Prodotto vettoriale
Dati due vettori e , il prodotto vettoriale = è un vettore che gode delle proprietà seguenti:
• il modulo di è dato da absinθ, dove θ è l’angolo minore di 180° compreso tra e
• la direzione di è perpendicolare al piano individuato da e
• il verso di è calcolato mediante diverse regole
a
b
c
θ
Si orienta la vite perpendicolarmente al piano individuato dai due vettori. Si ruota la vite nel verso che corrisponde alla rotazione del primo vettore verso il secondo. Il verso di avanzamento della vite indica il verso del prodotto vettoriale
Regola della vite destrorsa o del cavatappi:
a
b
c
La regola della mano destra• Prima formulazione
– Si dispone il pollice lungo il primo vettore
– Si dispone l’indice lungo il secondo vettore
– Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale
• Seconda formulazione (detta da alcuni Regola di Fonzie)– Si chiude a pugno la mano destra
mantenendo sollevato il pollice– Le dita chiuse a pugno devono
indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l’angolo θ di rotazione sia minore di 180°
– Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale
a
b
a × b
a
b
a × b
• ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore u in senso antiorario dell’angolo perché si sovrapponga al vettore v .
a
b
c
O
Proprietà del prodotto vettoriale
• Il modulo del prodotto vettoriale è pari all’area del parallelogramma individuato dai due vettori
a
b
θ
Precisamente, si può considerare il parallelogramma avente per lati i due vettori in esame. Indicando l’angolo convesso formato dai due vettori u,v si riconosce che l’altezza del parallelogramma relativa al lato determinato dal vettore u è data dal prodotto v*sin (confrontare la figura) per cui l’area del parallelogramma è:
Area (; ) = a.b.senq
Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli (θ=0)
Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa:
baab
Prodotto vettoriale in componenti cartesiane
Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si hanno le seguenti relazioni:
0kkijkjik
ikj0jjkij
jkikji0ii
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha che:
)bab(ak)bab(aj)bab(aiba xyyxzxxzyzzy ˆˆˆ
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
ˆˆˆ
HALLIDAY - capitolo 3 problema 19
Due vettori ed giacciono nel piano xy. I loro moduli sono
rispettivamente di 4,50 e 7,30 unità, e le loro direzioni sono
rispettivamente di 320° e 85° misurate in senso antiorario dal semiasse
positivo delle x. Quali sono i valori di e ?
x
y
O
r
320°
s
85°
2,89)sin(3204,50r
3,45)cos(3204,50r
y
x
7,27)sin(857,30s
0,636)cos(857,30s
y
x
Prodotto scalare:
18,87,272,89)(0,6363,45
)j7,27i(0,636)j2,89i(3,45sr
ˆˆˆˆ
Alternativamente, possiamo calcolare l’angolo minore di 180° fra i due vettori e sfruttare la definizione di prodotto scalare.
x
y
O
r
320°
s
85°
α
125)320(36085α
18,8)cos(1257,304,50sr
Prodotto vettoriale:
k26,90,6362,89)(7,273,45k
07,270,63602,893,45kji
sr
ˆˆ
ˆˆˆ
Alternativamente, possiamo calcolare il modulo del prodotto vettoriale con la definizione e stabilire il suo verso usando la regola della mano destra.
x
y
O
r
320°
s
85°
26,9)sin(1257,304,50sr
Applicando la regola della mano destra si può verificare che il prodotto vettoriale è diretto in verso uscente rispetto al piano del foglio, e quindi concorde con il semiasse z positivo
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