1

Erratum: Potentialbarriere

V0

E<V0:

Klassisch würde das Elektron an der Barriere mit 100%iger Wahrscheinlichkeitreflektiert werden.

Quantenmechanisch „durchtunnelt“ es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere

2 20 1

0 0

sinh ( 2 ( ) / )( ) (1 )

4( / )(1 / )

m V E aT E

E V E V−−

= +−

h

Tunneleffekt in Reinkultur

denn:

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

E [eV]

Anmerkung: Das hier gezeigte Diagramm zum Tunneleffekt ersetzt das in der letztenVorlesung ersetzte fälschlich veröffentlichte Bild. Das Bild von letzter Woche zeigt das Verhalten an der Potentialstufe und nicht an der Potentialbarriere ! (V0=3eV)

Von der ebenen Welle zum Festkörper

Erinnerung an die 2. Vorlesung: Das freie Elektron: → Ebene Wellen

2 2( , ) sin( )x

x tf x t A

Tπ πλ

= −

λ

Allgemeine Wellengleichung:

Räumliche Abhängigkeit: (Schnappschuss zum Zeitpunkt t0)

00 1

22 2( , ) sin( ) sin( )x x

tx xf x t A A

Tππ π

ϕλ λ

= − = − „Wellenlänge λ“

Zeitliche Abhängigkeit: (Messung an einem Ort x0)

00 2

2 2 2( , ) sin( ) sin( )x x

x t tf x t A A

T Tπ π π

ϕλ

= − = − „Periodendauer T“

2

λλ

2 2( , ) sin( )x

x tf x t A

Tπ πλ

= −

( , ) sin( )xf x t A kx tω= − Wellenzahl k; Kreisfrequenz ω

einfachere Schreibweise

Verallgemeinerung auf 3D

( )( )( , ) sin x y zf r t A k x k y k z tω= + + −r

Komplexe Schreibweise

± ( ){ }( , ) Re( ( , )) Re expf r t f r t A i kr tω = = − r r urr%

Vorteile: - Ableitungen, Differentialgleichungen werden einfacher- Dämpfung als e-Funktion mit realem Exponenten

( )sinA kr tω= −urr

"Wellenvektor" kur

Von der ebenen Welle zum Festkörper

Quantenmechanik: Die relevante Größe, die durch die Wellengleichung beschrieben wird, ist komplex.

( )( , ) expr t A i k r tψ ω = − r urr

Wellengleichung für das Teilchen im Vakuum

λλ

Dieser Wellenansatz löst die S-Glg., sofern folgende Beziehung gilt:

2

2km

ω =h

ω

„Dispersionsrelation“

Von der ebenen Welle zum Festkörper

3

Von der ebenen Welle zum Festkörper

Für die Beschreibung von Transportphänomenen von lokalisierten Elektronen sind Wellenpakete geeigneter:

3( , ) exp( ( ))k kr t d kA i kr tψ ω= −∫ ∫ ∫r urr

( , ) exp( ( ))k kx t dkA i kx tψ ω= −∫

bzw. in 3D

Von der ebenen Welle zum Festkörper

( , ) exp( ( ))k kx t dkA i kx tψ ω= −∫Wellenpaket:

Zu unterscheiden sind:- Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit der Wellenfront einer einzelnen Welle

- Gruppengeschwindigkeit: Geschwindigkeit desSchwerpunktes der Welle

2 2p

kv

k m mω ω

= = =h h

gd k

vdk mω

= =h

4

- Wellenpaket zerfliesst im Laufe der Zeit !

- Schwerpunkt bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit

0kv

m=

h0mv p k= = hoder

free particle: applet

Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpakete

Halblleiterkristalle

- chemische und physikalische Eigenschaften der Elemente sind durch ihre Elektronenkonfiguration im Grundzustand sowie durch naheliegende angeregte Zustände bestimmt

- z.B. Germanium Ge (32 Elektronen) und Silizium Si (14 Elektronen):- jeweils vier Elektronen in der äußersten Schale

5

Atome in Festkörpern

- Elektronen in der äußersten Schale gehen Verbindungen mit anderenAtomen ein (kovalente Bindung, ggf. teilweise ionisch)

- Anordnung der Atome erfolgt so, dass dieGesamtenergie minimal wird

Dies ist oft gegeben, wenn eine Unterschalegefüllt wird.

Jedes Si- oder Ge-Atom geht z.B.Verbindungen mit vier weiteren Atomen ein.

kristallin polykristallin amorph

Ordnung in Festkörpern

Je nach Art der Herstellung können sich die Atome verschieden geordnet zu Festkörpern zusammenschliessen.ð Kristalle: Die Atome sind periodisch angeordnet.ð Polykristalline Festkörper: Kristalline Bereiche, aber keine Fernordnungð Amorphe Festkörper: nur Nahordnung, keine Periodizität, keine

Fernordnung.

Source: Wolfe, Holonyak, Stillman

- Halbleiterelektronik wird dominiert durch kristalline Siliziumchip- polykristalline und amorphe Halbleiter bei großflächiger und kostengünstiger Elektronik

6

Ordnung in Festkörpern

Kristalliner Wafer

→ Si-Mikroelektronik

Polykristalline Si-Solarzelle

Amorphe Dünnfilmtransistoren

3D-Kristallgitter

In 3D wird die Anordnung durch drei Gittervektoren a1, a2 und a3eindeutig beschrieben.

In 3D gibt es 14 verschiedene Kristallgitter.Die Grundeinheit muss nicht ein einzelnes Atom sein.Sie kann auch eine kompliziertere Einheit aus mehreren

Atomen sein.

Source: B. Van Zeghbroeck

simple cubic (sc)body-centered cubic

(bcc)face-centered cubic

(fcc)

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Verbindungshalbleiter

Weitere Verbindungshalbleiter bilden sich ebenfalls nach der Regel, möglichst die Unterschalen zu füllen.

Dadurch entstehen IV-IV, III-V und II-VI Halbleiter.Halbleiter aus zwei Elementen nennt man binäre Halbleiter.

Halbleiter aus drei Elementen nennt man ternäre Halbleiter.ð z.B. Al1-xGaxAs

Halbleiter aus vier Elementen nennt man quarternäre Halbleiter.ð z.B. In1-xGaxAs1-yPy

SiGe

Kristallstruktur von Si und Ge

Si und Ge bilden DiamantgitterDie Diamantstruktur hat ein fcc-Gitter mit einer Einheitszelle, die aus

zwei Atomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4)a besteht. a ist die Länge der Einheitszelle.

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Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren

-für gute Transporteigenschaften isteinkristallines Material erforderlich

Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen

(TS=1415 °C)

Eintauchen eines einkristallinen Keims

einkristallines Wachstum unterZieh- und Drehbewegungen

Wachstum von einkristallinen Stäben

Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren

-für gute Transporteigenschaften isteinkristallines Material erforderlich

Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen

(TS=1415 °C)

Eintauchen eines einkristallinen Keims

einkristallines Wachstum unterZieh- und Drehbewegungen

Wachstum von einkristallinen Stäben

-Dotierung möglich durch Zugabe von hochdotierten Si-Stücken

Abbildung eines einkristallinenSi-Stabes

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Methoden der Epitaxie: MBE

Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy, MBE)

Verdampfung der Elemente aus fester Quelle im Ultrahochvakuum (10-10 mbar)

Periodische Potentiale

Periodische Anordnung von Atomen → Periodisches Potential V(x)

Ausbildung von stehenden Wellen

Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers

Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist

10

Vom freien Elektron zum Kristallelektron

Dispersionsrelation des freien Elektrons

2 2

2k

Em

=h

E

a a aeinfallendesElektron

gestreuteTeilwellen

Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a

oder k=π/a

-π/a π/a

Vom freien Elektron zum Kristallelektron

a a aeinfallendesElektron

gestreuteTeilwellen

Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a

oder k=π/a

Dispersionsrelation des Kristallelektrons

Aufspaltung derParabeläste bei IkI=π/a

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Vom freien Elektron zum Kristallelektron

Dispersionsrelation des Kristallelektrons

c) Ψ*Ψ(x) obere „Bandkante“

b) Ψ*Ψ(x) untere „Bandkante“

Aufspaltung derParabeläste, Ausbildung von

stehenden Wellen

Vom freien Elektron zum Kristallelektron

Gittervektoren:

n xR na nae= =uur r uur

„Reziproker“ Gittervektor:

2xK e

aπ

=ur uur 2

n xK n eaπ

=ur uur

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Periodische Bandstruktur

Es genügt, den Bereich von -0.5K bis 0.5K darzustellen. Diesen Bereich nennt man die erste Brillouin-Zone.

Einfachere Darstellung

Gegenüberstellung freie Elektronen ↔ Bloch-Elektronen

Freie Elektronen

( ) eikrk

rΨ =rr

rr

mit

2

0

( )2k

kE

m=

h

Klassifizierung nach dem Wellenvektor:

Reduktion auf die erste Brillouin-Zone Bloch-Elektronen

Klassifizierung nach reduziertem Wellenvektor k und Bandindex n:

( ) ( )ikrnk nk

r e u rΨ =rr

rr r

( ) ( )nk nku r u r R= +rr r

(gitterperiodische Funktion)

ka

13

Bloch-Elektronen

( ) ( )ikrnk nk

r e u rΨ =rr

rr r

Richtungsabhängigkeit des Potentials

Bisher haben wir nicht bedacht, dass das Potential für die verschiedenen Raumrichtungen verschieden ist.

Nehmen wir z.B. an wir haben ein 2D-Gitter. Die Atome sind entlang der X-Richtung näher zusammen als entlang der L-Richtung.

Daher erwarten wir, dass durch den unterschiedlichen Potentialverlauf auch die Energiezustände unterschiedlich sind.

Γ

LX

L: K=(1,1)

Γ: K=(0,0)

X: K=(0,1)

z.B. beim quadratischen Gitter in 2D:

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Richtungsabhängigkeit des Potentials

In der Tat zeigen Berechnungen, dass die Energiezustände richtungsabhängig sind.

Oft werden deshalb in einem Bandstruktur-Diagramm die Energiezustände für verschiedene relevante Richtungen gezeigt:

XK=(0,1)

ΓK=(0,0)

Lk=K(1,1)

Γ(0,0)

ΓL X

Bandstruktur von Silizium

Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt wieder dieAbhängigkeit von ω (bzw. E) von k an. Allerdings handelt es sich nicht mehr um einzelne ebeneWellen sondern um komplexeÜberlagerungen.

Die neuen Eigenzustände heissenBlochzustände.

15

Bandstruktur von Germanium

Bandstruktur von GaAs

Ende 1.12.03