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Estudo numérico do escoamento

de fluidos newtonianos

num canal bidimensional com curvatura

João Pedro Caridade Lousinha

Dissertação do MIEM

Orientador na FEUP: Prof. Fernando Tavares de Pinho

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Fevereiro de 2012

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

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(Página intencionalmente deixada em branco)

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Resumo

Os escoamentos de fluidos newtonianos em curvas a 90º de secção circular e

quadrangular foram estudadas no passado por via numérica e por via experimental, contudo a

informação disponível na literatura clássica aborda sobretudo situações de regime turbulento,

embora muitas aplicações industriais utilizem fluidos viscosos em regime laminar. O

objectivo desta tese consiste precisamente em simular numericamente o escoamento laminar

num canal com uma curva a 90º, com especial ênfase à determinação do respectivo

coeficiente de perda de carga localizada, particularmente na vertente bidimensional,

averiguando os efeitos do número de Reynolds e do raio de curvatura. Para este fim, recorreu-

se a um código computacional baseado na metedologia dos volumes finitos, que é propriedade

do grupo de investigação onde decorreu este trabalho.

O coeficiente de perda de carga foi estudado para números de Reynolds, que variaram

entre 0.01 e 100, assim como para raios de curvatura normalizados pelo diâmetro da conduta.

Na análise de resultados, além de se comparar as previsões com resultados disponíveis na

literatura, procurou-se separar os efeitos da curva propriamente dita e do desenvolvimento do

escoamento a montante, e especialmente a jusante da mesma. Os cálculos numéricos foram

realizados numa malha muito refinada para a geometria bidimensional; contudo, no caso

tridimensional houve necessidade de utilizar malhas mais grosseiras, para que o tempo de

cálculo não ficasse proibitivo.

Os resultados mostraram que o valor de perda de carga global, para todas as curvas,

diminui quer com o aumento do número de Reynolds, quer com a redução do raio de

curvatura. mais uma vez em diferentes condições de escoamento em regime laminar.

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Abstract

The flow of Newtonian fluids in 90 degrees curves with circular and quadrangular

sections were studied in the past numerically and experimentally; nevertheless, the

information available in the classical literature mainly addresses turbulent regime situations,

even though a lot of industrial applications use viscous fluids in laminar regime. This thesis’

goal is precisely to simulate numerically the laminar flow in a channel with a 90º curve,

emphasizing specially the determination of the loss coefficient of localized charge,

particularly on a bi-dimensional slope, probing the effects of the Reynolds’ number and of the

radius of the curve’s curvature. With this purpose, we resorted to a computational code based

on the methodology of finite volumes, property of the research group that hosted this

particular investigation.

The loss coefficient of pressure was studied for the range of the Reynolds’s numbers in

a laminar regime in-between 0,01 and 100, as well as for radius of the curve’s curvature

normalized by the conduct’s diameter. In the result’s analysis, besides comparing the

predictions with the available results in the literature, we tried to separate the effects of the

curve proper and of the development of the upstream flow and, specially, of the downstream

flow. The numerical calculations were obtained through a very refined mesh for the bi-

dimensional geometry; however, in the tri-dimensional instance we had to resort to more

gross meshes, in order to avoid a prohibitive time calculation

By interpreting all the results, we managed to conclude that the loss value of the global

charge for all the different curves decreases both with the increase of the Reynold’s numbers

and with the reduction of the curvature’s radius, once more under different conditions of flow

in laminar regime.

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AGRADECIMENTOS

A todos aqueles que de uma forma directa contribuíram para o desenvolvimento deste

trabalho, o meu muito obrigado. Um agradecimento especial ao Professor Fernando Pinho por

toda a colaboração, incentivo, disponibilidade e por vezes alguma benevolência, sem os quais

seria impossível terminar este projecto. À minha família, pilar incondicional do meu percurso

como homem e estudante, e que de uma forma omnipresente sempre contribuiu para o sucesso

desta dissertação. Uma palavra de agradecimento à minha namorada, cujo conforto e apoio

foram imprescindíveis nesta caminhada. Não posso deixar também de agradecer a todos os

colegas, que de uma forma sempre prestável e solidária ajudaram na elaboração desta tese.

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ÍNDICE DE CONTEÚDOS

1 – Introdução

1.1 - Nomenclatura______________________________________________________1

1.2 - Esquema representativo______________________________________________2

1.3 - Estado da arte______________________________________________________5

1.4 - Estrutura da tese____________________________________________________6

2 – Teoria / Equações governativas

2.1 - Escoamento viscoso / Fluido newtoniano________________________________8

2.2 - Movimento Browniano_____________________________________________10

2.3 - Escoamento ao longo de uma curva____________________________________11

2.4 - Separação________________________________________________________12

2.5 - Perdas___________________________________________________________13

2.6 - Equações governativas______________________________________________17

2.7 - Método numérico__________________________________________________18

3 - Apresentação do desenvolvimento do trabalho de projecto

3.1 - Constituição das malhas_____________________________________________21

3.2 - Metodologia utilizada_______________________________________________23

4 – Incertezas / Precisão do código

4.1 - Soluções analíticas_________________________________________________25

4.2 - Refinamento da malha______________________________________________ 26

4.3 - Ordem de convergência_____________________________________________ 26

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4.4 - Extrapolação Richardson____________________________________________ 27

4.4 - Erro associado____________________________________________________ 28

4.5 - Efeito da malha na precisão do código__________________________________29

5 – Apresentação e discussão de resultados

5.1 - Malhas bidimensionais______________________________________________30

5.2 - Malhas tridimensionais_____________________________________________ 44

6 - Conclusões_____________________________________________________________46

7 - Bibliografia_____________________________________________________________48

8 - Referências_____________________________________________________________49

9 - Anexos________________________________________________________________50

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NOMENCLATURA

Símbolos latinos

A = Área (m2)

a = Comprimento longitudinal característico (m)

D = Diâmetro da curva (m)

DH = Diâmetro hidráulico (m)

Dn = Número de Dean (-)

g = Aceleração da gravidade (m/s2)

H = Altura da conduta (m)

hp = Perda de carga em linha (-)

Leq = Comprimento equivalente (m)

Kn = Número de Knudsen (-)

Lent = Comprimento da conduta de entrada (m)

Lsai = Comprimento da conduta de saída (m)

Nx = Número de células computacionais na direcção x (-)

Ny = Número de células computacionais na direcção y (-)

Nz = Número de células computacionais na direcção z (-)

q = Ordem de convergência (-)

P = Pressão do escoamento (Pa)

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R0 = Raio de curvatura da curva (m)

Re = Número de Reynolds (-)

Ux = Velocidade média na direcção x (m/s)

u = Velocidade axial (m/s)

V = velocidade do fluido (m/s)

Vy = Velocidade média na direcção y (m/s)

W = Largura da conduta (m)

Wz = Velocidade média na direcção z (m/s)

x,y,z = Coordenadas Cartesianas (-)

Símbolos Gregos

= Caminho livre médio (m)

δ 0 = Ângulo ao centro da curva (º)

δt = Avanço numérico no tempo (-)

∆P = Perda de carga (Pa)

ε = Rugosidade (mm)

λ = Coeficiente de perda de carga por atrito/ unidade de comprimento relativo da

curva (-)

µ = Viscosidade dinâmica (kg/(m*s))

ν = Viscosidade cinemática (m2/s)

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x

ξ = Coeficiente de perda de carga global da curva (-)

ξ M = Coeficiente de perda de carga localizada da curva (-)

ξ f = Coeficiente de perda de carga por atrito da curva (-)

ρ = Densidade relativa (kg/m3)

ζ = Tensão de corte do fluido (N/m2)

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1.INTRODUÇÃO

Um importante problema prático da Mecânica de fluidos, prende-se com o estudo

do escoamento em condutas, e a forma como este varia com o caudal e com a geometria

da mesma. Em quase todos os projectos de Engenharia, são encontrados sistemas de

tubulações com os mais variados componentes adicionais, nomeadamente válvulas,

derivadores, difusores, bifurcações assim como o acessório que é o objectivo deste

trabalho, as curvas. A quantidade de informação disponível é maioritariamente de

origem experimental, sendo pequeno o volume teórico, se desprezados efeitos

importantes como a viscosidade e a compressibilidade. No entanto o grande

desenvolvimento das ferramentas computacionais e dos computadores permite

actualmente efectuar cálculos precisos e realistas, desde que os escoamentos decorram

no regime laminar, pelo que a determinação numérica dos coeficientes de perda de

carga é cada vez mais frequente em geometrias simples de caracterizar. Actualmente os

cálculos em regime laminar são providos de um nível de precisão e confiabilidade

acentuada, mas isso não invalida que possa ser necessário efectuar validação

experimental. Neste trabalho, serão estudadas e pela via numérica, as características

dinâmicas do escoamento laminar em curvas com particular ênfase na determinação do

coeficiente de perda de carga localizada, usando para o efeito um programa de mecânica

dos fluidos computacional baseado na metedologia dos volumes finitos. A geometria a

estudar está tipificada na figura.1 que mostra esquematicamente uma curva a 90º.

Estudar-se-ão essencialmente curvas bidimensionais, embora tenham sido realizadas

simulações para curvas tridimensionais, assim como em condutas de secção quadrada.

Uma curva colocada numa conduta ou num tubo, provoca sempre uma perda de pressão

que é superior à perda por atrito simples numa conduta a direito com o mesmo

comprimento, devido à separação do escoamento nas paredes bem como ao

aparecimento de um escoamento secundário rotativo, consequência da aceleração

centrífuga

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Fig.1 – Esquema representativo da constituição do volume de controlo utilizado.

. Fruto da crescente necessidade de procura de novos materiais por parte de

diversas indústrias, como por exemplo a da extracção e transformação de petróleo,

geração de energia, alimentar, química, nuclear, refrigeração, construção naval entre

outras, surgiram no mercado vários tipos de curvas, com as mais variadas formas,

geometrias, materiais, métodos de produção, acabamento, etc. Existem curvas de secção

circular, secção quadrada, secção rectangular e até mesmo geometrias mais complexas.

No caso concreto em que estudamos curvas de secção rectangular e a variante

simplificada de uma curva bidimensional, uma das grandes aplicações é a microfluidica,

onde os escoamentos decorrem em sistemas cuja dimensão transversal é do valor de 1 a

50 µm, como se discute de seguida.

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MICROFLUÍDICA

São sem dúvida ramos de investigação mais recentes, como a microfluídica e

nano tecnologia que maior contributo tem dado para o desenvolvimento destes

dispositivos com estas condições de escoamento (laminar). A Microfluídica é um ramo

da engenharia que trata da manipulação de quantidades de fluidos muito pequenas (10-9

a 10-18

litros) através de canais, reservatórios, válvulas e bombas de dimensões

microscópicas. As suas aplicações são principalmente nas áreas de análise e síntese

química e biológica. Pode ser definida como a ciência e engenharia de sistemas na qual

o comportamento dos fluidos difere da teoria tradicional devido às pequenas dimensões

destes sistemas. A principal vantagem destes dispositivos está na contínua busca de

novos efeitos, melhor desempenho e dimensionalidade. Estas vantagens são derivadas

das quantidades microscópicas de fluidos que tais dispositivos podem manejar.

Dispositivos microfluídicos podem ser utilizados para obter uma variedade de medidas,

como por exemplo: pH, cinética de reacções, electroforese capilar, imunoensaios,

citometria de fluxos, injecção de proteínas para analise através de espectrometria de

massa, analise de DNA, manipulação de células, e muitas outras aplicações noutras

áreas de aplicação.

A microfluídica teórica lida com a teoria de escoamento de fluidos e suspensões

em sistemas de tamanho submilimétrico, influenciados por forças exteriores. Apesar de

ser uma disciplina antiga da hidrodinâmica, foi o interesse científico e tecnológico no

desenvolvimento da microfluídica que maior contributo acrescentou ao surgimento e

desenvolvimento dos sistemas (lab-on-a-chip) assim como sistemas de micro

tecnologias de fabricação de sistemas electromecânicos, cujo início remonta ao final da

década de 80. O número de Reynolds típico neste tipo de sistemas é muito menor do

que a unidade, devido à pequena escala de comprimento transversal, o que resulta num

alto gradiente de velocidades.

Este campo científico é fundamentalmente guiado pelas aplicações tecnológicas,

com o objectivo de desenvolver laboratórios bioquímicos na superfície de chips

(silicone/polímeros). Nos últimos anos foram sobretudo os sistemas constituídos por

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

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polímeros que mais se desenvolveram, contribuindo assim para a obtenção de sistemas

mais baratos assim como ciclos de produção mais rápidos. Existem várias vantagens em

diminuir as configurações padrão de laboratório por um factor de 1000, ou mais, desde

uma escala decimétrica até uma escala de 100 µm. Uma vantagem óbvia é a dramática

redução na quantidade da amostra necessária. A redução linear na ordem de 103 vai

provocar uma redução de volume na ordem de 109, em vez de lidarmos com 1l ou 1ml,

o lab-on-a-chip permite facilmente manipular quantidades de 1nl ou 1pl. Além disso, os

pequenos volumes tornaram possível o desenvolvimento de sistemas compactos e

portáteis, capazes de atenuar o bio manuseamento de produtos químicos assim como

análise de sistemas.

Ao analisar as propriedades físicas dos micros sistemas, é útil introduzir o

conceito de escala de leis. Uma lei de escala expressa a variação de grandezas físicas

com o tamanho (l) do sistema ou objecto, enquanto mantém outras quantidades, assim

como o tempo, pressão, temperatura, constantes. Esta lei de escala implica que quando é

reduzida a escala dos chips (micro - escala) as forças de volume tornam-se

insignificantes, ao contrário das forças nas superfícies que aumentam o seu significado

físico, obrigando assim, a uma reconstrução da nossa intuição assim como estar

preparado para algumas surpresas no caminho

Validação da hipótese de meio contínuo

O número de Knudsen é de grande utilidade na averiguação/validade da aplicação

do modelo de meio contínuo. Se este é muito próximo ou superior a um, o caminho

livre médio de uma molécula é comparado à escala de comprimento do problema,

descartando assim a possibilidade de consideração de meio contínuo. Este mesmo

número, adimensional, é calculado da seguinte forma:

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Sendo = caminho livre médio e o L = escala de comprimento fisicamento

representativo

1.1-.ESTADO DA ARTE

Thomson (1876), foi o primeiro a observar os significativos efeitos da curvatura,

num escoamento de um canal aberto. Eustice (1876) observou as trajectórias de tinta,

introduzidas num escoamento de água através de tubos de diferentes diâmetros. Dean

(1927), foi o primeiro a estudar, usando uma perturbação técnica, o campo de

escoamento secundário a partir do escoamento de Poisueille. Alguns dos seus mais

famosos resultados incluem soluções para o fluxo secundário em tubos de curva.

Segundo Dean, existe um escoamento secundário, na forma de um par de vórtices, que

rodam em direcções opostas.

Resultados experimentais são apresentados por Cheng & Akiyama (1970), que

publicaram uma análise numérica de fluxo laminar em canais curvos de secção

quadrada e rectangular. A partir destes dados experimentais foram feitas correlações

simples que permitem a extrapolação de dados para situações reais. Em escoamento

laminar e utilizando fluidos que obedecem ao modelo de Ostwald de Waele, o

procedimento analítico para obter o perfil de velocidade para fluidos não - Newtonianos

é exactamente o mesmo que para fluidos Newtonianos, com excepção da especificação

da tensão de cisalhamento na equação de quantidade de movimento. Sob as suposições

de um escoamento laminar plenamente desenvolvido através de um tubo circular recto,

substituindo o modelo de Ostwald-de Waele, na tensão de cisalhamento, obtemos o

perfil de velocidade plenamente desenvolvido. O factor de atrito de Fanning (λ) é

definido por Garcia & Steffe (1987), onde ∆P corresponde à queda de pressão

observada em um comprimento a direito de um tubo; onde a velocidade média U é

obtida a partir da integração do perfil de velocidade. Determinações experimentais de

perda de carga em tubos circulares no escoamento laminar confirmam este pressuposto

(Tung et al., 1978). Coeficientes de perda de carga de fluidos Newtonianos em regime

laminar, também são apresentados por Kittredge & Rowley (1957). Como se constata, o

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número de trabalhos sobre o assunto é reduzido, sendo algumas referências bastante

antigas, dados experimentais para coeficientes de perda de carga foram obtidos

utilizando válvulas e acessórios em aço carbono. À luz de tais considerações, o

objectivo deste trabalho foi a determinação computacional de coeficientes de perda de

carga de fluidos newtonianos, escoando em regime laminar em vários tipos de curvas.

Acredita-se que o presente trabalho é de grande interesse prático para indústrias

envolvidas com o processamento de fluidos, uma vez que os resultados obtidos

contribuirão para optimizar projectos e processos, permitindo a utilização mais racional

de recursos e materiais.

O presente trabalho está estruturado da seguinte forma, depois de apresentados

todos os estudos e investigações relacionadas com o tema deste trabalho, inicia-se um

capítulo dois, constituído pela análise de um escoamento ao longo de uma curva, do

estudo das perdas associadas a esta abordagem, respectivas equações governativas

assim como o método numérico utilizado. Depois de aprofundada e investigada toda a

teoria relacionada com este estudo, iniciou-se um terceiro capítulo onde é apresentado a

constituição de todas as malhas estudadas e todo o procedimento e metodologia seguida.

Numa fase seguinte é abordada a incerteza associada ao grau de refinamento das malhas

e a precisão do código desenvolvido. Depois de apresentados e discutidos todos os

valores de perda de carga obtidos para todas as geometrias estudadas e diferentes

condições de escoamento, foi possível tirar todas as conclusões inerentes a este estudo.

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2.-TEORIA E EQUAÇÕES GOVERNATIVAS

Quando por exemplo um líquido flui numa canalização, parte da energia inicial

dissipa-se sob a forma de calor, junto à parede dos tubos não há movimento do fluido, a

velocidade eleva-se de zero até o seu valor máximo junto ao eixo do tubo. Pode-se

assim imaginar uma série de camadas em movimento, com velocidades diferentes e

responsáveis pela dissipação de energia. Quando o escoamento se faz em regime

turbulento, a resistência é o efeito combinado das forças devidas à viscosidade e à

inércia. Neste caso, a distribuição de velocidades na canalização depende da

turbulência, maior ou menor, e esta é influenciada pelas condições das paredes. A

experiência tem demonstrado que, enquanto no regime laminar a perda por resistência é

uma função da primeira potência da velocidade, no movimento turbulento ela varia,

aproximadamente, com a segunda potência da velocidade.

Na prática, as canalizações não são constituídas exclusivamente por tubos

rectilíneos e nem sempre compreendem tubos de mesmo diâmetro, além de terem

também peças especiais, tais como, curvas, reduções, derivações e afins, todas elas

responsáveis por novas perdas. Devem ser então consideradas, dois tipos de perdas. As

perdas por resistência ao longo da conduta, ocasionada pelo movimento da água na

própria tubulação, admitem-se que essas perdas sejam uniformes em qualquer trecho de

uma canalização de dimensões constantes, independentemente da posição da

canalização; e as perdas locais, localizadas, provocadas pelas peças especiais e demais

singularidades de uma instalação. Essas perdas são relativamente importantes no caso

de canalizações curtas com peças especiais; nas canalizações longas, o seu valor

frequentemente é desprezável, comparado ao da perda de carga pela resistência ao

escoamento. As dificuldades que se apresentam ao estudo analítico da questão são

tantas que levaram os pesquisadores às investigações experimentais. Assim foi que,

após inúmeras experiências conduzidas por Darcy e outros investigadores, com tubos de

secção circular, concluiu-se que a resistência ao escoamento da água é directamente

proporcional ao comprimento da canalização; inversamente proporcional a uma

potência do diâmetro; função de uma potência da velocidade e variável com a natureza

das paredes dos tubos.

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A teoria do escoamento viscoso, foi disponibilizada mas não explorada, depois de

Navier (1785-1836) e Stokes (1819-1903) acrescentarem com sucesso os termos

viscosos newtonianos às equações do movimento. Foi grande o contributo trazido por

Prandtl, ao observar que escoamentos de fluidos de baixa viscosidade, como por

exemplo água ou ar, podem ser divididos numa fina camada viscosa (camada limite),

próxima das superfícies sólidas ou nas interfaces, e numa camada externa

aproximadamente não - viscosa, na qual as equações de Euler e Bernoulli se podem

aplicar. Definimos um fluido como uma classe de materiais que não suporta uma tensão

de corte sem que se deforme continuamente. Estudaremos um modelo especial de fluido

em que as tensões viscosas são proporcionais às taxas de deformação e ao coeficiente de

viscosidade, (fig.2)

Fig.2 - Tensão de corte versus gradiente de velocidade (taxa de deformação).

Então, a tensão de corte aplicada pode ser representada na seguinte forma, (eq.1).

(1)

Existe um conceito de grande importância na análise de escoamentos, que define

camada de velocidade igual a zero junto às paredes da conduta, (Fig.3).

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Fig.3 - Perfis de velocidade em desenvolvimento numa conduta, (White, 1979).

A resistência é função das tensões tangenciais que promovem a transferência da

quantidade de movimento. Tanto no regime laminar como no turbulento, além do

fenómeno descrito acima, existe ainda perda de energia nos choques moleculares

oriundos do movimento desordenado das partículas, conhecido por movimento

Browniano, (Fig.4).

Fig.4- Demonstração do movimento Browniano (http://br.geocities.com).

O movimento Browniano é o movimento aleatório de partículas macroscópicas num

fluido como consequência dos choques das moléculas do fluido nas partículas.

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2.3 - ESCOAMENTO AO LONGO DE UMA CURVA

O objectivo deste estudo está relacionado com curvas e com as respectivas perdas,

sempre maiores do que a perda em linha, consequência da separação do escoamento nas

paredes, assim como do aparecimento de um escoamento secundário rotativo que surge

da aceleração centrípeta. A perda de carga em linha, consequência do comprimento

axial da curva, deve ser calculado separadamente, ou seja ao comprimento rectilíneo do

tubo deve-se adicionar o comprimento da curva, (Fig.5).

Fig.5 - Comprimento característico de uma curva.

Sempre que o sentido do fluxo é mudado numa curva, a distribuição da velocidade

através da tubulação é alterada. Um efeito centrífugo faz com que a velocidade máxima

ocorra para a parte externa da curvatura, por sua vez, no interior da curva o fluxo é

retardado ou invertido. Estabelecendo-se assim um fluxo secundário, segundo ângulos

normais à secção transversal da tubulação, o que aumenta o gradiente da velocidade e

consequentemente a tensão de corte junto da parede. A figura ilustra o padrão do

escoamento (Fig.6).

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Fig.6 - Escoamento ao longo de uma curva (Idelcik, 1971).

O movimento em espiral duplo produzido surge em consequência do

encurvamento gradual numa passagem fechada de uma massa líquida. Durante o

escoamento a força centrífuga gera um gradiente de pressão na direcção

transversal/radial, nas partículas mais próximas das superfícies, a estabilidade é abalada,

o que produz a redução da força centrífuga que actua sobre as partículas, resultando

numa pressão menor. A estabilidade ocorrerá no escoamento ideal quando o gradiente

de pressão for contra balanceado pelas forças centrífugas e centrípetas que actuam sobre

as partículas. A energia no escoamento secundário é obtida pela energia disponível do

fluido, que ficará indisponível sobre o corpo sólido.

A separação (Fig.7), é um fenómeno predominante do fluido quando escoa por

condutas com curvas. As linhas de corrente de separação, dividem camadas de linhas de

corrente principal dos redemoinhos, onde as velocidades são maiores e onde haverá

grande tensão de corte. A separação tem grande influência no desempenho de certos

sistemas, produzindo séria degradação da eficiência das máquinas.

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Fig.7 - Escoamento sobre uma superfície curva com

separação.(https://dspace.utl.pt/bitstream).

À uma certa altura, representada na figura pelo ponto D, em que o fluido junto à parede

é levado a um estado de repouso. Este ponto é normalmente chamado de ponto de

separação. A jusante desse ponto, as velocidades junto às paredes são negativas e o

fluido descola das mesmas, a este fenómeno chama-se separação. Fenómeno este, que

vai ser constatado e apresentado no capítulo 5. A separação só ocorre, quando existe um

gradiente de pressões adverso, que vai provocar não só uma zona de recirculação, como

também um consequente aumento da espessura da camada limite e da dissipação de

energia. A separação pode ocorrer tanto em escoamentos laminares como turbulentos,

contudo é mais fácil de ocorrer em regime laminar, uma vez que, o aumento da

velocidade com a distância à parede e junto a ela é feito de uma forma mais gradual do

que em regime turbulento.

2.5-PERDAS

A perda de carga está directamente relacionada com a turbulência que ocorre na

conduta, posto isto é possível imaginar que, numa tubulação rectilínea, a perda de carga

seja menor se comparada com uma tubulação semelhante, mas com uma série de peças

especiais, tais como, curvas, cotovelos, etc. As peças especiais provocam perdas

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localizadas pela maior turbulência na região da peça, pois alteram o paralelismo das

linhas de corrente. Além da perda de carga por atrito, consequência do comprimento dos

tubos, existem pois, outro tipo de perdas adicionais, chamadas localizadas. Estas surgem

em consequência de perturbações provocadas pelas entradas e saídas dos tubos,

contracções ou expansões nos mesmos, curvas, cotovelos, válvulas, etc. As perdas

localizadas podem ter alguma relevância, contudo como o padrão de escoamento é

bastante complexo, existe pouca teoria disponível, usualmente as perdas são medidas

experimentalmente e correlacionadas com os parâmetros de escoamento em tubos.

Existem dois procedimentos básicos para o cálculo da perda de energia por atrito

que ocorre nas curvas e noutros equipamentos na linha de processo, o primeiro

denomina-se método do coeficiente de perda de carga localizada, o segundo, método do

comprimento equivalente.

Experimentalmente observa-se que a perda de carga em regime turbulento tem

uma relação linear com o termo da energia cinética, representado na figura, (Fig.8).

Fig.8 - Comportamento da perda de carga de um

acessório em função do regime de escoamento.

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

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Estas perdas, são medidas como a razão entra a perda através do dispositivo,

e

a altura de velocidade

do sistema de tubos associados. O coeficiente de perda

localizada pode ser representado da seguinte forma, (eq.2).

(2)

No regime laminar, como não há uma relação linear, a determinação do é mais

complexa e necessita de constatação experimental a diferentes números de Reynolds.

Foi necessário determinar o diâmetro hidráulico (eq.3), uma vez que a conduta em

estudo é de secção não circular, para posteriormente calcular o número de Reynolds

(eq.4)

(3)

(4)

Apesar de ser adimensional, existem poucas referências na literatura, de correlações

com o número de Reynolds e com a rugosidade relativa, existem sim algumas para

condições de escoamento turbulento.

É importante também referir, que é possível considerar um procedimento

alternativo, que defende que a perda de carga por atrito é consequência de um

comprimento equivalente Leq (comprimento do tubo que apresentaria perda de carga

igual à do acessório em questão), que satisfaz a equação de Darcy

(5)

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A separação do escoamento nas paredes e o escoamento secundário rotativo, que

surge da aceleração centrípta, induzem uma perda de carga por atrito, esta, fruto do

comprimento axial da curva deve ser calculada separadamente, ou seja, tem que se

somar o comprimento da curva ao comprimento rectilíneo da curva. O cálculo do factor

de fricção (λ) foi efectuado da seguinte forma, (eq.8).

(6)

(7)

Com este valor calculado, a partir dos dados obtidos computacionalmente, foi possível

calcular o coeficiente de perda de carga por atrito, (eq.10) ou fricção das curvas em

estudo

(8)

(9)

Posto isto, foi calculado o valor de perda de carga global da curva, resultado da soma

algébrica das duas componentes, (eq.11)

(10)

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

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De seguida será apresentado um gráfico, (Fig.9) com valores de coeficientes de perda de

carga localizadas para vários tipos de curva, encontrados na literatura, É de ressalvar,

que a maioria destes dados foi obtida experimentalmente.

Fig.9 - Coeficientes de perda de carga localizada de várias curvas. (White,1979).

O número de Dean, número adimensional que dá a relação entre a força da

viscosidade que actua sobre um fluído que flui por um tubo curvado, e a força

centrífuga. É portanto igual ao número de Reynolds multiplicado pela raíz quadrada

entre o raio da curva e o raio de curvatura da mesma, (eq.12).

(

)

(11)

2.6- EQUAÇÕES GOVERNATIVAS

Para um fluido newtoniano com viscosidade e massa volúmica constantes, a

equação diferencial da quantidade de movimento pode ser escrita da seguinte forma:

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

18

(

)

(12)

(

)

(13)

(

)

(14)

As equações de Navier - Stokes, são equações parciais, não lineares de segunda ordem,

com alguma complexidade, mas de grande utilidade. Terão contudo que ser conjugadas

com a relação de continuidade incompressível, onde as variações de massa volúmica

são desprezadas.

A equação diferencial parcial que envolve derivadas da massa volúmica e da

velocidade é vulgarmente conhecida como equação da continuidade, comprovando a

conservação da massa num volume infinitesimal.

(15)

2.7 - MÉTODO NUMÉRICO

Para a determinação da perda de carga localizada da curva, a partir do cálculo das

equações de Navier-Stokes, foi utilizado um método númerico já comprovado e testado

por Oliveira e Pinho (1997), onde foram comparados dados experimentais e numéricos.

A resolução numérica das equações de Navier-stokes foi efectuada com o auxílio de um

método numérico, o método dos volumes finitos, onde foram usadas células não -

ortogonais. Os métodos de discretização e interpolação utilizados foram todos de

segunda ordem de precisão. Para aproximar as primeiras derivadas dos termos

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

19

convectivos utilizou-se o esquema de montante linear (também designado por esquema

de montante de segunda ordem), enquanto para os termos difusivos usou-se o esquema

das diferenças centradas. Algumas características de cálculo e geração das malhas

computacionais, foram particularmente testadas com variações de raio de curvatura e

condições de escoamento diferentes. O refinamento da malha mostrou que o aumento da

precisão só acontece com a diminuição do tamanho do volume de controlo (célula

computacional), imediatamente antes e depois da curva em estudo.

O método de volumes finitos, ao contrário do das diferenças finitas, tem base

física, como já foi referido, uma grande parte dos modelos matemáticos utilizados em

Engenharia são baseados nos princípios de conservação. Estes princípios quando são

expressos de uma forma matemática para uma região infinitesimal, obtém-se uma

equação diferencial, que é a chamada equação de conservação da grandeza envolvida.

Este método numérico, aplica a equação diferencial de conservação a subdomínios de

uma determinada malha através da sua integração em cada volume. Os termos de

transporte convectivo são os responsáveis pelas maiores dificuldades numéricas na

solução de equações diferenciais parciais onde funções de interpolação devem ser

aplicadas. Esta aproximação pode ser obtida de duas formas, na primeira forma é

utilizado o balanço da propriedade conservada para cada um dos subdomínios, no

segundo modo é a integração da equação de conservação, na forma conservativa, no

volume do subdomínio. Considerando a equação da continuidade em duas dimensões

espaciais, utilizando a geometria cartesiana, um subdomínio do domínio bidimensional

da equação e onde está descrita a nomenclatura de determinados pontos dentro e à

superfície deste subdomínio. O principal objectivo da aproximação discreta de uma

equação de conservação, pelo método dos volumes finitos é dividir o domínio de

cálculo em vários subdomínios, nos quais a lei física de conservação é verificada, com

um certo grau de aproximação. A aproximação discreta é obtida pelos dois

procedimentos, normalmente, e porque é mais fácil, obtêm-se a equação aproximada

através da integração da equação de conservação na forma divergente. Contudo a

equação discretizada já não é necessariamente uma expressão exacta para a conservação

de massa no volume em questão. A introdução do erro de aproximação numérica é

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

20

consequência da aproximação destas grandezas utilizando os seus valores em pontos

discretos da malha, num dado instante.

3.APRESENTAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO DE PROJECTO

Numa primeira fase foi estudado o caso de um só bloco, correspondendo ao

estudo de um típico exemplo de escoamento entre placas paralelas, (Fig.10) foram

construídos gráficos de perfil de velocidade e comparados os resultados obtidos com os

valores da teoria; em seguida uma expansão súbita 2D; um escoamento em torno de

cilindro colocado no interior de um canal 2D, e por fim o estudo de uma curva L.

Fig.10 – Representação de um escoamento através de duas placas paralelas

(http://www2.peq.coppe.ufrj.br/Pessoal/Professores/Arge/COQ862/

trabalhos/COQ862_2010_Thais.pdf)

Numa segunda fase, e com o objectivo de constatar de que forma é que o

refinamento da malha contribua para um valor de perda de carga mais preciso, ou seja

para uma menor do erro computacional, foram geradas 4 malhas (A.B.C.D), (Tab.1).

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

21

Tab.1 - Constituição das 4 malhas.

Malha Nº total de células computacionais

A 1540

B 6600

C 27652

D 112644

Será agora apresentado um esquema, referente à malha A, onde é possível observar as

características dimensionais deste exemplo, assim como o número de blocos em que o

volume de controlo foi dividido, e as respectivas constituições no que diz respeito ao

número de células computacionais de cada bloco (x,y,z), (Fig.11).

Fig.11 – Blocos e número de células computacionais (Nx,Ny) da malha A.

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

22

Foram obtidos gráficos de perfis de velocidade, gráficos de variação de perda de carga

ao longo de toda a conduta, gráficos de evolução de velocidades nas paredes e no centro

da conduta e calculados os valor de perda de carga localizada das curvas.

Numa terceira fase foram geradas oito malhas, todas elas com parâmetros

dimensionais iguais, excepto no valor do raio de curvatura dos oito exemplos.

Assegurou-se o total desenvolvimento do escoamento, com comprimento da conduta de

entrada como o da saída, igual a 3000mm, foi utilizado um valor de 200mm para o

diâmetro de toda a instalação assim como valores de raio de curvatura das curvas, iguais

a: 750, 500, 250, 200, 150, 100, 50, 25.

Foram efectuados cálculos computacionais para nove situações de escoamento

distintas, com os seguintes valores de Reynolds: 100, 50, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.1, 0.01.

Posteriormente foi calculado o valor da perda de carga, através dos valores de ∆P da

curva, de todas as situações simuladas. O valor de pressão utilizado foi obtido a partir

da extrapolação de duas rectas, aproximadas aos valores das zonas de escoamento

desenvolvido (conduta de entrada e saída), interceptadas com o plano médio da curva.

Além dos cálculos efectuados, verdadeiro objectivo deste estudo, foram também

construídos vários gráficos de evolução não só do ∆P, como também de velocidades,

nas paredes e no eixo da curva. Na interpretação desses mesmos gráficos foi possível

identificar algumas zonas de refluxo ou descolamento do fluído junto das paredes. Por

fim, foram geradas 5 malhas tridimensionais, (Tab.2).

Tab.2. Constituição das malhas tridimensionais.

Malha Nº de células da curva nas 3

direcções (x,y,z)

Nº total de células

computacionais

Z1 7, 7, 7 6076

Z2 15, 15, 7 16380

Z3 15, 15, 15 35100

Z4 21, 21, 15 56700

Z5 31, 31, 15 102300

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

23

3.2- METODOLOGIA UTILIZADA

Se a conduta é não-circular, a análise do escoamento totalmente desenvolvido

segue a análise do tubo circular. Uma vez que todo o estudo será feito em regime

laminar, com Reynolds compreendido entre valores de 0.01 e 100, será suficiente a

resolução das equações exactas da continuidade e da quantidade de movimento. No

âmbito deste trabalho foi facultado diverso material computacional já existente e

ferramentas numéricas, imprescindíveis para o estudo desta investigação. Um desses

programas, foi o gerador de malha tridimensional MESH3d. Esta aplicação, depois de

estudada, permitiu subdividir o volume de controlo em estudo, constituído por uma

conduta de entrada, uma curva e uma conduta de saída, em blocos constituídos por

células nas direcções x, y e z. Permitindo assim obter valores de velocidade e pressão

em todas as células computacionais do volume de controlo em todos os pontos de

interesse fulcral, no estudo do objectivo deste trabalho. As malhas geradas, foram

visualizadas com o recurso a um programa comercial para pós-processamento, de nome

Tecplot. Numa primeira abordagem o cálculo realizado foi 2D (plano x-y)

(bidimensional), contudo em termos de geração de malha estas só se apresentam em

forma 3D, este problema contornou-se com a aplicação de uma célula computacional na

direcção z, com planos de simetria em bottom e top. As células geradas

computacionalmente são hexaedros (6 faces), com o objectivo de reduzir ao máximo o

erro numérico, estas não deveram ter tamanhos muito diferentes, nem muito compridas

nem muito largas, assim como foi de evitar também, células em forma de charuto nas

direcções em que houve cálculo. Foi também importante assegurar que a passagem de

um bloco para o subsequente não apresentasse espessuras muito diferentes, isto porque

variações bruscas nas dimensões das células, levam a um aumento da incerteza

numérica. Antes de se escrever o mesh3d.dat foi planeado que tipos de malhas se

pretendiam, domínio de cálculo, características dimensionais, número de células nas

várias direcções, factores de compressão e de expansão, espaçamento, etc. Foram

também fornecidos códigos para conversão para Tecplot, um código de cálculo de

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

24

escoamentos, e um código de pós-processamento. O ficheiro mesh3d.dat é criado a

partir de um algoritmo, (que foi profundamente modificado) que ajudou a automatizar a

geração de malha, respondendo assim às necessidades pretendidas. Trata-se de um

programa para gerar o ficheiro de input do gerador de malha. Depois de familiarizado

com o código na perspectiva do utilizador, foram simulados alguns casos propostos e

não só, posteriormente tratados e comparados com soluções analíticas. Foram

implementadas diversas geometrias com diferentes curvas, em condições de escoamento

diferentes com o objectivo de obter o coeficiente de perda de carga. Foram garantidos

comprimentos de entrada e saída suficientemente longos, assegurando assim uma região

bem definida do escoamento desenvolvido. Com os valores de pressão e velocidade

obtidos calculou-se não só ξ, como também se comparou os perfis de velocidade e o

factor de fricção local com os valores da literatura.

4.1-OBTENÇÃO DE SOLUÇÔES ANALÍTICAS

O código criado, para a situação de escoamento bidimensional numa curva,

permitiu automatizar o processo de geração de malha, com as seguintes variáveis

constitutivas: comprimento da conduta de entrada; diâmetro da conduta; raio de

curvatura da curva; comprimento da conduta de saída; nº de blocos na conduta de

entrada, curva e saída, nº de células computacionais nas 3 direcções (x, y, z) de todos os

blocos; assim como factores de compressão e expansão de todas as células. Foi possível

definir o tipo de escoamento, os respectivos valores das componentes da velocidade (Ux,

Vy, Wz), a viscosidade, o intervalo de iteração, o critério de paragem do método

computacional, condições de fronteira (entrada, saída, planos de simetria, paredes) e não

só. Depois de assegurar a convergência do processo iterativo, foi possível recolher

dados que foram posteriormente utilizados no cálculo do coeficiente de perda de carga

da curva (Idelcik, 1971). A obtenção de perfis de velocidade parabólicos nas zonas de

escoamento totalmente desenvolvido, tanto à entrada como à saída da conduta, e os

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

25

valores de pressão em todas as células do volume de controlo, permitiram confirmar a

versatilidade, assertividade, e eficácia do código utilizado. A metodologia utilizada no

cálculo do coeficiente de perda de carga chegou a resultados credíveis, quando

comparados com a escassa literatura disponível.

Soluções analíticas, placas paralelas

Admite-se que as placas estão separadas por uma distância a, e que são

consideradas infinitas na direcção z (perpendicular ao plano do papel), sem a variação

de qualquer propriedade do fluido nessa mesma direcção. O volume de controlo

diferencial utilizado, possui um volume dV=dx*dy*dz. Sabe-se também que a

componente Ux da velocidade, deve ser zero tanto na placa superior como na inferior,

consequência da condição de não - escorregamento nas paredes, (Fox, 1998). Para que

ocorra este escoamento é necessário que exista uma diferença de pressão entre os pontos

inicial e final do escoamento. Assim, o aparecimento de uma camada - limite implica

numa aceleração da velocidade na região central da conduta, esta é a forma do

escoamento obedecer a lei da conservação da massa.

Para o escoamento incompressível, a conservação da massa exige que a

velocidade na linha de centro do tubo aumente com a distância em relação à entrada. A

velocidade média, em qualquer secção do trajecto deve ser igual à velocidade de

entrada. Para realizar as simulações, foi calculado o comprimento de entrada, ou seja, a

distância a partir da qual o escoamento fica completamente desenvolvido e onde o perfil

de velocidades não muda mais na direcção x. É nessa região que deve entrar o perfil de

velocidades que será comparado com a solução analítica.

Primeiramente, é necessário verificar se o número de Reynolds é = 2000,

caracterizando um escoamento laminar. Para o escoamento laminar, o comprimento de

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

26

entrada, (Le), é função do número de Reynolds, obedecendo à expressão apresentada por

Fox (1998), (eq.16).

(16)

A velocidade máxima do escoamento é encontrada em

, com

. O valor

de

é obtido através do gráfico de pressão ao longo da direcção do escoamento, como

este apresenta um comportamento praticamente linear, esse valor corresponde ao

próprio declive da recta.

4.2- REFINAMENTO DA MALHA

Em consequência da literatura inexistente, no que se refere a soluções analíticas

para um escoamento numa curva, efectuaram-se cálculos em malhas progressivamente

mais refinadas e estimou-se um valor “correcto” pelo método extrapolação de

Richardson. Depois de determinado este valor, foi comparado com os demais valores

calculados com as diferentes malhas. Vão ser apresentados no capítulo seguinte,

resultados que quantificam a incerteza numérica e a variação da incerteza com o grau de

refinamento da malha. Sejam as soluções computacionais B, C e D, referentes às

malhas B, C e D respectivamente.

4.3- ORDEM DE CONVERGÊNCIA

A ordem de convergência q das soluções numéricas com o nível de refinamento da

malha estima-se por (Ferziger e Peric, 1996), foi calculado da seguinte forma:

(

)

(17)

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

27

Sendo n a dimensão característica da malha mais refinada, D. A incerteza associado a

esta solução pode estimar-se por:

(18)

4.4- EXTRAPOLAÇÂO DE RICHARDSON

Face à ordem de convergência verificada, os valores de incerteza apresentados

neste trabalho referem-se simplesmente à diferença entre o valor obtido pela técnica de

extrapolação de Richardson (Fig.12) e o valor produzido pela mais refinada das malhas

usadas na simulação deste escoamento.

(19)

a

(20)

c

(21)

b

Fig.12- Demonstração da extrapolação de Richardson.

Vai ser demonstrada a aplicação do método para a situação de Re=10, com ζ 1 = 8.8304,

ζ 2 =8.1218 e ζ 3 =8.094.

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

28

(22)

(23)

(24)

4.5- ERRO ASSOCIADO

O cálculo do erro associado foi realizado da seguinte forma:

(25)

(26)

Ainda em relação à estrutura de malha usada, refira-se a dificuldade verificada em se

estimar o avanço numérico no tempo (δt) capaz de proporcionar um processo de cálculo

convergente. Uma relação minimamente óbvia entre uma dimensão característica do

escoamento e esse parâmetro numérico δt, tudo o resto igual, não foi encontrada. Isto

sugere uma dependência de factores geométricos inerentes à estrutura da malha

computacional. Verifica-se assim que o cálculo se revela dependente da malha. A

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

29

adequação do código a malhas não estruturadas surge assim de especial interesse na

resolução de escoamentos com fronteiras claramente definidas.

4.6- MALHAS E SEU EFEITO NA PRECISÃO DO CÓDIGO

Pretende-se neste capítulo avaliar o nível de incerteza do cálculo em função do

grau de refinamento da malha com base em simulações de situações limite para as quais

são conhecidas soluções teóricas e numéricas de referência. O objectivo desta tese não

passa por desenvolver soluções de referência do escoamento 3D ao longo de uma curva

de 90º. Tal seria praticamente impossível no tempo limitado disponível à concretização

deste trabalho. Pretende-se antes tipificar correlações físicas entre parâmetros

geométricos e dinâmicos do escoamento. Em consequência, a quantificação precisa da

incerteza associada a resultados específicos não é de grande relevância; note-se a

inexistência na literatura de soluções para este tipo de escoamento padrão a três

dimensões no que respeita aos aspectos estudados. Contudo, a pertinência de

caracterizar o nível de confiança nos resultados produzidos é inquestionável. A

capacidade preditiva do código numérico usado nesta tese, no estudo deste e de outros

tipos de escoamentos 2D, revelou-se muito assertiva, contudo, neste estudo em

particular as malhas 3D usadas são manifestamente grosseiras do ponto de vista

bidimensional (projecção sobre o plano z=0). O objectivo deste capítulo é assim o de

definir o nível de confiança quanto ao número e distribuição das células da malha no

plano da secção da conduta, e verificar a adequação desse número à caracterização de

escoamentos estacionários em canais curvos para diferentes geometrias. A aferição do

grau de confiabilidade é aqui realizada pela comparação de resultados numéricos com

os que decorrem da solução analítica, pela comparação de soluções bidimensionais em

malhas refinadas com soluções 3D geradas. O refinamento das malhas, contribuiu

significativamente para a precisão do código utilizado, como comprovam os valores de

incerteza calculados, foi também constatado que maiores números de Reynolds, ou seja

velocidades superiores, originam menores erros. Foi a situação de compromisso entre a

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

30

velocidade de iteração, convergência e incerteza/erro associado que regulou todo o

processo prático.

5. - APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DE RESULTADOS

Numa primeira fase, como já foi referido, foi estudado o efeito do refinamento da

malha, nos valores de perda de carga obtidos algebricamente. Para tal, foram geradas 4

malhas com as características expressas na seguinte tabela, (Tab.3). É importante

também referir que estas malhas são constituídas por dois blocos exactamente iguais na

conduta de entrada, 4 na curva e 2 na conduta de saída. Em todos estes quatro exemplos

foi considerado um comprimento de entrada igual a 1 m, e o de saída igual a 3 m, assim

como um diâmetro de conduta igual a 200 mm e um raio de curvatura igual a 250 mm. O

comprimento de entrada foi suficientemente longo para que do ponto de vista do

desenvolvimento do escoamento (totalmente desenvolvido), se tenha obtido um perfil

de velocidades parabólico, comprovando assim este pressuposto.

Tab.3- Número de células nas duas direcções (Nx,Ny), em todos os blocos.

Conduta entrada Curva Conduta saida

N x N y N x N y N x N y

Nº total de

células

computacionais

Malha A 24 7 7 7 7 72 1540

Malha B 48 15 15 15 15 144 6660

Malha C 96 31 31 31 31 288 27652

Malha D 192 63 63 63 63 576 112644

Depois de geradas as 4 malhas e escolhidos os 3 valores de Reynolds para o escoamento

e os respectivos valores de velocidade média (0.025 m/s; 0.125 m/s; 0.25 m/s), deu-se

início à recolha dos dados de simulação ou computacionais e posterior tratamento dos

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

31

mesmos, com o objectivo de calcular a perda de carga da curva em questão. É

importante também salientar que foram os valores de velocidade média, assim como os

valores de pressão (resultado da extrapolação e intercepção com o plano médio da

curva), (Tab.4) que foram utilizados para o cálculo do nosso objectivo de estudo.

Tab.4- Valores obtidos para as 3 malhas.

∆ Pressão * = Valor extrapolado e interceptado com o plano médio da curva

ε = Erro associado à medição do coeficiente de perda de carga relacionado com o refinamento

da malha

Nº células Nº Reynolds ∆ Pressão * ζ curva Erro (ε) Incerteza

Malha B 6660 10 0.6129 8.8304 8.84% 8.1138

Malha C 27652 10 0.3928 8.1218 0.10% 8.1127

Malha D 112644 10 0.3878 8.094 0.23% 8.0837

Nº células Nº Reynolds ∆ Pressão * ζ curva Erro (ε) Incerteza

Malha B 6660 50 4.8506 2.9803 10.55% 1.8397

Malha C 27652 50 3.213 2.6944 0.06% 1.8394

Malha D 112644 50 3.0789 2.6868 0.34% 1.8277

Nº células Nº Reynolds ∆ Pressão * ζ curva Erro (ε) Incerteza

Malha B 6660 100 14.0021 2.1989 17.39% 1.8735

Malha C 27652 100 10.9355 1.8648 0.44% 1.8733

Malha D 112644 100 10.728 1.8597 0.71% 1.8597

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

32

Fig.13- Esquema representativo do procedimento de obtenção do ∆P perdas loc.

Como já foi referido anteriormente, o cálculo do ξM foi efectuado da seguinte forma:

(27)

Contudo, existia também um outro processo alternativo, (eq.28) para a determinação de

ξM:

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

33

(28)

A partir da análise dos dados obtidos, foi possível observar que foi com número

Reynolds igual a 10, que foram obtidas maiores diferenças do valor de perda de carga,

entre a malha com menos e a malha com mais células computacionais. Todos os valores

de perda de carga calculados, diminuíram com o aumento de Reynolds, aliás como era

expectável e constatável na literatura existente. Através dos resultados, é bem visível o

efeito do refinamento da malha, nos valores obtidos experimentalmente. Todos os

valores de ∆P, retirados e posteriormente tratados, para os três números de Reynolds

estudados, diminuíram ligeiramente, com aumento do número de células totais de cada

malha. A queda de pressão provocada pela introdução da curva no escoamento é

expressa no gráfico abaixo (Fig.14), em função do comprimento de toda a instalação.

Ao fim de um metro, correspondente ao comprimento de entrada, foi constatável em

todos os gráficos realizados, um queda abrupta de pressão consequência da mudança de

direcção do escoamento assim como a todo o processo de adaptação do fluído as

paredes da curva.

Fig.14- Queda de pressão ao longo da malha C (27652 células) com Re=10.

-5,0

-4,5

-4,0

-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

0 1 2 3 4 5

Pre

ssão

Comprimento da instalação (metros)

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

34

Construíram-se para todos os 4 exemplos, gráficos da velocidade junto às paredes de

toda a instalação, com o objectivo de ver a evolução da mesma em cada ponto de

interesse para o meu estudo. De seguida é apresentado um gráfico com a evolução dos

perfis de velocidade retirados em vários pontos da conduta de entrada, (fig.19) e de

saída da malha C (Fig.15), com Re = 50. É bem visível a evolução de um perfil não

desenvolvido, referente à entrada da conduta, até uma situação de escoamento

completamente desenvolvido (identificado pelo perfil de velocidades parabólico), até

uma situação final de distorção do próprio perfil (vermelho), antevendo o início da

curva.

Fig.15- Evolução dos perfis de velocidade da malha C na conduta de entrada.

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

-1 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1

ux

( m

/s )

y'

Evolução dos perfis de velocidade

na conduta de entrada

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

35

Fig.16- Evolução dos perfis de velocidade na conduta de saída da malha C.

De seguida serão apresentados gráficos da evolução do valor de velocidade junto

à parede superior e inferior das condutas de entrada, da malha A (1540 células), com um

número de Reynolds = 10 (Fig.17/18). Os valores de velocidade obtidos, correspondem

ao valor das células computacionais mais próximas das paredes, e estes são,

logicamente função do grau de refinamento das malhas. É possível observar que na

conduta de entrada (parede inferior), a velocidade decresce ao longo da conduta até um

ponto, (antecedendo o inicio da curva) em que a velocidade aumenta; logo a seguir ao

fim da curva (parede inferior), é observável uma queda de velocidade abrupta, seguida

de um aumento significativo até uma situação de valor constante.

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

-1 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0

vy(

m /

s )

y'

Evolução dos perfis de velocidade

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

36

Fig.17- Evolução da velocidade junto à parede inferior na conduta de entrada.

Fig.18- Evolução da velocidade junto à parede inferior na conduta de saída.

Serão agora apresentados os mesmos gráficos, só que desta vez referentes à

parede superior, da conduta de entrada e de saída, (fig.19/20). Neste caso a velocidade

na conduta de entrada vai decrescendo gradualmente até o início da curva, o

comportamento da velocidade na conduta de saída é contrário ao que foi descrito na

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

0,022

0,024

0,026

-1,0

-0,9

-0,9

-0,9

-0,8

-0,8

-0,7

-0,7

-0,7

-0,6

-0,6

-0,5

-0,5

-0,4

-0,4

-0,4

-0,3

-0,3

-0,2

-0,2

-0,2

-0,1

-0,1

0,0

Ux

(m/s

)

Comprimento conduta de entrada

Parede inferior / conduta de entrada

0,008

0,008

0,009

0,009

0,010

0,010

0,011

0,0

-0,1

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

-0,8

-0,9

-1,0

-1,1

-1,3

-1,4

-1,5

-1,6

-1,8

-1,9

-2,0

-2,1

-2,3

-2,4

-2,5

-2,6

-2,8

-2,9

Vy

(m/s

)

Comprimento conduta saída

Parede inferior / conduta de saída

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

37

parede inferior, ou seja depois de um pequeno aumento de velocidade logo apôs o fim

da curva, verifica-se uma redução abrupta do valor de velocidade até uma situação de

valor constante.

Fig.19- Evolução das velocidades na parede superior, da conduta de entrada.

Fig.20- Evolução das velocidades na parede superior, da conduta de saída.

Numa segunda fase foi construído um volume de controlo com condutas de

entrada e saída iguais a 3 metros, com um diâmetro das mesmas, igual a 200mm. Foram

0,003

0,008

0,013

0,018

0,023

0,028

-1,0

-0,9

-0,9

-0,9

-0,8

-0,8

-0,7

-0,7

-0,7

-0,6

-0,6

-0,5

-0,5

-0,4

-0,4

-0,4

-0,3

-0,3

-0,2

-0,2

-0,2

-0,1

-0,1

0,0

Ux

(m

/s)

Comprimento conduta de entrada

Parede superior / conduta de entrada

0,010

0,011

0,011

0,012

0,012

0,013

0,013

0,014

0,014

0,015

0,0

-0,2

-0,3

-0,4

-0,6

-0,7

-0,9

-1,0

-1,2

-1,3

-1,5

-1,6

-1,8

-1,9

-2,1

-2,2

-2,3

-2,5

-2,6

-2,8

-2,9

Vy (

m/s

)

Comprimento conduta de saída

Parede superior / conduta de saída

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

38

testados raios de curvatura iguais a 750, 500, 250, 200, 150, 100, 50 e 25mm e a

influência de vários números de Reynolds (0.01, 0.1, 0.5, 1, 2, 5, 10, 50 e 100) no

cálculo da perda de carga das oito curvas. A fim de facilitar cálculos e estudos, foi

introduzida uma noção de comprimento equivalente. As perdas de carga em linha e

localizadas são convertidas para um Leq, com o mesmo valor de perda de carga.

Os valores de pressão utilizados foram obtidos da seguinte forma; para o cálculo

do ζM escolheram-se duas zonas de escoamento totalmente desenvolvido na conduta de

entrada e na de saída, onde foram aproximadas duas rectas, da extrapolação destas duas

rectas com o valor do plano médio da curva foi obtido o ∆P loc. Para o cálculo de ζf

(Fig.21), a metodologia foi diferente, o valor de ∆P utilizado correspondia ao declive da

recta aproximada na conduta de entrada, numa zona totalmente desenvolvida.

Fig.21- Metodologia utilizada na obtenção de ∆ Pressão (λ).

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

39

Todos os valores de velocidade e pressão retirados das simulações, assim como os

valores calculados de perda de carga das curvas estão apresentados nos anexos, com a

excepção da malha H, apresentada na seguinte tabela, (Tab.5).

Tab.5- Valores calculados para a malha H (17732 células) em função de Re.

Nº células Diâmetro R curvatura Rey ∆ Pressão loc ∆P (cálculo de λ) ζ Curva ζ =λ*L/D

Malha H 17732 200 150 0.01 0.0000057 0.0005 21410.4302 3200

Malha H 17732 200 150 0.1 0.00115 0.0055 2389.9409 352

Malha H 17732 200 150 0.5 0.0053 0.0274 475.7008 70.144

Malha H 17732 200 150 1 0.0108 0.0549 238.3422 35.136

Malha H 17732 200 150 2 0.0212 0.1100 119.353 17.6

Malha H 17732 200 150 5 0.0434 0.2752 47.6526 7.0451

Malha H 17732 200 150 10 0.0465 0.5499 23.6759 3.5194

Malha H 17732 200 150 50 1.8809 2.8620 5.1387 0.7327

Malha H 17732 200 150 100 10.546 6.7147 3.2103 0.4297

Numa primeira observação dos valores obtidos, foi possível dizer que o aumento

do Nº de Reynolds provoca sempre uma diminuição do valor de ξ, em consequência da

forma como a dimensionalização foi feita, por outro lado podemos dizer que o valor do

coeficiente de perda de carga varia inversamente com o valor de velocidade média do

escoamento. Quanto maiores são os raios de curvatura, menores são as diferenças entre

os valores de ξ calculados pelos dois métodos, o que é compreensível, uma vez que,

quanto mais lenta e suave é a mudança de direcção (maiores raios de curvatura), mais

tempo tem o fluído de se adaptar as mudanças geométricas, aproximando - se muito

mais da hipótese de que a perda de carga, pode ser considerada apenas pelo valor de

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

40

perda em linha. Logicamente quanto maiores os números de Reynolds, maiores as

velocidades à entrada da curva, assim como valores superiores de variação de pressão

das curvas. Depois de calculados os valores de ξ, foi possível perceber que para valores

de Reynolds inferiores a 0.1, não há alteração significativa do valor de perda de carga,

isto mesmo foi testado com Re = 0.01. O mesmo aconteceu com raios de curvatura

superiores a 500mm, os cálculos efectuados demonstraram que a partir deste raio não há

alteração significativa do valor de perda. No seguinte gráfico, (Fig.22) são comparados

os valores obtidos para os 6 raios de curvatura em função dos números de Reynolds

estudados.

Fig.22- Coeficiente de perda de carga localizada das curvas estudadas

Vamos analisar com mais detalhe e cuidado a malha H, que tem um raio de curvatura

igual a 150 mm e um número total de células computacionais igual a 17732, (Tab.6).

1

10

100

1000

10000

100000

0 20 40 60 80 100

ζ curv

a

Re

R curvatura=500mm

R curvatura=200mm

R curvatura=150mm

R curvatura=100mm

R curvatura=50mm

R curvatura=25mm

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

41

Tab.6- Valores calculados para a malha H (17732 células) em função de Re.

Nº células

Nº

Reynolds

ζ curva

(total)

Desvio

Padrão ζ =λ*L/D

Malha H 17732 0.01 3105.0594 1397.15 1032.2802

Malha H 17732 0.1 310.7596 124.18 103.3124

Malha H 17732 0.5 62.3962 15.51 20.7437

Malha H 17732 1 31.374 7.72 10.4303

Malha H 17732 2 15.9256 4.59 5.2945

Malha H 17732 5 6.7476 1.50 2.2432

Malha H 17732 10 3.7393 1.17 1.2433

Malha H 17732 50 1.4045 0.48 0.467

Malha H 17732 100 0.4393 ---- 0.0955

De seguida serão apresentados gráficos (fig.23/24) referentes à malha H, da evolução

das componentes da velocidade, em x e em y na curva em questão, assim como um

pequeno esquema demonstrativo das zonas onde foram retirados estes mesmos perfis de

velocidade

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

42

Fig.23- Evolução dos perfis de velocidade (Ux) em 4 posições consequentes da curva.

Fig.24- Evolução dos perfis de velocidade (Vy) em 4 posições consequentes da curva.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-1,0 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0

U'x ( m

/s )

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-1,0 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0

Vy

( m

/s )

1

2

3

4

1

2

3

4

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

43

Sendo os dois gráficos apresentados em cima, valores das componentes de velocidade

(Ux,Vy), vamos calcular a norma da velocidade da seguinte forma √ , e

apresentar a evolução do perfil de velocidade da mesma ao longo da curva, (Fig.25)

Fig.25 – Evolução do perfil de velocidades (total) ao longo da curva.

Serão de seguida apresentados dois gráficos, das duas componentes da velocidade num

escoamento bidimensional com curvatura, cujo raio é igual 50mm e Re = 100, (Fig.26).

Neste mesmo exemplo é possível identificar zonas onde existe recirculação, ou seja

valores de velocidade com sinais opostos na parede inferior da curva, comprovando

assim os pressupostos apresentados na introdução.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-1 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1

Vto

tal (

m/s

)

1

2

3

4

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

44

Fig.26- Componentes da velocidade (Vy) numa malha com Rcurvatura=50 e Re=100.

Fig.27- Componentes da velocidade (Ux) numa malha com Rcurvatura=50 e Re=10.

Numa fase final foi efectuado o mesmo estudo, mas considerando o volume de

controlo tridimensional, ou seja com células na direcção z, superior ao valor unitário. As

-0,1

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,1

-1,0 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0

Vy(

m/s

)

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-1 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1

Ux

( m

/s )

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

45

cinco malhas geradas têm todas, as mesmas características geométricas, ou seja,

comprimento da conduta de entrada e de saída igual a 3 metros, diâmetro da conduta

igual a 200 mm, raio de curvatura igual a 50 e Número de Reynolds igual a 10. Os

valores obtidos estão representados na tabela a baixo, (Tab.7). As cinco malhas, tem

respectivamente um número total de células igual a: 6076, 16380, 35100, 56700 e

102300.

Tab.7- Malhas tridimensionais geradas e respectivos cálculos de perdas.

Nx; Ny; Nz

(curva )

Nº células

total

Raio de

curvatura

Nº

Reynolds ∆P loc ∆P (λ) λ ζ M ζ f ζ curva ζ=λ*L/D

Malha

Z.1 7 ; 7 ; 7 6076 50 ( mm ) 10 0.9177 4.0585 50.9502 2.9366 10.0308 12.9675 25.9744

Malha

Z.2 15 ; 15 ; 7 16380 50 ( mm ) 10 0.7911 4.1845 52.5319 2.5315 10.3422 12.8738 26.7808

Malha

Z.3 15 ; 15 ; 15 35100 50 ( mm ) 10 0.9201 4.2622 53.5074 2.9443 10.5343 13.4786 27.2781

Malha

Z.4 21 ; 21 ; 15 56700 50 ( mm ) 10 0.2763 0.7551 9.4795 0.8842 1.8663 2.7504 4.8326

Malha

Z.5 31 ; 31 ; 15 102300 50 ( mm ) 10 0.2715 0.7566 9.4983 0.8688 1.8699 2.7388 4.8422

Nx, Ny, Nz = Número de células nas 3 direcções da curva

∆ Pressão loc = Diferença de pressão utilizada no cálculo de ζM

∆ Pressão (λ) = Diferença de pressão utilizada no cálculo de λ

ξ M = Coeficiente de perda de carga localizada

ξ f = Coeficiente de perda de carga em linha

ξ curva = Coeficiente de perda de carga global da curva

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

46

6.-CONCLUSÕES

Uma considerável quantidade de dados numéricos foram calculados, para fluídos

Newtonianos que passam por uma curva, com raios de curvatura compreendidos entre

25 mm e 750 mm, em regime laminar, tendo sido variado o Nº de Reynolds entre 0.01 e

100, com o objectivo de chegarmos aos valores de perda de carga de todas as curvas em

estudo, valores estes apresentados na tab.5. Existe uma grande influência do número de

Reynolds nos valores de , isto é, quanto maior é a desorganização do escoamento,

menor é o valor de perda carga global de cada curva, contudo, diminuindo o raio da

curvatura da curva, diminuímos o valor de perda de carga de uma forma significativa.

Foi claramente observável a influência do refinamento da malha na precisão de cálculo

do valor de perda de carga da curva. Assim como o peso de cada uma das perdas, em

linha e localizada no valor final global de cada curva em questão. A partir de gráficos de

velocidade construídos, em localizações chave, foi possível concluir em que zonas da

curva existe descolamento do líquido (junto as paredes), ou seja, zonas de recirculação

do fluído. Resultados obtidos a partir da extrapolação de Richardson, permitiram

concluir que o erro associado diminuía com o aumento do grau de refinamento, em

todas as situações de escoamento estudadas (Re=5; 10; 100), foi a malha C que

apresentou menor erro quando comparado com o valor óptimo. O valor de incerteza

associada a cada medição diminuiu com grau de refinamento das malhas em estudo. Foi

comprovada também a mais-valia da análise tridimensional comparativamente à 2D.

Em consequência da escassa literatura existente, não é possível concluir a verdadeira

assertividade e rigor dos valores calculados. Contudo, é importante também referir que

alguns valores obtidos saíram da cadência de resultados expectável, contudo foram

satisfatórios e futuramente possibilitarão análises comparativas com resultados

simulados através da fluido dinâmica computacional. A simulação deste escoamento

pelo método dos volumes finitos parece tão válida a duas dimensões quanto o é a três. O

problema do perfil de tensão de corte, manifesta-se igualmente nas duas geometrias de

escoamento (2D e 3D) e julga-se estar associado à estrutura não ortogonal das malhas

utilizadas e não à natureza tridimensional do escoamento, não afectando

significativamente o campo de velocidades. O nível de incerteza associado ao cálculo

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

47

do coeficiente de perda de carga em curvas 3D é da mesma ordem de grandeza daquele

relativo às curvas 2D.

Penso que futuramente será pertinente efectuar os cálculos para outro tipo de

fluidos, nomeadamente, não - newtonianos e visco elásticos e aumentar a gama de

análise, contornando assim a não linearidade do objectivo deste trabalho.

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

48

7.-BIBLIOGRAFIA

- Crane Co., 1779. Flow of fluids. Technical paper 410, Chicago

- Gibson, A.H., 1930. Hydraulics and its Applications, fourth ed. Van Nostrand

Co., Berlin

- Massey, B.S., Mechanics of Fluids, 8Th

ed. Chapman & Hall, London

- Patankar, S.V., 1980. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere

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- Shames, I.H., 1992. Mechanics of Fluids, third ed. McGraw-Hill International

Editions, Berlim

- Batchelor, G.K. 1967. An introduction to Fluid Dynamics. Cambridge university

Press, Cambridge, Uk, 1st ed.

- Iribarne, A., Frantisak, F., Hummel, R.L. and Smith, J.W. 1972. An

experimental study of instabilities and other flow properties of a laminar pipe jet.

- Streeter, V.L and Wylie, E.B. 1975. Fluid Mechanics, 6th

ed., McGraw-Hill,

New York

- Oliveira, P.J., Pinho, F.T., 1997. Pressure drop coefficient of laminar Newtonian

flow in axismmetric sudden expansions. Int. J. Heat Fluid Flow

- Oliveira, P.J., Pinho, F.T., Schulte, A., 1998. A general correlation for local loss

coefficient in Newtonian axisymmetric sudden expansions. Int. J. heat Fluid

Flow

- Dean, W.R (1927). “Note on the motion of fluid in a curved pipe”

- Garcia E.J. & J.F. Steffe (1987). “Comparison of friction factor equations for

non-Newtonian fluids in a pipe flow”

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

49

8.-REFERÊNCIAS

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- Péric, M., 1985. A Finite volume method for the prediction of three-dimensional

fluid flow in complex duct. Ph.D. thesis, Imperial College, University of

London.

- White, F.M. 1979. Fluid Mechanics, McGraw-Hill, New York

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

50

9.-ANEXOS

Tab.8- Dados recolhidos referentes a diferentes malhas.

Nº células Diâmetro

Raio de

curvatura

Nº

Reynolds

∆P loc

(extrapolação)

∆P

(cálculo de λ)

ζ curva

(total) ζ =λ*L/D

Malha E 17732 200 750 0.01 0.00092 0.0005 7222.0507 3200

Malha E 17732 200 750 0.1 0.0072 0.0055 700.9856 352

Malha E 17732 200 750 0.5 0.0524 0.0375 195.4135 96

Malha E 17732 200 750 1 0.0714 0.0549 69.821 35.136

Malha E 17732 200 750 2 0.1425 0.11 34.9293 17.6

Malha E 17732 200 750 5 0.3575 0.2753 16.3545 7.0477

Malha E 17732 200 750 10 0.7233 0.5504 7.0238 3.5226

Malha E 17732 200 750 50 3.9012 2.8747 1.4832 0.7359

Malha E 17732 200 750 100 8.6658 6.7027 0.8508 0.429

Nº células Diâmetro

Raio de

curvatura

Nº

Reynolds

∆P loc

(extrapolação)

∆P

(cálculo de λ)

ζ curva

(total) ζ =λ*L/D

Malha F 17732 200 500 0.01 0.00046 0.0005 7889.1122 3200

Malha F 17732 200 500 0.1 0.0049 0.0042 695.8374 268.8

Malha F 17732 200 500 0.5 0.0177 0.0274 163.3191 70.144

Malha F 17732 200 500 1 0.035 0.0549 81.6599 35.136

Malha F 17732 200 500 2 0.0702 0.11 40.9101 17.6

Malha F 17732 200 500 5 0.1783 0.2753 16.4153 7.0477

Malha F 17732 200 500 10 0.37 0.5503 8.2467 3.5219

Malha F 17732 200 500 50 2.4287 2.8707 1.7846 0.7349

Malha F 17732 200 500 100 6.5063 6.6913 1.067 0.4282

Nº células Diâmetro

Raio de

curvatura

Nº

Reynolds

∆P loc

(extrapolação)

∆P

(cálculo de λ)

ζ curva

(total) ζ =λ*L/D

Malha G 17732 200 200 0.01 0.000109 0.0005 16399.7554 3200

Malha G 17732 200 200 0.1 0.0006 0.0055 1784.8051 352

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

51

Malha G 17732 200 200 0.5 0.0021 0.0274 354.5249 70.144

Malha G 17732 200 200 1 0.0048 0.0549 177.7755 35.136

Malha G 17732 200 200 2 0.009 0.11 88.5843 17.6

Malha G 17732 200 200 5 0.0153 0.2752 35.5336 7.0451

Malha G 17732 200 200 10 0.00066 0.5501 17.6614 3.5206

Malha G 17732 200 200 50 1.5917 2.8633 3.8804 0.733

Malha G 17732 200 200 100 8.0402 6.6987 2.4077 0.4287

Nº células Diâmetro Raio de

curvatura

Nº

Reynolds

∆P loc

(extrapolação)

∆P

(cálculo de λ)

ζ curva

(total) ζ =λ*L/D

Malha H 17732 200 150 0.01 0.0000057 0.0005 21410.4302 3200

Malha H 17732 200 150 0.1 0.00115 0.0055 2389.9409 352

Malha H 17732 200 150 0.5 0.0053 0.0274 475.7008 70.144

Malha H 17732 200 150 1 0.0108 0.0549 238.3422 35.136

Malha H 17732 200 150 2 0.0212 0.1100 119.353 17.6

Malha H 17732 200 150 5 0.0434 0.2752 47.6526 7.0451

Malha H 17732 200 150 10 0.0465 0.5499 23.6759 3.5194

Malha H 17732 200 150 50 1.8809 2.8620 5.1387 0.7327

Malha H 17732 200 150 100 10.546 6.7147 3.2103 0.4297

Nº células Diâmetro Raio de

curvatura

Nº

Reynolds

∆P loc

(extrapolação)

∆P

(cálculo de λ)

ζ curva

(total) ζ =λ*L/D

Malha I 17732 200 100 0.01 0.0000977 0.0005 32414.5508 3200

Malha I 17732 200 100 0.1 0.00182 0.0055 3589.4502 352

Malha I 17732 200 100 0.5 0.0083 0.0274 714.2979 70.144

Malha I 17732 200 100 1 0.0168 0.0549 357.855 35.136

Malha I 17732 200 100 2 0.0325 0.1099 179 17.584

Malha I 17732 200 100 5 0.0689 0.2752 71.5575 7.0451

Malha I 17732 200 100 10 0.0835 0.5497 35.56 3.5181

Malha I 17732 200 100 50 2.5737 2.862 7.6795 0.7327

Malha I 17732 200 100 100 15.2761 6.744 4.8187 0.4316

Nº células Diâmetro

Raio de

curvatura

Nº

Reynolds

∆P loc

(extrapolação)

∆P

(cálculo de λ)

ζ curva

(total) ζ =λ*L/D

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

52

Malha J 17732 200 50 0.01 0.0001 0.0005 64507.468 3200

Malha J 17732 200 50 0.1 0.00239 0.0055 7137.1015 352

Malha J 17732 200 50 0.5 0.0111 0.0274 1421.1973 70.144

Malha J 17732 200 50 1 0.0226 0.0549 712.0104 35.136

Malha J 17732 200 50 2 0.0435 0.1099 356.1901 17.584

Malha J 17732 200 50 5 0.08977 0.2751 142.4128 7.0426

Malha J 17732 200 50 10 0.10060 0.5493 70.8383 3.5155

Malha J 17732 200 50 50 3.6442 2.8627 15.1664 0.7329

Malha J 17732 200 50 100 19.9518 6.7967 9.3637 0.435

Nº células Diâmetro Raio de

curvatura

Nº

Reynolds

∆P loc

(extrapolação)

∆P

(cálculo de λ)

ζ curva

(total) ζ =λ*L/D

Malha K 17732 200 25 0.01 0.0001 0.0005 128629.572 3200

Malha K 17732 200 25 0.1 0.0025 0.0055 14194.053 352

Malha K 17732 200 25 0.5 0.0127 0.0274 2828.8018 70.144

Malha K 17732 200 25 1 0.1764 0.0549 1465.2871 35.136

Malha K 17732 200 25 2 0.0473 0.1099 708.8451 17.584

Malha K 17732 200 25 5 0.0949 0.275 283.4958 7.04

Malha K 17732 200 25 10 0.09130 0.549 141.1761 3.5136

Malha K 17732 200 25 50 4.7486 2.864 30.0061 0.7332

Malha K 17732 200 25 100 24.4545 6.8367 18.3268 0.4375

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

53

Graf.28- Componentes da velocidade (Vy) numa malha com Rcurvatura=50 e

Rey=100

Graf.29- Componentes da velocidade (Vy) numa malha com Rcurvatura=50 e

Rey=100

-0,10

0,10

0,30

0,50

0,70

0,90

1,10

-3,5

0

-3,5

0

-3,5

0

-3,5

0

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

8

-3,4

8

Vel

oci

dad

e (

m/s

)

Perfil de velocidade - curva ( V'y )

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-3,5

0

-3,5

0

-3,5

0

-3,5

0

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

9

-3,4

8

-3,4

8

Vel

oci

dad

e (

m/s

)

Perfil de velocidade - curva ( V'x )

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

54

Tab.9- Dados recolhidos referentes ao caso tridimensional

Fig - Diagrama de moody

Nx;Ny;Nz ( curva )

Nº células total

Diâmetro conduta

Raio de curvatura

Nº Reynolds

Velocidade ∆ Pressão

ζ M ζ f ζ total ζ =λ*L/D

Malha Z.1

7 ; 7 ; 7 6076 200 ( mm ) 50 ( mm ) 10 0.025 ( m/s ) 0.9609 3.0749 0.5332 3.5981 0.4704

Malha Z.2

15 ; 15 ; 7 16380 200 ( mm ) 50 ( mm ) 10 0.025 ( m/s ) 1.0438 3.3402 0.5496 3.8898 0.4941

Malha Z.3

15 ; 15 ; 15 35100 200 ( mm ) 50 ( mm ) 10 0.025 ( m/s ) 0.7308 2.3386 0.4976 2.8362 0.4474

Malha Z.4

21 ; 21 ; 15 56700 200 ( mm ) 50 ( mm ) 10 0.025 ( m/s ) 0.2046 0.6547 0.121 0.7757 0.1088

Malha Z.5

31 ; 31 ; 15 102300 200 ( mm ) 50 ( mm ) 10 0.025 ( m/s ) 0.2189 0.7005 0.1239 0.8244 0.1114

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

55

Fig - Escoamento em camada-limite com gradiente de pressão.

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

56

Fig - Valores tabelados de perdas localizadas de algumas curvas

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

57

Fig - Subdomínio do domínio bidimensional

Fig - Valores de perda de carga para diferentes geometrias de curvas

Estudo numérico do escoamento de fluidos newtonianos num canal bidimensional com curvatura

58

Reynolds=5

Reynolds=10

0,27495

0,275

0,27505

0,2751

0,27515

0,2752

0,27525

0,2753

0,27535

00,0050,010,0150,020,0250,030,0350,040,045

∆ P

ress

ão

1/Raio curvatura

0,5488

0,549

0,5492

0,5494

0,5496

0,5498

0,55

0,5502

0,5504

0,5506

00,0050,010,0150,020,0250,030,0350,040,045

∆ P

ress

ão

1/Raio curvatura

∆

∆Pressão

Raio de

curvatura

1 / Raio de

curvatura

0.5504 750 0.001333333

0.5503 500 0.002

0.5501 200 0.005

0.5499 150 0.006666667

0.5497 100 0.01

0.5493 50 0.02

0.549 25 0.04