MAT-3457 — P1 — 2017

GABARITO

Q9 Pela fórmula de projeção ortogonal, a resposta é λ~v, onde

λ =(~v + 2~w +~z).~v

‖~v‖2 .

Calculando

λ =19(~v.~v + 2~w.~v +~z.~v) =

19(‖~v‖2 + 2‖~w‖‖~v‖ cos(π/3) + 0) =

19(9 + 6 + 0) =

53

.

Resposta (a).

Q10 Os três vetores são LD (ou seja coplanares), ou seja existem dois vetores entre os três(que chamare-mos de~a e~b) tais que~v, ~w,~z sejam combinações lineares de~a e~b. Segue que os vetores~v− ~w,~v +

3~z, ~w− 2~z também são combinações lineares de~a e~b, portanto são coplanares, ou seja, LD. Umoutro método: usar regras sobre soma de colunas em determinantes para mostrar que o determi-nante da matriz das coordenadas de~v, ~w,~z é igual a 0 para mostrar que o determinante da matrizdas coordenadas de~v− ~w,~v + 3~z, ~w− 2~z é igual a 0. (I) é verdadeira.

(II) é falsa, exemplo: ~v = (1, 0, 0), ~w = (0, 1, 0),~z = (0, 1, 0).(III) é verdadeira, pois ~v e~z determinam um plano vetorial, e se ~w não é combinação linear de

~v e~z, ele não é coplanar com eles, e a família dos três vetores seria base de V3, uma contradição.Resposta (a).

Q11 (I) é falsa: o sistema deve ser indeterminado ou incompatível, e pode ser um ou outro em função

dos valores de B. Exemplo: se m = n = 2 e A =

(1 11 1

)e B =

(10

), então o sistema será

incompatível.(II) é verdadeira: nesse caso A é inversivel e AX = B equivale a X = A−1B.

(III) é falsa: exemplo: se m = 3, n = 2, A =

1 00 10 0

, a única solução X =

(xy

)do sistema

AX = 0 será X =

(00

)Resposta (a).

Q12 Usando as regras: det(Mt) = det(M), det(MN) = det(M)det(N), e det(λM) = λndet(M) (se Mfor (n, n)), temos

det(−2ABAt) = (−2)5det(A)det(B)det(A) = (−32)3(−1)3 = 288.

Resposta (a).

Q13 Temos que

~a =~v.~w‖~w‖2 ~w = −1

2~w

Escrevendo~b = α~v + β~w, teremos que

0 = ~v.~b = α~v.~v + β~w.~v = 2α− β,

e

1 =~a.~b ==12~w.~b,

logo−2 = (α~v + β~w).~w = −α + 2β.

1

Segue que α = −2/3 e β = −4/3. Logo

~b = −2/3(1, 0,−1)B − 4/3(0, 1, 1)B = (−2/3,−4/3,−2/3)B .

Finalmente x + y + z = −2/3− 4/3− 2/3 = −8/3.Resposta (a).

Q14 A condição ~v1 + β~v2 + γ~v3 =~0 equivale ao sistema

1 + 3γ = 0

−2 + 3β− 3γ = 0

−β− γ = 0

ou seja γ = −1/3 e β = 1/3. Resposta (a).

Q15 Aplicando o método de inversão de matriz por escalonamento1 0 −1 1 | 1 0 0 0−1 0 −1 1 | 0 1 0 00 2 0 1 | 0 0 1 02 0 1 0 | 0 0 0 1

L2→ L2 + L1, L4→ L4− 2L1 :

1 0 −1 1 | 1 0 0 00 0 −2 2 | 1 1 0 00 2 0 1 | 0 0 1 00 0 3 −2 | −2 0 0 1

L2→ L3, L3→ L2/2 :

1 0 −1 1 | 1 0 0 00 2 0 1 | 0 0 1 00 0 −1 1 | 1/2 1/2 0 00 0 3 −2 | −2 0 0 1

L4→ L4 + 3L3, L2→ L2/2 :

1 0 −1 1 | 1 0 0 00 1 0 1/2 | 0 0 1/2 00 0 −1 1 | 1/2 1/2 0 00 0 0 1 | −1/2 3/2 0 1

L1→ L1− L3, L3→ −L3 :

1 0 0 0 | 1/2 −1/2 0 00 1 0 1/2 | 0 0 1/2 00 0 1 −1 | −1/2 −1/2 0 00 0 0 1 | −1/2 3/2 0 1

L2→ L2− 1/2L4, L3→ L3 + L4 :

1 0 0 0 | 1/2 −1/2 0 00 1 0 0 | 1/4 −3/4 1/2 −1/20 0 1 0 | −1 1 0 10 0 0 1 | −1/2 3/2 0 1

A matriz inversa é

1/2 −1/2 0 01/4 −3/4 1/2 −1/2−1 1 0 1−1/2 3/2 0 1

Resposta (a)

2

Q16 Temos que−→CM = λ~u para algum λ a determinar. Logo−−→AM =

−→AC +

−→CM =

−→AC + λ(2

−→AB +

−→AC) = 2λ

−→AB + (1 + λ)

−→AC.

Para que M pertença à reta (AB),−−→AM deve ser paralelo a

−→AB, logo 1 + λ = 0 e λ = −1.

Resposta (a).

3