Laplace Transform
Pengantar Matematika
Teknik Kimia
Muthia Elma
Penemu
Pierre-Simon LAPLACE
1749 – 1827
Ahli Matematika dari Perancis
Laplace Transform
Rumus lain…..
ωσ
π
σ
σ
js
dsesXj
tx
dtetxsX
j
j
st
st
+=
=
=
∫
∫∞+
∞−
∞
−
).(2
1)(
).()(0
• X(s) = [x(t)]
• x(t) = -1[X(s)]
Konsep variabel kompleks
• Variabel kompleks « s »
mempunyai dua komponen :1. Komponen nyata « s »
2. Komponen khayal « ω »
Secara grafis…..
• Komponen nyata « s » dinyatakan
dengan sumbu s pada arah
horizontal
• Komponen khayal di ukur
sepanjang sumbu vertikal ω
Perhatikan gambar berikut
Gambar bidang kompleks « s »
• Gambar diatas menggambarkan
bidang kompleks s pada titik
sembarang s = s1 yang ditentukan
oleh koordinat = 1 atau ω = ω1
• Secara sederhana s1 = 1 + j ω1
• Fungsi G(x) merupakan fungsi
variabel kompleks s, jika setiap nilai
s terdapat satu atau lebih nilai G(x)
• Karena s memiliki bagian yang
nyata dan khayal, maka fungsi G(s)
juga dikatakan bagian yang nyata
dan khayal
G(s)=Re G(s) + j Im G(s)
Re G(s) : bagian nyata dari G(s)
Im G(s) : bagian khayal dari G(s)
Pemetaan nilai tunggal dari bidang s ke bidang G(s)
Teorema Laplace
• Penggunaan transformasi Laplace
dalam berbagai hal disederhanakan
dengan memanfaatkan sifat-sifat
trans-j formasi.
• Sifat-sifat ini dinyatakan dengan
teorema berikut, dengan tidak
memberikan bukti.
Teorema 1. Perkalian dengan suatu Konstanta
• Misal k adalah suatu konstanta dan
F(s) adalah transformasi Laplace
dari f(f).
Teorema 2. Penjumlahan dan Pengurangan
Teorema 3. Diferensiasi
• Misal F(s) adalah transformasi
Laplace dari f(t) dan f(O) adalah
limit dari f(t) dengant mendekati 0.
• Tranformasi Laplace dari turunan
f(t) terhadap waktu adalah
Bentuk umum untuk turunan berorde lebih tinggi dari f(t),
Teorema 4. Integrasi
• Transformasi Laplace dari intergral
pertama f(t) terhadap waktu adalah
transformasi Laplace dari f(f) dibagi
dengan s; yaitu,
Untuk integrasi orde ke n,
Teorema 5. Pergeseran terhadap Waktu
• Transformasi Laplace dari f(f) yang ditunda dengan waktu T adalah samadengan transformasi Lapace f(f) dikalikan dengan e-Ts;
• Dengan us(t-T) menyatakan fungsiundak satuan yang digeser terhadapwaktu ke kanan sebesar T.
Teorema 6. Teorema nilai awal
• Jika transformasi laplace f(t) adalah
F(s), dan jika
limitnya ada
Teorema 7. Teorema nilai akhir.
• Jika transformasi (t) adalah F(s),
dan sF(s) analitis pada sumbu
khayal dan berada pada bagian
kanan bidang s,
Teorema 8. Pergeseran Kompleks
• Transformasi Laplace dari f(t) yang
dikalikan dengan e±ar, dengan a
merupakan suatu konstanta, akan
sama dengan transformasi Laplace,
dengan s diganti oleh s
Teorema 9. Konvolusi Nyata (Perkalian Kompleks)
• Misal F1(s) dan F2(s) adalah
transformasi Laplace dari /j(t)
dan/2(f), dan /1(t) = 0,
• /2(t) = 0, untuk t < 0 ,
Transformasi Laplace
Re(s)>0u(t) Sin 0t
Re(s)>0u(t) Cos 0t
Re(s)+Re(a)>0e-at u(t)
Re(s)>0tn u(t)
Re(s)>0u(t)
Semua s1(t)
ROCX(s)x(t)
Sifat-sifat Transformasi Laplace
X(s) Y(s)x(t) * y(t)Konvolusi waktu
X(s+a)e-at x(t)Geseran
frekuensi
e-sa X(s)x(t-a)Geseran waktu
x(at)Penskalaan
a X(s) + b Y(s)a x(t) + b y(t)Kelinearan
X(s)x(t)Sifat
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Untuk TL dua
sisi
Diferensiasi
waktu
(-t)n x(t)Diferensiasi
frekuensi
x(t) y(t)
Konvolusi
frekuensi
(modulasi)
X(s)x(t)Sifat
Sifat-sifat Transformasi Laplace
X(s)x(t)Sifat
Teorema nilai
akhir
Teorema nilai
awal
Integrasi waktu
Pecahan Parsial X(s)
• Derajat P(s) < derajat Q(s)
)(
)()(
sQ
sPsX =
• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan
penyebutnya berbentuk polinomial
Pecahan Parsial X(s)
• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
nk
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
AsX
pspsps
sPsX
kps
k
n
n
n
k
,...2,1
)().(lim
)(...
)()()(
))...()((
)()(
2
2
1
1
21
=
+=
+++
+=
+++=
−→
tp
n
tptp neAeAeAtx −−− +++= ...)( 21
21
x(t) menjadi :
Pecahan Parsial X(s)
• Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat
diselesaikan secara khusus yang menghasilkan
x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus
Pecahan Parsial X(s)
• Q(s) mempunyai akar rangkap
kk
k
ps
rk
pslr
lr
kl
kps
k
n
n
r
r
nr
sXpsds
d
lrA
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
A
ps
A
ps
AsX
pspsps
sPsX
−=−→−
−
−→
+
−=
+=
+++
++
+++
++
+=
+++=
)(.)(lim)!(
1
)().(lim
)(...
)(
)(...
)()()(
))...(()(
)()(
2
2
1
1
21
12
1
11
21
Transformasi Laplace
• Contoh soal
0
2)(
32
2
1)(
2
1
3)2)(1(
4
22)3)(1(
4
2
3
1)3)(2(
4
321)(
)3)(2)(1(
4)(
3
212
23
21
23
3
2
1
321
>
+−=
++
+−
+=
=−=++
+=
−=−=++
+=
=−=++
+=
++
++
+=
+++
+=
−−−
t
eeetx
ssssX
sss
sA
sss
sA
sss
sA
s
A
s
A
s
AsX
sss
ssX
ttt
Contoh soal.....
1
2
1
2
1
)22(
2)2()()(
)22(
)()22()(
22)(
)22(
1)(
3
2
1
2
131
2
21
2
32
2
1
2
321
2
−=
−=
=
++
++++=
++
++++=
++
++=
++=
A
A
A
sss
AsAAsAAsX
sss
AsAsssAsX
ss
AsA
s
AsX
ssssX
Transformasi Laplace
0
)()()(
1)1(
1
2
1
1)1(
1
2
1)(
1)1(
2
2
1)(
22
1)(
21
21
21
2222
21
22
21
2
21
21
>
−−=
++−
++
+−=
++
+−=
++
+−=
−−
t
tSinetCosetx
ss
s
ssX
s
s
ssX
ss
s
ssX
tt
Transformasi Laplace
0
2)(
)2(
2
2
1
1
1)(
221)!22(
1
12)1(
1
21)!12(
1
11)2(
)2(21)(
)2)(1()(
22
2
12
211
21
2
12111
2
>
++−=
++
++
+
−=
=−=+−
=
=−=+
=−=+−
=
−=−=+
=
++
++
+=
++=
−−−
t
teeetx
ssssX
ss
sA
ssss
s
ds
dA
ss
sA
s
A
s
A
s
AsX
ss
ssX
ttt
Transformasi Laplace
21)0(
1)0(
0,)(
3107
=
=
>=
+=++
−•
−
−
••••
y
y
tetx
dengan
xxyyy
t
[ ]
[ ] [ ]
( ) ( )
( ) ( )
ttttt
s
s
eeeeety
ssssssY
ss
s
sss
ssY
ss
s
sss
ssY
ss
ssY
ssssYss
sXsssYss
sXssXsYssYssYs
masukanadabelumkarenaxexwalaupun
sXxssXsYyssYysysYs
−−−−−
+
+
−+
−−−−
++−−=
++
++
+
−+
+
−+
+=
++
++
+++
+=
++
++
+++
+=
++
++=
++=−−++
+=−−++
+=+−+−−
===
+−=+−+
−−
25
211
61
31
21
25
211
61
31
21
215
2
215
2
2
215
)1(
)3(
212
212
212
0
.2
)(
)5()2()5()2()1()(
)5)(2()5)(2)(1(
)3()(
)107()107)(1(
)3()(
107)(
1
137)(107
)(37)(107
)(3)()(101)(7)(
0)0(,1)0(
)(3)0()()(10)0()(7)0()0()(
Top Related