Condizioni di drenaggio nei terreni saturi
• t = 0: drenaggio impedito ⇒ ∆u ≠ 0, ∆σ’=∆σ - ∆u ≠ 0 ⇒ cedimento iniziale (immediato) w0(∆u non equilibrate con le condizioni idrauliche al contorno)
Fondazione (sovraccarico)
t
w
σσ’ σ
u
wcw0w∞
• t → ∞: drenaggio libero ⇒ ∆u → 0, ∆σ’=∆σ ⇒ cedimento finale (totale) w∞ = w0+wc(∆u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno)
• t > 0: consolidazione ⇒ ∆u = -∆σ’ = f(t) ⇒ cedimenti di consolidazione wc = w(t)
∆u
In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale ∆σ costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive :
w∞
∆u/γw
Condizioni drenaggioConsolidazione
1
[ ] [ ] [ ]u Iσ σ ′= +
0
0
0
yx zxx
xy y zy
yzxz zsat
u + +
x y z xu + +
x y z yu + +
x y z z
σ τ τ
στ τ
σττ γ
′ ∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂′∂∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂ ∂
′∂ ∂∂ ∂+ − =
∂ ∂ ∂ ∂
0
0
0
yx zxx
xy y zy
yzxz zsat
+ +
x y z
+ + x y z
+ + x y z
σ τ τ
στ τ
σττ γ
∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∂∂ ∂
=∂ ∂ ∂
∂ ∂∂− =
∂ ∂ ∂
Introducendo la definizione di tensioni efficaci
nelle equazioni indefinite dell’equilibrio del terreno saturo (γ = γsat, asse z verso il basso):
si ricavano le equazioni in termini di tensioni efficaci e pressioni interstiziali:
Condizioni di equilibrio nei terreni saturiCondizioni drenaggio
Consolidazione2
wi
hx
γ ∂
= ∂ forze di trascinamento
( )wu h zγ= +
Esprimendo la pressione neutra u in funzione della quota piezometrica h:
si ottengono le equazioni di equilibrio riferite allo scheletro solido :
Si verificano perciò condizioni di drenaggio libero quando i carichi sono lentamente variabili e:• i terreni hanno permeabilità elevata (grana grossa), per t ≥ 0• i terreni hanno bassa permeabilità (grana fine), per t → ∞
Condizioni drenate
0
0
0
yx zxxw
xy y zyw
yzxz zw
h + +
x y z xh + +
x y z yh + +
x y z z
σ τ τ γ
στ τ γ
σττ γ γ
′ ∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂′∂∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂ ∂
′∂ ∂∂ ∂ ′+ − =∂ ∂ ∂ ∂
Si definiscono condizioni drenate quelle per cui:• il fluido interstiziale è in quiete o in moto permanente• le quote piezometriche sono ottenibili dall’analisi di filtrazione • la distribuzione delle pressioni interstiziali è disaccoppiata da quella delle tensioni totali
Condizioni drenaggioConsolidazione
3
Condizioni non drenate nei terreni a grana fine
In un terreno fine saturo sovraccaricato, sono possibili variazioni di volume (εv) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: ∆w ≠ 0 ⇒ εv ≠ 0
All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione di tensioni totali (∆σ),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: ∆w = 0 ⇒ εv ≅ 0
Per il calcolo degli incrementi di tensione totale ∆σ = f(P,ν), e anche dei cedimenti w = f(∆σ, E,ν)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (εv ≅ 0) ma capace di deformarsi per distorsione (εs ≠ 0).
00v
tε
==
,u uE ν
u σ′∆ σ∆
3(1 2 )
2(1 ) 3
u
u
u u
u
EK
E EG
ν
ν
= = ∞−
= = ≠ ∞+
rigidezza volumetrica
rigidezza distorsionale Ciò equivale ad assumere ν=νu=0.5 e pertanto:
z
Condizioni drenaggioConsolidazione
4
Approcci per le analisi delle condizioni non drenate
Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci (∆σ = ∆σ’ + ∆u)e la ripartizione di ∆σ tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza tra le (infinitesime) variazioni di volume di scheletro solido e acqua
Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t=0”):
Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci
incrementi tensioni totali ∆σ = f(P, νu)
incrementi pressioni interstizialiIgnoti
∆u = f(∆σ)
incrementi tensioni efficaci ∆σ’ = ∆σ - ∆u
caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; νu = 0.5) scheletro solido (E’ ; ν’)
calcolo deformazioni ε = f(∆σ, Eu, νu) ε = f(∆σ’, E’, ν’)
L’approccio alle tensioni totali è più pratico,quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruentinell’ipotesi di validità della teoria elastica.
''2(1 ) 3 2(1 ')
u uu
u
E E EG Gν ν
= = ≡ =+ +
In particolare se:
Condizioni drenaggioConsolidazione
5
Parametri di pressione interstiziale
La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere ∆u = f(∆σ) separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazioneSkempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)
[ ]1 3 3 1 3( , ) ( )u f B Aσ σ σ σ σ∆ = ∆ ∆ = ∆ + ∆ − ∆
3u B σ∆ = ∆ 1 3( )u BA σ σ∆ = ∆ − ∆incremento (sferico) di σ3 ⇒ incremento di σ1 ⇒
1 3cσ σ σ∆ = ∆ = ∆
3σ
1σ
3σ
1σ
3B σ∆
q
, ,p p u′
q
, ,p p u′
3B σ∆1 3( - )BA σ σ∆ ∆
1 3Δq Δ Δσσ= −
Condizioni drenaggioConsolidazione
6
Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I
Applicazione di compressione isotropa 1 2 3p σ σ σ∆ = ∆ = ∆ = ∆ ad un terreno bifase
Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:
' '
f ff f
ss ssss ss
u uV V nVK K
p pV V VK K
∆ ∆∆ = =
∆ ∆∆ = =
' ( )f ff ss
ss ss
K KV V u p p u
nK nK∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆ = ∆ − ∆
31 1
1 1ss ss
f f
u pK Kn nK K
σ∆ = ∆ ≡ ∆ ⇒+ +
Imponendo la congruenza:
Riordinando: 3
1
1 ss
f
u u B Kp nK
σ∆ ∆
= = =∆ ∆ +
Condizioni drenaggioConsolidazione
7
Considerando che Kw (≅ 2000 MPa) >> Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg (≈ 0), sarà:
• terreno saturo 1 11 ss
w
B KnK
= ≅+
(∆σ è tutto ‘a carico dell’acqua’)
• terreno asciutto 1 01 ss
g
B KnK
= ≅+
(∆σ è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)
• terreno non saturo ] [1 0,11 (1 )ss ss
w g
B K KnS n SK K
= ∈+ + −
(∆σ ripartito tra le fasi)
Nei terreni non saturi, il coefficiente B dipende quindi dalla combinazione di:
• porosità n • grado di saturazione S• rigidezza Kss dello scheletro solido
q
, ,p p u′
0 0S u= ⇒ ∆ =
1S u p= ⇒ ∆ = ∆
Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - IICondizioni drenaggio
Consolidazione8
Applicazione di un incremento di deviatore 1 3σ σ∆ − ∆ ad un terreno bifase
Dalla condizione 1 31 131 1ss ss
f f
u pK Kn nK K
σ σ∆ − ∆∆ = ∆ ≡
+ +risulta:
1 3
1 131 ss
f
uAB KnK
σ σ∆
= =∆ − ∆ +
Se il terreno è saturo, risulta e poiché B=1,
Per ‘percorsi di estensione’ (∆q<0)
13
AB ≅13
A =
23
A =
In realtà, i coefficienti A sono tutt’altro che conformi a questi valori teorici!Argilla sensitiva 0.7 – 1.5
Argilla molle 0.5 – 1.0
Argilla di media consistenza 0.0 – 0.5
Argilla molto consistente -0.5 – 0.0
Valori sperimentali tipici di A:
q
, ,p p u′
3qu ∆
∆ =
q∆
Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - III
si dimostra invece che
q∆In ogni caso, in ipotesi di elasticità,il percorso di tensioni efficaci è verticale
23
u q∆ = ∆
Condizioni drenaggioConsolidazione
9
Processi di consolidazione dei terreni saturi
Il flusso necessario per ristabilire l’equilibrio idraulico al contorno è associato a variazioni di porosità (→ cedimenti) dello scheletro solido
Analogia del pistone idraulico (molla → rigidezza scheletro solido, valvola → permeabilità del terreno):
2
2 2
fed
w w
w
wf
ed
σV w A HAE
h / Δu σi H / γ H γ H
σQ kiA k Aγ H
γ HVt Q kE
= = =
= = = =
= = =
= = =
volume acqua espulsa
gradiente idraulico medio
portata media effluente
tempo di riequilibrio
w
Consolidazione = fenomeno idrodinamico transitorio tra condizioni di drenaggio impedito (t=0) e libero (t=∞)
A
k
Eed
σ
H
Condizioni drenaggioConsolidazione
10
Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi
Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx=vy=0):
zv ndz dAdt dzdA dtz t
∂ ∂− ⋅ = ⋅
∂ ∂
Indicando con u il solo incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),
zw
h uv k kz z
ζγ
∂ ∂= − = − + ∂ ∂
e con σ′ il solo incremento di tensione efficace (=-u),
'1 v z
ed ed
e une E E
σε ε∆−∆ = − = = = = −
+
uguagliando la alla e introducendo la ,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola u(z,t):
2
2
1
w ed
k u uz E tγ
∂ ∂=
∂ ∂
dz
dxdy
zz
vv dzz
∂+
∂
zv
zv nz t
∂ ∂− =
∂ ∂⇒
⇒2
2z
w
v k uz zγ
∂ ∂− =
∂ ∂
1
ed
n ut E t
∂ ∂=
∂ ∂⇒
Condizioni drenaggioConsolidazione
11
Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi
2
2vu uct z
∂ ∂∂ ∂
=
2 1 edv
w
kEc L Tγ
− =
L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :
avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale
ed è integrabile purché siano assegnate:
• condizioni di drenaggio al contorno
• distribuzione iniziale di sovrappressioni u0(z)
(dall’analisi in condizioni non drenate)
La soluzione è rappresentabile mediante curve ut(z) dette isocrone (distribuzioni di u(z), fissato t).
Condizioni drenaggioConsolidazione
12
Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica
Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:
• sovraccarico uniforme σ (⇒ isocrona iniziale rettangolare, u0 = σ) • drenaggio da entrambe le superfici (⇒ ut(0) = ut(2H) = 0)
La soluzione analitica è:
20
0
2( , ) sin( ) (2 1)2
n T
i
uu z t nZ e n in
π∞−
=
= ⋅ = + ∑
zZH
= 2vc tT
H=dove si è posto e (fattore tempo)
(H = massimo percorso della particella d’acqua ≡ ½ altezza strato)
σ
σ
u0
u
z
2H
wu
z
u(z,t)
t
Condizioni drenaggioConsolidazione
13
Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale
Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/σ
HzZ =
σσ′
Condizioni drenaggioConsolidazione
14
Consolidazione monodimensionale – Il grado di consolidazione
In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:
• grado di consolidazione in termini di cedimento, Uw
• grado di consolidazione medio in termini di tensione, Uσ
( )w
c
w tUw
=
2
0
1 ( , )2
H
t z dzH
Uσ
σ
σ
′=
∫
[ ]2 2
0 0
1 1- ( ) ( )2 2
1-
H H
u t dz u t dzH H
Uσ
σ
σ σ= =
∫ ∫
1- 2
UHσ σ
= =area sottesa dall'isocrona (t) area campita
area rettangolo area totale
Condizioni drenaggioConsolidazione
15
Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica2
0
1( ) ( , )H
ed
w t t z dzE
σ ′= ∫ [ ]0(0, ) 0 0z wσ ′ = ⇒ =2
ced
HwE
σ=Nel caso elementare, e
Pertanto si verifica che Uw ≡ Uσ = U (il grado di consolidazione è unico)e la soluzione è esprimibile da un’unica curva U(T):
Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti-tempi w:t) si ottiene:
1. fissando t → determinando il corrispondente2. calcolando il valore U(T) → w(t) = U(T)⋅wc
2vc tT
H=
Condizioni drenaggioConsolidazione
16
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20
Fattore tempo, T
Gra
do d
i con
solid
azio
ne, U
2
2 edv v
w
kEu uc ct z γ
∂ ∂= = ∂ ∂
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.001 0.01 0.1 1 10
Fattore tempo, T
Gra
do d
i con
solid
azio
ne, U
Equazione della consolidazione monodimensionale
La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)0.5
0.1792.8
4
41
TU
T
π
π
=
+
2
5.6 0.357
( / 4)[1 ]v
UTU
π=
−⇔
0.5 0.197UT = =
0.9 0.848UT = =
Curva di consolidazione teorica
2
( ) ( )
/ 1- ( )c vw t w U T c tT
u U T Hσ= ⋅ ⇒ = ∆ ∆ =
Condizioni drenaggioConsolidazione
17
Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari
Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati semplicemente o doppiamente drenati.
Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche
1. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato da entrambi i lati
Soluzione = combinazione di e
Condizioni drenaggioConsolidazione
18
Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari
• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso
• per un fissato T, risulta: U > U > U
Sia la che la presentano:
isocrone asimmetriche rispetto a metà strato U(T) identiche al caso
2. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato solo da un lato
NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante
Condizioni drenaggioConsolidazione
19
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