Superficie parametrizada
• Definición. Superficies parametrizadas. Una parametrizacionde una superficie es una función φ: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ3, donde Des algún dominio en ℝ2. La superficie S corresponde a lafunción φen su imagen: S = φ(D). Podemos escribir:
Φ(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
• Si φ es diferenciable o de clase C1 [que es lo mismo que decirque x(u,v), y(u,v), z(u,v) son diferenciables o funciones C1 de(u,v)], llamamos a S superficie diferenciable o C1.
Vectores tangentes a una superficie parametrizada
• Supongamos que φ es una superficie parametrizada que esdiferenciable en (uo, vo) ϵℝ2. Fijando u en uo, obtenemos unaaplicación ℝ2 → ℝ3 dado por 𝑡 → φ 𝑢𝑜, 𝑡 cuya imagen es unacurva sobre la superficie. El vector tangente a esta curva en el puntoφ(uo,vo), que denotamos por Tu, dado por:
• 𝑇𝑣 =𝜕Φ
𝜕𝑣=
𝜕𝑥
𝜕𝑣 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒊+
𝜕𝑦
𝜕𝑣 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒋 +
𝜕𝑧
𝜕𝑣 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒌
• De manera análoga, si fijamos v y consideramos la curva 𝑡 →φ 𝑡, 𝑣𝑜 , obtenemos el vector tangente a esta curva en φ (uo,vo),dado por:
• 𝑇𝑢 =𝜕Φ
𝜕𝑢=
𝜕𝑥
𝜕𝑢 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒊 +
𝜕𝑦
𝜕𝑢 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒋 +
𝜕𝑧
𝜕𝑢 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒌
• 𝑇𝑣 =𝜕Φ
𝜕𝑣=
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝒊 +
𝜕𝑦
𝜕𝑣 𝒋 +
𝜕𝑧
𝜕𝑣 𝒌
Área de una superficie parametrizada• Definición: Área de una superficie parametrizada.
Definimos el area A(S) de una superficie parametrizadapor:
• Donde 𝑇𝑢 𝑥 𝑇𝑣 es la norma de 𝑇𝑢 𝑥 𝑇𝑣. Si es un union de superficie S. su area es la suma de las areasde las S.
Área de superficie
Integral de funciones escalares sobre superficies• Definición: La integral de una función escalar sobre un superficie.
Si f(x, y, z)es una función continua con valores reales, definida sobre una superficie parametrizada S. Definimos la integral de f sobre S como:
Ejemplo 1:
• Un helicoide se define por Ф: 𝐷 ⟶ ℝ3, donde:
x= r cosθ, y= r senθ, z= θ
y D la región determinada por 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1.
• Y sea f dada por 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 + 𝑥2 + 𝑦2
• Hallar:
• Resultado: 8π/3
Ejemplo 2:
Dada la superficie z= 𝑥 + 𝑦2 definida por Ф: 𝐷 ⟶ ℝ3
D la región determinada por 0 ≤ x≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y sea f dada por 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦
Hallar: 𝑓 𝑑𝑆 = S
Resultado: (9√2)/2
Integrales de campos vectoriales sobre superficies• Definición. La integral de superficie de un campo
vectorial. Sea F un campo vectorial definido sobre S, laimagen de una superficie parametrizadaφ, denotadapor :
Se define por:
Ejemplo:
• Sea D el rectángulo en el plano Ф definido por:
0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1
Y sea S la superficie definida por la parametrizaciónФ: 𝐷 ⟶ ℝ3,dada por:
x= cosθ senФ, y= senθ senФ, z= cosФ
(Así θ y Ф son los ángulos de las coordenadas esféricas y S es la esfera unidad parametrizada por Ф). Sea r el vector posición r(x, y, z)=(xi, yj, zk). Calcular:
• Resultado: -4π
Teorema de Stokes
Introducción al teorema de Stokes
kFjFiF 321F Sea entonces:
ky
F
x
Fj
x
F
z
Fi
F
y
F
z
123123rotF
Por tanto usamos la formula :
dAy
F
x
F
y
z
x
F
z
F
x
z
z
F
y
F
s D
123123dSrotF
Por otro lado: dzFdydxdsps
32p
1 FF-dsFF Por tanto:
sdxdyF
y
z
x
z
D321 FFdSF
b
as
dtdt
dz
dt
dy
dt
dxds 321 FFFF
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Demostración del teorema de Stokes
DdA
y
x
zFF
x
y
zFF
3132
DdA
xy
zF
x
z
y
z
z
F
x
z
y
F
y
z
z
F
y
F
yx
zF
y
z
x
z
z
F
y
z
x
F
x
z
z
F
x
F 2
3
3311
2
3
3322
(6)
(7)
s
b
a
dtdz
dy
y
zFF
dt
dx
x
zFFds 3231F
dyy
zFFdx
x
zFF
c
3231
dyy
zFFdx
x
zFF
D
3231
(8)
Ejemplo #1• Demostrar para el siguiente caso en particular que el teorema de
Stokes es aplicable, donde:
Ejemplo #2
• Aplicar el teorema de Stokes para el siguiente caso en particular donde:
Teorema de Gauss
Teorema de Gauss(Divergencia)El teorema de Gauss afirma que el flujo
de un campo vectorial hacia el exteriorde una superficie cerrada es igual a la
integral de la divergencia de ese campo
vectorial sobre el volumen encerradopor la superficie. Es un resultado
paralelo a los teoremas de Stokes y
Green, en el sentido de que relacionauna integral sobre un objeto geométrico
cerrado (curva o superficie) con otra
integral sobre la región contenida.
Teorema de Gauss
Sea 𝑊 un sólido simple en el espacio R3 y 𝑆 = 𝜕𝑊 su
borde, orientado con la normal unitaria exterior 𝑛 . Sea 𝐹 un campo vectorial de clase 𝐶1. Entonces
∇ ∙ 𝐹
𝑊
𝑑𝑉 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑆
𝜕𝑊
O alternativamente:
div 𝐹
𝑊
𝑑𝑉 = (𝐹 ∙ 𝑛 )𝑑𝑆
𝜕𝑊
Demostración
Se supone que la región es de Tipo I, entonces.
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑓1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑓2(𝑥, 𝑦)} 𝐷 Es la superficie de la proyección de 𝑊 en el plano 𝑥𝑦.
Sea 𝐹 = (𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘 ), por simplicidad y para demostrar la igualdad
se supone que 𝐹 solo tiene componente en la dirección 𝑘 Aplicando el teorema fundamental del cálculo para la integral de volumen podemos decir:
𝜕𝑅
𝜕𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑥, 𝑦 − 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
𝑊
Podemos descomponer 𝑆 en tres piezas, 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 donde 𝑆1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑓1(𝑥, 𝑦)) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}, 𝑆2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑓2(𝑥, 𝑦)) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷} y 𝑆3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷, 𝜙(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝜓(𝑥, 𝑦)}. En 𝑆3 el vector normal exterior unitario 𝑛 es perpendicular al eje 𝑧 y por tanto también al campo, de modo que
(𝑅𝑘 ∙ 𝑛 )𝑑𝑆
𝑆3
= 0
Por otro lado la normal en 𝑆2 apunta hacia arriba y en 𝑆1 hacia abajo, de
modo que al realizar el producto punto de 𝑘 ∙ 𝑛 = 1 para el caso de 𝑆2 y −1 para el caso de 𝑆1.
(𝑅𝑘 ∙ 𝑛 )𝑑𝑆
𝑆2
= 𝑅𝑑𝑆
𝑆2
= 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
(𝑅𝑘 ∙ 𝑛 )𝑑𝑆
𝑆1
= − 𝑅𝑑𝑆
𝑆1
= − 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
𝑅𝑘 ∙ 𝑛 𝑑𝑆
𝑆
= 𝑅𝑑𝑆
𝑆2
− 𝑅𝑑𝑆
𝑆1
𝑅𝑘 ∙ 𝑛 𝑑𝑆
𝑆
= 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
− 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
𝑅𝑘 ∙ 𝑛 𝑑𝑆
𝑆
= [𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑥, 𝑦 )
𝐷
− 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑥, 𝑦 )]𝑑𝑥𝑑𝑦
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