθε α, β ∈ ισχύει: α + β ≤………

β. Αν μ, ν θετικοί ακέραιοι και α ≥0 ισχύει: μ ν α = ………

γ. Αν α < 0 και ν περιττός, τότε: xν = α ⇔ x = …….

δ. Η απόσταση των σημείων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δίνεται από τον τύπο: (ΑΒ) = …

ε. Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 έχει ρίζα x = ……..

Μονάδες 10

Γ. Να γράψετε τον ορισμό της νιοστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α.

Μονάδες 5

Θέμα 2o

Να λύσετε την εξίσωση: 5 x + 4 3 x 5 1

3 15− − −

− =x 5 4

+ 25

− −

Μονάδες 25

Θέμα 3o

Δίνεται το σύστημα: λ ∈ 2

λx + y =1 λ

λ x λ = 2y

− −

−

⎧⎨⎩

α. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες: D, Dx, Dy Μονάδες 9

β. Να λύσετε και διερευνήσετε το παραπάνω σύστημα Μονάδες 16

Θέμα 4o

Δίνεται η εξίσωση 2x2 (λ+2)x + λ = 0, όπου λ πραγματικός αριθμός. −

Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ ∈ η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές

Μονάδες 10

Β. Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης τότε:

α. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: x1 + x2 και x1 ⋅ x2 Μονάδες 5

β. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: 21 2x x⋅ + 2

1x x2⋅ = 2

Μονάδες 12


205


Α. Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, α ≠0 να αποδείξετε ότι:

x1 + x2 = βα

− , = 1 2x x⋅γα

Μονάδες 15

Β. Να συμπληρώσετε τα κενά:

α. = ……. 3α β− 3

β. Αν θ >0, τότε: x <θ ⇔……….

γ. Η απόσταση των σημείων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δίνεται από τον τύπο:

(ΑΒ) = ………….

δ. = ……………….. α βα΄ β΄

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

⎟

ε. Αν το τριώνυμο αx2 + βx + γ, α ≠0, έχει διακρίνουσα μηδέν, τότε γράφεται ως εξής:

αx2 + βx + γ = ………. Μονάδες 10

Θέμα 2ο

Να λύσετε το σύστημα: Μονάδες 25 2 2x + y + xy = 3

x + y =1

⎧⎨⎩

Θέμα 3ο

Να λύσετε την ανίσωση: 3 ≤ 2x + 3− ≤ 7 Μονάδες 25

Θέμα 4ο

Δίνεται η εξίσωση λx2 + ( )x 3 = 0 όπου λ πραγματικός αριθμός. λ 3− −

Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ ∈ − {0} η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές.

Μονάδες 10

Β. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ρίζες x1, x2 της εξίσωσης ικανοποιούν τη

σχέση: x1 + x2 > x1 x2 Μονάδες 15 ⋅


206

ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο Α. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία Α ( x 1 , y1) και Β ( x 2 , y 2 ) . Να αποδείξετε ότι η απόσταση τους δίνεται από τον τύπο:

(AB) = 22 1 2 1(x x ) + (y y )− − 2 Μονάδες 1 5

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στο τετράδιο σας την έν-

δειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση .

α. Αν α ≥ 0 και μ , ν θετικοί ακέραιοι τότε ισχύει μ μ+νν α = α

β. Αν ⎢x ⎢ = ⎢α ⎢ τότε x = α ή x = – α.

γ. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 α ≠ 0, γίνεται ετερόσημο του α , μόνο όταν είναι Δ >

0 και για τις τιμές του x, που βρίσκονται μεταξύ των ριζών .

δ. Αν α < x < β τότε το σύνολο των αριθμών x συμβολίζεται με ( α, β ) .

ε. Δίνεται το σύστημα : . αx +βy = γα΄x + β΄y = γ

⎧⎨⎩

Αν ισχύουν D = Dy = 0 και D x ≠ 0 το σύστημα είναι αδύνατο . Μονάδες 10

Θέμα 2ο

Δίνονται οι ανισώσεις: 2x 1

2−

≥ x + 1

3–

x6

και x 2 3

5⎜ − ⎜ −

+x 2

2⎜ − ⎜

<x 2 1

53⎜ − ⎜ +

α. Να λύσετε τις ανισώσεις . Μονάδες 2 0

β. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν. Μονάδες 5

Θέμα 3ο

Δίνονται οι ευθείες ε 1 , ε 2 με εξισώσεις:

( ε 1 ) : y = (λ 2 – 4λ + 5)x– 3 και ( ε 2 ) : y = (λ– 1 ) x + 1 όπου λ ∈ R

α. Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε1, ε2 να είναι παράλληλες . Μονάδες 12

β. Αν λ – 4 να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών ε 1 ,ε2 Μονάδες 13

Θέμα 4ο

Δίνεται το τριώνυμο f (x) = x2 – (λ – 2) x + λ + 1, λ∈R

α. Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο να έχει μια διπλή ρίζα Μονάδες 5

β. Να βρείτε το λ ώστε να ισχύει 21 2 1x x x x+ 2

2⋅ ⋅ = 7 0 , όπου οι x 1 , x 2 ε ί να ι ρίζες του

τριωνύμου f ( x ) . Μονάδες 10

γ. Αν λ = 3 να λύσετε την ανίσωση 2

(x 1)f (x)0

x 2x 3−

≥− −

Μονάδες 1


207

ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο Α. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 . Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα x1 + x2 και με Ρ το γινόμενο x1 ⋅ x2 των ριζών αυτών , να δείξετε ότι:

α. S = βα−

β. Ρ = γα

Μονάδες 12

Β. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Η εξίσωση xν = α , με α >0 και ν περιττό , έχει ακριβώς μια λύση την ν α β. Η ευθεία με εξίσωση y = αx + β σχηματίζει με τον άξονα των x γωνία ω , για την οποία ισχύει εφω = β. γ. Το f(x) = αx2 + βx + γ , α ≠0 , όταν Δ >0 , μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί δύο πρωτοβάθμιους παράγοντες . δ. Τα σημεία Μ(x , y) για τα οποία είναι x = 0 είναι σημεία του άξονα x΄x . ε. Για οποιουσδήποτε αριθμούς α , β και ν φυσικό ≠ 0 ισχύει: α >β ⇔ αν >βν Μονάδες 10 Θέμα 2ο

Δίνεται το σύστημα: όπου λ πραγματικός αριθμός διάφορος του 1− και του 1. λx + y =1x + λy = 1−

⎧⎨⎩

Α. Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση Μονάδες 7 Β. Να βρείτε τη μοναδική λύση (x0, y0) του συστήματος Μονάδες 9 Γ. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η τετμημένη του σημείου Μ(x0, y0) είναι μεγαλύτερη του 1 Μονάδες 9 Θέμα 3ο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + x 2− Α. Να γράψετε τη συνάρτηση απλούστερα (χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής)

Β. Να μετατρέψετε την παράσταση ( )1

7 3σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή

Γ. Να λύσετε την εξίσωση = 2 Μονάδες 9 +7 + 9 2(x 2) 2x + f(x)− −Θέμα 4ο Μια συνάρτηση f έχει γραφική παράστα-ση την παραβολή του διπλανού σχήματος. Α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα μεταβολών της συνάρτησης f Μονάδες 3 Β. Να δείξετε ότι: f(x) = x2 4x + 1 − Μονάδες 10 Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f(x) + (κ + 4)x + λ − 1 όπου κ , λ πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε κ2 <2λ. Να δείξετε ότι: α. g(x) = x2 + κx + λ Μονάδες 2 β. λ >0 Μονάδες 3 γ. Όλες οι τιμές της g είναι θετικές Μονάδες 7


208


Α. Δίνεται η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 (ε), όπου α ≠ 0.

α. Να γράψετε τη Διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (ε) και ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί η Δ , ώστε η (ε) να έχει πραγματικές ρίζες (χωρίς τεκμηρίωση) Μονάδες 3 β. Αν η εξίσωση(ε) έχει πραγματικές ρίζες, τότε να γράψετε τους τύπους των ριζών της συναρτήσει των α, β, γ (χωρίς τεκμηρίωση) Μονάδες 3 γ. Αν η εξίσωση (ε) έχει πραγματικές ρίζες ίσες τότε να γράψετε τους τύπους των ριζών της συναρτήσει των α, β (χωρίς τεκμηρίωση) Μονάδες 3 δ. Αν η εξίσωση (ε) έχει πραγματικές ρίζες ρ1, ρ2, να αποδείξετε ότι:

ρ1 + ρ2 = βα

− και = 1 2ρ ρ⋅γα

Μονάδες 8

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:

α. Έστω οι ευθείες ε1: y = α1x + β1 και ε2: y = α2x + β2, αν α1 = 2α− ⇔ ε1 // ε2

β. Για κάθε α, β >0 ισχύει: α β⋅ = α β⋅

γ. Αν α, β ομόσημοι και ν ∈ τότε ισχύει α = β ⇔ αν = βν ∗

δ. Ισχύει πάντα: α = α για κάθε α ∈ Μονάδες 8

Θέμα 2ο

Α. Για ποιες τιμές του x η παράσταση Α = x 1− είναι:

α. A = 2, β. A < 2, γ. A > 2 Μονάδες 18

Β. Να λυθεί η ανίσωση: x 1 4 5

+2 3

− −<

1 x3−

Μονάδες 7

Θέμα 3ο

Α. Να λυθεί το παρακάτω σύστημα για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℜ.

x +λy = 5 λx + 9y = 7 Μονάδες 15

Β. Αν (x0, y0) η μοναδική λύση του παραπάνω συστήματος, να βρεθεί η τιμή του λ ∈ ℜ έτσι

ώστε x0 + y0 = 2

49 λ−

Μονάδες 10

Θέμα 4ο

Δίνεται το τριώνυμο Ρ(x) = 2x + 2x 2− −

A. Να προσδιοριστεί το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου για τις διάφορες πραγματικές τιμές του x Μονάδες 9

Β. Να λύσετε την ανίσωση: 4 3

2

x + 2x 2xx 1

− −

−

2

Μονάδες 16


209


Α. Να δείξετε ότι η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο πραγματικών αριθμών α και β , ισούται

με το γινόμενο των απόλυτων τιμών τους. ( α β⋅ = α β⋅ ) Μονάδες 10

Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή

Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:

α. Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x ≥ x−

β. Αν Α(x1 , y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο , τότε η απόστασή τους

ΑΒ = 2 21 2 1 2(x x ) + (y y )− −

γ. Για κάθε θετικό αριθμό α , ισχύει μ ν α =μν α , μ και ν φυσικοί αριθμοί ≥ 2

δ. Η απόσταση δύο πραγματικών αριθμών πάνω στον άξονα των αριθμών, ισούται με

x + y

ε. Ισχύει ότι 2α = α , για κάθε πραγματικό αριθμό α . Μονάδες 15

Θέμα 2ο

Δίνεται το σύστημα:

y = 2 λx4x 4 = λy

−

− −

⎧⎨⎩

Α. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ , ώστε:

α. Το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις Μονάδες 8

β. Το σύστημα να είναι αδύνατο Μονάδες 8

Β. Για λ = 1, να βρείτε τη λύση του παραπάνω συστήματος Μονάδες 9

Θέμα 3ο

Α. Να λύσετε την ανίσωση d(x , 2) ≤ 3 Μονάδες 13

Β. Αν d(x , 2) ≤ 3 , να λύσετε την εξίσωση: x 3− = 2 x +1 Μονάδες 12

Θέμα 4ο

Δίνεται η εξίσωση: , όπου λ πραγματική παράμετρος. 2x + (λ + 3)x λ− 2

2

Α. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει για κάθε τιμή του λ δύο πραγματικές και

άνισες ρίζες . Μονάδες 10

Β. Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1) , να παραγοντοποιήσετε την παράσταση:

Κ = Μονάδες 8 3 3 2 21 2 1 2 1x x x x + x x− − ⋅ ⋅

Γ. Να βρείτε για ποια τιμή του λ , θα έχουμε Κ = 0 Μονάδες 7


210


Α. Αν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 (1)

α. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση των α, β, γ το S = x1 + x2 Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι, αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (1)

τότε η εξίσωση μετασχηματίζεται σς x2 – Sx + P = 0 Μονάδες 8

Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις

α. Αν θ > 0, τότε ⎢ x ⎢ < θ ⇔ – θ < x < θ

β. ⎢ x – 3 ⎢ > θ ⇔ x∈R – {3}

γ. Το πεδίο ορισμού της συναρτήσεως f(x) = 4x + 32x 4−

είναι το Α = [2, ∞)

δ. Το τριώνυμο f = +β (α ≠ 0) είναι αρνητικό για κάθε x ∈R αν Δ < 0 και α< 0. (x) 2αx x + γ

ε. Η απόσταση των σημείων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) είναι: (ΑΒ) = 2 22 1 2 1(x x ) (y y )− − −

Θέμα 2ο

Να βρεθούν οι τιμές του λ∈R ώστε το σύστημα:(λ 1)x (λ 3)y = 510x (λ 2)y = 3λ 2

+ − −

− − −⎧⎨⎩

α. Να έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες και να βρεθούν. Μονάδες 15

β. Να είναι αδύνατο Μονάδες 10

Θέμα 3ο

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συναρτήσεως f(x) = 22x x 4 2+ ⎢ 5 ⎟ − −

Μονάδες 25

Θέμα 4ο

Να βρεθούν οι τιμές του λ∈R ώστε η εξίσωση:(λ – 2)x2 + 4x + λ + 2 = 0

α. Να έχει μόνο μία ρίζα Μονάδες 5

β. Να έχει μία διπλή ρίζα Μονάδες 10

γ. Να μην έχει καμία ρίζα Μονάδες 10


211


Α. Να αποδείξετε ότι: x < θ ⇔ − θ <x < θ (θ >0) Μονάδες 10

Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες, όταν οι ρίζες έχουν νόημα

α. ν να β⋅ =

β. νρ μρα =

γ. ( )2α =

δ. μν α =

ε. 2α =

στ. να β = Μονάδες 6

Γ. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

α. Οι ευθείες με εξισώσεις y = α1x + β1 και y = α2x + β2 είναι παράλληλες όταν…….

β. Η ευθεία με εξίσωση y = αx +β τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο με τετμημένη ……….

και τον άξονα y΄y στο σημείο με τεταγμένες

γ. Η απόσταση των σημείων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δίνεται από τον τύπο (ΑΒ) =

Μονάδες 9

Θέμα 2ο

Να λύσετε την εξίσωση: x 1 x +2

+2 3−

= 1x 3

6−

− Μονάδες 25

Θέμα 3ο

Να λύσετε την ανίσωση: ( ) ( )2

2

2 x x 4x

x + x 6

− ⋅ −

−≤ 0 Μονάδες 25

Θέμα 4ο

Δίνεται η εξίσωση x2 + βx 2 = 0, με β ∈ και − β ≠ 1 (1)

α. Να δείξετε ότι η (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες Μονάδες 6

β. Αν ρ1, ρ2 οι ρίζες της (1) να δείξετε ότι: (ρ1+1) (ρ2+1) = β 1− − και 1 2(ρ 1)(ρ 1)− − = β 1−

Μονάδες 6

γ. Να δείξετε ότι η (1) δεν έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και − 1 Μονάδες 6

δ. Να βρείτε τον αριθμό β έτσι ώστε: 1 2

1(ρ +1)(ρ +1)

−1 2

1(ρ 1)(ρ 1)− −

= 34

−

Μονάδες 7


212


Α. Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 να αποδείξετε ότι:

1 2

γx x =

α⋅

Β. Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης 22x 6x 5− − = 0, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α. x1 + x2

β. 1 2

2 2+

x x

γ. 1 2

2 1

x x+

x x

Θέμα 2ο

Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αντίστοιχο αριθμό της

στήλης Β. (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας)

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

Α. 72 50− α. 2 2−

Β. 3

22

β. 2

Γ. 1 21 2

−

+

γ. 2 2 3−

Δ. 1 2− −1 δ. 3 4

ε. 3 2

Θέμα 3ο

Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: 2x 2x− − 3≤0 και x 4− >2

Θέμα 4ο

Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες πραγματικές τιμές της παραμέτρου λ, το σύσ-

τημα: (λ 1)x + 3y = 5x + (λ +1)y = 5

−⎧⎨⎩


213

ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο Α. Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης με α21 , xx 2αx + βx + γ = 0 0≠ , να αποδείξετε ότι:

α. 1 2β

x + x =α

− β. 1 2γ

x xα

⋅ = Μονάδες 5 + 6

Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. Έστω ( ]βα∈ ,x , τότε: Α. Β. α < x < β α x β≤ ≤ Γ. α x β≤ < Δ. α x β< ≤

Ε. τίποτε από τα προηγούμενα β. Η εξίσωση είναι 2ου βαθμού όταν: ( ) 2λ 2 x + 3x + λ 3 = 0− −

Α. Β. Γ. Δ. λ 0≠ λ 2= λ 2≠ λ 3= Ε. Μονάδες 4 λ 0>Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδει-

ξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ότι: β+α≤β+α

Αν τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση. α 0≠ αx + β = 0

Αν και 0>α 0<γ , η εξίσωση με α0xx2 =γ+β+α 0≠ έχει δύο ρίζες άνισες.

Αν α = β τότε . α = β

Αν και τότε: Μονάδες 10 α < β γ < δ α γ < β δ⋅ ⋅

Θέμα 2ο Α. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή την παράσταση:

( ) ( )22A γ−β+β−α= με γ<β<α≤0 . Μονάδες 5

Β. Να γράψετε τα παρακάτω κλάσματα με ρητό παρονομαστή:

α. 55

, β. 12

, γ. 1

5 3− Μονάδες 6

Γ. Να λυθεί η ανίσωση: ( )3 5 x 33 x x 3 3 x 7

2 55 2 10 2

− −− − − −− + − < +

Μονάδες 14 Θέμα 3ο

Δίνεται το σύστημα: ( )

(μ 2)x 5y 5x μ 2 y 5

− + =

+ + =⎧⎨⎩

α. Να αποδείξετε ότι το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση για κάθε μ 3≠ ± , την οποία και να προσδιορίσετε. Μονάδες 15 β. Να λυθεί το σύστημα όταν μ = 3. Μονάδες 5 γ. Να λυθεί το σύστημα όταν μ = –3. Μονάδες 5 Θέμα 4ο Α. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων: α. 2x +3x 4− β. 2x 2x 3− − γ. 2x 1− δ. 2x + 2

Μονάδες 12

Β. Δίνεται η συνάρτηση f με: ( )( )

( )( )2 2

2 2

x 1 x + 2f(x) =

x 2x 3 x + 3x 4

−

− − −

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 4 β. Να λύσετε την ανίσωση Μονάδες 9 f(x) 0≥


214


Α. Δείξτε ότι αν θ >0 τότε: Μονάδες 12 x θ θ x θ⎜ ⎜< ⇔ − < <

Β. Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού; Μονάδες 5

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας τη λέξη «Σωστό» η

«Λάθος» δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση:

α. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει ότι: ⎜ α+β = α + β⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

Μονάδες 2

β. Το τριώνυμο f(x) = αx2 + βx +γ με α, β, γ και α ≠ 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και

άνισες όταν β2 > 4αγ Μονάδες 2

γ. Αν για ένα γραμμικό σύστημα 2x2 ισχύει ότι D≠0 τότε το σύστημα αυτό είναι αδύνατο

Μονάδες 2

δ. Για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει ότι:x x−⎜ ⎜ ≤ x Μονάδες 2

Θέμα 2ο

Δίνεται η παράσταση 2x 3x

A = x 1 2

−

⎜ − ⎜ −

Α. Να λύσετε την εξίσωση: = 0 Μονάδες 8 x 1 2⎜ − ⎜ −

Β. Να γράψετε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α

Μονάδες 7

Γ. Να λύσετε την εξίσωση Α= 0 Μονάδες 10

Θέμα 3ο

Δίνεται το σύστημα: (k + 1)x 2y = k + 1kx ky = 1

−

−⎧⎨⎩

Α. Να βρεθούν οι τιμές του k ώστε το παραπάνω σύστημα να έχει μοναδική λύση

Μονάδες 8

Β. Να βρεθεί η μοναδική λύση (x0, y0) για τις τιμές του k που βρήκατε στο παραπά-

νω ερώτημα Μονάδες 8

Γ. Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η λύση (x0, y0) του συστήματος ικανο-

ποιεί τη σχέση ⎢x0 – y0 ⎢> 3 Μονάδες 8

Θέμα 4ο

Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = λ x2 − 2(λ-1) x + λ-3 λ ≠ 0

Α. Να βρείτε τις τιμές του λ∈ ώστε f(x) < 0 για κάθε x∈ Μονάδες 10

Β. Αν λ=3 να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)≥ –1 Μονάδες 15


215


Α. Αν α, β ∈ , να αποδείξετε ότι α β = α β⋅ ⋅ . Μονάδες 10

Β. Πότε μία συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της λέγεται γνησίως φθίνουσα; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:

α. Αν , τότε x = 1 και y = 2. x 1 y 2 0⎜ − ⎜ + ⎜ − ⎜=

β. Η ευθεία x = –2 είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. γ. Αν το σύστημα δύο εξισώσεων που παριστάνουν ευθείες είναι αδύνατο, οι ευθείες είναι παράλληλες. δ. Η συνάρτηση f(x) = αx + β με α < 0 είναι γνησίως αύξουσα στο IR ε. Το συμμετρικό του σημείου Μ(α, β), ως προς την αρχή των αξόνων, είναι το σημείο Λ(–α, β) Μονάδες 10

Θέμα 2ο Α. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : α. x2 + 3x – 4 β. x2 – 2x –3 γ. x2 –1 δ. x2+2 Μονάδες 12

Β. Δίνεται η συνάρτηση f με : ( )( )

( )( )2 2

2 2

x 1 x + 2f(x) =

x 2x 3 x + 3x 4

−

− − −

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . Μονάδες 4 β. Να λύσετε την ανίσωση Μονάδες 9 f(x) 0≥

Θέμα 3ο

Α. Να βρεθούν οι τιμές του λ∈ ώστε το σύστημα : 2(4λ 6)x y = 3

5λx + y = 8

− − −

−

⎧⎨⎩

να είναι αδύνατο

Μονάδες 10

Β. Αν π

< ω < π2

και εφω = λ , όπου λ μία από τις τιμές του λ ∈ που βρήκατε στο προη-

γούμενο ερώτημα , να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω Μονάδες 15 Θέμα 4ο

Δίνεται η συνάρτηση f με : 2

x + 2f(x) =

x x 6− −

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της . Μονάδες 5 β. Να εξετάσετε αν είναι άρτια η περιττή . Μονάδες 8

γ. Να λύσετε την ανίσωση : 1 1

f(x) 2≥ Μονάδες 12


216


Α. Αποδείξτε ότι εάν , , τότε: α 0> α 1≠ 1 2θ , θ 0 > α 1 α 2log θ log θ+

Μονάδες 10 Β. Τι ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α ; Γ. Στις παρακάτω προτάσεις κυκλώστε Σ (εάν είναι σωστή) ή Λ (εάν είναι λάθος)

α. Εάν x y τότε > x y(0,3) (0,3)>

β. Η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική ως προς την , με τη αf(x) = log x y = x

γραφική παράσταση της , xg(x) = α (0 < α 1)≠

γ. Το πολυώνυμο είναι 3ου βαθμού για κάθε τιμή του λ. 3 2P(x) = 2λx + 5x 3x + 2−

δ. Στην εξίσωση με κάθε διαιρέτης του α0 είναι 3 2 1 03 2α x + α x + α x + α = 0 0α 0≠

και ρίζα της εξίσωσης.

ε. Ισχύει 2 α2συν = 1 + συνα2

. Μονάδες 10

Θέμα 2ο

Δίνεται το πολυώνυμο . Εάν το P(x) έχει ρίζα ένα άρτιο, θετικό ακέραιο

αριθμό ρ, τότε:

3P(x) = x αx 2− −

α. Βρείτε την τιμή του ρ. β. Εάν ρ = 2, βρείτε την τιμή του α γ. Εάν α = 3 και η διαίρεση έχει υπόλοιπο – 4, βρείτε το λ. P(x) : (x + λ)

Μονάδες 5 + 10 + 10 Θέμα 3ο

Δίνεται το πολυώνυμο . 3P(x) = x 7x 6− −

α. Να λυθεί η εξίσωση P(x) 0=

β. Να γραφεί το ως γινόμενο παραγόντων P(x)

γ. Να λυθεί η ανίσωση P(x) 0>

δ. Να λυθεί η εξίσωση 3lux luxe 7e 6− − = 0

δ. Να λυθεί η εξίσωση Μονάδες 5× 5 P(ημx) = 0

Θέμα 4ο Δίνεται το πολυώνυμο:

3λ+ λ 1 4 3 2 32P(x) = (4 12 2 x (λ+1)x (1+logα)x (2 + logα x 6) )−− ⋅ − + − − με λ και . R∈ α 0>

α. Εάν το είναι 3ου βαθμού, να βρεθεί το λ P(x)

β. Εάν και το έχει παράγοντα το x + λ, να βρεθεί η τιμή του α. λ 2=− P(x)

γ. Εάν λ και α = 10, να λυθεί η εξίσωση 2=− P(x) 0=

Μονάδες 10 + 5 + 10


217


Α. Να αποδείξετε την ιδιότητα: Αν θ >0 τότε: x <θ ⇔ θ− <x <θ Μονάδες 13

Β. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος;

α. Αν θ >0 τότε x = θ ⇔ x = θ ή x = θ−

β. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2). H

απόστασή τους δίνεται από τον τύπο (ΑΒ) = 2 22 1 2 1(x + x ) + (y + y )

γ. Ισχύει 2α = α2

δ. Αν x1, x2 λύσεις της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, τότε x1 + x2 = βα

Μονάδες 12

Θέμα 2ο

Α. Να λύσετε την εξίσωση: 4 2x + 2x 24− = 0 Μονάδες 13

Β. Να λυθεί η εξίσωση: 2 x +1 = x 4− Μονάδες 12

Θέμα 3ο

Α. Να λύσετε την ανίσωση: (x 1)(x2− − 5x + 6)(x2 + x + 1) >0 Μονάδες 15

Β. Αν x1, x2 λύσεις της εξίσωσης 2x2 + 3x + 1 = 0 να υπολογίσετε τις παραστάσεις

x1 + x2 και x1·x2 Μονάδες 5

Γ. Να βρεθεί η εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς 1 και 3

2−

Μονάδες 5

Θέμα 4ο

Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του λ το σύστημα: 2λ x + λy =1

x + λy = λ

⎧⎨⎩

Μονάδες 25


218


Α. Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α; Μονάδες 10

Β. Να αποδειχτεί ότι:

αν θ >0, τότε x <θ ⇔ <x <θ Μονάδες 15 θ−

Θέμα 2ο

Να βρεθεί ο λ ώστε οι ευθείες

ε1: y + 6 = λ +1

x2

και ε2: = y 8−1 λ

x12−

να είναι παράλληλες Μονάδες 25

Θέμα 3ο

Να βρεθεί για ποιες τιμές του πραγματικού λ το σύστημα:

3

λx + 8λy = 4

x + λ y = λ

⎧⎨⎩

έχει άπειρες λύσεις και για ποιες είναι αδύνατο Μονάδες 25

Θέμα 4ο

Έστω η εξίσωση αx2 +3βx + γ = 0 με α, β, γ ∈ , α ≠ 0 και τέτοια ώστε να ισχύει:

2 2αγ β = α−

Αν ρ1, ρ2 ∈ είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + 3βx + γ = 0 με α, β, γ ∈ , α ≠ 0, να

δειχθεί ότι: = Μονάδες 25 2 21 2ρ + ρ + 9 1 27ρ ρ⋅

ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α...ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α 182 ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1 ο Α. Έστω x 1...

Documents

Transcript of ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α...ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α 182 ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1 ο Α. Έστω x 1...