GESTION DE PORTEFEUILLE 3Catherine Bruneau
RISQUE &
PROBABILITE
Rappels de calcul de probabilité
• Espace des issues aléatoires €ΩExemple : ce qui fait monter ou descendre
un cours d’action• Évènements : parties de Ω• Cours au-dessus d’un certain seuil• Tribu d’évènements ( axiomes) A• (Ω, A) espace probabilisable• P: mesure de probabilité définie sur A
• P à valeurs dans [0,1]• Axiomes• Exemple: P(hausse)=2/3 et P(baisse)=1/3• P(Ω)=1• Suite dénombrable d’évènements disjoints 2 à 2:
• (Ω, A,P) espace probabilisé• Probabilité conditionnelle
• Indépendance d’événements
1 2 ... ...n
i j
A A A
A A
( )( / )
( )
P A BP A B
P B
( ) ( )i ii
P A P A
Variable aléatoire X définie sur (Ω, A,P)
• est donc un évènement: • X à valeurs dans :
– un ensemble de valeurs fini ou dénombrable
Alors on dit que X est une VARIABLE DISCRETE
Exemple: X=1 si hausse =-1 si baisse d’un cours boursier
– un ensemble continu de valeurs réelles (dans R)
On dit alors que X est une VARIABLE CONTINUE
Log(cours boursier) suivi au centime près
1( )X B A 1( )X B
1( ) / ( )X B X B
• Distribution des valeurs possibles de X: x=X()/distribution de probabilité (de ces valeurs)
– 1) Variable discrète:sa distribution est caractérisée par les probabilités des différentes valeurs xjqu’elle peut prendre:
– Exemple variable X de loi de Bernouilli B(p):elle peut prendre seulement deux valeurs 1 et 0 avec les probabilités respectives p et 1-p: P(X=1)=p (et P(X=0)=1-p )
– Variable X de loi de Poisson P(): elle peut prendre les valeurs 0,1, 2,.., n,... etc… et Proba(X=n)=exp(- ) n /n! (où n! =nx(n-1)x(n-2)x…x2x1)
– Variable continue• Densité: P(x≤X<x+dx)=f(x)dx• Fonction de répartition P(X<x)=F(x); F’(x)=f(x)
– Exemples loi normale, log-normale, student, etc…
– Loi N(0,1)
– Loi N(m, 2)
– U suit une loi Log normale si et seulement si Log(U) suit une loi normale
( );1jP x j J
))(
2
1exp(
2
1)(
2
2
),( 2
mxxf
mN
)2
1exp(
2
1)( 2
)1,0( xxf N
)1,0(),( 2 NmX
mNX LL
• Moments– Espérance ( moyenne) – Variance: – écart-type ( volatilité)– Skewness– Kurtosis – (effet leptokurtique ( queue de distribution plus
épaisse que celle de la loi normale): risques « extrêmes » plus probables
• Fractiles
VaR =Value at Risk au niveau α
P(Perte>VaR)=α
1
( ) ( )J
j jj
E X P x x
2
1
( ) ( )( ( ))J
j jj
Var X P x x E X
( )X Var X
3( ( ))E X E X4(( ( )) )
( )
E X E Xk
Var X
3k
• Cas de deux variables aléatoires X et Yexemple: valeur d’un taux d’intérêt ( taux de rendement d’une obligation ( du trésor ou autre) et valeur d’un cours boursier
• Loi jointe de X et Y– Densité– La connaissance de la loi jointe ( densité h(X,Y) ) est plus riche que la connaissance des seules lois marginales de X et de Y, de densités
sauf dans le cas d’indépendance des deux variables, car, dans ce cas,
• Covariance et corrélation
, ( , ) ( )X Yh x y dxdy P x X x dxet y Y y dy
( , ) ( ) ( )X Yh x y f x g y
( ) ( )X Yf x et g y
2
X Y
Cov(X,Y)=E(X-E(X))(Y-E(Y))
=E(XY)-E(X)E(Y)
Si X=Y,
cov(X,Y)=E((X-E(X)) )= Var(X)
cov(X,Y)corr(X,Y)=
• Loi conditionnelle de Y sachant X• Cas discret
• Cas continu: densité conditionnelle de Y sachant X
– La loi de probabilité du cours d’un indice, sachant que les taux d’intérêt sont élevés (respectivement bas
– exemple: Y et Y suivent deux lois normales N(0,1) et ont un coefficient de corrélation
– Cas d’indépendance
• Espérance conditionnelle E(Y/X)• Variance conditionnelle
2( / ) (( ( / )) )Var Y X E Y E Y X
( )( / )
( )k j
k jj
P Y y et X xP Y y X x
P X x
, ( , )( / )
( )X Y
X
h x yl y x
f x
)()(),()()(
),()()/( ygxfyxhxf
yg
yxhxfyxl YXX
YX
R XR
dyxf
yxhydyxyylxXYE
)(
),()/()/(
• Cas de plusieurs variables • Matrice de variance du vecteur U=(U1,….,Un)’ de composantes aléatoires
• Matrice de covariance entre deux vecteurs U=(U1,….,Un)’ et V=(V1,….,Vm)’
• On a les propriétés suivantes
où A’ désigne la matrice transposée de A c’est-à-dire la matrice obtenue à partir de A en transformant les lignes en colonnes; par exemple,
1 1
1
( ) . ( , )
( ) . . .
( , ) . ( )
n
n n
Var U Cov U U
Var U
Cov U U Var U
2212
2111
2221
1211 'aa
aaAalors
aa
aaAsi
),cov(....),cov(),cov(
),cov(
),cov(...),cov(),cov(
),(
21
12
12111
mnnn
m
VUVUVU
VU
VUVUVU
VUCov
'),cov(),(
')()(
)()(
BVUABVAUCov
AUAVarAUVar
UAEAUE
Calculs d’espérances
( ( )) ( ) ( )XE h X h x f x dx
1
( ( )) ( ) ( )J
j jj
E h X P x h x
,( ( , )) ( , ) ( , )
( ( , ) ( / ) ) ( )
X Y
X
E g X Y g x y h x y dxdy
g x y l y x dy f x dx
Exemple de calculs dans le cas discret
• X=1 avec la probabilité de 2/3 et =-1 avec la probabilité de 1/3
• skewness (coefficient d’asymétrie)3
3 3
skewness=E[(X-E(X)) ]
E(X)=1/3=1x2/3+(-1)x1/3
skewness
=(1-1/3) x(2/3)+ (-1-1/3) x(1/3)
8 2 64 1= . .
27 3 27 380
81
Remarques: Rendement, taux de rendement et cours d’une action
• Cours d’une action P(t) à la date t• Log cours : LogP(t)• Variation ΔLogP(t)= LogP(t)- LogP(t-1)• ΔLogP(t)=Log[P(t)/P(t-1)]=Log(rendementde l’investissement dans l’action)• ΔLogP(t)=Log{1+[P(t)- P(t-1)]/P(t-1)}• ΔLogP(t)= [P(t)- P(t-1)]/P(t-1)• =taux de rendement de l’investissement=variation de
richesse/richesse initiale investie• si [P(t)- P(t-1)]/P(t-1) est petit devant 1 • P(t)/P(t-1)=rendement=1+taux de rendement• Question: si une grandeur X varie de 10% de combien varie le carré
de cette grandeur?
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