Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Wyk lad 2
Postulaty mechaniki kwantowej
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
1 wymiar
Postulat
Stan cz ↪astki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x , t) zależna odpo lożenia cz ↪astki x oraz czasu t.
Interpretacj ↪e fizyczn ↪a ma jedynie kwadrat modu lu funkcjifalowej
ρ(x , t) = |Ψ(x , t)|2 = Ψ∗(x , t)Ψ(x , t)
określaj ↪acy g ↪estość prawdopodobieństwa zdarzenia, że wchwili t cz ↪astka znajduje si ↪e w pozycji x .
Wyrażenie π(x , t) = |Ψ(x , t)|2 dx określaprawdopodobieństwo znalezienia w chwili t cz ↪astki winfinitezymalnie ma lym przedziale [x , x + dx ]
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
1 wymiar - przyk lady
Prawdopodobieństwo znalezienia cz ↪astki w przedziale < a, b >∫ ba|Ψ(x , t)|2 dx
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
3 wymiary
Postulat
Stan cz ↪astki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(r, t) zależna odpo lożenia cz ↪astki r = (x , y , z) oraz czasu t.
Interpretacj ↪e fizyczn ↪a ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej
ρ(x , t) = |Ψ(r, t)|2
określaj ↪acy g ↪estość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili tcz ↪astka znajduje si ↪e w pozycji r.
Przyk lad
Prawdopodobieństwo tego, że czastka znajduje si ↪e wewn ↪atrzsześcianu o kraw ↪edzi 2a umieszczonego w pocz ↪atku uk laduwspó lrz ↪ednych ∫ a
−a
∫ a−a
∫ a−a|Ψ(x , y , z , t)|2 dxdydz
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
3 wymiary - przyk lad
Definicje
wspó lrz ↪ednesferyczne:
x = r sin θ cosφ
y = r sin θ sinφ
z = r cos θ
element obj ↪etości wewspó lrz ↪ednychsferycznych:
dV = r 2 sin θdrdθdφ
Prawdopodobieństwo tego, że czastkaznajduje si ↪e wewn ↪atrz kuli o promieniu R∫ 2π
0
∫ π0
∫ R0|Ψ(r , θ, φ)|2 r 2 sin θdrdθdφ
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
N cz ↪astek, 3 wymiary
Postulat
Stan cz ↪astki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(r, t) zależna od po lożeńN cz ↪astek (x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN) oraz czasu t.
Interpretacj ↪e fizyczn ↪a ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej
ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2
określaj ↪acy g ↪estość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili t:
cz ↪astka pierwsza znajduje si ↪e w pozycji (x1, y1, z1)
cz ↪astka druga znajduje si ↪e w pozycji (x2, y2, z2)
. . .
cz ↪astka N-ta znajduje si ↪e w pozycji (xN , yN , zN)
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
N cz ↪astek ze spinem, 3 wymiary
Postulat
Stan uk ladu w przestrzeni konfiguracyjno-spinowej określa funkcjafalowa Ψ = Ψ(q, t) zależna od po lożeń i spinów N cz ↪astek(x1, y1, z1, σ1, . . . , xN , yN , zN , σN) oraz czasu t.
Interpretacj ↪e fizyczn ↪a ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej
ρ(q, t) = |Ψ(q, t)|2
określaj ↪acy g ↪estość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili t:
cz ↪astka pierwsza znajduje si ↪e w pozycji (x1, y1, z1) ze spinemσ1
cz ↪astka druga znajduje si ↪e w pozycji (x2, y2, z2) ze spinem σ2
. . .
cz ↪astka N-ta znajduje si ↪e w pozycji (xN , yN , zN) ze spinem σN
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Warunki porz ↪adności funkcji falowej
Funkcja falowa:
ma interpretacj ↪e probabilistyczn ↪a
musi spe lniać równanie różniczkowe II rz ↪edu (równanieSchrödingera)
Wniosek
Musimy narzucić na funkcj ↪e falow ↪a warunki:
skończoności
unormowania
ci ↪ag lości (wraz z pierwsz ↪a pochodn ↪a)
fizycznej jednoznaczności
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Zasada superpozycji stanów
Postulat
Jeśli Ψ1,Ψ2, . . . opisuj ↪a dozwolone stany uk ladu, to ich dowolnakombinacja liniowa
Ψ =∑i
CiΨi = C1Ψ1 + C2Ψ2 + . . .
również opisuje dozwolony stan uk ladu, w którymprawdopodobieństwo zaobserwowania stanu opisanego przez Ψiwynosi
Pi = |Ci |2 .
Unormowanie wymaga, żeby∑i
Pi =∑i
|Ci |2 = 1
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Symetria permutacyjna funkcji falowej
Sens fizyczny, czyli wartość |Ψ|2 nie może zależeć odsubiektywnego ponumerowania cz ↪astek nieodróżnialnych.
|ψ(q1, q2, . . . , qi , ..., qj , ...qN)|2 = |ψ(q1, q2, . . . , qj , ..., qi , ...qN)|2
Wniosek
ψ(q1, q2, . . . , qi , ..., qj , ...qN) = eiφψ(q1, q2, . . . , qj , ..., qi , ...qN)
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Bozony i fermiony
Postulat
Dla uk ladu bozonów
ψ(q1, q2, . . . , qi , ..., qj , ...qN) = ψ(q1, q2, . . . , qj , ..., qi , ...qN).
Dla uk ladu fermionów
ψ(q1, q2, . . . , qi , ..., qj , ...qN) = −ψ(q1, q2, . . . , qj , ..., qi , ...qN)
fermiony: elektrony, protony, neutrony, j ↪adra o nieparzystejliczbie nukleonów
bozony: fotony, j ↪adra o parzystej liczbie nukleonów
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Zakaz Pauliego
Wniosek
G ↪estość prawdopodobieństwa znalezienia dwóch identycznychfermionów w tym samym miejscu w przestrzeni i z t ↪a sam ↪awspó lrz ↪edn ↪a spinow ↪a wynosi 0.
Wniosek
Dwa identyczne bozony lub dwa identyczne fermiony różni ↪ace si ↪ewspó lrz ↪edn ↪a spinow ↪a mog ↪a znajdować si ↪e w tym samym miejscu wprzestrzeni.
nadprzewodnictwo
kondensacja Bosego-Einsteina
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Operatory w mechanice kwantowej
Postulat
Każdej wielkości mechanicznej A przyporz ↪adkowany jest operatorkwantowomechaniczny Â. Operator ten musi być liniowy (abyspe lniać zasad ↪e superpozycji) i hermitowski (aby jego wartościw lasne by ly rzeczywiste).
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Postać operatorów kwantowomechanicznych
Regu ly Jordana
x̂ = x
V̂ (x) = V (x)
p̂x = −i~∂
∂x
r̂ = r
p̂ = −i~∇
Przyk lad
T =p2
2m
T̂ =p̂2
2m= − ~
2
2m∇2 = − ~
2
2m∆
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Wynik pojedynczego pomiaru
Postulat
W wyniku pojedynczego pomiaru w lasności mechanicznej Auzyskana może być wy l ↪acznie pewna wartość w lasna ak operatoraÂ, która odpowiada funkcji w lasnej φk spe lniaj ↪acej zagadnieniew lasne
Âφk = akφk , k = 1, 2, . . .
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Degeneracja
Definicja
Jeżeli zbiór g funkcji w lasnych (liniowo niezależnych) operatora Âspe lnia równanie w lasne dla tej samej wartości w lasnej
Âφ(m)k = akφ
(m)k , m = 1, 2, . . . , g ,
to tak ↪a wartość w lasn ↪a określamy jako g -krotnie zdegenerowan ↪a, astany odpowiadaj ↪ace tym funkcjom w lasnym określamy jako stanyzdegenerowane.
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Ortogonalizacja
Twierdzenie
Funkcje w lasne odpowiadaj ↪ace różnym wartościom w lasnym s ↪aortogonalne, funkcje dla stanów zdegenerowanych nie musz ↪a byćortogonalne, ale zawsze możemy je zortogonalizować.
Popularne metody ortogonalizacji:
ortogonalizacja Grama-Schmidta:
〈φ1|φ2〉 = S ; φ′1 = φ1, φ2 = φ2 − Sφ1
ortogonalizacja symetryczna (symetryczny obrót wektorów)
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Zupe lność zbioru funkcji w lasnych
Twierdzenie
Zbiór funkcji w lasnych operatora kwantowomechanicznego Â
Âφk = akφk , k = 1, 2, . . .
jest zbiorem zupe lnym funkcji, tzn. dowoln ↪a funkcj ↪e stanu możnarozwin ↪ać w szereg funkcji w lasnych tego operatora
Ψ =∑i
ciφi |Ψ〉 =∑i
ci |φi 〉
Pojedynczy pomiar wielkości A w stanie opisanym funkcj ↪a Ψ dajewartość ai odpowiadaj ↪ac ↪a funkcji φi z prawdopodobieństwem |ci |
2.
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Wartość średnia
Twierdzenie
Wynik średni (spodziewany) wielkiej liczby pomiarów wielkościfizycznej A przeprowadzony na wielu uk ladach w tym samym staniepocz ↪atkowym opisanym funkcj ↪a falow ↪a Ψ wynosi
Ā =〈
Ψ|Â|Ψ〉
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Notacja Diraca
ψ ≡ |ψ〉 wektor
∫ψ∗φdτ ≡ 〈ψ|φ〉 iloczyn skalarny
∫ψ∗Âφdτ ≡
〈ψ|Âφ
〉≡〈ψ|Â|φ
〉iloczyn skalarny
P̂(|ψ〉) = |ψ〉 〈ψ| operator rzutowy w kierunku |ψ〉
1 =∑
i |ψi 〉 〈ψi | spektralny rozk lad jedynkiχ =
∑i |ψi 〉 〈ψi |χ〉 =
∑i |ψi 〉Ci
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Jednoczesna mierzalność
Dwie wielkości A i B s ↪a jednocześnie ostro mierzalne wtedy itylko wtedy, gdy odpowiadaj ↪ace im operatory komutuj ↪a.
Zasada nieoznaczoności dla jednoczesnych pomiarów wielkościfizycznych A i B:
σ2Aσ2B −
1
4
〈Ψ|[Â, B̂
]|Ψ〉2
Przyk lad
[x̂ , p̂x ] = i~, σ2xσ2px 1
4~2
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Spin cz ↪astek elementarnych
Postulat
Cz ↪astki elementarne posiadaj ↪a wewn ↪etrzny moment p ↪edunazywany spinem S = (Sx ,Sy ,Sz). Wielkości ostro mierzalne to:
kwadrat d lugości|S|2 = s(s + 1)~2
jedna ze sk ladowych
Sz = ms~, ms = −s,−s + 1, . . . , s − 1, s
ca lkowite s: bozony
po lówkowe s: fermiony
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Wspó lrz ↪edna spinowa
Postulat
Cz ↪astka o spinowej liczbie kwantowej s posiada dodatkowyspinowy stopień swobody i zwi ↪azan ↪a z nim wspó lrz ↪edn ↪aspinow ↪a σ.
Wspó lrz ↪edna spinowa ma charakter dyskretny i możeprzyjmować jedn ↪a z 2s + 1 wartości: −s,−s + 1, . . . , s − 1, s
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Spin elektronu
s =1
2
ms = −1
2,
1
2
σ = −12,
1
2
|S|2 = 34~2
Sz = −1
2~,
1
2~
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Funkcje spinowe
α(σ) =
{1, σ = 120, σ = −12
|α〉 =(
10
)β(σ) =
{0, σ = 121, σ = −12
|β〉 =(
01
)
Uk lad ortonormalny:
〈α|α〉 = 〈β|β〉 = 1〈α|β〉 = 0
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Operatory spinowe
Ŝx =12~σ̂x , Ŝy =
12~σ̂y , Ŝz =
12~σ̂z
σ̂x =
(0 11 0
)σ̂y =
(0 −ii 0
)σ̂z =
(1 00 −1
)
Ŝz |α〉 = 12~ |α〉Ŝz |β〉 = −12~ |β〉
~−1(
Ŝx ± i Ŝy)
=?
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Spin uk ladu cz ↪astek
ca lkowity spin: suma (wektorowa) spinów poszczególnychcz ↪astek
|S|2 = S(S + 1)~2
Sz = Ms~Ms = −S ,−S + 1, . . . ,S − 1, Sżadne wzbudzenie nie może przeprowadzić nieelementarnegobozonu w fermion a fermionu w bozon
uk lady z lożone z parzystej liczby fermionów s ↪a bozonami
uk lady z lożone z nieparzystej liczby fermionów s ↪a fermionami
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Stany singletowe i trypletowe
Uk lad dwóch elektronów:
s1 = s2 =12 ,ms1 = −
12 ,
12 ,ms2 = −
12 ,
12
stan singletowy uk ladu: S = 0,Ms = 0
stan trypletowy uk ladu: S = 1,Ms = −1, 0, 1k ↪at mi ↪edzy spinami elektronów:
singlet: 180◦, spiny antyrównoleg letryplet: 70.52◦, spiny ”równoleg le”
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Równanie Schrödingera zależne od czasu
Postulat
Swobodn ↪a ewolucj ↪e w czasie stanu kwantowomechanicznegowyznacza równanie Schrödingera zależne od czasu
ĤΨ(q, t) = i~∂Ψ(q, t)
∂t
równanie dyfuzji w urojonym czasie
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Ewolucja stanu w czasie
Znajomość hamiltonianu i funkcji falowej w danej chwili pozwalawyznaczyć dalsz ↪a ewolucj ↪e
Ψ′ = exp
(− it~
Ĥ
)Ψ
Twierdzenie
W trakcie ewolucji:
zachowana jest norma funkcji falowej
jeżeli hamiltonian nie zależy od czasu, to zachowana jestśrednia wartość energii
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Stany stacjonarne
Definicja
Stanem stacjonarnym nazywamy stan, w którym N-cz ↪astkowag ↪estość prawdopodobieństwa nie zmienia si ↪e w czasie:ρ(q, t) = |Ψ(q, t)|2 = ρ(q)
stany stacjonarne s ↪a możliwe tylko dla uk ladów zhamiltonianem niezależnym od czasufunkcja falowa dla stanów stacjonarnych musi mieć postaćΨ(q, t) = ψ(q)f (t) z czynnikiem zależnym od czasu o modulejednostkowym
Twierdzenie
Funkcja falowa stanu stacjonarnego ma postać
ΨE (q, t) = ψE (q) exp(−it E~
), gdzie cz ↪eść niezależna od czasu
wynika z zagadnienia w lasnego hamiltonianu ĤψE = EψE . Energiastanu stacjonarnego jest ostro zadana i wynosi E .
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Superpozycja stanów stacjonarnych
Ψ =k∑
i=1
ciΨi
Twierdzenie
Kombinacja liniowa k funkcji stanów stacjonarnychodpowiadaj ↪acych tej samej energii E jest funkcj ↪a stanustacjonarnego o energii E .
Twierdzenie
Kombinacja liniowa k funkcji stanów stacjonarnych, z którychprzynajmniej jeden nie odpowiada tej samej energii co pozosta le,nie jest funkcj ↪a stanu stacjonarnego.Reprezentuje ona stan onieostro zadanej energii, wyniki pojedynczych pomiarów należ ↪a dozbioru E1, . . . ,Ek , odpowiadaj ↪ace im prawdopodobieństwa zadanes ↪a kwadratami modu lów wspó lczynników kombinacji.
Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja
Perturbacje, z lota regu la Fermiego
Ψm,Ψk : stany stacjonarne - odpowiednio pocz ↪atkowy ikońcowy
V̂ (x , t) = v̂(x) exp (±iωt): periodyczna perturbacja, naprzyk lad pole elektryczne oscyluj ↪ace z cz ↪estości ↪a ω
vkm = 〈Ψk |v̂(x)|Ψm〉wkm: prawdopodobieństwo (na jednostk ↪e czasu) przej́scia zestanu pocz ↪atkowego do końcowego
Twierdzenie
wkm = |vkm|22π
~δ (Ek − Em ± ~ω)
StanSuperpozycjaNieodróznialnoscOperatoryWyniki pomiarówSpinEwolucja
Top Related