f : R R ; xo R
f ´ (xo) = =
x puede acercarse a xo ; desde una
única dirección (eje x)
“incremento en x” : Δx = x – xo
x
ylimx
0 o
o
xx xx
yylim
o
x
y
xo x
informa el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando x xo
RECUERDO: “derivada” o “razón de cambio” de una función escalar
xo
yo
f : R2 R ; Po(xo;yo) R2
PROBLEMA 1: “razón de cambio de f en Po”.
O sea, hallar un instrumento para estudiar el
“comportamiento” del cociente de incrementos
cuando P(x;y) Po(xo;yo) .
PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde ≠ direcciones
Esto impide hallar una “formulación algebraica”
para el “incremento en P ” ¿ ΔP ?
NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR
x x
f : R2 R ; Po(xo;yo) R2
PROBLEMA 1: hallar la “razón de cambio de f en Po”
O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P(x;y) Po(xo;yo) .
PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde ≠s direcciones
Esto impide hallar una “formulación algebraica” para el “incremento en P ” ¿ ΔP ?????
NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR
xo
yo
Resolver el “PROB. 2” es necesario para resolver el “PROB. 1” (razón de cambio de f en Po)
Resolver el “PROB. 2” requiere hallar una formulación alg. para el “incremento en P ”.
Para ello vamos a hacer que P Po , según una “dirección” prefijada ;
la cual damos a través de “un vector”
u
f : R2 R ; Po(xo;yo) R2
NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR
PROB. 2 formulación alg. del “incremento en P ”.
Consideramos P Po , según una “dirección” prefijada
la cual damos a través de “un vector”
Hablamos así de “derivada direccional de f ”.
u
yo
u
Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de Dū f (xo;yo) u
xo
z = f ( x; y) ; Po(xo; yo) R2 ; P (x; y)E(Po)
versor de dirección
r )
ou
yo
u
Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de Dū f (xo;yo) u
xo
¿ΔP?
2
1
u.yy
u.xx
o
o
r
P(x; y)
Si λ 0 entonces P Po sobre r ;
obtenemos así la derivada de f en Po pero, en la dirección de ū.
xo 0
yo 0
Ejemplo f (x; y) = x.y + 2 ; Po (2;1) f (2; 1) = 4
ū = (4; 3) ūo = (4/5; 3/5)
Dū f (2; 1) =
Dū f (2; 1) = =
= = =
=
)1;2(f).1;.2(f53
54
0lim
4]2).1).(.2[(53
54
0lim
4]2..2[25122
510
0lim
25122
510
0
..
lim
2].2[2512
0lim
P
Luego:
)2
1;
2
1(u2u 0
2
2
2
142
2
r
r
Qo
Q
Cx
sλ
ΔzTx
RESUMEN:
yo
xo
r
u P(x ; y)
yo
xo
u.yy
u.xx
RESUMEN:
g(xo+ λ ) = f (xo+ λ ; yo ) g(xo+ λ ) = f (xo+ λ ; yo )
g (xo ) = f ( xo ; yo ) g (xo ) = f ( xo ; yo )
r
Luego :
Cy : z = 2 – x2 ( y = 1)S
Qo(1;1;1)
Ty mTy = fx (1; 1)= -2
x
y
z
4
x*
z*
Cy2
2
1
1 x*
z*
(y = 1)
(y = 1)
= mTy
(5 ; 300 ) = - 984.72 (cm3 /atm.)
(5 ; 300 ) = 16.41 (cm3/K)
V = f ( p; T )
V = f ( 5; 300 )
V = f ( p; T )
V = f ( 5; 300 )
x
y
z
V
p
T
V = f ( p ; 300)
V = f ( p; T )
(5; 300)
3005
(6; 300)
6
(T = 300)
V = 4923.6 (cm3)
V 3923.6 (cm3)
x
ffx
y
ffy
( fy)y fy y f22
SON IGUALES !!!!
x
f
x
f
y
f
y
f
REGLA DE LA CADENA : g: R2 R ; h: R R
(x;y) z = g(x;y) z u=h(z)
f (x; y) = ho g (x; y) f : R2 R
(x;y) u = ho g (x;y)
h´(g(x;y)) . h´(g(x;y)) .
x
f
x
g
y
f
y
g
(x;y)Z=g(x;y) u=h(z)
gh
f
u= h(z) = sen z
g(x; y) = y
x1
u= hog (x;y)u= hog (x;y)
f = ho g
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