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Erratum: Potentialbarriere
V0
E<V0:
Klassisch würde das Elektron an der Barriere mit 100%iger Wahrscheinlichkeitreflektiert werden.
Quantenmechanisch „durchtunnelt“ es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere
2 20 1
0 0
sinh ( 2 ( ) / )( ) (1 )
4( / )(1 / )
m V E aT E
E V E V−−
= +−
h
Tunneleffekt in Reinkultur
denn:
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T
E [eV]
Anmerkung: Das hier gezeigte Diagramm zum Tunneleffekt ersetzt das in der letztenVorlesung ersetzte fälschlich veröffentlichte Bild. Das Bild von letzter Woche zeigt das Verhalten an der Potentialstufe und nicht an der Potentialbarriere ! (V0=3eV)
Von der ebenen Welle zum Festkörper
Erinnerung an die 2. Vorlesung: Das freie Elektron: → Ebene Wellen
2 2( , ) sin( )x
x tf x t A
Tπ πλ
= −
λ
Allgemeine Wellengleichung:
Räumliche Abhängigkeit: (Schnappschuss zum Zeitpunkt t0)
00 1
22 2( , ) sin( ) sin( )x x
tx xf x t A A
Tππ π
ϕλ λ
= − = − „Wellenlänge λ“
Zeitliche Abhängigkeit: (Messung an einem Ort x0)
00 2
2 2 2( , ) sin( ) sin( )x x
x t tf x t A A
T Tπ π π
ϕλ
= − = − „Periodendauer T“
2
λλ
2 2( , ) sin( )x
x tf x t A
Tπ πλ
= −
( , ) sin( )xf x t A kx tω= − Wellenzahl k; Kreisfrequenz ω
einfachere Schreibweise
Verallgemeinerung auf 3D
( )( )( , ) sin x y zf r t A k x k y k z tω= + + −r
Komplexe Schreibweise
± ( ){ }( , ) Re( ( , )) Re expf r t f r t A i kr tω = = − r r urr%
Vorteile: - Ableitungen, Differentialgleichungen werden einfacher- Dämpfung als e-Funktion mit realem Exponenten
( )sinA kr tω= −urr
"Wellenvektor" kur
Von der ebenen Welle zum Festkörper
Quantenmechanik: Die relevante Größe, die durch die Wellengleichung beschrieben wird, ist komplex.
( )( , ) expr t A i k r tψ ω = − r urr
Wellengleichung für das Teilchen im Vakuum
λλ
Dieser Wellenansatz löst die S-Glg., sofern folgende Beziehung gilt:
2
2km
ω =h
ω
„Dispersionsrelation“
Von der ebenen Welle zum Festkörper
3
Von der ebenen Welle zum Festkörper
Für die Beschreibung von Transportphänomenen von lokalisierten Elektronen sind Wellenpakete geeigneter:
3( , ) exp( ( ))k kr t d kA i kr tψ ω= −∫ ∫ ∫r urr
( , ) exp( ( ))k kx t dkA i kx tψ ω= −∫
bzw. in 3D
Von der ebenen Welle zum Festkörper
( , ) exp( ( ))k kx t dkA i kx tψ ω= −∫Wellenpaket:
Zu unterscheiden sind:- Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit der Wellenfront einer einzelnen Welle
- Gruppengeschwindigkeit: Geschwindigkeit desSchwerpunktes der Welle
2 2p
kv
k m mω ω
= = =h h
gd k
vdk mω
= =h
4
- Wellenpaket zerfliesst im Laufe der Zeit !
- Schwerpunkt bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit
0kv
m=
h0mv p k= = hoder
free particle: applet
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpakete
Halblleiterkristalle
- chemische und physikalische Eigenschaften der Elemente sind durch ihre Elektronenkonfiguration im Grundzustand sowie durch naheliegende angeregte Zustände bestimmt
- z.B. Germanium Ge (32 Elektronen) und Silizium Si (14 Elektronen):- jeweils vier Elektronen in der äußersten Schale
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Atome in Festkörpern
- Elektronen in der äußersten Schale gehen Verbindungen mit anderenAtomen ein (kovalente Bindung, ggf. teilweise ionisch)
- Anordnung der Atome erfolgt so, dass dieGesamtenergie minimal wird
Dies ist oft gegeben, wenn eine Unterschalegefüllt wird.
Jedes Si- oder Ge-Atom geht z.B.Verbindungen mit vier weiteren Atomen ein.
kristallin polykristallin amorph
Ordnung in Festkörpern
Je nach Art der Herstellung können sich die Atome verschieden geordnet zu Festkörpern zusammenschliessen.ð Kristalle: Die Atome sind periodisch angeordnet.ð Polykristalline Festkörper: Kristalline Bereiche, aber keine Fernordnungð Amorphe Festkörper: nur Nahordnung, keine Periodizität, keine
Fernordnung.
Source: Wolfe, Holonyak, Stillman
- Halbleiterelektronik wird dominiert durch kristalline Siliziumchip- polykristalline und amorphe Halbleiter bei großflächiger und kostengünstiger Elektronik
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Ordnung in Festkörpern
Kristalliner Wafer
→ Si-Mikroelektronik
Polykristalline Si-Solarzelle
Amorphe Dünnfilmtransistoren
3D-Kristallgitter
In 3D wird die Anordnung durch drei Gittervektoren a1, a2 und a3eindeutig beschrieben.
In 3D gibt es 14 verschiedene Kristallgitter.Die Grundeinheit muss nicht ein einzelnes Atom sein.Sie kann auch eine kompliziertere Einheit aus mehreren
Atomen sein.
Source: B. Van Zeghbroeck
simple cubic (sc)body-centered cubic
(bcc)face-centered cubic
(fcc)
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Verbindungshalbleiter
Weitere Verbindungshalbleiter bilden sich ebenfalls nach der Regel, möglichst die Unterschalen zu füllen.
Dadurch entstehen IV-IV, III-V und II-VI Halbleiter.Halbleiter aus zwei Elementen nennt man binäre Halbleiter.
Halbleiter aus drei Elementen nennt man ternäre Halbleiter.ð z.B. Al1-xGaxAs
Halbleiter aus vier Elementen nennt man quarternäre Halbleiter.ð z.B. In1-xGaxAs1-yPy
SiGe
Kristallstruktur von Si und Ge
Si und Ge bilden DiamantgitterDie Diamantstruktur hat ein fcc-Gitter mit einer Einheitszelle, die aus
zwei Atomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4)a besteht. a ist die Länge der Einheitszelle.
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Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren
-für gute Transporteigenschaften isteinkristallines Material erforderlich
Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen
(TS=1415 °C)
Eintauchen eines einkristallinen Keims
einkristallines Wachstum unterZieh- und Drehbewegungen
Wachstum von einkristallinen Stäben
Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren
-für gute Transporteigenschaften isteinkristallines Material erforderlich
Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen
(TS=1415 °C)
Eintauchen eines einkristallinen Keims
einkristallines Wachstum unterZieh- und Drehbewegungen
Wachstum von einkristallinen Stäben
-Dotierung möglich durch Zugabe von hochdotierten Si-Stücken
Abbildung eines einkristallinenSi-Stabes
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Methoden der Epitaxie: MBE
Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy, MBE)
Verdampfung der Elemente aus fester Quelle im Ultrahochvakuum (10-10 mbar)
Periodische Potentiale
Periodische Anordnung von Atomen → Periodisches Potential V(x)
Ausbildung von stehenden Wellen
Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers
Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist
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Vom freien Elektron zum Kristallelektron
Dispersionsrelation des freien Elektrons
2 2
2k
Em
=h
E
a a aeinfallendesElektron
gestreuteTeilwellen
Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a
oder k=π/a
-π/a π/a
Vom freien Elektron zum Kristallelektron
a a aeinfallendesElektron
gestreuteTeilwellen
Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a
oder k=π/a
Dispersionsrelation des Kristallelektrons
Aufspaltung derParabeläste bei IkI=π/a
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Vom freien Elektron zum Kristallelektron
Dispersionsrelation des Kristallelektrons
c) Ψ*Ψ(x) obere „Bandkante“
b) Ψ*Ψ(x) untere „Bandkante“
Aufspaltung derParabeläste, Ausbildung von
stehenden Wellen
Vom freien Elektron zum Kristallelektron
Gittervektoren:
n xR na nae= =uur r uur
„Reziproker“ Gittervektor:
2xK e
aπ
=ur uur 2
n xK n eaπ
=ur uur
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Periodische Bandstruktur
Es genügt, den Bereich von -0.5K bis 0.5K darzustellen. Diesen Bereich nennt man die erste Brillouin-Zone.
Einfachere Darstellung
Gegenüberstellung freie Elektronen ↔ Bloch-Elektronen
Freie Elektronen
( ) eikrk
rΨ =rr
rr
mit
2
0
( )2k
kE
m=
h
Klassifizierung nach dem Wellenvektor:
Reduktion auf die erste Brillouin-Zone Bloch-Elektronen
Klassifizierung nach reduziertem Wellenvektor k und Bandindex n:
( ) ( )ikrnk nk
r e u rΨ =rr
rr r
( ) ( )nk nku r u r R= +rr r
(gitterperiodische Funktion)
ka
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Bloch-Elektronen
( ) ( )ikrnk nk
r e u rΨ =rr
rr r
Richtungsabhängigkeit des Potentials
Bisher haben wir nicht bedacht, dass das Potential für die verschiedenen Raumrichtungen verschieden ist.
Nehmen wir z.B. an wir haben ein 2D-Gitter. Die Atome sind entlang der X-Richtung näher zusammen als entlang der L-Richtung.
Daher erwarten wir, dass durch den unterschiedlichen Potentialverlauf auch die Energiezustände unterschiedlich sind.
Γ
LX
L: K=(1,1)
Γ: K=(0,0)
X: K=(0,1)
z.B. beim quadratischen Gitter in 2D:
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Richtungsabhängigkeit des Potentials
In der Tat zeigen Berechnungen, dass die Energiezustände richtungsabhängig sind.
Oft werden deshalb in einem Bandstruktur-Diagramm die Energiezustände für verschiedene relevante Richtungen gezeigt:
XK=(0,1)
ΓK=(0,0)
Lk=K(1,1)
Γ(0,0)
ΓL X
Bandstruktur von Silizium
Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt wieder dieAbhängigkeit von ω (bzw. E) von k an. Allerdings handelt es sich nicht mehr um einzelne ebeneWellen sondern um komplexeÜberlagerungen.
Die neuen Eigenzustände heissenBlochzustände.
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Bandstruktur von Germanium
Bandstruktur von GaAs
Ende 1.12.03
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