MAT-3457 — P1 — 2017
GABARITO
Q9 Pela fórmula de projeção ortogonal, a resposta é λ~v, onde
λ =(~v + 2~w +~z).~v
‖~v‖2 .
Calculando
λ =19(~v.~v + 2~w.~v +~z.~v) =
19(‖~v‖2 + 2‖~w‖‖~v‖ cos(π/3) + 0) =
19(9 + 6 + 0) =
53
.
Resposta (a).
Q10 Os três vetores são LD (ou seja coplanares), ou seja existem dois vetores entre os três(que chamare-mos de~a e~b) tais que~v, ~w,~z sejam combinações lineares de~a e~b. Segue que os vetores~v− ~w,~v +
3~z, ~w− 2~z também são combinações lineares de~a e~b, portanto são coplanares, ou seja, LD. Umoutro método: usar regras sobre soma de colunas em determinantes para mostrar que o determi-nante da matriz das coordenadas de~v, ~w,~z é igual a 0 para mostrar que o determinante da matrizdas coordenadas de~v− ~w,~v + 3~z, ~w− 2~z é igual a 0. (I) é verdadeira.
(II) é falsa, exemplo: ~v = (1, 0, 0), ~w = (0, 1, 0),~z = (0, 1, 0).(III) é verdadeira, pois ~v e~z determinam um plano vetorial, e se ~w não é combinação linear de
~v e~z, ele não é coplanar com eles, e a família dos três vetores seria base de V3, uma contradição.Resposta (a).
Q11 (I) é falsa: o sistema deve ser indeterminado ou incompatível, e pode ser um ou outro em função
dos valores de B. Exemplo: se m = n = 2 e A =
(1 11 1
)e B =
(10
), então o sistema será
incompatível.(II) é verdadeira: nesse caso A é inversivel e AX = B equivale a X = A−1B.
(III) é falsa: exemplo: se m = 3, n = 2, A =
1 00 10 0
, a única solução X =
(xy
)do sistema
AX = 0 será X =
(00
)Resposta (a).
Q12 Usando as regras: det(Mt) = det(M), det(MN) = det(M)det(N), e det(λM) = λndet(M) (se Mfor (n, n)), temos
det(−2ABAt) = (−2)5det(A)det(B)det(A) = (−32)3(−1)3 = 288.
Resposta (a).
Q13 Temos que
~a =~v.~w‖~w‖2 ~w = −1
2~w
Escrevendo~b = α~v + β~w, teremos que
0 = ~v.~b = α~v.~v + β~w.~v = 2α− β,
e
1 =~a.~b ==12~w.~b,
logo−2 = (α~v + β~w).~w = −α + 2β.
1
Segue que α = −2/3 e β = −4/3. Logo
~b = −2/3(1, 0,−1)B − 4/3(0, 1, 1)B = (−2/3,−4/3,−2/3)B .
Finalmente x + y + z = −2/3− 4/3− 2/3 = −8/3.Resposta (a).
Q14 A condição ~v1 + β~v2 + γ~v3 =~0 equivale ao sistema
1 + 3γ = 0
−2 + 3β− 3γ = 0
−β− γ = 0
ou seja γ = −1/3 e β = 1/3. Resposta (a).
Q15 Aplicando o método de inversão de matriz por escalonamento1 0 −1 1 | 1 0 0 0−1 0 −1 1 | 0 1 0 00 2 0 1 | 0 0 1 02 0 1 0 | 0 0 0 1
L2→ L2 + L1, L4→ L4− 2L1 :
1 0 −1 1 | 1 0 0 00 0 −2 2 | 1 1 0 00 2 0 1 | 0 0 1 00 0 3 −2 | −2 0 0 1
L2→ L3, L3→ L2/2 :
1 0 −1 1 | 1 0 0 00 2 0 1 | 0 0 1 00 0 −1 1 | 1/2 1/2 0 00 0 3 −2 | −2 0 0 1
L4→ L4 + 3L3, L2→ L2/2 :
1 0 −1 1 | 1 0 0 00 1 0 1/2 | 0 0 1/2 00 0 −1 1 | 1/2 1/2 0 00 0 0 1 | −1/2 3/2 0 1
L1→ L1− L3, L3→ −L3 :
1 0 0 0 | 1/2 −1/2 0 00 1 0 1/2 | 0 0 1/2 00 0 1 −1 | −1/2 −1/2 0 00 0 0 1 | −1/2 3/2 0 1
L2→ L2− 1/2L4, L3→ L3 + L4 :
1 0 0 0 | 1/2 −1/2 0 00 1 0 0 | 1/4 −3/4 1/2 −1/20 0 1 0 | −1 1 0 10 0 0 1 | −1/2 3/2 0 1
A matriz inversa é
1/2 −1/2 0 01/4 −3/4 1/2 −1/2−1 1 0 1−1/2 3/2 0 1
Resposta (a)
2
Q16 Temos que−→CM = λ~u para algum λ a determinar. Logo−−→AM =
−→AC +
−→CM =
−→AC + λ(2
−→AB +
−→AC) = 2λ
−→AB + (1 + λ)
−→AC.
Para que M pertença à reta (AB),−−→AM deve ser paralelo a
−→AB, logo 1 + λ = 0 e λ = −1.
Resposta (a).
3
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