2019

1

Prof. Wellington Lacerda

QUESTÃO 1 (Espcex (Aman) 2019) O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 3216 cm é igual a

a) 338 cm .π

b) 336 cm .π

c) 334 cm .π

d) 332 cm .π

e) 330 cm .π

QUESTÃO 2 (Espcex (Aman) 2019) Em um triângulo ABC, BC 12 cm= e a mediana relativa a esse lado mede

6 cm. Sabendo-se que a mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse triângulo?

a) 235 cm .

b) 22 35 cm .

c) 26 35 cm .

d) 235 cm .2

e) 23 35 cm . QUESTÃO 3 (Espcex (Aman) 2019) Os centros de dois círculos distam 25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e 15 cm, a medida da corda comum a esses dois círculos é a) 12 cm. b) 24 cm. c) 30 cm.

d) 32 cm. e) 26 cm.

QUESTÃO 4 (Espcex (Aman) 2019) Considere uma circunferência de centro O e raio 1cm tangente a uma reta r no

ponto Q. A medida do ângulo ˆMOQ é 30 ,° onde M é um ponto da circunferência. Sendo P o ponto da reta

r tal que PM é paralelo a OQ, a área (em 2cm ) do trapézio OMPQ é

a) 1 3 .2 8−

b) 32 .2

−

c) 31 .2

+

d) 32 .8

−

e) 3 .2

QUESTÃO 5 (Espcex (Aman) 2018) A curva do gráfico abaixo representa a função 4y log x=

A área do retângulo ABCD é a) 12. b) 6. c) 3.

d) 436log .2

e) 4log 6.

QUESTÃO 6 (Espcex (Aman) 2018) Considere dois planos α e β perpendiculares e três retas distintas r, s e t tais que r , sα β⊂ ⊂ e t .α β= ∩ Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que a) as retas r e S somente definirão um plano se

forem concorrentes com t em um único ponto. b) as retas r e S podem definir um plano paralelo à

reta t. c) as retas r e S são necessariamente concorrentes. d) se r e S forem paralelas, então elas definem um

plano perpendicular a α e .β e) o plano definido por r e t é necessariamente

paralelo a S

QUESTÃO 7 (Espcex (Aman) 2018) O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 é

a) 13 a.12

b) 7 a.6

c) 5 a.4

d) 4 a.3

e) 17 a.12

MATEMÁTICA

2019

2

QUESTÃO 8 (Espcex (Aman) 2018) A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. Considerando que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante de 0,5 mm s até que

o volume seja igual a 3500 mm , então o tempo, em segundos, que o balão leva para atingir esse volume é a) 10.

b) 3 510 .π

c) 3 210 .π

d) 310 .π

e) 3 310 .π

QUESTÃO 9

(Espcex (Aman) 2017) Determine o volume (em 3cm ) de uma pirâmide retangular de altura "a" e lados da base "b" e "c" (a, b e c em centímetros), sabendo que a b c 36+ + = e "a", "b" e "c" são, respectivamente, números diretamente proporcionais a 6, 4 e 2. a) 16 b) 36 c) 108 d) 432 e) 648 QUESTÃO 10 (Espcex (Aman) 2017) Corta-se de uma circunferência

de raio 4 cm, um setor circular de ângulo rad2π

(ver

desenho ilustrativo), onde o ponto C é o centro da circunferência. Um cone circular reto é construído a partir desse setor circular ao se juntar os raios CA e CB.

O volume desse cone, em 3cm , é igual a

a) 33π

b) 35π

c) 153

π

d) 155

π

e) 55π

QUESTÃO 11 (Espcex (Aman) 2017) Na figura, o raio da

circunferência de centro O é 25 cm2

e a corda MP

mede 10 cm.

A medida, em centímetros, do segmento PQ é

a) 252

b) 10 c) 5 21 d) 21 e) 2 21 QUESTÃO 12 (Espcex (Aman) 2017) Se o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em um círculo é 3 cm, a área do

círculo (em 2cm ) é igual a

a) 3π

b) 3π c) π d) 3 3π e) 81π

2019

3

QUESTÃO 13 (Espcex (Aman) 2016) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5 e a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em 2cm , é a) 752 b) 820 c) 1.024 d) 1.302 e) 1.504 QUESTÃO 14 (Espcex (Aman) 2016) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu 9 R,

16 então o raio da esfera mede

a) 2R3

b) 3 R4

c) 4 R9

d) 1R3

e) 9 R16

QUESTÃO 15 (Espcex (Aman) 2016) Na figura abaixo, a circunferência de raio 3 cm tangencia três lados do retângulo ABCD. Sabendo que a área deste retângulo

é igual a 272 cm , a medida do segmento EF, em cm, é igual a:

a) 3 5

b) 6 55

c) 6 5

d) 12 55

e) 12 5

QUESTÃO 16 (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio

1 cm. O volume desse cone (em 3cm ) é igual a

a) 1 .3π

b) 2 .3π

c) 4 .3π

d) 8 .3π

e) 3 .π QUESTÃO 17 (Espcex (Aman) 2014) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta

da base e a aresta lateral é 3 .3

Aumentando-se a

aresta da base em 2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm3. O volume do prisma original é

a) 318 cm .

b) 336 cm .

c) 318 3 cm .

d) 336 3 cm .

e) 340 cm . QUESTÃO 18 (Espcex (Aman) 2014) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede:

a) 3

24 cm3π

b) 3

24 cm9π

c) 2

24 cm3π

d) 2

24 cm9π

e) 3 24 cmπ

2019

4

QUESTÃO 19 (Espcex (Aman) 2014) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de 360°. Sabendo que as distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em km2, a área total que está protegida por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.

a) 232π

b) 234π

c) 3858

π

d) 195

4π

e) 529

4π

QUESTÃO 20 (Espcex (Aman) 2014) As regras que normatizam as construções em um condomínio definem que a área construída não deve ser inferior a 40% da área do lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de um lote retangular pretende construir um imóvel de formato trapezoidal, conforme indicado na figura.

Para respeitar as normas acima definidas, assinale o intervalo que contém todos os possíveis valores de x. a) [6, 10] b) [8, 14] c) [10,18] d) [16, 24] e) [12, 24] QUESTÃO 21 (Espcex (Aman) 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.

Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE, as retas AG e HI, e as retas AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente, a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes, reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas.

QUESTÃO 22 (Espcex (Aman) 2013) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será

a) 3 7 h2

b) 3 7 h3

c) 3 12 h

2

d) 3 23 h

2

e) 3 23 h

3

QUESTÃO 23 (Espcex (Aman) 2012) Considere um plano α e os pontos A, B, C e D tais que

O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em .α

O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em α e é perpendicular a AB.

O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a .α

Nessas condições, a medida do segmento CD é a) 26 cm b) 28 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 34 cm

2019

5

QUESTÃO 24 (Espcex (Aman) 2012) Considere as seguintes afirmações:

I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, então as retas ⊂1r α e ⊂2r β são sempre paralelas. II. Se α e β são planos não paralelos distintos, existem as retas 1r ⊂ α e 2r ⊂ β tal que 1r e 2r são

paralelas. III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto P, então qualquer reta de α que passa por P é

perpendicular a r. Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s) a) Somente II b) I e II

c) I e III d) II e III

e) I, II e III

QUESTÃO 25 (Espcex (Aman) 2012) Na figura abaixo, está representado um cubo em que os pontos T e R são pontos médios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede 2 cm. Assim, o volume do sólido geométrico definido pelos pontos PQRST, em 3cm , é:

a) 23

b) 43

c) 53

d) 163

e) 323

GABARITOS E RESOLUÇÕES 1. Resposta: B

Admitindo que r seja o raio da esfera concluímos que a medida da aresta do cubo é 2r, portanto podemos escrever que:

3 3 3(2r) 216 8r 216 r 27 r 3 cm.= ⇒ = ⇒ = ⇒ = Logo o volume da esfera será dado por:

3 334 r 4 3v 36 cm

3 3π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

2019

6

2. Resposta: C Considerando que BC 12 cm= e que a mediana relativa a este lado mede 6cm, podemos considerar que o triângulo ABC é retângulo em A, pois pode ser inscrito em uma semicircunferência com mostra a figura abaixo:

( )22 2 2 2

2 2 2 2 2

No ABC : x 2y 12 x 4y 144 (I)

No ANC : x y 9 x y 81 (II)

Δ

Δ

+ = ⇒ + =

+ = ⇒ + =

Fazendo (I) (II),− obtemos:

( )2

22

3y 63 y 21

x 21 81 x 2 15

= ⇒ =

+ = ⇒ = ⋅

Portanto, a área do triângulo ABC será dada por: 2y x 2 21 2 15S 6 35

2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅

3. Resposta: B

Considerando a figura acima, temos: O triângulo 1 2AO O é retângulo em A, pois:

2 2 225 15 20 .= + Logo, o segmento de medida h é altura desse triângulo.

20 15 25 h h 12⋅ = ⋅ ⇒ = Portanto, AB 2 h 24 cm.= ⋅ =

2019

7

4. Resposta: A

MN 1 1sen30 MN NQ1 2 2

ON 3 3cos30 ON MP 11 2 2

° = ⇒ = ⇒ =

° = ⇒ = ⇒ = −

Portanto, a área do trapézio OMPQ será dada por:

3 11 12 2 1 3A

2 2 8

+ − ⋅

= = −

5. Resposta: B Sendo S a área do retângulo ABCD,

( ) ( )C DS 8 2 y y= − ⋅ − C é um ponto do gráfico da função 4y log x,= logo,

2

C 43

C 2

C 2

C

y log 8

y log 2

1y 3 log 22

3y2

=

=

= ⋅

=

D Ay y= e A é um ponto do gráfico da função 4y log x,= logo,

2

A 4

A 2

A 2

A D

y log 2y log 2

1y log 221 1y y2 2

=

=

=

= ⇒ =

Assim,

( ) 3 1S 8 22 2

S 6 1S 6

= − ⋅ −

= ⋅=

2019

8

6. Resposta: B Do enunciado, temos:

Façamos r / / s. Dessa forma, é possível construir o plano γ paralelo à reta t, o que faz da alternativa [B] a alternativa verdadeira. 7. Resposta: E

1V : volume do sólido 1

2V : volume do sólido 2

2 21

21

2 22

22

a 1 aV R R2 2 2

3V R a4

a 1 aV R R2 3 2

2V R a3

π π

π

π π

π

= ⋅ + ⋅ ⋅

=

= ⋅ + ⋅

=

Sendo h a medida da altura do cilindro reto de raio R e volume 1 2V V ,+ temos:

2 2 2

2 2

3 2R h R a R a4 317R h R a12

17h a12

π π π

π π

= +

=

=

8. Resposta: E Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo volume é 3500 mm . Temos então:

3

3

33

3

4500 r3

375r

3 5r

3r 5 mm

π

π

π

π

= ⋅ ⋅

=

⋅=

= ⋅

Sendo t, o tempo em segundos, que o balão leva para atingir o volume 3500 mm nas condições dadas,

3

3

35 mm0,5 mm1s t

3t 10 s

π

π

⋅=

= ⋅

2019

9

9. Resposta: D

a 6ka b c k b 4k6 4 2

c 2k

== = = ⇒ =

=

Portanto,

6k 4k 2k 36 k 3.+ + = ⇒ =

O volume da pirâmide será dada por: b c a 12 6 18V 432

3 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

10. Resposta: C

Comprimento do arco AB (circunferência da base do cone de raio R).

2 42 R R 1cm4ππ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⇒ =

Calculando, agora, a altura do cone, temos: 2 2 2h 1 4 h 15 cm+ = ⇒ =

Logo, o volume do cone será:

2 31 15V 1 15 cm3 3

ππ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ =

11. Resposta: E

Considerando que todo triângulo inscrito numa semicircunferência, com lado coincidindo com o diâmetro, é retângulo. Temos:

2

2

2

2

2

PM 25 MQ

10 25 MQ MQ 4.

PQ MQ QN

PQ 4 (25 4)

PQ 84

PQ 2 21

= ⋅

= ⋅ ⇒ =

= ⋅

= ⋅ −

=

=

12. Resposta: A Considere um triângulo equilátero de lado a, com perímetro 3 cm e inscrito numa circunferência de raio R.

2 a 3 a 3 1 3 3R cm3 2 3 3 3

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = = =

Portanto, a área do círculo será dada por:

2

2 23A R A A cm3 3

ππ π

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

2019

10

13. Resposta: E Sejam a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo.

a b c k a 3k, b 4k e c 5k.3 4 5= = = ⇒ = = =

3k 4k 5k 48 12k 48 k 4+ + = ⇒ = ⇒ =

Portanto, a 12 cm, b 16 cm= = e c 20 cm.= Então, a área total será dada por:

( ) 2TA 2 12 16 12 20 16 20 1504 cm= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

14. Resposta: B

Considerando que x seja o raio da esfera e escrevendo que o volume da esfera é igual ao volume da água deslocada, pode-se escrever:

33 2 34 9R 27R 3x R x x R

3 16 64 4π π⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅

15. Resposta: D

AD BC 6 cmCD 6 72 CD AB 12cm

= =⋅ = ⇒ = =

No triângulo CDB, temos: 2 2 2BD 12 6 BD 6 5= + ⇒ =

Os triângulos MFO e CDB são semelhantes, portanto:

MF 3 36 6 6 56 5 MF 36 MF MF MF12 56 5 6 5 5

= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Logo: 12 5EF 2 MF EF

5= ⋅ ⇒ =

2019

11

16. Resposta: D Considerando O o centro da esfera, temos:

No triângulo AOD, temos: 2 2 2AD 1 3 AD 8cm+ = ⇒ =

8 1 4ADO ABC r cm4 r 8

Δ Δ− ⇒ = ⇒ =

Portanto, o volume V do cone será dado por: 2

2 31 1 4 8V R h 4 cm3 3 38

ππ π ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

17. Resposta: B

Volume do prisma 1: 26 a 3 h4

⋅ ⋅

Volume do prisma 2: 26 (a 2) 3 h

4⋅ + ⋅

Aumento do volume:

2 1V V 6 3 (a 1) h 108 (I)− = ⋅ + ⋅ =

a 3 h a 3 (II)h 3= ⇒ =

Substituindo (II) em (I), temos:

2

2

6 3 (a 1) a 3 108

18(a a) 108

a a 6

⋅ + ⋅ =

+ =

+ =

Resolvendo a equaçăo do segundo grau, temos a = – 3 ( năo convém) ou a = 2. a 2cm h 2 3cm,= ⇒ = portanto, o volume do prisma 1 será dado por:

2 23

16 a 3 h 6 2 3 2 3V 36cm

4 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

18. Resposta: A

360° : 12° = 30° A área total de cada gomo é a soma das áreas de um fuso esférico como as áreas de dois semicírculos.

2 2

32

30 4 4 4A 2360 2

16A 163

64 4A cm .3 3

° ⋅ ⋅ ⋅= + ⋅

°

= +

= =

π π

π π

π π

2019

12

19. Resposta:[D Admitindo x, y e z os raios das circunferências de centros A,B e C , respectivamente, temos:

x y 9y z 8x z 6

+ = + = + =

Resolvendo o sistema, temos: x 3 2, y 11 2 e z 5 2.= = = Calculando, agora, a soma das áreas de todos os círculos, temos:

2 2 227 11 5 195A km .

2 2 2 4 = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

ππ π π

20. Resposta: E Área do lote: 220 (12 18) 600 m⋅ + =

Área construída: (x 12) 20 10 x 1202

+ ⋅= +

De acordo com o enunciado, temos: 40 60600 10x 120 600 240 10x 120 360 120 10x 240 12 x 24

100 100⋅ ≤ + ≤ ⋅ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

Portanto, x [12, 24].∈ 21. Resposta: E As retas LB

e GE

são as retas suporte das diagonais GE e LB. Logo, as retas LB

e GE

são concorrentes no ponto de interseção das diagonais do bloco. Como as retas AG

e HI

são coplanares e não paralelas, segue que AG

e HI

são concorrentes. Como AD

e GK

são distintas, não têm ponto em comum e não são coplanares, temos que AD

e GK

são reversas. 22. Resposta: A Como a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone, segue que a razão entre o volume de água e a capacidade V do recipiente é tal que

22

3H 0

H 0v 1 Vv .

V 2 8 = ⇔ =

Desse modo, o volume de óleo é dado por

2H OV 7VV v V .8 8

− = − =

Portanto, quando toda a água e nenhum óleo escoar, a altura x atingida pelo óleo é tal que

33

3

7Vx x 78

V h h 8

7x h.2

= ⇔ =

⇔ =

23. Resposta: A Considere a figura.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem

2 2 2 2 2AC AB BC 6 24 612.= + = + = Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADC, encontramos

2 2 2 2CD AD AC 8 612 CD 676 26cm.= + = + ⇒ = =

2019

13

24. Resposta: D I. Falsa. 1r e 2r podem ser reversas.

II. Verdadeira. Dada uma reta 1r ,⊂ α podemos determinar 2r ,β⊂ com 1 2r r , através da projeção ortogonal

de 1r sobre .β III. Verdadeira.

25. Resposta: B Considere a figura.

Como 2TS RS 1cm,2

= = = segue que TR 2 cm.= Além disso, QS 2 2 cm.=

Portanto, o volume da pirâmide definida pelos pontos PQRST é dado por

3

1 1 TR QS(PQRST) PQ PQ3 3 2

1 2 2 2 23 24 cm .3

⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅

=

SUCESSO!!!