Numerical Differentiation and Integration

INTEGRASI NUMERIS

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Integrasi Numeris

❑ Acuan

❑ Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd

Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

◼ Chapter 15 dan 16, hlm. 459-523.

2

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Diferensial, Derivatif

xi xi +Δx

yi

yi +Δy

Δx

Δy

xi xi +Δx

yi

yi +Δy

xi

yi

(a) (b) (c)

( ) ( )x

xfxxf

x

y ii

−+=

( ) ( )x

xfxxf

x

y ii

x

−+=

→ 0lim

d

d

difference approximation

f(xi+Δx)

f(xi)

3

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Diferensial, Derivatif

( ) ( )x

xfxxf

x

y ii

−+=

( ) ( )x

xfxxf

x

y ii

x

−+=

→ 0lim

d

d

pendekatan beda (hingga)

difference approximationderivatif

( )xfyx

y==

d

d

derivatif = laju perubahan y

terhadap x

4

𝑛=0

∞𝑓(𝑛) 𝑎

𝑛!𝑥 − 𝑎 𝑛

Deret Taylor

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Diferensial

0

40

80

120

160

0 2 4 6 8 10

y

x

slope = dy/dx

0

6

12

18

24

0 2 4 6 8 10

dy/d

x

x

5.15xy =

5.05.7d

dx

x

y=

5

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Integral

0

40

80

120

160

0 2 4 6 8 10

∫y d

x

x

5.05.7 xy =5.15d xxy =

=x

xy0

dluas

▪ “kebalikan” dari proses men-diferensial-kan adalah meng-integral-kan

▪ integrasi ›‹ diferensiasi

0

6

12

18

24

0 2 4 6 8 10

y

x

6

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Fungsi

❑ Fungsi-fungsi yang di-diferensial-kan atau di-integral-kan

dapat berupa:

❑ fungsi kontinu sederhana: polinomial, eksponensial, trigonometri

❑ fungsi kontinu kompleks yang tidak memungkinkan didiferensialkan atau

dintegralkan secara langsung

❑ fungsi yang nilai-nilainya disajikan dalam bentuk tabel [tabulasi data x

vs f(x)]

7

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Cara mencari nilai integral

( )

+

++2

0

5.023

dsin5.01

1cos2xe

x

x x

x f(x)

0.25 2.599

0.75 2.414

1.25 1.945

1.75 1.993 0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

A1 A2 A3 A4

∫f(x) dx = luas = ∑Ai

8

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Derivatif

x

uun

x

y n

d

d

d

d 1−=

( ) ( )xfvxfu == dan

nuy =

vuy =

v

uy =

x

vu

x

uv

x

y

d

d

d

d

d

d+=

2d

d

d

d

d

d

vx

vu

x

uv

x

y−

=xx ee

x

xx

x

xxx

xxx

xxx

=

=

=

−=

=

d

d

1ln

d

d

sectand

d

sincosd

d

cossind

d

2

aaax

axx

x

xxxx

xxxx

xxx

xx

a

lnd

d

ln

1log

d

d

cotcsccscd

d

tansecsecd

d

csccotd

d 2

=

=

−=

=

−=

9

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Integral

( ) ( ) Cbaxa

xbax

Cxx

x

aaCab

axa

nCn

uvu

uvuvvu

bxbx

nn

++−=+

+=

+=

−++

=

−=

+

cos1

dsin

lnd

1,0ln

d

11

d

dd

1

( ) ( )

( )

Cxa

ab

abbxa

x

Caxa

exex

Ca

exe

Cxxxxx

Cbaxa

xbax

axax

axax

+=+

+−=

+=

+−=

++=+

−

1

2

2

tan1d

1d

d

lndln

sin1

dcos

10

Metode Trapesium

Metode Simpson

Metode Kuadratur Gauss

Metode Integrasi Newton-Cotes11

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Newton-Cotes

❑ Strategi

❑ mengganti fungsi kompleks dan rumit atau tabulasi data dengan

yang mudah untuk diintegralkan

( ) ( ) ==b

an

b

axxfxxfI dd

( ) nn

nnn xaxaxaxaaxf +++++= −

−

11

2210 ...

polinomial tingkat n

12

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Newton-Cotes

( )xf

xa b

( )xf

xa b

Garis lurus (polinomial tingkat 1)

sbg fungsi pendekatan.

Kurva parabola (polinomial tingkat 2)

sbg fungsi pendekatan.

13

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Newton-Cotes

( )xf

xa b

Garis lurus (polinomial tingkat 1)

sbg fungsi pendekatan.

12

3

Fungsi yang diintegralkan didekati

dengan 3 buah garis lurus (polinomial

tingkat 1).

Dapat pula dipakai beberapa kurva

polinomial tingkat yang lebih tinggi.

14

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Trapesium

❑ Fungsi pendekatan untuk menghitung integral adalah

polinomial tingkat 1

❑ Sebuah garis lurus dapat dinyatakan dengan persamaan

( ) ( ) ==b

a

b

axxfxxfI dd 1

( ) ( )( ) ( )

( )axab

afbfafxf −

−

−+=1

15

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Trapesium

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

2

d

bfafab

xaxab

afbfafI

b

a

+−

−

−

−+

Metode Trapesium

( )xf

xa b

error

16

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Trapesium

( )

640533.16

400180

4

675

3

2005.122.0

d400900675200252.0

8.0

0

65432

8.0

0

5432

=

+−+−+=

+−+−+=

xxxxxx

xxxxxxI

( )

( ) ( ) 232.08.0 dan 2.00

400900675200252.0 5432

==

+−+−+=

ff

xxxxxxf

Penyelesaian eksak

Metode Trapesium

( ) 1728.02

232.02.008.0 =

+−=I [error]( )%89467733.11728.0640533.1 =−=tE

17

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

Metode Trapesium

❑ Error atau kesalahan

❑ bentuk trapesium untuk

menghitung nilai integral

mengabaikan sejumlah besar

porsi daerah di bawah kurva

❑ Kuantifikasi error pada

Metode Trapesium

error

( ) ( )3

12

1abfEt −−=

adalah titik di antara a dan b

18

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Trapesium

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

error

( ) ( ) 56.208.060.012

1 3=−−−=aE

( ) 323 8000108004050400 xxxxf +−+−=

nilai rata-rata derivatif kedua:

( )( )

6008.0

d80001080040504008.0

0

323

−=−

+−+−= xxxx

xf

error:

order of magnitude nilai error ini sama dengan

order of magnitude nilai error terhadap nilai

penyelesaian eksak dan keduanya sama tanda

(sama-sama positif)

19

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Trapesium multi pias

❑ Peningkatan akurasi

❑ selang ab dibagi menjadi sejumlah n pias dengan lebar seragam h

n

abh

−=

20

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

0

1

2

3

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x

f(x)

h = 0.1

Trapesium multi pias

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

h = 0.2

n

abh

−=

21

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Trapesium multi pias

n

abh

−=

nxbxa == dan Jika 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

...22

d...dd

12110

1

2

1

1

0

nn

x

x

x

x

x

x

xfxfh

xfxfh

xfxfhI

xxfxxfxxfIn

n

+++

++

+

+++=

−

−

( ) ( ) ( )

+

+ −

=

n

n

ii xfxfxf

hI

1

10 2

2( )

( ) ( ) ( )

rata-rata tinggi

1

10

lebar2

2

n

xfxfxf

abIn

n

ii +

+

−

−

=

22

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Trapesium multi pias

( )( )

=

−

−=n

iit f

n

abE

13

3

12

Error = jumlah error pada setiap pias

( ) ffn

n

ii

==1

1 ( )f

n

abEE at

−

−=2

3

12

setiap kelipatan jumlah pias, error mengecil

dengan faktor kuadrat peningkatan jumlah pias

23

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Trapesium multi pias

( ) 5432 400900675200252.0 xxxxxxf +−+−+=

n h I Et %Et Ea

1 0.8 0.1728 1.4677 89% 2.56

2 0.4 1.0688 0.5717 35% 0.64

4 0.2 1.4848 0.1557 9% 0.16

8 0.1 1.6008 0.0397 2% 0.04

( ) 640533.1d8.0

0== xxfI

( )8.0

01 dxxfI (the trapezoidal rule)

(exact solution)

0

20

40

60

80

100

1 2 4 8n

%Et vs n

24

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Simpson

❑ Fungsi pendekatan:

polinomial tingkat 1

❑ Peningkatan ketelitian dpt

dilakukan dengan

meningkatkan jumlah pias

❑ Fungsi pendekatan:

polinomial:

❑ tingkat 2: Simpson 1/3

❑ tingkat 3: Simpson 3/8

The trapezoidal rule Simpson’s rules

25

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Simpson

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

f2(x)

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

f3(x)

Simpson ⅓ Simpson ⅜

26

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Simpson

❑ Polinomial tingkat 2 atau 3

❑ dicari dengan Metode Newton atau Lagrange (lihat materi tentang

curve fitting)

27

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅓

( ) ( ) =b

a

b

axxfxxfI dd 2

nxbxa == dan Jika 0

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−

b

axxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxI d2

1202

101

2101

200

2010

21

dan f2(x) diperoleh dengan Metode Lagrange

( ) ( ) ( ) 210 43

xfxfxfh

I ++

2

abh

−=

( )( ) ( ) ( )

6

4 210 xfxfxfabI

++−atau

( )( )

−−= 4

4

5

180f

n

abEt

28

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅓ multi pias

( ) ( ) ( )−

+++n

n

x

x

x

x

x

xxxfxxfxxfI

2

4

2

2

0

d...dd

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

42...

6

42

6

42 12432210 nnn xfxfxf

hxfxfxf

hxfxfxf

hI++

++++

+++

−−

( )( ) ( ) ( ) ( )

n

xfxfxfxf

abIn

n

ii

n

ii

3

242

6,4,2

1

5,3,10 +++

−

−

=

−

=

( ) 4

4

5

180f

n

abEa

−−= (estimasi error, 4f rata-rata derivatif ke-4)

29

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅜

( ) ( ) =b

a

b

axxfxxfI dd 3

nxbxa == dan Jika 0

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

( )

−−−

−−−+

−−−

−−−+

−−−

−−−+

−−−

−−−

b

axxf

xxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxI d3

231303

2102

321202

3101

312101

3200

302010

321

dan f3(x) diperoleh dengan Metode Lagrange

( ) ( ) ( ) ( ) 3210 338

3xfxfxfxf

hI +++

3

abh

−=

( )( ) ( ) ( ) ( )

ratarata tinggi

3210

lebar8

33

−

+++−

xfxfxfxfabIatau

30

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅜

( )( )

−−= 4

5

6480f

abEt

Error

( )−= 45

80

3fhEt atau

31

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅓ dan ⅜

( ) 5432 400900675200252.0 xxxxxxf +−+−+=

( ) 640533.1d8.0

0== xxfI (exact solution)

Metode I Et

Simpson ⅓ (n = 2) 1.367467 0.273067 (27%)

Simpson ⅜ (n = 3) 1.51917 0.121363 (7%)

Simpson ⅓ (n = 4) 1.623467 0.017067 (1%)

32

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Pias tak seragam: Metode Trapesium

( )543

2

400900675

200252.0

xxx

xxxf

+−

+−+=i xi f(xi) I

0 0 0.2

1 0.12 1.309729 0.090584

2 0.22 1.305241 0.130749

3 0.32 1.743393 0.152432

4 0.36 2.074903 0.076366

5 0.4 2.456 0.090618

6 0.44 2.842985 0.10598

7 0.54 3.507297 0.317514

8 0.64 3.181929 0.334461

9 0.7 2.363 0.166348

10 0.8 0.232 0.12975

1.594801

I dihitung dengan Metode

Trapesium di setiap pias:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

...2

2

1122

011

−+++

+

++

=

nnn

xfxfh

xfxfh

xfxfhI

( ) 594801.1d8.0

0= xxf

33

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Pias tak seragam: Metode Simpson

( )543

2

400900675

200252.0

xxx

xxxf

+−

+−+=i xi f(xi) I

0 0 0.2

1 0.12 1.309729

2 0.22 1.305241

3 0.32 1.743393

4 0.36 2.074903

5 0.4 2.456

6 0.44 2.842985

7 0.54 3.507297

8 0.64 3.181929

9 0.7 2.363

10 0.8 0.232

I dihitung dengan Metode

Simpson ⅓ dan Simpson ⅜:

PR, dikumpulkan minggu depan

34

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Integrasi Numeris

Metode Jumlah pias Lebar pias

Trapesium 1

Trapesium multi pias n > 1 seragam atau tak-seragam

Simpson ⅓ 2 seragam

Simpson ⅓ multi pias genap (2m, m = 2,3,…) seragam

Simpson ⅜ 3 seragam

Kuadratur Gauss 1

35

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( )xf

x

( )xf

xerror terlalu besar upaya mengurangi error

36

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( )xf

x

( )0xf

( )1xf

0x 1x1− 1

Kuadratur Gauss 2 Titik: Gauss-Legendre

( ) ( ) ( )1100

1

1d xfcxfcxxfI += −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0d

32d

0d

2d1

1

1

31100

1

1

21100

1

11100

1

11100

==+

==+

==+

==+

−

−

−

−

xxxfcxfc

xxxfcxfc

xxxfcxfc

xxfcxfc c

0, c

1, x

0, x

1: unknowns

37

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

0

0.5

1

1.5

2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Kuadratur Gauss

( )xf

x

( ) 1=xf

( ) xxf =

2d11

1=− x 0d

1

1=− xx

( )xf

x

38

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

1

2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Kuadratur Gauss

( )xf

x

( ) 2xxf = ( ) 3xxf =

32d1

1

2 =− xx 0d1

1

3 =− xx

( )xf

x

39

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0d

32d

2d

2d1

1

1

31100

1

1

21100

1

11100

1

11100

==+

==+

==+

==+

−

−

−

−

xxxfcxfc

xxxfcxfc

xxxfcxfc

xxfcxfc

( ) ( )1100 xfcxfcI +

31

31

1

1

0

10

=

−=

==

x

x

cc

( ) ( )3131 ffI +−

40

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

Untuk batas integrasi dari a ke b:

▪ diambil asumsi suatu variabel xd yang dapat dihubungkan dengan variabel asli

x dalam suatu relasi linear

dxaax 10 +=

▪ jika batas bawah, x = a, berkaitan dengan xd = −1

▪ jika batas atas, x = b, berkaitan dengan xd = 1

( )110 −+= aaa

( )110 aab +=

2 dan

210

aba

aba

−=

+=

( ) ( )

( )d

d

xab

x

xababx

d2

d

2−

=

−++=

dxaax 10 +=

41

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( ) 5432 400900675200252.0 xxxxxxf +−+−+=

( ) 640533.1d8.0

0== xxfI (exact solution)

Penyelesaian dengan Metode Kuadratur Gauss:

( ) ( )

dd

dd

xxx

xx

x

d4.0d2

08.0d

4.04.02

08.008.0

=−

=

+=−++

=

42

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )=

+++

−+++−++

=+−+−+

−

1

1 54

32

8.0

0

5432

d4.04.04.04004.04.0900

4.04.06754.04.02004.04.0252.0

d400900675200252.0

d

dd

dddx

xx

xxx

xxxxxx

( )( ) 305837.131

516741.031

==

=−=

d

d

xf

xf( )

822578.1

305837.1516741.0

d8.0

0

=

+=

xxfI

43

44