Tema 4: Variable aleatoria.
Métodos Estadísticos
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Definición de v.a.
Definición: Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio, es decir, una función real en el espacio muestral,
X:Ω→ℜΩ→ℜΩ→ℜΩ→ℜ
Los valores de la variable aleatoria se notarán con letras minúsculas x en este caso.
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Ejemplos de v.a.
Ejemplos: Supongamos un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento lo siguiente serían v.a:
1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados dond e X puede tomar valores x=2,3,4,…,12.
2. Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y p uede tomar los valores y=0,1,2.
3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2.
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta
Definición: Se dice que una v.a. es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto numerable.
Ejemplos:– Número de caras al lanzar dos dados.– Número de cifras acertadas en un sorteo de la
lotería.
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta
Definición: Dada una v.a. discreta, X, se define la función masa de probabilidad como:
f(x)=P[X=x],para cada x∈ℜ.
Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad. Entonces:
1. f(x)≥≥≥≥0 para todo x∈ℜ2. ΣΣΣΣ x∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ f(x)=13. En general, para cualquier conjunto B,
P[X∈∈∈∈B]=ΣΣΣΣ x∈∈∈∈B f(x), donde x son los posibles valores de B
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta
Definición: Se define la función de distribución de probabilidad una v.a. discreta, X , como:
F(x)=P[X≤≤≤≤x]= ΣΣΣΣ xi ≤≤≤≤x f(x),para cada x∈ℜ.
Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces:
1. lim x→→→→-∞∞∞∞ F(x)=02. lim x→∞→∞→∞→∞ F(x)=13. F es creciente4. F es continua a la derecha
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta
Además:
1. P[X≤≤≤≤a]=F(a)=ΣΣΣΣ x ≤≤≤≤a f(x)2. P[X<a]=F(a -)=ΣΣΣΣ x <a f(x)3. P[X≥≥≥≥a]=1- F(a-)= ΣΣΣΣ x≥≥≥≥a f(x)4. P[X>a]=1- F(a)= ΣΣΣΣ x>a f(x)5. P[a < X<b]=F(b -)-F(a)6. P[a ≤≤≤≤ X<b]= F(b -)-F(a-)7. P[a < X ≤≤≤≤ b]=F(b)-F(a)8. P[a ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ b]=F(b)- F(a -)
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta
Ejemplo 1: Sea el experimento lanzar tres monedas, y sea X v.a. número de caras. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución.
Ejemplo 2: Sea el experimento sacar 2 bolas de una urna que contiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas, y sea Y v.a. número de bolas rojas. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución.
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria continua
Definición: Se dice que una v.a. es continua si el conjunto de todos los valores que puede tomar no es numerable.
Ejemplos:– Duración de una llamada a un servicio de
atención al cliente.– Tiempo que un médico tarda en atender un
paciente
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria continua
Definición: Dada una v.a. continua, X, se define la función de densidad de probabilidad de X, f(x) como aquella función tal que para cualquier a,b ∈ℜ , o a,b=± ∞,
P[a<X<b]= ∫∫∫∫b
af(x) dx,
Proposición: Sea X v.a. continua y f(x) su función de densidad de probabilidad. Entonces:
1. f(x)≥≥≥≥0 para todo x∈ℜ2. ∫∫∫∫ℜf(x)=13. En general, para cualquier conjunto de números reales B,
P[X∈∈∈∈B]= ∫∫∫∫x∈∈∈∈B f(x)
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria continua
Definición: Se define la función de distribución de probabilidad una v.a. continua, X , como:
F(x)=P[X≤≤≤≤x]= ∫∫∫∫x
-∞∞∞∞ f(t) dt,para cada x∈ℜ.
Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces:
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria continua
Ejemplo: Sea f(x)=ex-2 si x < 2 y f(x)=0 en otro caso, calcular su función de distribución.
Ejemplo: Sea el experimento lanzar una pelota en una habitación rectangular 2x4 y la puerta se encuentra en la pared de lado 2. Sea Y la v.a continua distancia a la pared de la puerta. Calcular su función de distribución y su función de densidad.
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Momentos de una v.a
Definición: Dada una v.a. X, y sea Y=g(X) un función suya, es decir una transformación de la variable. Entonces, se define la media de la función g(X) como,
E[g(X)]= ∫∫∫∫ℜ g(x)f(x) dx, si X es continua
E[g(X)]= ∑∑∑∑ℜ g(x)f(x), si X es discreta
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Esperanza matemática de una v.a
Definición: Dada una v.a. X, se define la media o esperanza matemática como,
EX = ∫∫∫∫ℜ x f(x) dx, si X es continua
EX= ∑∑∑∑ℜ x f(x), si X es discreta
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Transformación de una v.a.
Definición: Dada una v.a. X, a1,..., an constantes y g1(X),...,gn(X) funciones de la variable. Entonces,
E[a1 g1(X)+...+ an gn(X)] = a1 E[g 1(X)]+...+ an E[g n(X)]
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Varianza de una v.a.
Definición: Dada una v.a. X. Se define su varianza como,
Var[X] = E[(X-EX) 2] = E [X 2] – (EX)2
Proposición: Dada una v.a. X, y sean a,b∈ℜ. Entonces,
E[aX+b] = a E[X] + b Var[aX+b] = a 2Var[X]
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA
FIN
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