Teoría de los Contratos

Financieros Derivados2011

Maestría en FinanzasUniversidad del CEMA

Profesor: Francisco Alberto Lepone

Asistente: Julián R. Siri

Trabajo Práctico1

A. Introducción al concepto de Arbitraje

B. Introducción a los derivados

• Definición de Arbitraje:

Una oportunidad de arbitraje es una estrategia de trading φ talque:

1.- V0(φ)=0

2.- VT(φ)≥0

3.- P[VT(φ)>0]>0

En otros términos: Una oportunidad de arbitraje representa laposibilidad de obtener una ganancia segura, sin riesgo, y sininversión.

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• ¿En qué consiste el Principio de No Arbitraje aplicado en la valuación de instrumentos derivados?

Este principio sostiene que el precio racional para el instrumentoes aquel que excluye la existencia de oportunidades de arbitraje.

• ¿Cómo se aplica el Principio de No Arbitraje en la valuación de instrumentos derivados?

- La estrategia consiste en encontrar un portafolio (o estrategia deinversión) cuyos pagos repliquen a los del activo que se deseavaluar.

- En ausencia de oportunidades de arbitraje dos activos queofrecen los mismos pagos (en cada estado de la naturaleza)deben valor lo mismo.

- Entonces el precio libre de arbitraje del activo que se deseavaluar estará dado por el valor del portafolio que lo replica.

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• ¿Qué determina el precio de un activo derivado?

En primer lugar esta determinado por dicho principio de noarbitraje, pero al igual que cualquier otro bien, también es regidopor las leyes de la oferta y la demanda.

•Si el precio lo determina la oferta y la demanda, ¿para qué sirve conocer el precio libre de arbitraje?

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Un par de consideraciones que serán útiles más adelante:

- Imagínese que el mundo fuera neutral al riesgo:

¿Cómo se comportarán los activos financieros?

¿Qué consecuencias tendría ello sobre la rentabilidad de losactivos?

- Según lo que usted ha visto y conoce, ¿son los inversoresrealmente neutrales al riesgo?

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):-Estructura de Mercado: M(t=0,1;{A,B}; Ω)

A. Introducción al concepto de Arbitraje

t = 0

Activos Precios ω = 1 ω = 2

A 35 25 50

B 27 18 40

C ¿? 20 45

t = 1

• Ejercicio A.1):

-a) ¿cuál es el precio libre de arbitraje de C?

-Estrategia:-1) Obtener el portafolio replicante

-2) Aplicar el Principio de No Arbitraje

-1) Obtener el portafolio replicante:

25QA + 18QB = 20 (para ω1)50QA + 40QB = 45 (para ω2)

Solución:QA = -0.1 (unidades de A, short)QB = 1.25 (unidades de B, long)

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-a) ¿cuál es el precio libre de arbitraje de C?

-Estrategia:-1) Obtener el portafolio replicante

-2) Aplicar el Principio de No Arbitraje

-2) El precio libre de arbitraje del activo debería ser igual alvalor del portafolio que lo replica:

PC = QAPA + QBPB = -0.1*$35 + 1.25*$27 = $30.25

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-b) ¿cuál es la tasa de interés libre de riesgo?

-Estrategia:

-1) Obtener el portafolio replicante de un activo libre de riesgo:

25QA + 18QB = 1 (para ω1)50QA + 40QB = 1 (para ω2)Solución:QA = 0.22 (unidades de A, long)QB = -0.25 (unidades de B, short)

-2) El precio libre de arbitraje del activo debería ser igual alvalor del portafolio que lo replica:

PC = QAPA+QBPB = 0.22*$35 - 0.25*$27 = $0.95$0.95=1/(1+r) => r=5.2632%

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-c) Precios de los Arrow-Debreu Securities

-Arrow-Debreu (1,0)

25QA + 18QB = 1 (para ω1)

50QA + 40QB = 0 (para ω2)Solución:

QA = 0.4, QB = -0.5

PAD(1,0) = 0.4*$35 - 0.5*$27 = $0.5

-Arrow-Debreu(0,1)

25QA + 18QB = 0 (para ω1)

50QA + 40QB = 1 (para ω2)Solución:

QA = -0.18, QB = 0.25

PAD(0,1) = -0.18*$35 + 0.25*$27 = $0.45

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-c) Continuación

-Notar que un portafolio compuesto por una unidad de cada Arrow-Debreu Security es equivalente a un activo libre de riesgo, y elvalor de aquel portafolio es exactamente igual al del activo libre deriesgo.

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-d) Replique ahora el activo en términos de los activos del punto c)y determine el precio libre de arbitraje

-1) Portafolio replicante

1*QAD(1,0) + 0*QAD(0,1) = 20 (para ω1)

0*QAD(1,0) + 1*QAD(0,1) = 45 (para ω2)

QAD(1,0) = 20

QAD(0,1) = 45

-2) ValuaciónPC = 20*$0.5 + 45*$0.45 = $30.25

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-e)

-e.1)

PAD(1,0) = $0.5, PAD(0,1) = $0.45

Notar que:

0 < q1 , q2 < 1

q1 + q2 = 1

entonces q1 y q2 pueden asociarse con medidas deprobabilidad.

A. Introducción al concepto de Arbitraje

(1,0)

1

(1,0) (0,1)

(0,1)

2

(1,0) (0,1)

$0.50.526316

$0.95

$0.450.473684

$0.95

AD

AD AD

AD

AD AD

Pq

P P

Pq

P P

• Ejercicio A.1):

-e)

-e.2) Eq(C1)

Payoff esperado de C

C = q1C1(ω1) + q2C1(ω2) =

C = 0.526316*$20 + 0.473684*$45 = $31.8421

-e.3)

$31.84217/(1+0.052632) = $30.25

EUREKA I: El precio libre de arbitraje de un activo puede obtenerse

descontando su payoff ponderado por las probabilidades artificiales, q,

a la tasa de interés libre de riesgo

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-f)

-f.1)

ω1 ω2

Payoff del call (S1-X)+ (25-35)+ = 0 (50-35)+ = 15

Portafolio Replicante:

$25QA + $1QLR = 0

$50QA + $1QLR = 15

QA = 0.6, QLR = -15

Costo del Portafolio: 0.6*$35 - 15*$0.95 = $6.75 = Valor libre de arbitraje del call.

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-f)

-f.2)

-1) Portafolio Replicante:

$25QA + $18QB = 0

$50QA + $40QB = 15

QA = ?, QB = ?-2) Valuación:

Costo del Portafolio: $35QA + $27QB = $6.75

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-f)

-f.3)

-1) Portafolio Replicante:

$1QAD(1,0) + $0QAD(0,1) = 0

$0QAD(1,0) + $1QAD(0,1) = 15

QAD(1,0) = 0, QAD(0,1) = 15 -2) Valuación:

Costo del Portafolio: 0*$0.5 + 15*0.45 = $6.75

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-f)

-f.4)

-Precio del Call =

= (0.526316*$0 + 0.473684*$15) / (1 + 0.052632) = $6.75

A. Introducción al concepto de Arbitraje

1 1 1 2 1 2

1

* *1

1 1

q q c q cE c

r r

• Ejercicio A.1):

-f)

-f.5)

PA = 35 = [q*$25 + (1-q)*$50] / (1 + 0.052632)

q = 0.526315

(1-q) = 0.473685

Notar que q y (1-q) son las mismas probabilidades que anteriormente

denotamos como q1 y q2.

EUREKA II: Las probabilidades artificiales, q1 y q2, son las que

existirían en un mundo neutral al riesgo.

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-g)

-g.1)

-1) Portafolio Replicante:

El activo podría ser replicado por un portafolio de (18-F) unidadesdel AD(1,0) y (40-F) unidades del AD(0,1)

-2) Valuación:

$0 = (18-F) unidades del AD(1,0)*$0.5 + (40-F) unidades delAD(0,1)*$0.45

F = $28.42

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-g)

-g.2)0 = [(18-F)*0.526316 + (40-F)*0.473684] / (1 + 0.05632)

F = $28.42

-g.3)F = 27*(1 + 0.052632) = $28.42EUREKA III: “El precio futuro de un activo puede obtenersesimplemente capitalizando el precio corriente del activo a la tasa deinterés”

¿Significa ello que no hay que hacer predicciones a futuro?¿No esnecesario entonces tener la bola de cristal para determinar el preciofuturo de un activo?

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.1):

-Representación Probabilística del Principio de No Arbitraje:Una generalización

En ausencia de oportunidades de arbitraje, el precio del activodebe estar dado por:

Para reflexionar:

-Si usted respondió anteriormente que no cree que el mundosea neutral al riesgo, ¿por qué funciona entonces el procedimientode valuación neutral al riesgo?

A. Introducción al concepto de Arbitraje

r T t q

t Tf e E f

• Ejercicio A.1):-Si usted reflexiona suficiente sobre este ejercicio y logra responder lapregunta anterior, habrá obtenido una ventaja de consideración para lacomprensión de los modelos de valuación de derivados que aparecenmás adelante en el curso.

-Una pregunta para que responda al final del curso:

¿Es posible que con un ejemplo tan poco real, de dos activos, dosestados de la naturaleza y un solo período de tiempo, pueda mostrarsey comprenderse la esencia de los aparentemente complejos modelos devaluación de derivados en general y de las opciones en particular?

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.2):

-Contrato Forward:

Costo/Precio Pagos

t = 0 t = T

$0 ST - F

-Portafolio Replicante:

Costo/Precio Pagos

t = 0 t = T

Long Subyacente - S0 ST

Préstamo de $Fe-rT Fe-rT - F------------------ -------------------

-S0+Fe-rT ST - F

A. Introducción al concepto de Arbitraje

• Ejercicio A.2):

-En ausencia de oportunidades de arbitraje, dos activos que paganlo mismo deben valer lo mismo:

EUREKA IV: El mismo resultado que obtuvimos anteriormente.

A. Introducción al concepto de Arbitraje

0 00 rT rTS Fe F S e

• Ejercicio B.1):

-Posiciones long y short en un forward:

short

long

F

ST

B. Introducción a los Derivados

• Ejercicio B.1):

-Posiciones long y short en un call:

long call (ST-X)+

c

c X ST

short call –(ST-X)+

B. Introducción a los Derivados

• Ejercicio B.1):

-Posiciones long y short en un put:

long put (X-ST)+

X ST

short put –(X-ST)+

B. Introducción a los Derivados

• Ejercicio B.2):-A) Ganancia (Pérdida) = QS*(F-ST)

= 100Mill de ¥($0.008 -$0.0074)=0.06Mill de $ = $60.000

-B) Ganancia (Pérdida) = QS*(F-ST)

= 100Mill de ¥ ($0.008-$0.0091)

= - 0.11Mill de $ = -$110.000

B. Introducción a los Derivados

• Ejercicio B.4):Alternativa I: Inversión en la acción

Cantidad (QS): 1 acciónInversión: S0 = $29Valor de la Inversión al vencimiento: ST

Rentabilidad: (ST-S0) / S0

Alternativa II: Inversión en opciones

Cantidad (Qc) = 10Inversión: 10u*Pc = 10*$2.9=$29Valor de la Inversión al vto.: 10*(ST-30)+

Rentabilidad: (10*(ST-30)+-S0)/S0

Identificación del punto de equilibrio

B. Introducción a los Derivados

10 * 30

10 300

33.33

T T

T T

T

S S

S S

S

• Ejercicio B.4):-Identificación del punto de equilibrio – Análisis de Escenarios Posibles:

Nota I: si ST = 33.33 (el subyacente sube un 15%):

- Riqueza Estrategia I: $33.33

- Riqueza Estrategia II: 10*(33.33 – 30)=$33.33

Nota II: Si Si el subyacente sube más de un 15%, ejemplo 30% entonces ST = 37.7)

- Riqueza Estrategia I: $37.7 (Rent. 30%)

- Riqueza Estrategia II: 10*(37.7 – 30) = $77 (Rent.165%)

Vemos cómo se potencia la rentabilidad con el call en un escenario favorable. Pero es hora de mostrar la otra cara de la moneda.

Nota III: Supongamos que el subyacente termina en $28:

- Riqueza Estrategia I: $28 (Rent. -3.45%)

- Riqueza Estrategia II: 10*(28–30)+ = $0 (Rent.-100%)

B. Introducción a los Derivados

• Ejercicio B.4):-Formalización del procedimiento en términos de rentabilidades:

Con:

Donde c = prima (o precio) del call

B. Introducción a los Derivados

0 0* *c T c c TQ S X Q c Q c S S S

0cQ S c

• Ejercicio B.4):-Formalización del procedimiento en términos de rentabilidades:

B. Introducción a los Derivados

0 0

0

0 0

0

T

0 0

11 1

por cuestiones obvias analizamos sólo el caso S :

1 1 1

30

2.9 33.33 (en ntro. ejemplo)1 1 1 1

2.9 29

TT

TT

TT T

T

S SS X c

S Sc cS S

cc

SS X

c S

X

S XS X S

c S c S c

X

cS

c S

Me pueden escribir a:

jrs06@cema.edu.ar

Las presentaciones estarán colgadas en:

www.cema.edu.ar/u/jrs06

FIN