Universidad Pedaggica Nacional Francisco MoraznFsica Moderna IINormalizacin de una funcin de ondaDr. Armando EucedaPresentado or! "uan# $erreraFranclin "olano%ulio &'sar ()niga*egucigala M.D.&+ Fe,rero de -../0 02cos0xAL _ , '4 4L Lx Para en caso contrario Pro,lema!Una artcula es descrita or los valores de la funcin de onda!a1 a1Determine la constante de normalizacin A. Determine la constante de normalizacin A.,12&ul es la ro,a,ilidad de 3ue la artcula se,12&ul es la ro,a,ilidad de 3ue la artcula se encuentreentreencuentreentre

#si se mide su osicin #si se mide su osicin4 40 x 8Lx ( )x4 4L Lx - -a. Para encontrar la constante de normalizacin se o,tiene la funcin de densidad de ro,a,ilidad+ mediante la ecuacin!5uego se sustitu#e la funcin de ondaen la ecuacin anterior( ) 2, 1 x t dx ( )x 42 242cosLLxA dxL _ ,222xuLdu dxLLdudx6aciendo 6aciendoderivando derivandosustitu#end sustitu#endoo 2 424cos2LLLAudx2 xuL7 7Utilizando la identidad trigonom'trica!5a integral se uede e8resar como!21 cos 2cos2uu+2 441 cos 22 2LLLA udu+ _ ,5uego se alica la roiedad5uego se alica la roiedad distri,utiva distri,utiva2 4 44 4cos 24L LL LLAdu udu 1 1+ 1 1 ] 9 9Ver demostracin Desu's se resuelven las integrales244sin 24 2LLLA uu 1 _+ 1 , ]4242sin 224 2LLxLA xLL 1 _ _ 1 , 1+ 1 1 , ]2 xuL"eguidamente se sustitu#e el valor de"eguidamente se sustitu#e el valor de : :Evaluando los limites de integracin!2 22 2sin 2 sin 22 24 44 4 2 4 4 2L LLA L LA LL LL L 11 _ _ _ _ 11 , , 11+ + 11 11 , , ] ]2 24 2 4 2LA LA _ _ + , ,2 28 8LA LA +24LA; ;Por la ecuacinse iguala!( ) 2, 1 x t dx 24 LA 2AL 214LA< >-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x0.511.522.533.54yO# su# su gr=ca! gr=ca!24 2cosxL L _ ,( )x5uego se5uego se o,tiene! o,tiene!( ) 2, x t ( )x/ /ara4L4L4L4L2 2cos0xL L _ , '( ) x4 4L Lx en casoen caso contrario contrarioara ara24 2cos0xL L _ , '( ) x4 4L Lx en caso contrario en caso contrariocuandocuando 5?- 5?-cuando 5?- cuando 5?-2L4L0. 0.,. A6ora se calculara la ro,a,ilidad de 3ue la artcula se encuentre entre! #82 202cosLxA dxL _ ,2 8 80 0cos 24L LLAdu udu 1 1+ 1 1 ] 2 xuL0 x 8Lx "e lantea nuevamente la integral # se modi=can"e lantea nuevamente la integral # se modi=can los limites de integracin! los limites de integracin!5uego se realiza el cam,io de varia,le del inciso5uego se realiza el cam,io de varia,le del inciso anterior # se o,tiene! anterior # se o,tiene!dond dondee 00 00Desu's se resuelve la integral280sin 24 2LLA uu 1 _+ 1 , ]2 xuL8202sin 224 2LxLA xLL 1 _ _ 1 , 1+ 1 1 , ]"eguidamente se sustitu#e"eguidamente se sustitu#e el valor deel valor de 0- 0-Evaluando los limites de integracin!2 216 8LA LA +2 22 2 0sin 2 sin 22 2 08 44 8 2 4 4 2LLA L LAL LL L 11 _ _ _ _ 11 , , 11+ + 11 11 , , ] ]2104 4 2LA _ + ,2 216 8LA LA +24LA07 07Finalmente se sustitu#e el valor de A!2 22 216 8L LL L _ _ , , +4 416 8L LL L +1 14 2 +0.4092 0.41 5a ro,a,ilidad de 3ue la artcula este entre5a ro,a,ilidad de 3ue la artcula este entre ## eses 0 x 8Lx 0.41 09 09@r=camente se tiene!4L8L4L0 0.418LP x _ ,0: 0:Esta identidad trigonom'trica se uede veri=car de la siguiente manera!"e considera la frmula del ngulo do,le!2cos 2 1 2 u sen u 22 1 cos 2 sen u u 21 cos 22usen u Ver demostracin 0; 0;"e e8resa !cos 2 cos( ) u u u +cos cos u u senusenu 2 2cos u sen u ( )2 21 sen u sen u 2cos 2 1 2 u sen u 5uego or la identidad fundamental! 5uego or la identidad fundamental!2 2cos 1 sen u u + "e"e o,tiene! o,tiene!0< 0