Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
1
SERIES DE FOURIER
SISTEMAS ORTOGONALES
DEFINICION
Sean f ∧ g dos funciones integrables, f,g : [a,b] → C, diremos que:
Ejemplo: f(t) = sen t , g(t)= cos t son ortogonales en [0,2π]
Notación : Si f es ortogonal a g en el intervalo [a,b] , escribiremos : "f ⊥ g en [a,b] "
PROPIEDADES
1) f ⊥ g en [a,b] ⇔ g ⊥ f en [a,b]
f , g son ambas funciones de variable real y valor complejo.
f ⊥ g ⇔ g ⊥ f.
2) Si f ⊥ g en [a,b] ∧ λ ∈ C, entonces λf ⊥ g ∧ f ⊥ λg.
[ ] ∫ =↔ b
adt)t(g)t(fb,agf
0en a ortogonal es
)( de conjugada la denota )( tgtg
∫ ∫ ===π π π2
0
2
020
2 0tsen2
1tdtcostsendt)t(g)t(f
∫∫ ∫ =⇔=⇔=b
a
b
a
b
a 0dtg(t) )t(f0dt)t(g)t(f0dt)t(g)t(f
∫ ∫ =⇔=⇔b
a
b
a 0dt)t(f)t(g0dt)t(g)t(f
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2
Visualizando
Así f ⊥ λg ( en vez de f tomamos g y viceversa, luego usamos (1) )
3) Si f ⊥ g en [a,b] ∧ h ⊥ g en [a,b], entonces f ± h ⊥ g en [a,b]
Visualizando
∫ ∫ =∧=⇒⊥∧⊥b
a
b
a 0 dtg(t)h(t) 0 dtg(t)f(t) g h g f
( ) [ ]∫ ⊥±⇒=±⇒b
a ba, en g h f 0 dtg(t)h(t)f(t)
4) Si gf ⊥ en [a,b], entonces gf ⊥ en [a,b]
Visualizando
g(t) f(t) 0dtg(t)f(t)b
a ⊥→=⇒ ∫
DEFINICION
Sean fi : [a,b] → C, i= 1, 2, ....,n funciones integrables en [a,b], diremos que f i i∈I
forman un sistema ortogonal en [a,b] si : fi ⊥ fj , i,j ∈ I= 1, 2, ....,n , i ≠ j ; es decir :
j i I ji, 0 dt(t)f(t)fb
a ji ≠∧∈∀=∫
Denotemos con F = f : [a,b] → C / f es integrable en [a,b]
[ ]
[ ] b,a en gf0dt)t(g)t(f
0dt)t(g)t(f0dt)t(g)t(fb,a en gf
b
a
b
a
b
a
∫
∫ ∫
⊥→=→
=→=→⊥
λλ
λ
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DEFINICION
Sea I una familia de índices ( I = 1, 2, ....,n ó I=N ),diremos que f i i∈I , fi : [a,b] → C
integrables se dice que un sistema ortogonal completo en [a,b], si ∀ f∈F existen
constantes c1,c2 .... tal que :
∑∈
=Ii
i i (t)fc f(t)
y además f i i∈I forman un sistema ortogonal.
Analogía con Vn
El conjunto F con las operaciones usuales de la suma y multiplicación de funciones forman
un espacio vectorial.
Consecuencia
Sea f∈ F ∧ f i i∈I un S.O.C. ( Sistema Ortogonal Completo ), hallemos las constantes
c1,c2 .... tal que :
∑∈
=Ii
iifc f
Hallemos Ck , k∈I
∫ ∑ ∫∑ =→=b
a
b
a k iikk i ik ffc f . f ffc f . f
∫ ∫∫∫=→=→
b
a
b
a b
a kk
b
a k
kkkkk
f . f
f . fc f . fc f . f (t)f
dt(t)f(t)f
dt(t)ff(t). f(t) i
Iib
a kk
b
a k
∑∫
∫∈
=
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BASES ESPECIALES SERIES TRIGONOMETRICAS DE FOURIER
Las familias 1, cos t, cos 2t, ...., sen t, sen 2t,..... forman una base (S.O.C.) en [0,2π]. En
general podemos ver que:
1, cos ω0t, cos 2ω0t ,...., sen ω0t, sen 2ω0t,..... forman un S.O.C. en [ a, a+T ] donde
ω0 = 2π/T.
Por lo expuesto anteriormente, tendremos que para toda f integrable en [a,b] (continua
en [a,b] salvo puntos aislados de dicho intervalo ), existen constantes a0 , a1 , a2 ,....,
b1 , b2 ,.... tal que:
( )T
2 , tn senb t n cosa
2
a f(t) o
1no no n
o πωωω =++= ∑≥
donde:
∫ ∫∫+ ++
===Ta
a
Ta
a oo
Ta
a on o tdt n f(t)sen
T
2 b ,dt t n f(t)cos
T
2 a ,f(t)dt
T
2 a ωω
Esta serie es conocida como la SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER donde:
a0, a1, a2 ,...., b1 , b2 ,.... son conocidos como los coeficientes de la serie Trigonométrica de
Fourier .
Esto significa que toda función f integrable en [a,b], se puede expresar como una
combinación lineal de ondas sinusoidales.
Coeficientes de la S.T.F. (Serie Trigonométrica de Fourier)
Para cada k∈ N, tenemos:
∫+
=+=Ta
a T a-Ta 1.dt
( ) 2T
Ta
a o
Ta
a 21
o2Ta
a o o dt t cos2k1dt t kcos dt t k cos t k cos =+== ∫∫∫
+++ωωωω
( )∫ ∫ ∫+ + +
===Ta
a
Ta
a
Ta
a 2T
o21
o2
oo dt t cos2k-1 dt t ksen dt t k sen t k sen ωωωω
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Así tenemos los coeficientes:
∫ ∫+ +
=⇒=Ta
a
Ta
a o
odt f(t)
T
2 a dt 1 . f(t)
T
1
2
a
∫∫
∫ +==
Ta
a o
b
a o
2
b
a o
n dt t n f(t)cos T
2
dt t ncos
dt t n f(t)cos a ω
ω
ω
∫∫
∫ +==
Ta
a o
b
a o
2
b
a o
n dt t n f(t)senT
2
dt t nsen
dt t n f(t)sen b ω
ω
ω
Convergencia de la STF
Para f ∈ F:
( )T
2 , t n senb t n cos a
2
a f(t) o
1nonon
o πωωω =++= ∑≥
f : [ a , a+T] → C,
dicha serie converge en los t, en los cuales f es continua
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SERIE DE FOURIER PARA FUNCIONES PERIODICAS
Sea f una función definida en casi todo R, es decir en R salvo algunos puntos aislados.
Al tomar un intervalo de longitud T, tendremos que existe la Serie Trigonométrica de
Fourier para f, de período T.
f
a a+T
( ) [ ]∑≥
+∈∀ω+ω+=1n
o no no
Taa, t , t n senb t n cosa 2
a f(t)
Donde f es continua.
Debemos ver que en todo t, donde f es continua vale la igualdad.
Sea t∈ R donde f es continua, existe un p ∈ Z tal que:
[ ]ba, t algun para pT t t ∈+=
Luego :
( ) ) tf( ) pT tf( f(t) ,t n senb t n cosa 2a
tf(1n
ono no =+=ω+ω+= ∑
≥
)
( ) ( ) ( ) t n cos 2np t ncos T np t ncos pT t n cos t n cos oooooo ωπωωωωω =+=+=+=
t n sen t n sen oo ω=ω
Por tanto: ( )∑≥
ω+ω+=1n
onono
t n senb t n cos a 2
a f(t)
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Conclusión (DIRICHLET)
Si f es de período T, y ω0 = 2π/T entonces en todo t donde f es continua se tiene:
( )∑≥
ω+ω+=1n
o no no
t n senb t n cosa 2
a f(t)
donde los coeficientes a0 , an y bn están dados por :
∫ ∫ ∫+ + +
===Ta
a
Ta
a
Ta
a ono no dt t n f(t)sen
T
2 b , dt t n f(t)cos
T
2 a ,dt f(t)
T
2 a ωω
para cualquier a ∈ R
DIRICHLET
Si f es de período T, f no es continua en t0, f seccionalmente continua ( t0 un punto
aislado de discontinuidad ), entonces tenemos que la S.T.F. converge a :
2
f(t f(t 0-0 )) ++
Visualización
∃ r > 0, para los t, que cumplen t - t0 < r se cumple:
( )∑≥
ω+ω+=1n
o no no
t n senb t n cosa 2
a f(t) ------------------------------- (1)
Tomemos límites laterales a ambos miembros de (1)
( )∑≥
++ ωω+=
1n
0o n 0ono
0 t n senbt n cos a 2
a f(t ) ------------------------------- (2)
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( )∑≥
ω+ω+=1n
0o n0o no-
0 t n senb t n cosa 2
a f(t ) ------------------------------ (3)
Sumando (2) y (3):
( ) ( )∑≥
+ ω+ω+=+1n
0on0ono-
0021 t n senb t n cos a
2
a f(t f(t ))
Aplicación
[ ] . su STFhallemos t - t f(t) Sea =
f es una función de período T = 1, f no es continua en Z, pero existen los límites laterales,
es decir discontinuidades inevitables pero con límites laterales reales (existen).
∫ ===1
0 o n 1 a ,0 dt t cos2n t
1
2 a π
∫ ==1
0 n
n
1- dt t sen2nt
1
2 b
ππ
∑≥
=1n
n1 t sen2n
1 -
2
1 f(t) π
π
Cálculo de sumas de series
Evaluando en t=0, t= 1/2, t= 1/4 se tiene:
Como f no es continua en t = 0, entonces por Dirichlet tenemos:
( ) ∑==++ 0 - f(0 f(0 n1
21
21-
21 ))
Verificamos Dirichlet .
Ahora como f es continua en t = 1/2 tendremos:
∑ ===21
n11
21
21
21 n sen - )f( ππ
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Si evaluamos en t = 1/4; como f es continua en t = 1/4 tendremos:
∑≥
=1n
2n
n11
21
41 sen - )f( π
π
( )∑≥
=1n 2
1-2nsen1-n2
11 -
2
1
4
1 ππ
∑≥
+−=1n
1n)1(1-2n
1
4
π
Es decir: 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ....... = π/4
Aplicación
Hallar la S.T.F. para la función descrita por:
f (t+2π) = f(t) , f(t) = t² , si t ∈ [-π,π]
T = 2π → ω0 = 1
∫− ==π
π
2n impar) es integrando (el 0 dt nt sent
T
2 b
∫ ∫−==
π
π
π
ππ
0
22n par) es o(integrand dt nt cost
2 dt nt cost
1 a
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+−=
−= ∫ππππ
ππ 020
0 0
2
n nt senn
1 nt cos
n
t
n
4- dt nt sent
n
2 nt sen
n
t2 a
( ) ∫ ==−=π π
π
0
22
on
2 n
3
2 dtt
2
4 a , 1
n
4 a
( )
nt cosn
1-4
3 f(t)
1n2
1n2
∑≥
+
−π=
Como f es continua en todo R, podemos evaluar en cualquier t, ambas expresiones
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑
≥≥
+
≥
−−+===⇒+=1n
2
nn
22
2
1n2
1n
1n2
n2
n
1.14
3 )f( ,
3
n
1.1-4
n
4.1-
3 f(0)
πππππ
Así :
( )∑ ∑≥ ≥
=⇒=1n 1n
2
2
2
2
2n
6n
1
12
2
n
1.1-
ππ
Apreciación
a0 viene a ser el área encerrada por el eje t, de la gráfica de f(t), las ordenadas t =a y
t = a+T , multiplicada por 2/T
Además :
n
0n
o a a lim→
=
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Ejemplo: Sea f(t+2T) = f(t) , f(t)=0 t∈[ 0,π > , f(t) =1 t∈[π,2π >
Deseamos ver que:
( ) 12
2 ao =π
π=
∫ ∫ ===π π
π
πππππ
2
0
2
n
n
n sen-sen2n1dt nt cos
1dt nt cos f(t)
2
2 a
1
n cos -cos2n 21
n
n sen-sen2n1 a limlim
0n0n
oππππ
π=ππ
π=
→→
Hemos aplicado la regla de H’OSPITAL
1-2
ao =π
ππ=
Obviamente an = 0 , ∀ n ≠ 0
( ( )( )
=−−=== −∫
par n , 0
impar n ,n
2n2
n 11 n
1)cos2n-n cos
n
1dt nt sen
2
2 b
π
π
π πππ
ππ
( ) ( )∪Zk1n
k2 1-2k t para ,t1-2nsen1-2n
12
2
1 f(t)
∈≥
ππ∈π
−= ∑ ,
( )[ ]∪Zk
2k ,1-2k -R t , 0 f(t)∈
ππ∈=
1
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S I M E T R I A S
SIMETRIA PAR
Si f es de período T , además si es par entonces :
∑≥
π=ωω+=1n
oono
T
2 ,t n cos a
2
a f(t)
∫ ∫ === 2T
0
2T
0 nono 0b ,dt t n cos f(t)
T
4a ,f(t)dt
T
4a ω
Visualización
∫ == 2T
0 oon ) impar es t n senf(t) ( , 0 dt t n senf(t)
T
4 b ωω
∫ ∫ ∫+
===Ta
a
2T
2-T
2
T
0 ooon dt t n cos f(t)
T
4 dt t n cos f(t)
T
2 dt t n cos f(t)
T
2 a ωωω
( primero tomamos a = -T/2 , y luego usamos que f es par )
∫ ∫== 2T
2T-
2T
0 o f(t)dt
T
4 f(t)dt
T
2 a
SIMETRIA IMPAR
Si f es de período T y es impar entonces:
∑≥
π=ωω=1n
oon T
2 , t n senb f(t)
∫ == 2T
2T-
o impar) es f (pues 0 dt f(t)T
2 a
∫ == 2T
2T-
oon impar) es t n f(t)cos impar, es f (pues 0 dt t n cos f(t)T
2 a ωω
∫∫ == 2T
2T-
o2
T
2T-
on dt t n senf(t)T
4 dt t n cos f(t)
T
2 b ωω
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SIMETRIA DE ROTACION (Simetría de media onda)
Si f es de periodo T , y si además cumple f (t ± T/2) = - f(t) se dice que tiene simetría
de rotación. Esto significa que al calcular f(t + T/2) el valor de f cambia de signo.
Apreciación
Si f es de periodo T y si f tiene simetría de rotación, entonces:
( )T
2 ,t 1)-n2b t 1)-n2a f(t) o
1n
o1-2no1-2n
π=ωω+ω=∑≥
(sencos(
∫ ∫== 2T
0
2T
0 o1-2no1-2n dt t 1)- sen(2nf(t)
T
4b , dt t 1)-(2n cos f(t)
T
4a ωω
SIMETRIA DE ROTACION PAR O IMPAR (Simetría de cuarto de onda)
1) Si f tiene simetría de rotación y además es par (de período T ) entonces :
1n ,0 b ,T
2 , t )1n2cos(a f(t) no
1n
o1-2n ≥∀==−=∑≥
πωω
∫== 4T
0 o1-2no dt t 1)-cos(2n f(t)
T
8a ,0 a ω
2) Si f tiene simetría de rotación impar y es de período T entonces:
∑≥
π=ωω=1n
oo1-2n T
2 , t 1)-sen(2nb f(t)
∫= 4T
0 o1-2n dt t 1)- sen(2nf(t)
T
8b ω
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SIMETRIA ESCONDIDA
Si g tiene alguna simetría y f = g + c no la tiene, se dice que f tiene simetría escondida
( salvo algunos puntos aislados)
Por ejemplo:
La siguiente función: [ ] t - t f(t) =
Tiene "simetría impar escondida" , pues g(t) = f(t) - 1/2 es impar.
Salvo en los extremos es impar
g es impar salvo los Z, es decir g : R - Z → R
[ ] impar g ,2
1 - t - t g(t)=
Apreciación
Si f tiene simetría escondida, f = g + A , g con simetría , entonces las STF de f ∧ g
son idénticas salvo el término a0 es decir :
½ (a0 )f = ½ (a 0 )g + A
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Comentario
Frecuentemente, vemos simetrías de rotación escondida. Lo raro es encontrar simetría par
escondida (¿ Existe ?).
Forma Especial
Sea f una función de período T, entonces tenemos que:
( )∑≥
ω+ω+=1n
onono
t n senb t n cosa2
a f(t)
Admitiendo que se cumpla ( a²n + b²n ) > 0, ∀ n ∈ N, podemos expresar f de la
siguiente forma:
∑∞
≥
++
+++=
1n
o2n
2n
no
n2
n2
n2n
2n
ot n sen
ba
b t n cos
ba
aba
2
a f(t) ωω
( )∑≥
+++=1n
ono n2n
2n
ot n sen sen t n cos cosba
2
a f(t) ωφωφ
2n
2nn
oo
1n
nono ba C ,2
a C ,) - t cos(nCC f(t) +==+= ∑
≥
φω
Donde:
tg φn = bn / an
bn
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SERIE COMPLEJA DE FOURIER
Análogamente como obtuvimos la S.T.F., obtendremos la S.C.F. (Serie Compleja de
Fourier)
La familia: Zn
ot jne∈
ω
es un S.O.C. en [a , a + T] , ω0 =2π/T
Así cualquier función f integrable en [a , a + T] ,se puede expresar como combinación
lineal de esta base.
∫∑+
∈
==Ta
a
on
Zn
on dt t nj -e f(t)
T
1 F donde ,t nj e F f(t) ωω
Si f es de período T , se obtiene la misma serie es decir es válida en todos los t donde f
es continua.
Deduciendo Fn :
∑∈
ω=Zk
ok
t jkne F f(t)
( ) ( )∑∈
=Zk
oo k
o t jne t jkneFt jne f(t) ωωω
∑∈
ωω=ωZk
ook
o t jn-e t jke Ft jn-e f(t)
Integrando :
dtt jn-e t jneF dtt jn-e f(t)Ta
a
oon
Ta
a
o
∫∫++
= ωωω
∫+
=Ta
a
on dtt jn-e f(t)
T
1 F ω
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17
Apreciaciones
F dtt j(-n)-
e f(t)T
1 dt
t jn-e f(t)
T
1 F )1(
Ta
a n-0
Ta
a
0n ∫∫
++=== ωω
Z n ,F F 2 n-n ∈∀=)(
RELACIÓN ENTRE LA S.T.F. Y LA S.C.F.
Sea f una función de período T, entonces tenemos que:
( ) ∑∑
∈≥
ω+=ω+ω+=0-Zn
0n0
1n0n0n
0 t jne FF t n senb t n cosa
2
a f(t)
( )∫∫++
==Ta
a 00
Ta
a
0n dtt n j sen - t n cosf(t)
T
1dt
t jn-e f(t)
T
1F ωωω
= ∫ ∫
+ +Ta
a
Ta
a 00n dt t n senf(t) j - dt t n cos f(t)T
1F ωω
Fn = ( 1/T )[ ( T/2 )an - j( T/2 )bn ] ⇒ Fn = (½ )(an - jbn )
Reciprocamente: F-n = ½ (an + jbn )
nn- FF que Observar =
Sumando:
Fn + F-n = an ∧ Fn - F-n = -j bn
an = Fn + F-n ∧ bn = j( Fn - F-n )
Aplicación
Determinar la S.C.F. de: t) sencos(rt cos re f(t) =
f(t) es de período T = 2π
( ) ( )∑∑∑≥≥≥
+===0n0n0n
j sen(nt) cos(nt)n!
nrjnte nrn!
1njtren!
1jtree
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18
Tomando partes reales a ambos miembros:
( )
+=
∑
≥0n
j sen(nt) cos(nt)n!
nrRe
jtreeRe
( ) ( ) ( )t) sencos(rt cos re t) senj sen(r t) sencos(rt cos reRe t senrj t rcoseRe =+=+
Luego :
∑≥
=0n
(STF) cos(nt)n!
nr t) sencos(rt cos re
Hallemos la S.C.F., notamos que ω0 = 1 pues T = 2π
Para lo cual usamos Fn = (½ )(an - jbn ) = ½ an (bn = 0)
Fn = (½)(rn /n!)
Por lo tanto
∑∈
=Zn
21 jnte
n!
nr f(t)
Consecuencia
∑≥
=1n
s)imaginaria partes (tomar nt senn!
nr t) sensen(rt cos re
IDENTIDAD DE PARSEVAL
Sea f una función periódica de período T (f no constante), entonces podemos
"identificar" a f por su S.T.F. ( ó S.C.F.). Así tendremos que:
( )∑≥
ω+ω+=1n
0n0n0 t n senb t n cos a
2
a f(t)
( )∑≥
++=1n
0n0n0 t n senf(t)b t n cos f(t)a f(t)
2
a f(t) f(t). ωω
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19
Integrando de “a” hasta “a + T”, w0 =2π/T
( ) ∑ ∫∫∫ ∫≥
+++ +
+
+
=
1n
Ta
a 0n
Ta
a 0n
Ta
a
Ta
a
02 dt t n senf(t)b dt t n cos f(t)adt f(t)2
a dtf(t) ωω
( ) ( )∑∫≥
+++=
1n
2n
2n
20
Ta
a
2 b a2
T
2
T
2
adtf(t)
Luego :
( ) ( )∑∫≥
+++=
1n
2n
2n2
1Ta
a
202 b a4
a dtf(t)
T
1
( ) ( )∑∫≥
+++=
1n
2n
2n
Ta
a
202 b a
2
1
4
a dtf(t)
T
1
Aplicación :
∑≥1n
4n
1 Hallar
Como: t2 = ∑≥
−+1n
2n
2
n
1)1(4
3
πCos(nt) , -π< t <π; Por Parseval se tiene:
)0n
16(
2
1
9
1dt)t(
2
1
1n4
42 2 ∑∫
≥−
++= ππ
π
π
∑≥
=π−π1
4
44 18
95 n n ⇒ ∑
≥
π=1
4
4 90
1
n n
Forma alternativa de Parseval
Si f(t) = ∑Ζ∈
∈n
jwntFn , w0 =2≺ / T, f de período T
f(t) x f(t) = f(t) = ∑Ζ∈
∈n
jwnt)t(fFn
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
20
integrando de “a” hasta “a + T”
( )∫+Ta
a
2 dt)t(fT
1= ∑
Ζ∈n
Fn ∫+
∈Ta
a
tJnw0)t(fT
1dt = ∑
∈−
ΖnnFFn
luego : ( )∫+Ta
a
2 dt)t(fT
1= ∑
∈Ζn
2Fn
Comentario Adicional: Desfasaje de señales
Si f es obtenida por el desplazamiento de otra gráfica g, la cual tiene una serie conocida
como:
g(t) = ∑≥
+1
0
2 n
A(An consw0t + BnSennw0t), w0 =
T
π2
Si g es de periodo T, f también es de periodo T, así Ambas tiene la misma frecuencia w0.
O sea si f(t) = g (t – to) tendremos:
f(t) = ∑≥
+1n
0
2
A(An consw0 (t –t0) + BnSennw0(t –t0))
f(t) = ∑+2
A0 (An (consw0 t consw0t0 + Sennw0t Sennw0t0) + Bn(Senw0t + cosw0t0 –
cosw0t Sennw0t))
Los coeficientes de la S.T.F. para f serán:
2
1a2 =
2
1A0 ; ∧ an = Ancosnw0 t0 - BnSennw0 t ∧ bn = An Sennw0t0+Bncosnw0 t0
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
21
DERIVACION E INTEGRACION DE S.T.F.
Dada una función f de periodo T, además si f, tiene derivada en casi todo R (quizás salvo
“algunos” puntos aislados). Entonces en los puntos donde f es continua la serie
trigonométrica, converge uniformemente, por lo que podemos asumir que podemos integrar
o derivar la serie.
Veamos con un ejemplo como funciona.
t2 = ∑≥
−+1n
2
n2
)ntcos(n
)1(4
3
π, -π < t < π ....................... (1)
integrando de “o” a “t”, t ∈ <-π, π>
∫t
02 dxx =
3
2π ∫
t
0 dt + 4 ∑
≥
−1n
2
n
n
)1(∫
t
0 dx )nxcos(
3
3t = t
3
2π + 4 ∑
≥
−1n
3
n
n
)1( sen(nt)
)t(3
t 22 π− = 4 ∑≥
−1n
3
n
n
)1( sen (nt), - π < t < π ....................(2)
(recordemos que si f es de periodo T, f’, f”......, también son del mismo periodo, siempre y
cuando existen dichas funciones)
∑∫≥
−=−
1n6
22 2
n
18dt)t(
3
t
2
1 ππ
π
π (por Parseval)
∑∫≥
=+−1n
6
4224
0
2
n
18dt)t2t(
3
t
9
1 πππ
π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
22
∑≥
=
+−1n
6
6
n
18
3
1
5
2
7
1
9
π
luego: 945
1 6
16
π=∑≥n n
integrando (2)
π−243
1 224 tt= 4 ))ntcos(1(
n
)1(
1n4
n
−−∑
≥
( )224 212
1tt π− =
−∑
≥1n4
n
n
)1(4 + )ntcos(
n
)1(4
1n4
1n
∑≥
+−
20a
= =−∑
≥1n4
n
n
)1(4 dt)t2t(
24
1 224
∫− −π
ππ
π
= π24
2 dt)t2t(
0
224
∫ −π
π = 180
7
3
2
5
1
12
1 45 π−=π
−π
⇒ 12
1 )tt( 224 2π− =
180
7 4π− + )ntcos()n
1( .)1(4
41n
1n∑≥
+−
Por Parseval
π2
1dt)t2t(
12
1 2
224∫−
−π
ππ = ∑
≥+
1n8
8
n
18
32400
49π
π144
1dt)t4t4t(
0
44628
∫ +−π
ππ = ∑≥
+1n
8
8
n
18
32400
49π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
23
−+− )5
4
7
4
9
1(
144
8π∑
≥
+1n
8
8
n
18
32400
49π
9450
832400
49
45360
107
n
1 88
1n8
ππ =
−=∑≥
Aplicación : determinar la suma de la serie : ∑≥1
10
1
n n
SERIE DE FOURIER DE UN TREN DE IMPULSOS
Definamos δT(t) = ∑Ζ∈
−δn
)ntt( TREN DE IMPULSOS UNITARIOS
STF:
δT(t)=
∫−
2/T
2/T T dt)t(T
2
2
1 δ +
+
∫∑ ∫ −∈
−twsendttwsen)t(
T
2twncosdttwcos)t(
T
2 0
2/T
2/T 0T0n
2/ T
2/T 0T δδΖ
δT(t)=T
1+
−+−= ∫ ∫1
0
2
1tdt
2ncos)1t(tdt
2ncos)1t(t
4
4an
ππ
δT(t)=T
1+ )twsentwn(cos
T
200
n
+∑∈Ζ
STF: Fn = T
1dte
T
1 tJnw2/T
2/T T0 =−
−∫ δ
∑∈
=Ζ
δn
tJnwT
0eT
1 )t(
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
24
Aplicación de pulsos
La integración para calcular los coeficientes de la S.T.F. o S.C.F. de una función periódica,
puede ser aliviada si calculamos indirectamente es decir calculando los coeficientes de la
derivada de f (primera, segunda, tercera, etc.) determinamos los coeficientes, salvo quizás
el coeficiente a0 que al derivar una o más veces, se hace cero.
Sea f de periodo de T , tendremos:
f(t) = ∑≥
++1
0002
1
nnn )tsenwbtnwcosa(a
f’(t) = ∑≥
+−1
0000n
nn )tnwcostnwbtsenwanw(
f”(t) = ∑≥
−−1
022
020
2
0n
nn )tsennwwnbtnwcosawn(
f(P)(t) =
+−
−−
∑
∑
≥
≥
1000
1000
0
0
n
PPnn
PP
n
PPnn
PP
imparn,)tnwcoswnbtsennwawn(
parn,)tsennwwnbtnwcosawn(
... (1)
Calculamos directamente la S.T.F. de f(P)(t)
f(P)(t) = A0 + ∑≥
+1
00n
nn )tsennwbtnwcosA( ............ (2)
de (1) y (2) hallamos an ∧ bn en términos de An ∧ Bn, como ya ser vio a0 es de cálculo
directo.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
25
Aplicación
Usando diferenciación hallar la S.T.F. de f(t) = |Sent|
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
26
2. Con respecto al espectro de fase, el resulta que tiene una simetría impar, esto en tanto
que ø-n = - øn
Ejemplo. Hallar la serie compleja para la función descrita por el gráfico adjunto.
A
-T/2 -d/2 d/2 T/2
hallando los coeficientes complejos Cn tendremos que:
T
dnS
T
AdCn a
)(
π=
Tomemos los valores particulares de d=1/20 ∧ T= 1/4 de segundo.
Por lo visto tendremos que w0 = 8π , w = nw0 = 0 , ±8π, ± l6π , ± 24π,......
El espectro de amplitud siempre es simétrico con respecto al eje nC .
Podemos ver que cuando n∞, entonces nC se va empequeñeciendo conforme se aprecia
en la figura.
Después de todo, lo que podríamos hacer con los espectros de amplitud y de fase sería
reconstruir la onda inicial.
Si Cn E R, el espectro de fase no serviría para los fines que estamos viendo, ya que con
los espectros de magnitud lograríamos hallar la onda.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
27
Aunque por el signo no sería necesario. En general el espectro de fase tienen simetría con el
origen(simetría impar).
π φ(n)
w
- π
O sea si conocemos los espectros de amplitud y fase podemos reconstruir la onda, cuando
los Cn E R, entonces el espectro de fase se determina según el valor positivo o negativo del
Cn. Así tenemos dos maneras de representar o especificar a la onda f(t) : la representación
en el dominio del tiempo, con la cual la onda f(t) se expresa en término del tiempo y la otra
cuando se representa en el dominio de la frecuencia, con la cual se especifica el espectro de
amplitud y de fase. A veces cuando la onda tiene simetría par entonces el espectro de fase
no sería tan importante, así podríamos hablar de un solo espectro de línea. Así tenemos el
espectro de línea para f(t) de la figura.
En este caso analizado al costado derecho tenemos la onda seno rectificada f(t)= tsenA π la
cual es par, así solamente necesitamos un espectro de línea(no podemos hablar de un
espectro de amplitud, este espectro es una “condensación” de los dos antes mencionados),
queda como ejercicio ver que los coeficientes de Fourier para este caso es
tin
Znn e
n
Atf
n
AC π
ππ2
22 4
12
14
2∑∈
−=⇒−
= )()(
f (t) t -1 1 2 3
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
28
Así hemos apreciado que tenemos dos maneras según el caso para poder representar una
onda f(t), con los espectros de amplitud y fase, la otra con el espectro de magnitud como el
último caso analizado.
Lo cierto es que resultaría algo tedioso la evaluación de los coeficientes, con el avance
informático estos son inmediatos.
MÉTODO DE LA DIFERENCIACIÓN .
Es indudable que al hallar la serie trigonométrica o exponencial de Fourier, nunca vamos a
tener problemas que no sean de tipo calculista (o sea problemas de interacción al calcular
los coeficientes de Fourier).
Ante esto el método de usar diferenciación para determinar la serie de Fourier de una onda
dada de una manera indirecta es bastante ventajosa. Además nos permite resolver ciertos
tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Veamos algunos ejemplos, en los cuales
apelaremos a nuestros conocimientos de derivada generalizada.
El. Determinar la serie trigonométrica de la onda seno semirectificada de la figura adjunta
usando diferenciación.
1º Vemos que f(t)=
<<−+
<<
4
3 t
4 ),
4t(Sen
4
7 t
4
3 , 0
πππ
ππ
f(t + 2π) = f(t)
f
1
-π/4 3π/4 7π/4
2º Si efectuamos dos diferenciaciones llegamos a la siguiente conclusión:
f’’(t) = -f(t) + g(t)
g(t) es el tren de impulsos mostrados en la gráfica.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
29
f ’
1
-π/4 3π/4 7π/4
3º g(t) es de período T =π , además:
2
22
4
2 2
2
ππ
πδπ
π
π
nsenntdttan =
+= ∫−
/
/
cos
2
22
4
2 2
2
ππ
πδπ
π
π
nsenntdtsentbn −=
+= ∫−
/
/
f ´´
δ (t+π/4) δ( t -3π/4)
-π/4 3π/4 7π/4
4º Admitiendo que f(t) = ao + [ ]∑≥
+ −1
0n
nn senntbntaa cos
5º [ ] [ ]∑∑≥≥
−++−−1
01
22
nnn
nnn senntbntaasenntbnntan coscos
[ ]∑≥
++=1
0 22n
nn ntsenbntaa cos
( ) ( )[ ]∑≥
−+−++1
220 11
nnn senntbnntana cos
∑≥
−+
+=1
22
22
2
21
n
ntsenn
senntn π
ππ
ππcoscos
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
30
6º De donde ( ) )2
ncos(
2a n1
1a n
20
πππ
=−∧=
( )2
nsen
2b n1 n
2 ππ
−=−∧
7º ( ) ( )( )
( ) ( )∑
≥
−−+
−+++=
22211 1
221
221
n
senntn
nsennt
n
nsentbtatf
//cos
/coscos
πππ
ππ
8º Los coeficientes a1 Λ b1 serán calculados directamente:
∫−
+=43
41 42
2 /
/.cos
π
π
ππ
dtttsena
∫−
+=43
41 42
2 /
/.
π
π
ππ
dtsenttsenb
E2. Hallar por diferenciación la STF de f(t) = sent
1º Diferenciando dos veces como en el ejemplo 1
f || (t) + f(t) = 2δT(t)
f
-2π -π π 2π 3π
∑∈
−=Zn
T nttt )()(º δδ2
( )π
δπ
π
π
113
2
2∫
−
==/
/
º dttao
( ) 0b ,2
dtt2
a n
2/
2/
n === ∫− π
δπ
π
π
diferenciando la onda dos veces
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
31
[ ]∑≥
−+−+1n
n2
n2
o nt2senb)n41(nt2cosa)n41(aº4
ntn
242
1
cos∑≥
=ππ
)n41(
4a ^
2a
2no −==⇒
ππ
nt2cos)n41(
42)t(fº5
1n2∑
≥ −+=
ππ
f ’’
δ(t)
E3. Calcular la suma de la serie ∑≥ −1
2241
4
n n )(π
1º Aplicaremos Parseval
)())((/
/
∑∫≥−
++=1
222
2
20
2
2
11
nnn
T
T
baadttfT
22
1n22
2/
2/
2 )n41
1(
16
2
14dt)t(sen
1
−+= ∑∫
≥− πππ
π
π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
32
∑∫≥− −
+=−⇒1
2222
2
2 41
1842
2
1
2
11
n nt
)()cos(
/
/ ππππ
π
π
∑≥ −
=−⇒1n
2222 )n41(
184
2
1
ππ
16
8)
4
2
1(
8)n41(
1 2
2
2
1n22
−=−=−
⇒∑≥
ππ
ππ
E4. Resolver la ecuación diferencial: q (t) + 2q(t) + 2q(t) = e-tsent, hallando
trigonométrica de Fourier desent, hallando la serie trigonómetrica de Fourier del sent
1° La ecuación característica es: r2 + 2r +2 = 0 r = -1 ≠ i
2° La solución complementaria es qc = e-t (Acost + Bsent)
3° La solución particular: (D2 + 2D +2)qp = e-tsent
(D2 + 2D +2)qp = e-t )nt2cosn41
12(
2∑ −+
π
qp = 2) 2D (D2
1
++.e-t )nt2cos
n41
12(
2∑ −+
π
)nt2cosn41
12.(
)2)1D(2)1D(
1eq
1n22
tp ∑
≥
−
−+
+−+−=
π
+−+
+= ∑
≥
− )nt2cos.1D
1(
n41
1
10
/2eq
21n
22t
p
π
ntn
eeqn
ttp 2
41
12
122
cos)(∑
≥
−−
−+=
π
pp qtqtq += )()(º4
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
33
E.5. En el circuito se tiene:
R = 2Ω, L = 2mH, C = 500uF
a) Hallar la serie de Fourier de p(t)
b) Hallar la caída de Tensión en R
Solución:
1º )t('V2
1)t("i )t(V
2
1)t('idt)t(V
L
1)t(i LLL ==⇒∫ Λ
2º Apreciamos que VL (t) es periódica, de período T = 5
[ ])()()()(" 4210 −+−−= tttti δδδ
[ ]∑≥
++=1n
onono tsennwbtnwaati cos)(
3º Sabemos que: ∫−
=−94
10
20
2 2 .
.
cos)(" tnwtiT
awn on
5
22 94
10
20
2 π∫
−
==−.
.
,)(" oon wtdtsennwtiT
bwn
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
34
4º dttn
tiawn n 5
2
5
2 94
10
20
2 π∫
−
==−.
.
cos)("
dttn
ttt5
242
5
4 94
10
πδδδ∫−
=−+−−=.
.
cos))()()(cos(
)cos/coscos(5
854
5
41
5
420
2 πππ nn
nawn n +−−=−
)coscoscos(5
8
5
4
5
21
5
420
2
πππ nnn
wnan +−−=⇒
5º 20
2
1
5
8
5
4
5
2
5
4
wn
nsen
nsen
nsenbn )(
πππ +−−==
005
1
5
1 == )(GRAFICAo Aa
6º ∑≥
+−+−=1
22 5
2
5
8
5
4
5
21
5
n
tnnnn
nti
πππππ
cos)coscoscos()(
+−−+5
2
5
8
5
4
5
2 ππππ nsen
nsen
nsen
nsen )(
7º RtiVR )(=
E6. Determinar la corriente, hallando su serie trigonométrica y compleja en el circuito
anterior y donde:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
35
E7. Determinar la serie compleja de Fourier (SCF)
)t(f)2t(f )t(f
0t ,t
t
t0 ,t
- t
2
2 =+
=<<−+
<<π
ππ
ππ
=<<−+
<<−−
0t ,t2
1
0t ,t2
1)t('fº1
ππ
ππ
4º ∑∑∈∈
=⇒==Zn
Jntn
Zn
Jntn eJnCtfeCtfT )(')(,π2
∑∈
=⇒Zn
JntneCJntf 2)()("
∑∈
=⇒Zn
JntneCJntf 3)()("'
-4 δ (t) π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
36
5º dtettCJn Jntn
−−
−∫
−+−=102
10
3 44
2
1 .
.
)()()(π
πδπ
δππ
)cos()())(()( πππππ
−=−
=⇒+= − 112
14
2
12332
3
n
J
JnCeCJn n
Jntn
6º Jnt
Zn
enn
Jzf )cos()( π
π+=∑
∈
123
7º 223 1
1
242 /)cos()(/)/( ππ
ππππ Jn
Zn
ennn
Jff +
≥=⇒= ∑
∈
))(coscos(22
123
ππππ
nsen
nn
n
J
Zn
+=∑∈
E8. )()(),()( tftfttttfsea =+Λ<−= πππ 222 , Determinar las STF ΛΛΛΛ SCF y Hallar
la suma de la serie Σ 1/n6.
1º f’(t) se muestra en la gráfica no hay impulsos, pues no hay discontinuidades súbitas,
2º Derivando nuevamente, obtenemos f’’, apreciar el gráfico.
3º Nuevamente, derivando obtenemos f’’.
4º ∫−
+−
− ≠+−=10
10
3 02862
1 .
.
,))(()(π
π
ππ
ndtetCJn Jntn
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
37
+−= ∫∫
−
−−−
dtetdte JntJnt10
10
1262
1 .
.
)(π
π
π
π
πδπ
066
33≠=⇒=⇒ ynn
n
JCn
JnC nn ππ coscos
5º C0 = 0, el integrando es impar luego al calcular la integral que define C0, su valor es 0.
)()(:tan SCFeconsn
ttoPor Jnt
Zn
t πο3
23 61−− ∑∈
=
6º πnn
baJbnaCqueSabemos nnnn cos)(3
120
2
1 =Λ=⇒−=
7º senntnn
ttseráSTFLan
)cos( ππ3
1
23 12∑
≥
=−
8º Aplicando la identidad de Parseval:
9452
1
2
1 66
1
223 πππ
π
π
==− −
≥−∑∫ ndtttn
)(
E9. Hallar la corriente de estado estacionario i(t) en el circuito mostrado.
E(t) = e-t, f(t) = 100 t (π2 – t2), - π < t <π Λ f (t+2π) = f(t)
R = 100Ω, L = OH, C = 10-2F Sugerencia: hallar SCF de f(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
38
E 10. En el circuito mostrado, los diodos D1, Λ D2 son ideales, si v(t) = E0 sen wt, 0<t<1
Hallar : a) la STF ΛΛΛΛ SCF de V0(t)
b) Hallar la suma de ∑≥ +−1 1212
1
n nn ))((
E 11. En el circuito mostrado se tiene R = 10Ω Λ L = 10H i(t) está dado por el gráfico.
a) Dibujar las ondas de las tensiones VR ΛVL
b) Determinar las SCF ΛΛΛΛSTF de la ondas mencionadas
E12. Hallar las SCF ΛΛΛΛ STF de la onda periódica v(t) de la figura adjunta, cuyo periodo
es T=6
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
39
E13. En el circuito mostrado los diodos D1 Λ D2 son ideales .
Hallar las SCF ΛΛΛΛSTF de V0(t) donde V1(t) Λ V2(t) están dadas por:
E14. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura con R=110Ω, L = 1H,
C = 0,001 F y habiendo una batería que proporciona E0 = 90V. Originalmente no hay
corriente en el circuito, ni carga en el condensador en el instante T = 0 se cierra el
interruptor y se deja así por un segundo. Al tiempo t =1 es abierto y deja así.
Encuentre la SCF ΛΛΛΛSTF de la corriente resultante.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
40
EJERCICIOS MISCELANEOS
1. Hallar “bn” tal que : f(t) = ∑∞
≥+
1an :nt2senb
3
2 donde f(t) = cost, o< t <
2π
2. Dado f(t) = ( ) f(t)tf ,4
3t
4 ,1
4sen =+<<
+ ππππ
Hallar la SCDF y STDF; usando el método de Derivación (2 veces).
3. Utilizando la SDF del TREN PERIODICO DE IMPULOS UNITARIOS y la
diferenciación, para hallar: a) La SCDF y STDF
b) ........261
171
101
51
21
1 +++++−=E
Para la función f(t), dado por: f(t)=et, -π < t < π, f (t+2π ) = f(t) 4. En el circuito mostrado se tiene: R = 10Ω, L =10H y V1(t) es la caída de tensión en la
inductancia. Hallar la SCDF y STDF de E(t)
5. Por diferenciación hallar STF de h(t)=t2, π< t <π , h(t+2π)=h(t) y la suma de: ∑≥1n
4n
1
Solución: ∗ g(t) = -2π u-1(t+π ) + 2u-2(t+π) -2 π u-1(t-π) ∗ g”(t)= -2π δ´ (t+π) + 2δ´(t+π) - 2δ´(t-π) - 2πδ´(t-π)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
41
g (t) es una función impar ∴ an=0, T=2π, w0=1
∑≥
=1
)(n
nsentbtg ......................(2)
Calculo de bn: -n2 bn = ∫−
π
πntdtsentg
n.)("
1
-n2 bn = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫− +−+−+++
π
πππδπδπδππδ ntdtsentttt
n.'222'2
1
∴ πnn
bn cos4−= .............. (4)
Pero g (t) = f’(t) = senntn
n
n∑
≥1
cos4
π
f (t) = 32
;cos)1(
42
12
π==+−∑
≥
+
Ca
Cntn
o
n
an
∴ f(t) = ntnn
n
cos)1(
43 1
3
2
∑≥
−−π
= 3
2π-
−+− ........3cos91
2cos41
(cos4 tnt
Luego integrando 2 veces:
∫ ∑ +−+=≥
Cntsenn
tdtt
n
n
13
22 )1(
43
π
0;)1(
433 1
3
22
=+−+= ∑≥
CCntsenn
tt
n
nπ función impar
t-3 - π2t = Cntsennn
n
+−∑
≥14
)1(12
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
42
C = 2oa
= ∫ =−π
π
πππ 2 60
7)
2421 2224
dttt
∴ t = π ⇒ π4 - 2π4 = 157 4π
+ πnnn
n
cos1)1(
481
4∑≥
+−
∴90
4π = ∑ 4
1
n
6. En el circuito mostrado v(t) = eαtcosw0t a) Hallar la frecuencia de resonancia b) ¿Qué ocurre con la frecuencia de resonancia si se intercambia R1 con C? c) ¿Depende de R1
la frecuencia de Resonancia?
7. Dada [ ] [ ]2,0,0,: ππ XIRT =Ω→Ω , hallar en caso existan yxxTBmn += 2)4,(
de manera que: ( ) zntSennxSenByxT mnmn∑∑
≥≥
+=11
1,
Consideramos ( ) ( ) 1,, −= txTtxG Hallaremos una expansión de medio rango impar para )(),( xgtxG = es decir considerando a la variable y como constante.
( ) ( ) ( ) nxsenyBtxGyB nn
n ∑≥
=∃1
,
( ) dxnxsentxGtBm ∫=π
π
2
0
),(4
4
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
43
( ),tBm es una función de t para cada INm∈ , luego tomamos una expansión de medio rango
impar, mnB∃
( ) ∑≥
=π
1
2n
mnm mtsenBtB
( )∫=2
0
22
4π
πdtntsentBB mmn
Así tenemos que:
( ) tnnxsenByxT mnmn
21,11∑∑
≥≥
=−
( )( )∫∫ −=2
002
21,2
ππ
πdxdtntsennxsenyxTBmn
( ) ( )( ) ntsennxsenntsennxsenyxTyxTmn
221,2
1,2
00112 ∫∫∑∑ −+=
≥≥
ππ
π
8. En el diagrama adjunto, hallar la STF de y(t)
2
2 D
Y (t)X (t)
Del diagrama tenemos:
[ ])()2(
,,)( 2
txtx
tttx
=+−∈=
πππ
x(t)
y(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
44
X (t)
2 D
2
Y (t)
Y (t)1
2
Y (t)
Y (t)1
2Y (t) X’ (t)
Y (t)1
2
( ) ( ) ( ) ( )txtytyty ++= '
21
21
( ) ( )∑
≥
−+=1n
2
n2
)tablas(ntcosn
14
3tx
π
Asumamos que ( ) ( )∑≥
++=1
0 cos2 n
nn ntsenbntaa
ty
( ) ( ) ( )∑ ∑∑
≥ ≥
+
≥
−−=+−+++1n 1n
2
1n2
1nnnnn
0 ntcosn
14
3ntcosnbntsennantsenbntcosa
2
a π
32
20 π−=
a
( ) ( )( )
( )( )222
2
1
1
1
1
0
1
nnb
nna
nabn
nban
n
n
n
nn
n
nn
+−=∧
+−=⇒
=−
−=+
( ) ( )∑≥
++
−+−=1
22
2 1cos
1
1
11
3 n
n ntsenn
ntnn
tyπ
9. Hallar la STF de ( ) πππ <<−−= ttt
tf ,126
422
x(t)
21
y(t)
21
y(t)
21
y(t) y(t)
y(t)
)´()´(2
1)()(
2
1txtytyty ++=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
45
( ) ( )tftf =+ π2
Así tenemos:
( ) ππππ <<−−+=− ∑≥
tntn
tt n
n
,cos14
520
51
126 41
4422
10. Determine la SCF para y(t) en el diagrama:
+
-2
D
16
D Y (t)
4
1
D
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tG t tt x, 2txtx 2π−=π++=
Del diagrama tendremos:
x(t)
y(t)
x(t) z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
46
+
-2
D
16
D Y (t)
4
1
D
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtztztztxtz 2''4'22
1 =+⇒−=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )II txtzztyztzty 24'44''16'4 =+=⇒+=
( ) ( )txtY '8=
-2π
-πt
X(t)
3z´(t)
z´(t)
z(t)
2z´(t) 2z´´(t) D
x(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
47
33
X’ (t)
S.C.F. para ( ) ( )( )∑Ζ∈
−−−=n
nttx πδπ 122'
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑Ζ∈ Ζ∈
++ −=−==n
jnt
n
njntn eetxty 11 1818'8
11. Si f y g tienen el mismo periodo, expresar ( ) ( )∫+Ta
a
t d t g t f en términos de sus coeficientes de
sus S.T.F.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑
∑
∑
≥
≥
≥
++=
++=
++=
1nonon
o
1nonon
o
1nonon
o
tnw sentg btnw costg atg2
a tg tf
tnw sen tnw cos 2
tg
tnw sen btnw cos a2
a tf
βαα
integrando de a hasta a + T
( ) ( )∫ ∑+
≥
++=T a
a 1nnnnno
o
2
T b
2
T a
2
T
4
a dt t g t f βαα
( ) ( ) ( )∫ ∑+
≥++=
Ta
a 1nnnnn
oo b a2
1
4
a dt t g t f
T
1 βαα
x(t)
)(2 ππδ −− t
( ) ( ) 123
2
122
1 +−
−
−=−−= ∫njnt
n dtetF πδππ
π
π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
48
12. Analizar la onda f(t), si los coeficientes de sus SCF son: a) reales b) imaginarios puros Solución:
a) Si f es par, entonces ( ) ∑≥
+=1n
ono tnw cos a
2
atf
( )
Ζ∈∀∈⇒==
=−=
n IR F2
aF,a
2
1F
2
aF,Jba
2
1F
no
onn
oonnn
b) Si ( ) ( ) 0FRe,puro imaginarioP IF nn =∈
( )
escondida impar simetríatiene f ,0a Si
impar simetríatiene f ,0a Si
Nn,0a0Jba2
1Re
o
o
nnn
≠
=
∈∀=⇒=
−
13. Determine la S.C.F. para ( ) tttf coscos=
( ) tttf coscos= es una función de periodo 1,2 0 == wT π
Por tablas:
jnt
Zn
en
t 2
02 14
122cos ∑
−∈ −−=
ππ
( )
( )jtjtjnt
Zn
jtjt eeen
eett −
−∈
− +−
−+= ∑ 22
0 14
111coscos
ππ
( ) ( )
−−
−−+= −
≥
+
≥
− ∑∑ tnj
n
tnj
n
jtjt en
en
ee 122
1
122
1 14
1
14
11
π-
( ) ( )
−−
−− −−
≥
+−
≥∑∑ tnj
n
tnj
n
en
en
122
1
122
1 14
1
14
1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
49
( ) ( ) ( )( ) ( )
−+
−−−+= −
≥
+
≥
− ∑∑ tnj
n
tnj
n
jtjt en
en
eetf 122
1
122
2 14
1
114
111
ππ
( )
( )( )
−−+
−− +−
≥
+−
≥∑∑ tnj
n
tnj
n
en
en
122
2
122
1 114
1
14
11
π
( ) ( ) ( )( ) jttnj
n
jtjt eenn
eetfπππ 3
1
14
1
114
111 1222
2
−
−+
−−−+= −
≥
− ∑
( )( ) jttnj
n
eenn
−+−
≥−
−+
−−− ∑ ππ 3
1
14
1
114
11 1222
2
14. Usando tablas, hallar la S.T.F. de ( ) ( )( ) ππ
π22,
42 ≤≤−=
+=
tttx
txtx
( ) πππ ≤≤−−−=
+
≥∑ tnt
nt
n
n
,cos1
43 2
1
1
22
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥ 2,
2cos
14
34 21
22 tnt
n
t n
n
( ) πππ
22,2
cos1
163
42
1
22 ≤≤−−+= ∑
≥
tnt
nt
n
n
15. Determine 0, ∪∈ INnan tal que : ∑≥
+=
−1
0
2
2cos22 n
n ntaa
tπ
Solucion:
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
,cos1
43 2
1
22
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
2,2cos1
43
42
1
22
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
50
( )22
,2cos1
12 21
22 πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
( ) ( ) 222,22cos
1
122 21
22
ππππππ ≤−≤−−−+=
− ∑≥
ttnn
tn
n
( ) ( ) ππππ ≤≤−−+=
− ∑≥
tnntn
tn
n
0,2cos1
122 21
22
( ) ( ) ππππ ≤≤−+=
− ∑≥
tntnn
tn
n
0,cos2cos1
122 21
22
πππ ≤≤+=
− ∑≥
tnn
tn
0,2cos1
122 21
22
así 2
1
nan =
16. Hallar el S.C.F. para y(t) en el diagrama
( ) ttx cos=
Solución:
8
5
+
+
-2
-3
4
x(t)
y(t)
ttx cos)( =
8z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
51
8
5
+
+
-2
-3
4
-3t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p
-2t
− ∞Z(u) d u
t
− ∞Z(u) d u
− ∞5
tZ(u) d u
t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p( (
t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p( (4
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−
−−=t pt
dpduuzduuztxtz .32
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−
++=t pt
dpduuzduuztzty .458
Este sistema equivaldría a resolver:
( ) ( ) ( ) ( )tztztxtz 3'2"" −−=
( ) ( ) ( ) ( )tztztzty 4'5"8" ++=
De donde obtiene la ecuación diferencial que relaciona a: ( ) ( )tzytx
x(t)
y(t)
∫∞−
t
duuz )(
2 ∫∞−
t
duuz )(
∫∞−
t
duuz )(5
dpduuzt P
∫ ∫∞− ∞−
)( dpduuz
t P
∫ ∫∞− ∞−
)(4
dpduuzt P
∫ ∫∞− ∞−
− )(3
z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
52
TRANSFORMADA DE FOURIER
Sea ,: ℜ→Af ℜ=A una función continua por secciones, tomamos un caso particular ( ) ( )tGtf r=
donde podemos apreciar que ella puede expresarse como el límite de una sucesión de funciones periódicas de período T , cuando ∞→T . Así el tren de pulsos rectangulares de período T .
1
2T
2T−
( )tfT
Ahora consideremos el tren de pulsos de período TT 21 =
1
2T
2T−
( )tf1
T
Cuando ∞→T , tenemos:
1
2T
2T−
( )tf
En otras palabras ( ) ( )tfLímtf TT ∞→
= .
Hallando la serie compleja de ( )tfT :
( ) ( ) tjnw
n
2T
2T
tjnwT
00 edtetfT
1tf ⋅
⋅= ∑ ∫
∞
−∞= −
−
Denotemos ,0nww = ( ) ,1 000 wnwwnw =−+=∆ T
wπ2
0 = .
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
53
Como Tw ∧0 varían inversamente; cuando T es grande, 0w es pequeño, así podemos escribir:
TLímdwT
π2∞→
=
También tendríamos que:
T
nnw
π20 =
cuando ∞→T .
( ) ( ) ( )dwwF2
1dwdtetf
2
1dtetf
T
2
2
1LímC
jwt
2T
2T
ntT
2j
Tn ⋅=⋅
⋅=⋅⋅= ∫∫
∞
∞−
−
−
−
∞→ πππ
π
π
Definimos la transformada de Fourier de ( )tf , ( )[ ] ( )wFtfF = como:
( ) ( )∫∞
∞−
−⋅=
jwtdtetfwF
También se suele escribir: ( ) ( )wFtf ↔
Por otro lado tenemos:
( ) ( )
( ) ( ) dwewFtf
dwewFtf
jwt
n
tT
j
n
⋅=→
⋅=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
π
π
π
2
1
2
12
Cuando ∞→T se obtiene:
( ) ( )∫∞
∞−
⋅=
jwtdwewF2
1tf
π
Así tenemos el par de Transformadas de Fourier:
( ) ( ) ( )TFdtetfwF
jwt
∫∞
∞−
−⋅=
( ) ( ) ( )TIFdwewF2
1tf
jwt
∫∞
∞−
⋅=π
SIGNIFICADO FÍSICO DE T.F. Podemos apreciar la significación física, podemos obtenerla de la deducción de la TF. Consideremos la STF de la señal periódica:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
54
( )
( ) tjw
n
n
tjw
nn
tjnw
nn
n
n
ewnw
SaT
wtf
dteCeCtf
∑
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
=→
==
2
0
La magnitud de cada armónico es
=2
nn
wkwSa
T
wC
EXISTENCIA DE LA TF Análogamente a las exigencias para ( )tf de manera que existiera su STF o SCF. En el caso de la TF
veamos las condiciones suficientes pero no necesarias para la existencia de la TF. CONDICIONES DE DIRICHLET Las condiciones suficientes para que exista la TF de ( )tf son:
1. Para cualquier intervalo finito:
a) ( )tf debe ser acotada.
b) ( )tf tiene un número finito de valores máximos o mínimos.
c) ( )tf es continua por tramos (número finito de discontinuidades).
2. ( )tf es absolutamente integrable, es decir:
( )∫∞
∞−
∞<
dttf
Algunas veces se pide que ( ) ,dttf
2
∫∞
∞−
∞< es decir que ( )tf tenga energía finita. (energía asociada a la
señal ( )tf tomada como un voltaje - -resistivo de Ω1 ).
La potencia para la señal ( )tf esta dada por:
( ) ( ) ( ) ( )12
2
=== RtfR
tftP
Así ( )∫∞
∞−∞→
∞<= dttfT
LímPT
21
Comentario. Si consideramos la señal:
( )
≠=
=0,0
0,1
t
ttx
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
55
Veamos si la señal ( )tx satisface las condiciones de DIRICHLET.
( )tx1
t
1. Consideremos cualquier intervalo finito [ ]ba, :
a) ( )tx es acotada.
b) Valor máximo [ ][ ]
∉∈
=ba
ba
,0,0
,0,1, valor mínimo 0=
c) ( )tx es continua por tramos.
2. ( )∫∞
∞−
= ,0dttx ( )tx es absolutamente integrable.
Por tanto para ( )tx , se cumplen las condiciones de DIRICHLET.
Así existe ( ) 0=wX .
Ejercicio. De un ejemplo en el cual no se cumpla las condiciones de DIRICHLET, pero que exista su TF. Puede intentar con ( ) ttx = .
( )tx no es absolutamente integrable ( )∫∞
∞−
ℜ∉dttx
TRANSFORMADA DEL IMPULSO
( )[ ] ( )∫∞
∞−
− ==
jwt 1dtettF δδ
Nota En algunos casos se define el par
( ) ( ) ( )TFdtetf2
1wF
jwt
∫∞
∞−
−⋅=π
( ) ( ) ( )TIFdwewF2
1tf
jwt
∫∞
∞−
⋅=π
Las propiedades que veremos son equivalentes a las que resultarían usando esta definición.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
56
PARTE REAL E IMAGINARIA DE TRASFORMADA DE FOURIER :
Definición.- Si existe ( )∫∞
∞−
dttf , entonces se denomina Transformada de Fourier de ( )tf a:
( )( ) ( ) ( )∫∞
∞−
− == wFdtetftfF jwt
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )wjXwRtfF
senwtdttfjwtdttftfF
dtjsenwtwttftfF
+=
−+=
−=
∫∫
∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
cos
cos
R(w) es llamada la parte real de F(w) X(w) es llamada la parte imaginaria de F(w)
Apreciaciones
1) Vemos que: R(-w) = R(w)
R (-w) = ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−==− )(cos)()cos()( wRwtdttftdtwtf
Así: R(w) es par con respecto a su variable independiente w.
2) Análogamente: X(-w) = -X(w)
X(-w) = ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−−=−−=− )())(()()( wXsenwtdttftdtwsentf
X(w) es impar con respecto a w 3) Si f es par entonces, en caso exista F(w) se tiene que X(w) =0 4) Si f es impar entonces R(w) = 0
5) F(w)2 = R2(w) + X2(w)
6) ( ))(
)()(
wR
wXwtg =φ , ( ) ( )
( ) fasedeespectrowj
MAGNITUD
DEESPECTRO
ewFwF←
=φ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
57
( )wX
( )wR
( )1wX
( )1wR
( )1wF
7. ( ) ( ) ( )wR
tftf ↔−+2
, Recordar que como f es definida en todo ℜ :
( ) ( ) ( )tftftf oe += donde:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
2tftf
tf
tftftf
o
e
−−=
−+=
8. ( ) ( ) ( )wjX
tftf ↔−−2
PROPIEDADES DE LA T.F.
1. Linealidad
( ) ( )( ) ( )wGtg
wFtf
↔↔
→ ( ) ( )tgtf + ↔ ( ) ( ) GF DDwwGwF ∩∈∀+
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) GFjwtjwt
Gjwt
Fjwt
DDwdtetgdtetf
DwwGdtetg
DwwFdtetf
∩∈∀⋅∃∧⋅∃
∈∀=⋅∃
∈∀=⋅∃
∫∫
∫
∫
∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
,
,
,
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tgFtfFtgtfF
wGwFdtetgdtetfdtetgtftgtfF jwtjwtjwt
+=+∴
+=⋅+⋅=⋅+=+ ∫∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ,, FDwwrFtrfwFtf ∈↔⇒↔ r constante
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
58
3. Cambio de escala
Si ( ) ( ) ( ) FDwa
wF
aatfawFtf ∈
↔⇒≠∧↔ ,1
0
Visualizando:
( )[ ] ( )∫∞
∞−
−⋅= dteatfatfF jwt , hagamos a
dxdtxat =⇒=
1) ,0>a ( )[ ] ( ) ( )
=⋅=⋅= ∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−
a
wF
adxexf
aa
dxexfatfF
xa
wj
a
xjw 11
2) ,0<a ( )[ ] ( ) ( )
=⋅−
=⋅= ∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−
a
wF
adxexf
aa
dxexfatfF
xa
wj
a
xjw 11
4. ( ) ( ),wFtf −↔− 1−=a de la propiedad (3).
5. Retardo en el tiempo
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )wFedxexfedxexfttfF
ewFttf
jwtjwxjwttxjw
jwt
000
0
0
0
−∞
∞−
−−∞
∞−
+−
−
===−
↔−
∫∫
6. Retardo en la frecuencia
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0
0
000
0
wwFdtetfdteetfetfF
wwFetfwFtf
twwjjwttjwjwt
tjw
−===
−↔→↔
∫∫∞
∞−
−−∞
∞−
−
7. ( ) ( ) ( )[ ]000 2
1wwFwwFtwcostf ++−↔
Por propiedad (6)
( ) ( )00 wwFetf jwt −↔
( ) ( )00 wwFetf jwt +↔−
:⊕
( ) ( ) ( )0002 wwFwwFtwcostf ++−↔
( ) ( ) ( )[ ]000 2
1wwFwwFtwcostf ++−↔
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
59
8. ( ) ( ) ( )[ ]000 2
1wwFwwF
jtsenwtf +−−↔
9. ( )( ) ( )wjwFtfF =′ siempre que ( ) 0→tf cuando ±∞→t En realidad se puede generalizar:
nCfwFtf ∈∧→ )()( y si se cumplen las condicones de Dirichlet, entonces
)()()()( wFjwtf nn →
Para lo cual basta con derivar n veces:
∫∞
∞−
= dwewFtf jwt)()( 21π
10. ( ) ( )wFjw
dxxfFt 1=
∫∞−
0≠w ∧ ( ) ( ) 00 ==∫∞
∞−
Fdttf
( ) )()()()()( wFwjwGtftgdxxftgt
=→=′→= ∫∞−
para que exista ( )
∫∞−
t
dxxfF , debe cumplirse la condicion de la propiedad 9,
( ) 0→tg cuando ±∞→t , lo cual es cierto pues ( ) 0=∫∞
∞−
dttf
11. Propiedad de Simetría
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tFFdtetFwfdwewFtf
dwewFtfdwewFwFF
dttfetfF
wftfF
jwtjwt
jwtjwt
jwt
==−⇒=−⇒
=⇒=∴
=
−=
∫∫
∫∫
∫
∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
ππ
ππ
π
22
22
1
2
1
Hallar :
t
senatF
π
( )[ ]2
2 wdsen
wtPF d =
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
60
( )wPdt
sent
F d −=
π22
2 Si:
( )
( ) ( )wPwPt
senatF
wPsenatt
F
aa
a
22
222
=−=
−=
π
π
( ) ( )wPwP dd −=
( )wF
wa− a
1πa
12. ( )[ ] ( )wFtjtfF ′−= Generalizando:
Si )()(, wFtfNn ↔∈ , entonces )()()( )( wFtfjt nn ↔−
13. Propiedad de Convolución
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )wFwFtftfF
dxxtfxftftf
2121
2121
*
*
=→
−= ∫∞
∞−
Apreciación:
Si ( )tf1 y ( )tf2 son nulos ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=⇒<∀t
0
2121 dxxtfxftf*tf0t
También:
( ) ( )[ ] ( ) ( )tftfwFwFF 21211 *=−
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
61
Ejemplo: ( ) ??1
12
1 =
+−
jwF
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
−−−
∞
∞−
−−−−−−
−−
==
+⋅
+⇒
<
>
<<
=−
<
>=−
<
>=
−=∗=
+⋅
+⇒
==⇒+
==
+⋅
+
t
0
tt1
xtxtt1
t2121
1
tedxejw1
1
jw1
1F
0x,0
tx,0
tx0,1
xtx
xt,0
xt,1xt
0x,0
0x,1x
dxxtextetetejw1
1
jw1
1F
tetftfjw1
1wFwF;
jw1
1
jw1
1F
µµ
µµ
µµµµ
µ
Función Impulso
( )tfε
ε− ε
( ) ( )ttfLím δεε=
∞→, donde:
( )
≠=∞
=0,0
0,
t
ttδ ε2
1
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( ) 0jwt0
0jw
jwt
e1ttF1tF
1edtettF
0fdtttf
−
−∞
∞−
−
∞
∞−
=−∴=⇒
===
=
∫
∫
δδ
δδ
δ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
62
0t
∞
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) πδπδ 221
00
wwF
ewFttfF jwt
=−=⇒
=− −
( ) ( )1AFAF =⇒
Luego como A es constante
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )0
0
0
00 21
2
wwFetfF
wweFeF
wAAF
tjw
tjwtjw
−=⇒
−==⇒
=
πδδπ
• [ ] ??cos 0 =twF
Prop. ( )[ ] ( )jw
wtF1+= πδµ
[ ]22
2.Pr
wa
aeFop ta
+=−
, donde 0>a
( ) ( )
[ ]22
0
0
0
0
2
11
wa
aeF
ajwjwaajw
e
ajw
e
dteedteedtee
ta
tajwtajw
jwtatjwtatjwtta
+=
++
−=
−−+
−=
+=
−
∞+−
∞−
−−
∞−−
∞−
−∞
∞−
−−∫∫∫
Consecuencia: wae
ta
a −−↔+
π22
22 ( esto por simetría)
wae
ta
a −↔+
π22
22
• [ ] ??2 =tsenF
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
63
( ) ( ) ( )[ ]
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]22222
422224
1
4
2
2
2
222
+−−−=⇒
−++−−=
−−+=
+ −−
wwwtsenF
wwwee
Fj
eeF
jtjtjtjt
δδπ
πδπδπδ
• ( )[ ] ??=ttF µ
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] [ ]wFttfF
wwj
w
jw
jttF
jww
jjww
dw
d
jttF
′−=⇒
−′=
+′−=→
−′−=
+⋅−=
22
2
11
1111
δπδπµ
δππδµ
14. ( ) ( ) ( ) ( )wFjwtf nn ↔
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
64
PROBLEMAS
1. Hallar ( )( ) ??=tPF d
( )tPd
2d− 2
d
1
( )( ) ( ) ( )
−=−===
−
−
−
−
−∞
∞−
− ∫∫ 222
2
2
2
111
jwdjwdd
d
jwt
d
d
jwtjwtdd ee
jwe
jwdtedtetPtPF
==−
+=
−= −−
22
12
cos
cos wdjsen
jwjsenee
jsene
jsene jj
j
j
ααααα αα
α
α
( )( )
=→
2
2wd
wdsen
dtPF d
Gráficamente ( )( ) ( )wFtPF d =
( )wF
w
( )
>
<<−
<
=
2,0
22,1
2,0
dt
dtd
dt
tPd
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
65
2. Determine f(t), si F(w) = 2G2(w), φ(w) = w/2
F(t) = )e e(
jt
2dwe2
2
1 2
tj1
12
tjt
2
wj −
−∫ −=ππ
F(t) = )2/t(Sa2
)2/tsen(t
4) ee(
tj
2 2
jt
2
jt
πππ==−
−
3. Dada ,)4w)(1w(
3)w(8)w(F
22 +++= δ
determine f(t)
4w
1
1w
1)w(2
)4w)(1w(
3
)40)(10(
)w(8)w(F
222222 +−
++=
+++
++= δδ
t2t e4
1e
2
11)t(f −− −+=
π
4. Hallar f(t) ; si F(w) = Cos( 2w+π ) δ (w-π / 2)
Propiedades de la función impulso:
F(w) =Cos (π + π) δ (w-π / 2)
F(w) = δ (w-π / 2)
] )w( [Fe)t(f 12
tj
δπ
−=
2
tj
e2
1)t(f
π
π=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
66
EJERCICIO Determine f(t) cuando:
(a) ( ) 2/)(,)(1)( 2 wwwGewF w =−= − φ
(b) wwwGwwF == )(),()( 2 φ
(c) )1(2
1)(),()(2)( 4 −=−= wwwGwSgnwF φ
(d) [ ] 1)3(2)(1()( −+++= jwjwjwwF
(e) [ ] 12 )1)(1()(−++= wjwwF
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
67
Pulso Rectangular
( )
≥
<=
2
2
,0
,1
r
r
Rt
ttG
( )tGR
2r− 2
r
1
Hallemos ( )[ ]tGF R
Derivando:
( )tGR′
2r−
2r
( )2rt −−δ
Por ( MA143 ):
( )
( ) ( )
( ) ( ) 22
22
1
1
1
rjw
r
rjw
r
et
et
t
−
−
=+→
−=−−→
=
δ
δ
δ
Sumando (Linealidad):
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )2
2
22
2
222
2
2
rR
rR
rr
r
R
rrr
wrSatG
wjwrSatG
ww
wsenjtG
wjsentt
↔⇒
↔′→
↔′→
↔−−+ δδ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
68
Función de Muestreo Recordemos de (MA143) la función de muestreo ( )tSa
( )
≠
==
0t ,t
tsen
0t ,1
tSa
• ( )tSa tiene ceros periódicos (Salvo el inicial).
• La amplitud de onda decrece; es decir, se enrolla alrededor del eje t.
• ( )tSa es par.
• ( ) π=∫∞
∞−
dttSa
( )tSa
π π2π3
π−π2−π3−
Hallamos ( )[ ]tSaF por simetría:
( ) ( ) ( )wGwGtrSa rr ππ 22 =−↔ (ya que ( )tGr es par)
( )wF
w
1
( )wF
w
2r− 2
r
1
( )tGR
1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
69
Pulso Triangular
1
2r− 2
r
( )tTr ( )tTr′
r2
r2−
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ]
=
=∴
−==′′⇒
−↔′′
−↔′′
+−↔′′
−+−+=′′
−
−
424
8
4
8
4
8
2
22
242
222
22
2
2
44
22
22
wrSa
rwrsen
rwtTF
wrsen
rtTFjwtTF
wrsen
rtT
eer
tT
eer
tT
tr
tr
tr
tT
r
rr
r
rjw
rjw
r
rjw
rjw
r
rrr δδδ
Convolución en el tiempo
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−=∗
dxxtgxftgtf
Propiedades
1. ( ) ( ) ( ) ( ) ACONMUTATIVtftgtgtf ∗=∗
2. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )thtftgtfthtgtf ∗+∗=+∗ asocidistributividad
3. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tgtfrtgtrf ∗=∗
4. ( ) ( ) ( )tgtfth ∗= entonces ,n Ν∈∀ se cumple:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tgtfth mkn ∗= donde Ν∈+= m,k,mkn .
5. )()(*)( 00 ttftftt −=−δ
conmutatividad
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
70
Autoconvolución ( ( ) ( )tftf ∗ )
Ejemplo. Hallar ( )th :
( ) ( ) ( )teteth tt µµ ∗=
( ) =th ∗
tete
t t
t
movil
Señal
fija
Señal
Si: ( ) 00 =< th,t
Si: ( ) ∫ ==> −t
txtx tedxeeth,t0
0
( ) ( )tteth t µ=∴
Propiedad
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mkntgtfth
tgtfthSimkn +=∗=⇒
∗=
t
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
71
Ejemplo. Hallar ( )th :
( ) =th ∗a b c d
cdabdonde −>−
SOLUCION:
( ) =′ th ∗a b
( )ct −δ
( )dt −δ
( ) =′ th ∗a b
( )ct −δ
( )dt −δ
∗a b
+
( ) =′ th +da+ db+
ca+ cb+
( )
+<<+−
+<<+
+<<+
+<<+
=′
dbtcb ,1
cbtda ,0
datca ,1
catdb ,0
th
NOTA: dacbcdab +>+↔−>− Integrando:
( )
+>
+<<++−
+<<+
+<<++
+<
=
dbt ,E
dbtcb ,Dt
cbtda ,C
datca ,B t
cat ,A
th
Pero en la convolución de pulsos finitos, para t grande ella vale cero.
( )0E)0A( ==
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
=→=+++−⇒+=+
+=→+−−=−⇒+=+
−=→=−−++⇒+=+−−=→++=⇒+=+
+−
+−
+−
+−
EEdbcbdbhdbh
dbDDcbcdcbhcbh
cdCCcadadahdah
caBBcacahcah
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
72
Es decir:
( ) =th ∗a b c d
cdab −>−∧
= ca+da+ cb+
db+
Consecuencias
∗2− 0 1 2 1− 0 1 2
=
∗3 5 1 3 5
=2− 0
Observación
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )wGwFwH:dondewHFth
tgtfthSi
==→
∗=−1
Propiedad
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]wFwFtftf
,,iwFtfSi ii
2121 2
1
321
∗↔→
=↔
π
…
Ejemplo. Hallar ( )[ ]tSaF 2
( )
( ) ( )wGwGtr
rSa
wrrSatG
rr
r
ππ 222
2
=−↔
↔
Tomando 2=r :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]wGwGtSa
wGwGtSa
222
22
2
2
2
∗↔
=↔
π
ππ
∗1− 1
( )2
2 π↔tSa1− 1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
73
t0-2 -1 31 2
32
1
t-3 -1 1 3
21
Ejemplo: Determinar la convolución siguiente H (t) = (G1 (t + 3/2) + G1 (t + 1/2 ) + 3 G1 (t – 1/2) + 2 G1 (t – 3/2)+ G1 (t – 5/2)) * (G2 (t + 2) + 2 G2 (t) + G2 (t - 2)) Graficando h(t) a diferente escala (para visualizarla mejor)
h (t) = *
3
321 4
321
2
4
4
0-1-2 1
0-2 -1 1
-3-5 -4
2
1
-2
2
1
3
3
2
2
4 5
4 5
6
5
3 4 5
1
2 3 4
2
6
1
0-1
-1 0
1 2
1 2
-2
-4 -3 -1-2
3
0
4
0 1 2
-3 -1-2
0-3 -1-2
2
3
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
74
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
75
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )wje wFwF
CwFwjXwRwF
φ=
∈+=
( )wφ argumento de ( )wF , por tanto para hallar la inversa se puede utilizar esta relación.
Ejemplo: Hallar ( )tf , si ( ) ( )wGw
wF 22
= y ( )
2
ww =φ
( ) ( )
( )
( )
+−=
=
=
∫∫
∫
∫
+
−
+
−
∞
∞−
1
0
t2
1j0
1
wt2
1j
1
1
jwt2jw
jwt
dwwe2
1dwwe
2
1
2
1tf
dtee2
w
2
1tf
dwewF2
1tf
π
π
π
Ejemplo:
( )
++−
4231
ww
wF
δ
Se tiene por conocimiento de funciones generalizadas ( ) ( ) ( ) ( )tfttf δδ 0= ; f continua en .0=t
Luego:
( ) ( )[ ]
πδδ
8
1
4
1
41
231 ==
++−− wF
ww
wF
Propiedad
( )[ ] 01 >+
=− aajw
tef at µ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
76
Ejemplo:
( )( )
++−
321
11
jwjwF
( )
( )[ ]
( )[ ] ( )teewFF
jwF
jwFwFF
jwjwwF
tt µ
−=
+−
+=
+−
+=
−−
−−−
231
111
23
1
1
1
32
2
1
1
Ejemplo: ¿Es correcto el siguiente razonamiento?
1 ( )tµ
( ) ( )tt µ′=δ
t
t
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∗↔⇒==′ .....jw
ttjwFtF1
1 µµµ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
77
Ahora:
( )
<−
>==
0,1
0,1
t
t
t
ttSgn
( )tSgn
t
1
-1
( )jw
tSgn2↔
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ?¿
.....jw
wtF
tSgntttSgn
∗∗∧∗
∗∗+=
+=⇒−=
1
2
112
δµ
µµ
justifique su respuesta.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
78
TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES PERIÓDICAS Sea f(t) una función periódica de periodo T, entonces tenemos:
tjn
Znn
oeF)t(f ω
∈∑=
[ ]
ℑ=ℑ ω
∈∑ tjn
Znn
oeF)t(f
[ ]∑∈
ωℑ=ωZn
tjnn
oeF)(F
( )( )∑∈
ω−ωπδ=ωZn
on n2F)(F
ó, equivalentemente,
( )∑ ∫∈
+ − −
=Zn
o
T a
a
tjn n2e)t(fT
1)(F o ωωπδω ω
( )∑ ∫∈
+ − −
=
Zno
Ta
a
tjn ne)t(fT
2)(F o ωωδπω ω
Aplicación
Determine la TF de x(t) que satisface: [ ]tt)t(x)t(''x −=+
Asumamos que [ ])t(x)(X ℑ=ω .
De la ecuación diferencial: ( ) ( )πωδπωωω π n2dtte2)(X)(XjZn
1
0
tn2j2 −
=+ ∑ ∫
∈
−,
Entonces:
( )π−ωδπω−
π=ω ∑∈
n2n2
j
1
2)(X
Zn2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
79
Determinación de la FT usando TF Poseemos en un sistema S.L.I.T. (serie lineal invariante en el tiempo)
δ(t) = u(t) * h(t)
1 = (π δ (ω)+1/ jω) H(ω) H(ω) = 1 = j ω = j ω
π δ (ω) + 1/ jω π j ω δ (ω)+1
h(t) = F-1 [H(ω)] = δ’(t) Es decir hemos detectado que el sistema es un diferenciador
u(t) h(t)
δ(t)
x(t) y(t) D
SISTEMA
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
80
Veamos ahora un caso más interesante, como el de hallar la FT (función de Transferencia) del sistema. Tenemos un sistema analógico (entrada y salida analógicas), hallemos la ecuación diferencial que la caracteriza: y(t) = x(t) + ay’(t)+y’’(t) y’’(t) + ay’(t) – y(t) = x (t) Tomando TF ambos miembros, para hallar la función de transferencia: ((jω2 + a (jω)-1) Y (ω) = X (ω) H(ω) = Y(ω) = 1 X(ω) (jω2 + a(jω) - 1)
Como operación final, determinemos la T.F. de la entrada del sistema cuando la salida es y(t) = e -| t | u (t)
x(t) y(t)
D D
a
+
+
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
81
Ejemplo: Hallar la función de transferencia para el sistema Del diagrama tenemos: Z(t) = x(t) + ay’(t) Z’(t) + aZ(t) = y(t) De (1) y (2) eliminando Z(t) : x ’(t) + ay’’(t) + a (x (t) + a y’(t)) = y(t)
x’ (t) + a x (t) = - ay’’(t) - a2 y’(t) + y(t) Tomando T.F.: ( jω + a )X(ω) = (-a (jω)2 - a2jω + 1) Y(ω) H(ω) = Y(ω) = jω + a X(ω) (a ω2 – a2 jω + 1) En el caso particular tenemos: Y(ω) = 1 jω + 1 Luego: X(ω) = Y(ω) = a ω2 - a2 jω + 1 H(ω) ( jω + a )( jω+1 )
x(t) y(t) D
D
a
+ +
a
Z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
82
Ejercicios: Determine la función de transferencia para los siguientes sistemas lineales.
Nota: y(t) = ∫ x (u)du y’(t) = x (t) (jω) Y (ω) = X (ω) H(ω) = 1 jω b) c) d)
x(t) y(t)
-∞
t
∫
a
a
a
D
b
+
+
x(t) y(t)
D x(t) y(t)
Ret
T0 =≺
D x(t) y(t)
∫
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
83
y(t) = x’(t-π) Y(ω) = jω X (ω) e jπt H(ω) = jω e jπt
e) a,b,c, > 0
Comentario
El problema latente es hallar una de las tres variables: x(t), y(t), h(t) que
satisfacen:
y(t) = x(t) * h(t) conociendo dos de ellas.
Veamos un caso simple : x(t) = µ -2 (t), h (t) = µ –3
Hallemos usando la definición:
y(t)= 1°) Si t<0 , y(t) = 0
t
D ∫
D C
b a
a
*
+ +
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
84
2°) Si t>0, h (t) = ∫ u2 (t-u) du 2
h(t) = (t/6u3 – u4/8)] t = (1/6 – 1/8) t4 = t4 0
Luego : h(t) = 1/24 t4 µ-1(t)
Nos preguntamos de que otra manera podemos hallar y (t), obviamente será usar la TF. Sea Y(ω) = F [y(t)]
Y(ω) = X(ω) = H(ω) X(ω) = -1 , H(ω) = 2j ω2 ω3 Y (ω) = X (ω) H(ω) = - 2j ω5 Cambiando al ambiente Laplaciano (TL) Y (s) = - 2j = 2 s 5 s5 j y(t) = -1 Y(s) = (1 / 24 ) t4 µ -1 (t). Obviamente al tomar la TIL hemos tomado en cuenta que la convolución de las señales causadas, es otra causal. Comprobar lo anteriormente manifestado para: x(t) = G2r (t-r) , h(t) = Gr (t-r/2) , y (t) = x(t) * h(t) X(w) = 2r Sa (ω (2r))e jrt , H(ω) = r Sa (ω r/2) e J r/2t 2 2
0
u2 2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
85
Ejercicio. Determine la TF para V(t) que cumple: )t(h)t('v)t(''v =+ , donde
2
t2
,tcos)t(hπ<<π−=
2
3t
2,0)t(h
π≤≤π= )2t(h)t(h π+=
Ejemplo: Si x (t) = t3 µ -1 (t) , y (t) = t4 µ-1 (t) , hallar Z (t)= x (t) * y (t)
6 24 Usando la relación entre la TL y TF, pues x (t) , y (t) son señales causales. Z (ω) = X(ω) Y(ω) X(ω) = X (s) = 1 = 1 . S= jω (Jω)4 ω4 Y(ω) = Y(s) = 1 = j . S= jω Jω5 ω5 Z(ω) = - J Z (s) = - j = 1 Z(t) = t9 µ -1 (t) ω9 (s/j) s9 8! Z(t) = t9 µ -1(t) 40320 Ejemplo: Sea x (t) = e-| t - to| una señal, hallar “x” (t) y luego hallar su T.F. x’’ (t) = x (t) -δ (t) F[x’’ (t)] = X( ω) –2 = 2 e -Jωto –2 ω2 + 1 Observamos que: e -|t| e -Jωto e - | t – to |
e-(t - to) , t ≥ to X(t) = e t – to , t < to
-e-(t - to) , t > to X’(t) = e t – to , t < to
2
ω2 + 1
2
ω2 + 1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
86
n ∈ Ζ
n ∈ Ζ
n ∈ Ζ
Ejemplo:
Hallar la T.F. de x (t) = ∑ δ’ (t - nπ) cos t Vemos que: (δ (t - nπ)) cos t = (-1)n δ (t - nπ) [δ(t - nπ) cos t]’ = [δ’ (t - nπ) cos t] - [δ(t - nπ) sen t] (-1)n δ’ (t - nπ) = δ’ (t - nπ) cos t x (t) es una función de periodo 2π
Fn = 1 . ∫ (δ’(t) - δ’ (t - π)) e -Jnt dt
2π
Fn = 1 (-1) ∫ (δ’(t) - δ’ (t - π)) (e -Jnt)’dt 2π Fn = -1 ( jn)(1 – (-1)n) = jn (-1) (1 – (-1)n) 2π 2n F2n = 0 , F2n – 1 = jn π
x (t) = j ∑ (2n - 1) en + J(2n – 1) t
X (ω) = j ∑ (2n - 1)2π δ (ω - (2n - 1)) Ejemplo: Dada |Xω| = (cos πω) G1 (ω) , φ (ω) = ω , determine x (t) Solución:
7 π/4
-π/4
7 π/4
-π/4
X(ω) = j ∑ (2n - 1) δ (ω -(2n -1)) n ∈ Ζ
1/2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
87
Tenemos: x(t) = 1 ∫ (cos πω) e jω ejωt dω
2π
x(t) = 1 ∫ e j(1 + t) ω cosπω dω
2π
x(t) = 1 [π Senπω + j(1+t) cos πω e j(1 + t) ω]
2π x (t) = j Sen (1 + t/2) (1 + t)2 + π2 Ejemplo: Sea x (t) = e –t sen t µ -1 (t) , determine Xc (ω) Sabemos que en el dominio S: Sen t Cosωt = ½ (Sen (1 + ω)t + sen (1 - ω)t ) Ejercicio. Hallar x(t), si y(t) = x(t) * h (t) cuando
01) ),t(t)t(h 12
−µ= )t(t2)t(y 12
−µ=
02) ),1t(G)t(h 4 −= )t(G)t(y 2=
03) ),t(tG)t(h 2= )t(tG)t(y 4=
04) ( ),)t(G1t)t(h 2−= te)t(y −=
05) ),t(t)t(h 1−µ= )t(t)t(y 12
−µ=
06) ),t()t(h δ= )t(Sa)t(y =
07) ),nt()t(h −δ= )t(Sa)t(y =
08) ),t(')t(h δ= )t(t)t(y 12
−µ−=
09) ,sent)t(h = sent)t(y −=
10) ,sent)t(h = sent)t(y =
-1/2
-1/2
1/2
1/2
-1/2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
88
CRtf i →:)(
dw)w(F)w(F2
1dt)t(f)t(f
21
21 ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=π
∫∞
∞−
−=
Jwt2121 )1.....(dte))t(f)t(f())t(f)t(f(F
( ) ).........()w(F*)w(F)t(f)t(f 22
12121 π
↔
( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
=− dttftfdxxFxF )()()()(21
2121π
( )∫∫∞
∞−
−∞
∞−
=−
Jwt21
21 dte)t(f)t(fdx)xw(F)x(F2
1
π
)()( wFtf ii ↔
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−= )()(2
1)()( 2121 π
RRtf i →:)(
)()( wFtf ii ↔
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
=⇒ )()(2
1)()( 2121 π
∫∞
∞−
−= dtetfwF Jwt)()( 22
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−− ==− dtetfdtetfwF twJtwJ )(2
)(22 )()()(
∫∞
∞−
− ==− )()()( 222 wFdtetfwF Jwt
TEOREMA DE PARSEVAL TEOREMA: Si : Si : i:1,2
Visualización:
de (1) y (2): evaluando ω = 0: así obtenemos: TEOREMA:
Visualización:
)()( 22 wFwF −=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
89
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
= )()(2
1)()( 2121 π
⇒↔ )()( wFtf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
= dwwFdttf22
)(2
1)(
π
Rf →Ω: R=Ω
∫∞
∞−
dttf2
)(
∫∞
∞−
= dttfE2
)(
)()( tSatf =
∫∫∞
∞−
∞
∞−
== dtt
tSendttSaE
2
22 )(
)(
[ ] πππ
ππ
=== ∫∫−
∞
∞−
1
1
222 2
1)(
2
1dwdwwGE
)dt-(tf (t)f)(R 2
12 1 ττ ∫∞
∞−=
Por el teorema anterior: TEOREMA DE PARSEVAL : ENERGIA
Si : (Es decir el dominio de f es casi todo los Reales, es decir los reales salvo algunos puntos
aislados y además si existe la integral
Entonces el contenido de energía de f(t) denotado como E será:
La identidad de Parseval nos permite hallar E. Ejemplo: Hallar el contenido de energía E de : FUNCIONES DE CORRELACION Sean f 1(t) y f 2(t) dos señales, definimos la función correlación: La función de correlación R12(τ ) ó R21(τ) suministra una medida de la similitud o interdependencia de las señales f 1(t) y f 2(t) en términos de un parámetro τ.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
90
)(R)(R 1 22 1 ττ −=
)(f*)(f )t(f*)t(f)(R 21t212 1 τττ τ −=−==
dt (t)f )0(R2
111 ∫∞
∞−=
)dt-(tf (t)f)(R 2
12 1 ττ ∫∞
∞−=
)dtx(f )(xf)(R 2
12 1 ∫∞
∞−+= ττ
∫∞
∞−=−
2121 x))dx-(-(f (x)f)(f*)(f τττ
∫∞
∞−==
1221 )(R)dt-(tf (t)f ττ
)(F*)(F ] )(f*)(f[)](R[ 21212 1 ωωτττ −=−ℑ=ℑ
)(F*)(F ] )(f*)(f[)](R[ )](R[ 21212 121 ωωττττ −=−ℑ=−ℑ=ℑ
dt )-(tf (t)f )(R
1111 ∫∞
∞−= ττ
dt (t)f dt 0)-(tf (t)f)0(R2
1
1111 ∫∫∞
∞−
∞
∞−==
PROPIEDADES
1. Con el cambio: t - τ = x tenemos: 2. Prueba:
3. 4. 5. Prueba:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
91
)1()( 21 −= ttGtf
)1()( 22
2 −= tGttf
Ejercicios: Hallar las funciones de correlación R12 (τ) y R21 (τ), si: Ejemplo: Determinar la función de Correlación R12 (τ) para f1(t) =G2(t) y f2(t)=G4(t) Solución: f1(-t) = f2(t) R12 (τ)=f1(τ) * f2(-τ) = f1(τ) * f2(τ ) R12( τ) = τ * -1 1 -2 2 R12( τ) = τ -3 -2 -1 0 1 2 3
Ejercicios: Determine las funciones de correlación de las siguientes funciones: a) f1 (t) =G4 (t) f2 (t) = t G2 (t) b) f1 (t) =(1+ | t | ) G2 (t) ; f2 (t) =( Sent ) G2π (t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
92
RRRu →+*:
[ ] ∫−=
R
JwxdxeyxuyxuF ),(),(
RRRu →+0*:
[ ] ),(),(),( twUdxetxutxuFR
Jwx == ∫−
RRRu →+0*: y
[ ] ⇒= ),(),( twUtxuF
[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =
∫=R
JwxdwetwUtxu ),(2
1),(
π
∫=R
Jwxx dwetwUJwtxu )),()((
2
1),(
π
[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =
[ ] ( ) ),(),( 2 twUJwtxuF xx =
( ) ),(),(2
.. twUJwtxuF nxxxx =
TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES Sea podemos interpretar:
Generalmente nos interesa que Propiedades: Sea: (1) Razonando: Luego: (2) (3)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
93
[ ] ),(),( twUtxuF tt =
∫=R
JwxdwetwUtxu ),(2
1),(
π
∫=R
Jwxtt dwetwUtxu ),(
2
1),(
π
RRx →2:
RttRttx ∈∀∈ 2121 ,,),(
[ ]),(),( 2121 ttxFwwX =
∫ ∫−−
=
R
Jwt
R
Jwt dtedtettxwwX 21212121),(),(
∫ ∫+−=
R R
ttJw dtdtettxwwX 21)(
212121),(),(
(4) Caso:
Interpretaríamos que la señal que tiene 2 variables independientes t1, t2 se tomara inicialmente como una función de t1 y luego de t2 .
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
94
TRANSFORMADA SENO Y COSENO DE FOURIER
Sea x(t) una señal causal o definida para t > 0 ó t = 0 (salvo, quizá, algunos valores aislados de t). Definamos el siguiente par:
∫
∫∞
∞
=
=
0 c
0
tdcos)(X2
)t(
tdtcos)t(X)(
ωωωπ
ωω
x
X c
Este par es conocido como el Par de Transformadas Coseno de Fourier, directa e inversa, respectivamente. Análogamente definimos el par:
∫
∫∞
∞
=
=
0 s
0
tdsen)(X2
)t(
tdtsen)t(X)(
ωωωπ
ωω
x
X s
Y este par es conocido como el par de transformadas seno de Fourier , directa e
inversa, respectivamente, para x(t).
Ejemplo . Si )t(e)t(f 1t
−− µ= , hallar Fc(ω) y Fs(ω).
b
0
t
2b
0
tc e
1
tsentcoslímtdtcose)(F
++−== −
∞→
∞ −∫ ω
ωωωωω
1
1)(F
2c +ω=ω
Como consecuencia, podemos afirmar que
ωωωπ
µ tdcos1
12)t(e
0 21t
∫∞
−−
+=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
95
Evaluando en t = 2: dx1x
x2cose
2
0 22
∫∞−
+=π
b
0
t2b
0
ts e
1
tcostsenlímtdtsene)(F
++−== −
∞→
∞ −∫ ω
ωωωωω
1
)(F2s +ωω=ω
Ejemplo. Hallar Xc(ω) y Xs(ω) cuando x(t) = G2r(t-to), to > r > 0.
1
x(t)
0 to-r to+r
rt
rt
rt
rt c
o
o
o
o
tsen1
tdtcos)(X+
−
+
−
== ∫ ωω
ωω ⇒
α
G2r(t-to) = 2 /π ∫ (1/ω)(senω(to+r)-senω(to-r))cos(ωt) dω
0
Evaluando en t = to: 1 = ( ) ωωωωπ
dtcos0t2sen12
oo
0 −∫
∞
2
dtcost2sen
0
oo πωω
ωω=∫
∞
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
96
rt
rt
rt
rt s
o
o
o
o
tcos1
tdtsen)(X+
−
+
−
−== ∫ ωω
ωω ⇒ ( ))rt(cos)rt(cos1
)(X oos +−−= ωωω
ω
( ) ( )( ) ωωωωπ
drtcosrtcos12
)tt(G oo
0 or2 −−+=− ∫∞
Después de evaluar en t = to, resulta: ∫∞
=−
0
o
2dx
x
xt2cos1 π
Ejercicio.
Determinar Xc(ω) y Xs(ω) cuando:
1) )t(sent)t(x 1−µ=
2) )t(tcos)t(x 1−µ=
3) )t(sent)t(x 1−µ=
4) )t(tcos)t(x 1−µ=
5) ( ) )t(sentsent)t(x 1−µ+=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
97
RELACION ENTRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (T. F) Y
LA TRANSFORMADA DE FOURIER (T.F)
Apreciamos básicamente que la T.F. es mas cómoda que la aplicación de la T.L. (unilateral) para determinar una solución particular de una E.D.O. con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no. Así mismo para aplicar la T.L. la función F debe ser una original, pero la T.F. no exige dichos requisitos. La T.L. permite los teoremas del valor inicial y final que permiten resolver eficazmente una E.D.O. , lo cual no sucede con la TF. La aplicación de la T.L. es mas restringida que la T.F. en los problemas de circuitos analógicos. Las ecuaciones diferenciales, pueden algunas veces hallarse la señal, mediante el uso de la T.L. y donde la T.F. es muy tediosa. Ambas cumplen las condiciones básicas de un operador: conmutabilidad y asociatividad.
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CAUSALES Tenemos que recordar que toda X(t) definida en todo ∡ salvo algunos puntos aislados, se dice que es una señal de tipo causal si:
X(t) = 0 , para t ε Dom X y t < 0 Entonces podemos apreciar que para este tipo de señales se tiene que:
Así con las funciones singulares tendremos:
JwssXwX
== )()(
JswwXsX
−== )()(∧
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
98
312
3
1)(,)(
21
)()()2(s
sXtuttutX === −−
212
1)(,)()()()1(
ssXtuttutX === −−
33)(1
)(w
J
JwwX ==
)t(Sgn)t(X,0t 1,-
0t ,1)t(X)3( =
<
>+=
t
ttSgntomadohemos =)((
)(21)( 1 tutX −+−=
∫ ∫∞−
∞−− +−=
0
0
JwtJwt dtedte)1( )w(X
JwJwJwwX
2)10(
1)01(
1)( =−−−=
JwtSgn
2)( ↔
[ ])(121
)()4( 1 tSgntu +=−
+↔− Jwwtu
2)(2
21
)(1 πδ
Jwwtu
2)()(1 +↔− πδ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
99
( ) )()()()5( 1 tutCostX −=
22 1)(,
1)(
w
JwwX
s
ssX
−=
+=
)(cos)()6( 1 tutettX t−=
( ) [ ]22
22
21)1(
1)1()1(2
11
1)(
+−
+−−−=
+−−−=
s
ss
s
s
ds
dsX
[ ]22
22
1)1(
1)1()1(2)(
+−
+−−−=
Jw
JwJwwX
)()()7( ttX δ=
1)(,1)( == wXsX
( ) 0,)(cos)()8( 1 >−= − aatuttX
atatLeaesX asas sensencoscos)cos(tL)( −=+= −−
+
−+
= −
1sen
1cos
)( 22 s
a
s
asesX as
( )aaJww
ewX aJw sencos1
1)( 2 −
−= −
( ) ( )atuttXsiwXDeterminar −= −1sen)(,)()9(
taatLeatLesX asas cossencossen)sen()( +=+= −−
+
++
= −
1sen
1cos
)( 22 s
as
s
aesX as
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
100
TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL MUESTREADA
Consideraremos un tren de δt , una función periódica de periodo T definida :
δt (t) = ∑ δt (t – nT) 1 , t = to
δ (t - to) = 0, t ± to
Al tomar una señal x (t), si la multiplicamos por δT(t), resultaría que la nueva señal se puede considerar como “una señal muestreada” de tomar muestra (T = Ts)
n∈ Z
)t(Tδ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
101
n∈Z n∈Z
n∈Z
n∈Z
n∈Z
Xs (t) = x(t) ∑ δ (t - nts) = ∑ x (n Ts) δ(t – nTs)
Xs (ω) = 1 [X(ω) * 2π ∑ δ (ω - nωs)] , ωs = 2π/Ts
2π Ts
Xs (ω) = 1 ∫ F(λ) [∑ δ (ω - λ - nωs)dλ] Ts
Xs (ω) = 1 ∑ [ ∫ F(λ) δ (ω - λ - nωs)dλ] Ts
Xs (ω) = 1 ∑ X (ω - nωs) Ts
Esto nos lleva a interpretar que si tenemos que: Entonces: Obviamente esto es sensato cuando ωs - ωB > 0, así cuando ωs > ωB (ωB es conocida como la frecuencia de corte, ωs frecuencia de muestreo). Así tenemos una señal X(t), luego la muestreamos cuando ωs > ωB, podemos recuperar la señal x(t) a partir de Xs (ω). Cuando ωB < ωs se tiene lo que conoce como el efecto ALIASING , es decir por la superposición no es probable recuperar las señales.
∞ -∞
∞
-∞
Xs(ω)
A x(ω)
- ω ω
-ωs -ωB ωB ωs
ωs-ωB
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
102
ESPECTROS DE FRECUENCIA Como en el caso de las series de Fourier, en el caso de la Transformada de Fourier X (ω) , podemos expresarla: X (ω) = |X (ω)| e jφ(ω) |X (ω)| es el modulo de X (ω), φ (ω) es la fase (argumento) de X (ω) así tendremos dos espectros de frecuencia: a) La gráfica de |X (ω)| versus ω , es conocido como el espectro de magnitud. b) La gráfica de φ (ω) versus ω, es conocido como el espectro de fase. Ejemplo: La función Sgn (t) = t , tiene como transformada de Fourier: |t| F[Sgn (t)] = X (ω) = 2 . Jω |X(ω)| = 2 |ω| ESPECTRO DE MAGNITUD
-π/2, ω > 0 φ (ω) = π/2, ω < 0 ESPECTRO DE FASE
|X(ω)|
ω
π / 2
- π / 2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
103
EJERCICIO: Si |X (ω)| = |Sea (ω/2)| , φ = ∠ X (ω) descrita por la grafica adjunta, determina x (t)
f”(t) = -f(t) +2δπ )t( => f”(t) + f(t) = 2 )t(πδ
∑ ∑∑≥ ≥≥
π=++−
1 010
22 21
222
122
n nn
nn ntcosntcosaantcos)a)(n(
π2
a2
10 = ∧ an =
241
14
n.
−π
f(t) = ...).
tcos
.
tcos
.
tcos( −++
π−
π 75
6
53
4
31
242
f(t) = ntcosn
214
1422∑ −π
−π
Aplicación
Determinar la S.T.F. de h(t) = | cos ( t ) |
−6π −4π 6π−2π 0
π
2π 4π
−4π −2π 0 2π 4π
1
ω
|X (ω)|
φ (ω)
ω
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
104
h(t) = f ( t - π/2)
h(t) = 214
1422
cosn
∑ −π−
πn(t- )
2
π
h(t) = )nntcos(nn
π−−π
−π ∑
≥
214
142
12
h(t) = ntcos)(n
n
n
2114
142
12
−−π
−π ∑
≥
Aplicación
Determinar la S.T.F. de g(t) = | sen(t+ )4
π |
g(t) = f (t + π / 4 )
g(t) = )tsen2
2tcos
2
2(
1n4
142
1n2∑
≥
+−
−ππ
Aplicación
Determinar la S.T.F. de f(t)= | t |, t∈ <-π , π > ∧ f(t+2π) = f(t)
π 2π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
105
f(t) = )(cos2
1
10 paresfpuesntaa
nn∑
≥
+
f”(t)= ∑∑≥≥
−−=−11
2 cos))1(1(2
2cos)(
n
n
nn ntntna
π⇒ an =
≠∧
impar n ,n
2
0n parn,0
2π
f(t) = t )1n2cos()1n2(
14
2 1n1
2
−−
− ∑≥π
π
1
- 1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
106
EXPANSIONES
Dada una función f definida en un intervalo [a,b], f:[a,b] → R , f continua un [a,b] (o
seccionalmente continua), podemos hallarla ella muchas “S.T.F.” pero evidentemente de
distintas frecuencias w0.
Hemos observado que w0 ∧ T son inversamente proporcionales, si T crece w0 decrece, si T
decrece w0 crece.
Las tres expansiones de f tendrán distintas frecuencias w1, w2, w3 (en vez de w0)
wi = iT
π2 Es decir tenemos:
f(t)= )cos(2
)cos(2 2
12
01
11
0 tsenwtnwtsenwbtnwaa
nnn
nnn ∑∑
≥≥
++=++ βαα=
)cos(2 3
13
0 tsenwctnwdP
nnn∑
≥
++
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
107
EXPANSIONES DE MEDIO RANGO
Hay dos expansiones clásicas son aquellas llamadas de medio rango, que consiste en que se
nos dan una f(t) definida en un intervalo <0,a>, entonces podemos obtener una STF de
cosenos (o de senos) para f.
Caso 1: Serie de senos
Si tenemos que f : <0,a> → R, entonces existe una expansión impar F de periodo T = 2a
(expansión de medio rango) que es impar, luego F(t) válida para t ∈ <0,a>
f(t) = tnwsenb 01n
n∑≥
, w0 = 2π/T, T = 2a w0 = π / a
bn = ∫a
0 0 dttnwsen)t(fT
4
F
-a T a
Caso 2: Serie de los Senos con Término Constante
Deseamos para f: <0,a> → R una serie de cosenos mas un término constante. Existe una
expansión par de f de periodo T = 2a (en general)
F
-a a
T
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
108
f(t) = ∑+ tnwcosaa n 002
1, w0 = π/a T = 2a
∫ ∑ ∫∫≥
+
+=a
0 1n
a
0
a
0 t
a
nsendtt
a
nsen)t(f
a2
1t
ancosdtt
a
ncos)t(f
a2
1)dt)t(f
a2
1(
2
1)t(f
ππππ
Caso 3: Serie de Cosenos
Como A = 0dt)t(fa
0 ≠∫ (según la figura que hemos tomado como ejemplo) existe la recta
y = b que divide la región que determina la gráfica de f y el eje x, en dos regiones de igual
área.
Consideremos g(t) = f(t)- b; y tomemos G una expansión para de g.
Por construcción a0 = 0
f(t) = ta
ncos)dtt
a
ncos)t(G
T
4(
2/T
0 1n
ππ∫∑
≥
f(t) = ta
ncos)dtt
a
ncos)t(g
T
4(
a
0 1n
ππ∫∑
≥
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
109
Caso 4: Series de armónicos
Si f está definida en <0,a>, podemos obtener una serie de Senos y Cosenos sin término
independiente (a0 = 0), tomando una expansión F que tenga simetría de rotación, donde
T= 2a.
En general si f : <a,b> → R, existe una expansión de medio rango F de periodo 2T=2(b a),
de manera que F tenga simetría de rotación.
En ambos casos tendremos que:
f(t) = )b,ato(a,0t),tw)1n2sen(btw)1n2cos(a( 01n
1n201n2 >∈<∀>∈<∀−+−∑≥
−−
a2n-1 = ,dttw)1n2cos()t(fT
4 2/T
0 0∫ − b2n-1 = ,dttw)1n2sen()t(fT
4 2/T
0 0∫ −
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
110
Caso 5 : )tw)nsen(btw)ncos(a(A)t(fn
nn 01
12012 1212 −−−−++++−−−−++++==== ∑∑∑∑≥≥≥≥
−−−−−−−−
f(t) = A + [ ]∑≥
−− −+−1n
01n201n2 )tw)1n2sen(btw)1n2cos(a , T = 2(b-a), w0 = T
π2
a2n-1 = ,dttw)1n2cos()t(FT
4 2/T
0 0∫ − b2n-1 = ,dttw)1n2sen()t(FT
4 2/T
0 0∫ −
dt tw)1n2cos()A)t(f( T
4 a 0
2/T
0 1n2 ∫ −−=−
Caso 6: f(t) = tw)ncos(an
n 01
12 12 −−−−∑∑∑∑≥≥≥≥
−−−−
T = 4a (periodo de la expansión F que tiene
simetría de rotación par (cuarto de onda par) )
f(t) = tw)1n2cos(a 01n
1n2 −∑≥
− , w0 = a2a4
2 ππ =
a2n-1 = dttw)1n2cos()t(f T
80
a
0 −∫
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
111
Caso 7: tw)nsen(b)t(fn
n 01
12 12 −−−−====∑∑∑∑≥≥≥≥
−−−−
f(t) = a2
w ,tw)1n2sen()dttw)1n2sen()t(fT
8( 00
1n0
a
0
π=−−∑ ∫≥
Caso 8: ∑≥
− −+=1n
o1n2 tw)1n2(CosaA)t(f
tw)1n2cos()tdtw)1n2cos()A)t(f(a4
8(A)t(f 00
1n
a
0 −−−+= ∑ ∫
≥
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
112
Caso 9: tw)nsen(bA)t(fn
n∑∑∑∑≥≥≥≥
−−−− −−−−++++====1
012 12
tw)1n2sen(bA)t(f1n
01n2∑≥
− −+= ,
( )∫ ==−−=−
a
0 001n2 a4T ,a2
w ,tdtw)1n2sen(A)t(fa4
8b
π
Aplicaciones
Determinar para f(t) = - t (t-1), 0<t<1
a) Una serie de cosenos y termino independiente
Veamos las expansiones que podemos tener
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
113
Para ∑ ∫∫≥
−−+
−−==∈1n
1
0
1
0 tncostdtncos)1t(t
2
4dt)1t(t
2
4
2
1)t(T)t(F,1,0t ππ (*)
Tomando otra expansión
F es una expansión par, T=3
t3
ncostdt3
cost)1t(6
4dt)1t(t
6
4
2
1)t(f)t(F
1n
1
0
1
0
ππ∑ ∫∫
≥
−−+
−−==
(*) Ahora tomamos la expansión F
t2
ncostdt
2
ncost)1t(
4
4dt)1t(t
4
4
2
1)t(f)t(F
1n
1
0
1
0 ∑ ∫∫≥
−−+
−−== ππ
(*) la expansión F*
t2
ncosadt)1t()dt)1t(t(
4
4
2
1)t(f)t(*F
1nn
2
1
1
0 ∑∫∫≥
+
−+−== π
−+−−= ∫ ∫1
0
2
1 n tdt2
ncos)1t(tdt2
ncos)1t(t4
4a
ππ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
114
Conclusión
Hemos podido apreciar que para una función f podemos expresarlo como combinaciones de
funciones sinusoidales de distintas frecuencias w0 (es decir la expansión de distintas
frecuencias w0)
Recordemos que cuando T crece, w0 decrece, así hay un valor máximo para w0 que
corresponde para un T mínimo.
Aplicación
Determinar una serie de senos con un termino independiente 2, para f descrita por:
f(t)= - t(t-1)
Hallamos bn tal que
∑ ∫≥
+−−=+=1n
1
0 nn tdtnsen]2)1t(t[2
4b ,tnsenb2)t(f ππ
Comentario
Este concepto de las expansiones es muy útil para resolver las Ecuaciones Diferenciales
parciales que admitan separación de variables (en algunos casos, obviamente no siempre).
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
115
Ejercicios
1. Hallar an tales que: ∑≥
∈+=1n
n ,0t,ntcosa2
t ππ
F expansión par de medio rango de f, T=2π, w0=1
∑∑≥≥
+=+
==1n
n1n
n2 ntcosa
2ntcosa.
2
2
2
1)t(f)t(F
πππ
−== ∫ impar n,n
4par n ,0
ntdtcost 2
4a
2
0 n
πππ
2. Hallar an tales que: ∑≥
<<+=1n
n t0,ntcosa2t ππ
Nuestra preocupación inicial es hallar A tal que:
ππππ
ππ
πππ
4)A2
(2
4dt)At(2
44a2a
2
1 2
0 00 =−⇒=−⇒=→= ∫
π2
3A −=→
∫ +=π
ππ
0 n ntdtcos)2
3t(
2
4a
=−−=
−+= ∫ impar n ,
n
2-
par n ,0)1)1((
n
1ntdtsen
n
1ntsen)
2
3t(
n
12a n
0 0n
ππππ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
116
3. Hallar bn tal que: ∑≥
<<+=1n
n to,ntsenb4t2 π
F(t) = f(t ) - 4
∑≥
=−=1n
n ntsenb4)t(f)t(F , ∫ −=π
π
0 n ntdtsen)4t2(2
4b
+−−= ∫
ππ
π
0 0n ntdtcosn
2ntcos)4t2(
n
12b
4)1)(24(n
2b n
n −−−= ππ
4. Determinar an tal que:
∑≥
<<=1n
n to,nt2cosatsen π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
117
F es una expansión tal que ∫ −==π
0 AfF ,0dt)t(F
∫ −=π
π
0 n ntdt2cos)At(sen4
a
5. Hallar bn tal que: ∑≥
<<+=1
0,1cosn
n tsenntbt π
6. Determinar bn tal que: ∑≥
<<=1
2 0,n
n tsenntbt π
7. Hallar a2n-1, b2n-1 tales que:
∑≥
−− <<−−+−=1n
1n21n2 0t),t)1n2sen(bt)1n2cos(a(tcost π
8. Hallar a2n-1, b2n-1 tales que:
∑≥
−− <<−+−+=1n
1n21n2 t0),t)1n2sen(bt)1n2cos(a(1tsent π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
118
9. Hallar a2n-1, b2n-1 tales que:
ππ 3t2 ,t)1n2sen(bt)1n2cos(a(2e 1n21n2t <<−+−+= ∑ −−
−
ESPECTROS DE FRECUENCIAS
La función de muestreo SAMPLING Sa(t) se define como:
≠
==
0t ,t
tsen0t , 1
)t(Sa
Sa(t) es par
Las amplitudes tienden a cero cuando t→±∝
El problema es expresar los coeficientes Fn es términos de la función de Sa(t)
|Fn|=MODULO DE Fn
|F-n|=| nF |=|Fn|
Fn=|Fn|eφ(n), φ(n) denota el argumento de Fn
φ(n)=- φ(-n) o φ(-n)=- φ(n), n≠0
La identificación de los Fn se logra si conocemos dos espectros.
El espectro de amplitud: la gráfica de |Fn| versus la frecuencia w = nw0
w = nwo
-3wo –2wo -wo 0 wo 2wo 3wo
El espectro de amplitud es “par”1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
119
El espectro de fase, es la gráfica de φ(n)versus w, w=nw0
Conocemos estos dos espectros (de línea) podemos hallar los Fn y por ende f(t)
Aplicación
)t(f)2t(f 2t ,0
t0 ,1)t(f Sea =+
<<<<
= πππ
π
=−−=−== ∫ −−1
0 0nJnJnt
n2
1F),)1(1(
nJ2
1)e1(
nJ2
1dte.1
2
1F
πππππ
∑∑
−∈
−
−∈ −+=−−+=
0n
t)1n2(JJnt
0n
n
e1n2
11
2
1e
Jn2
))1(1(
2
1)t(f
ΖΖ ππππ
Graficar los espectros de amplitud y de fase
Ejercicios
1. Determinar la Serie Trigonométrica de Fourier de f(t)=sen2t
f es de período T=π
∑≥
+=−=1n
n nt2sena)1(2
1)t2cos1(
2
1)t(f
a0=1, a1=-1, an=0 ∀ n≥2, bn≥0 ∀ n∈N
wo 2wo 3wo 4wo
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
120
2. Hallar la S.C.F. para la función F descrita por
Derivando
SCF de f”:
∫∫ −−− == 4/3
4/
4/T3
4/T tJnw
n dt )) 3
- (t -)3
- (t - (t) (2 1
dte)t("f1
1F 0 π
ππδπδδ
π
2/2w),ee2(1
f 0
)2(n3
2J2
3Jn
n ==−−=−−
πππ
ππ
π 2π π 3 3
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
121
∑≥
−−−−=
1n
tn2J3n4J
3n2J
e)ee2(2
1)t("f π
ππ
∑ ∑∑∈ ∈∈
===Ζ ΖΖ n n
tJnwn
20
tJnw0
n
tJnw 000 eF)Jnw()t("f,FneJnw)t('f,Fne)t(f
0n),ee2(1
Fn4 3/n4J3/n2Jn
2 −∈−−=− −− Ζπ
ππ
∑
−∈
−− +−−−=0n
0n2J3/n4J3/n2J
2Fe)ee2(
n
1
4
1)t(f
Ζ
πππ
π
−++= ∫ ∫ ∫ −−−3/
0
3/2
3/
3/2
nt2Jnt2Jnt2J0 dte)t(dte
3dtte
1F
π π
π
π
πππ
π
o equivalente:
πππ 9
2
9
2.
2
2
1a
2
1F
2
00 =
==
Aplicación
Determinar la S.T.F. y S.C.F. para la función
<<−<<−
=π
πt0 ,tcos
0t ,tcos )t(f
y si f(t+2π) = f(t), para todo t donde f es continua
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
122
Aplicaciones
1. Determinar la SCF para f(t)= |sen2t|
2. Hallar la STF para g(t)=(|t|-1), 2/,2
t ππ−∈ ,
g(t)=0 [ ]2/3,2/t ππ∈ , g(t)=g(t+2π)
3. Hallar la STF y la SCF para h(t)=f + t | t |, ππ−∈ ,t ,
h (t+2π)=h(t)
4. Determinar la STF y SCF de ∑∈
−=Ζδ
n)nTt´()t(F
5. Hallar la STF y SCF para ∑∈
−+−=Ζ
δδn
))nTt´()ntn(()t(F
SERIE DOBLE DE FOURIER (Senos)
Otro concepto importante es cuando tengamos f:IxJ→R
I=[ 0, a ], J=[ 0 ,b ], I, J, ⊂ R, deseamos expresar esta función f(x,y) como otra serie doble
de senos de Fourier
Podemos apreciar de que:
y
b
msenx
a
nsenC)y,x(f
0nn,mmn
ππ∑
∪∈=
ydydxb
msenx
a
nSen)y,x(f
ab
4C
a
0
b
0mn ∫ ∫= ππ
la prueba es inmediata, bastaría considerar inicialmente f(x,y) como una función de y, y
obtengamos por expansión de medio rango impar ∑≥
=1m
m yb
mSen)x(A)y,x(f
π,
∫=b
0 m ydyb
msen)y,x(f
b2
4)y(A
π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
123
Para cada m∈M, tenemos que Am(x)es una función de x, luego podemos obtener una serie
de senos por expansión de medio rango de Am(x) definida sobre [ 0, a ]
∑≥
=1n
mnm xa
nsenC)x(A
π
∫=a
0 mmn xdxa
nsen)x(A
a2
4C
π
∫ ∫
=a
0
b
0 mn xdxa
nsenydy
b
msen)y,x(fb
b
2
a
2C
ππ
dxdyb
ymsen
a
xnsen)y,x(f
ab
4C
1
0
b
0 mn ∫ ∫= ππ
así como una aplicación, podemos hallar la serie doble de senos de Fourier para:
f(x,y) = x2+y2, (x,y) ∈ [0,π]*[0, π].
ESPECTRO DE FRECUENCIA DISCRETA .
La gráfica de la magnitud de los coeficientes de Fourier complejos nC versus la frecuencia
w(frecuencia angular) se denomina ESPECTRO DE AMPLITUD de la función angular
w= nw0 se denomina ESPECTRO DE FASE. de f(t). La frecuencia w =nw0 toma valores
discretos solamente, de esto el nombre de espectros de frecuencias discretas o espectros de
líneas.
Observaciones.
1. En tanto nC = nC− , los espectros de amplitud serán “pares”, es decir que las magnitudes
de los coeficientes correspondientes a las frecuencias nw0 ∧ -nw0 son iguales.
Generalmente, estos coeficientes Cn se expresan en términos de la función de muestreo
Sa(t) definida como:
=
≠
=
0t, t
tsen
0t, l
)t(Sa
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
124
2. Con respecto al espectro de fase, el resulta que tiene una simetría impar, esto en tanto
que ø-n = - øn
Ejemplo. Hallar la serie compleja para la función descrita por el gráfico adjunto.
A
-T/2 -d/2 d/2 T/2
hallando los coeficientes complejos Cn tendremos que:
T
dnS
T
AdCn a
)(
π=
Tomemos los valores particulares de d=1/20 ∧ T= 1/4 de segundo.
Por lo visto tendremos que w0 = 8π , w = nw0 = 0 , ±8π, ± l6π , ± 24π,......
El espectro de amplitud siempre es simétrico con respecto al eje nC .
Podemos ver que cuando n∞, entonces nC se va empequeñeciendo conforme se aprecia
en la figura.
Después de todo, lo que podríamos hacer con los espectros de amplitud y de fase sería
reconstruir la onda inicial.
Si Cn E R, el espectro de fase no serviría para los fines que estamos viendo, ya que con
los espectros de magnitud lograríamos hallar la onda.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
125
Aunque por el signo no sería necesario. En general el espectro de fase tienen simetría con el
origen(simetría impar).
π φ(n)
w
- π
O sea si conocemos los espectros de amplitud y fase podemos reconstruir la onda, cuando
los Cn E R, entonces el espectro de fase se determina según el valor positivo o negativo del
Cn. Así tenemos dos maneras de representar o especificar a la onda f(t) : la representación
en el dominio del tiempo, con la cual la onda f(t) se expresa en término del tiempo y la otra
cuando se representa en el dominio de la frecuencia, con la cual se especifica el espectro de
amplitud y de fase. A veces cuando la onda tiene simetría par entonces el espectro de fase
no sería tan importante, así podríamos hablar de un solo espectro de línea. Así tenemos el
espectro de línea para f(t) de la figura.
En este caso analizado al costado derecho tenemos la onda seno rectificada f(t)= tsenA π la
cual es par, así solamente necesitamos un espectro de línea(no podemos hablar de un
espectro de amplitud, este espectro es una “condensación” de los dos antes mencionados),
queda como ejercicio ver que los coeficientes de Fourier para este caso es
tin
Znn e
n
Atf
n
AC π
ππ2
22 4
12
14
2∑∈
−=⇒−
= )()(
f (t) t -1 1 2 3
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
126
Así hemos apreciado que tenemos dos maneras según el caso para poder representar una
onda f(t), con los espectros de amplitud y fase, la otra con el espectro de magnitud como el
último caso analizado.
Lo cierto es que resultaría algo tedioso la evaluación de los coeficientes, con el avance
informático estos son inmediatos.
MÉTODO DE LA DIFERENCIACIÓN .
Es indudable que al hallar la serie trigonométrica o exponencial de Fourier, nunca vamos a
tener problemas que no sean de tipo calculista (o sea problemas de interacción al calcular
los coeficientes de Fourier).
Ante esto el método de usar diferenciación para determinar la serie de Fourier de una onda
dada de una manera indirecta es bastante ventajosa. Además nos permite resolver ciertos
tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Veamos algunos ejemplos, en los cuales
apelaremos a nuestros conocimientos de derivada generalizada.
El. Determinar la serie trigonométrica de la onda seno semirectificada de la figura adjunta
usando diferenciación.
1º Vemos que f(t)=
<<−+
<<
4
3 t
4 ),
4t(Sen
4
7 t
4
3 , 0
πππ
ππ
f(t + 2π) = f(t)
f
1
-π/4 3π/4 7π/4
2º Si efectuamos dos diferenciaciones llegamos a la siguiente conclusión:
f’’(t) = -f(t) + g(t)
g(t) es el tren de impulsos mostrados en la gráfica.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
127
f ’
1
-π/4 3π/4 7π/4
3º g(t) es de período T =π , además:
2
22
4
2 2
2
ππ
πδπ
π
π
nsenntdttan =
+= ∫−
/
/
cos
2
22
4
2 2
2
ππ
πδπ
π
π
nsenntdtsentbn −=
+= ∫−
/
/
f ´´
δ (t+π/4) δ( t -3π/4)
-π/4 3π/4 7π/4
4º Admitiendo que f(t) = ao + [ ]∑≥
+ −1
0n
nn senntbntaa cos
5º [ ] [ ]∑∑≥≥
−++−−1
01
22
nnn
nnn senntbntaasenntbnntan coscos
[ ]∑≥
++=1
0 22n
nn ntsenbntaa cos
( ) ( )[ ]∑≥
−+−++1
220 11
nnn senntbnntana cos
∑≥
−+
+=1
22
22
2
21
n
ntsenn
senntn π
ππ
ππcoscos
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
128
6º De donde ( ) )2
ncos(
2a n1
1a n
20
πππ
=−∧=
( )2
nsen
2b n1 n
2 ππ
−=−∧
7º ( ) ( )( )
( ) ( )∑
≥
−−+
−+++=
22211 1
221
221
n
senntn
nsennt
n
nsentbtatf
//cos
/coscos
πππ
ππ
8º Los coeficientes a1 Λ b1 serán calculados directamente:
∫−
+=43
41 42
2 /
/.cos
π
π
ππ
dtttsena
∫−
+=43
41 42
2 /
/.
π
π
ππ
dtsenttsenb
E2. Hallar por diferenciación la STF de f(t) = sent
1º Diferenciando dos veces como en el ejemplo 1
f || (t) + f(t) = 2δT(t)
f
-2π -π π 2π 3π
∑∈
−=Zn
T nttt )()(º δδ2
( )π
δπ
π
π
113
2
2∫
−
==/
/
º dttao
( ) 0b ,2
dtt2
a n
2/
2/
n === ∫− π
δπ
π
π
diferenciando la onda dos veces
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
129
[ ]∑≥
−+−+1n
n2
n2
o nt2senb)n41(nt2cosa)n41(aº4
ntn
242
1
cos∑≥
=ππ
)n41(
4a ^
2a
2no −==⇒
ππ
nt2cos)n41(
42)t(fº5
1n2∑
≥ −+=
ππ
f ’’
δ(t)
E3. Calcular la suma de la serie ∑≥ −1
2241
4
n n )(π
1º Aplicaremos Parseval
)())((/
/
∑∫≥−
++=1
222
2
20
2
2
11
nnn
T
T
baadttfT
22
1n22
2/
2/
2 )n41
1(
16
2
14dt)t(sen
1
−+= ∑∫
≥− πππ
π
π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
130
∑∫≥− −
+=−⇒1
2222
2
2 41
1842
2
1
2
11
n nt
)()cos(
/
/ ππππ
π
π
∑≥ −
=−⇒1n
2222 )n41(
184
2
1
ππ
16
8)
4
2
1(
8)n41(
1 2
2
2
1n22
−=−=−
⇒∑≥
ππ
ππ
E4. Resolver la ecuación diferencial: q (t) + 2q(t) + 2q(t) = e-tsent, hallando
trigonométrica de Fourier desent, hallando la serie trigonómetrica de Fourier del sent
1° La ecuación característica es: r2 + 2r +2 = 0 r = -1 ≠ i
2° La solución complementaria es qc = e-t (Acost + Bsent)
3° La solución particular: (D2 + 2D +2)qp = e-tsent
(D2 + 2D +2)qp = e-t )nt2cosn41
12(
2∑ −+
π
qp = 2) 2D (D2
1
++.e-t )nt2cos
n41
12(
2∑ −+
π
)nt2cosn41
12.(
)2)1D(2)1D(
1eq
1n22
tp ∑
≥
−
−+
+−+−=
π
+−+
+= ∑
≥
− )nt2cos.1D
1(
n41
1
10
/2eq
21n
22t
p
π
ntn
eeqn
ttp 2
41
12
122
cos)(∑
≥
−−
−+=
π
pp qtqtq += )()(º4
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
131
E.5. En el circuito se tiene:
R = 2Ω, L = 2mH, C = 500uF
c) Hallar la serie de Fourier de p(t)
d) Hallar la caída de Tensión en R
Solución:
1º )t('V2
1)t("i )t(V
2
1)t('idt)t(V
L
1)t(i LLL ==⇒∫ Λ
2º Apreciamos que VL (t) es periódica, de período T = 5
[ ])()()()(" 4210 −+−−= tttti δδδ
[ ]∑≥
++=1n
onono tsennwbtnwaati cos)(
3º Sabemos que: ∫−
=−94
10
20
2 2 .
.
cos)(" tnwtiT
awn on
5
22 94
10
20
2 π∫
−
==−.
.
,)(" oon wtdtsennwtiT
bwn
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
132
4º dttn
tiawn n 5
2
5
2 94
10
20
2 π∫
−
==−.
.
cos)("
dttn
ttt5
242
5
4 94
10
πδδδ∫−
=−+−−=.
.
cos))()()(cos(
)cos/coscos(5
854
5
41
5
420
2 πππ nn
nawn n +−−=−
)coscoscos(5
8
5
4
5
21
5
420
2
πππ nnn
wnan +−−=⇒
5º 20
2
1
5
8
5
4
5
2
5
4
wn
nsen
nsen
nsenbn )(
πππ +−−==
005
1
5
1 == )(GRAFICAo Aa
6º ∑≥
+−+−=1
22 5
2
5
8
5
4
5
21
5
n
tnnnn
nti
πππππ
cos)coscoscos()(
+−−+5
2
5
8
5
4
5
2 ππππ nsen
nsen
nsen
nsen )(
7º RtiVR )(=
E6. Determinar la corriente, hallando su serie trigonométrica y compleja en el circuito
anterior y donde:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
133
E7. Determinar la serie compleja de Fourier (SCF)
)t(f)2t(f )t(f
0t ,t
t
t0 ,t
- t
2
2 =+
=<<−+
<<π
ππ
ππ
=<<−+
<<−−
0t ,t2
1
0t ,t2
1)t('fº1
ππ
ππ
4º ∑∑∈∈
=⇒==Zn
Jntn
Zn
Jntn eJnCtfeCtfT )(')(,π2
∑∈
=⇒Zn
JntneCJntf 2)()("
∑∈
=⇒Zn
JntneCJntf 3)()("'
-4 δ (t) π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
134
5º dtettCJn Jntn
−−
−∫
−+−=102
10
3 44
2
1 .
.
)()()(π
πδπ
δππ
)cos()())(()( πππππ
−=−
=⇒+= − 112
14
2
12332
3
n
J
JnCeCJn n
Jntn
6º Jnt
Zn
enn
Jzf )cos()( π
π+=∑
∈
123
7º 223 1
1
242 /)cos()(/)/( ππ
ππππ Jn
Zn
ennn
Jff +
≥=⇒= ∑
∈
))(coscos(22
123
ππππ
nsen
nn
n
J
Zn
+=∑∈
E8. )()(),()( tftfttttfsea =+Λ<−= πππ 222 , Determinar las STF ΛΛΛΛ SCF y Hallar
la suma de la serie Σ 1/n6.
1º f’(t) se muestra en la gráfica no hay impulsos, pues no hay discontinuidades súbitas,
2º Derivando nuevamente, obtenemos f’’, apreciar el gráfico.
3º Nuevamente, derivando obtenemos f’’.
4º ∫−
+−
− ≠+−=10
10
3 02862
1 .
.
,))(()(π
π
ππ
ndtetCJn Jntn
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
135
+−= ∫∫
−
−−−
dtetdte JntJnt10
10
1262
1 .
.
)(π
π
π
π
πδπ
066
33≠=⇒=⇒ ynn
n
JCn
JnC nn ππ coscos
5º C0 = 0, el integrando es impar luego al calcular la integral que define C0, su valor es 0.
)()(:tan SCFeconsn
ttoPor Jnt
Zn
t πο3
23 61−− ∑∈
=
6º πnn
baJbnaCqueSabemos nnnn cos)(3
120
2
1 =Λ=⇒−=
7º senntnn
ttseráSTFLan
)cos( ππ3
1
23 12∑
≥
=−
8º Aplicando la identidad de Parseval:
9452
1
2
1 66
1
223 πππ
π
π
==− −
≥−∑∫ ndtttn
)(
E9. Hallar la corriente de estado estacionario i(t) en el circuito mostrado.
E(t) = e-t, f(t) = 100 t (π2 – t2), - π < t <π Λ f (t+2π) = f(t)
R = 100Ω, L = OH, C = 10-2F Sugerencia: hallar SCF de f(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
136
E 10. En el circuito mostrado, los diodos D1, Λ D2 son ideales, si v(t) = E0 sen wt, 0<t<1
Hallar : a) la STF ΛΛΛΛ SCF de V0(t)
b) Hallar la suma de ∑≥ +−1 1212
1
n nn ))((
E 11. En el circuito mostrado se tiene R = 10Ω Λ L = 10H i(t) está dado por el gráfico.
a) Dibujar las ondas de las tensiones VR ΛVL
b) Determinar las SCF ΛΛΛΛSTF de la ondas mencionadas
E12. Hallar las SCF ΛΛΛΛ STF de la onda periódica v(t) de la figura adjunta, cuyo periodo
es T=6
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
137
E13. En el circuito mostrado los diodos D1 Λ D2 son ideales .
Hallar las SCF ΛΛΛΛSTF de V0(t) donde V1(t) Λ V2(t) están dadas por:
E14. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura con R=110Ω, L = 1H,
C = 0,001 F y habiendo una batería que proporciona E0 = 90V. Originalmente no hay
corriente en el circuito, ni carga en el condensador en el instante T = 0 se cierra el
interruptor y se deja así por un segundo. Al tiempo t =1 es abierto y deja así.
Encuentre la SCF ΛΛΛΛSTF de la corriente resultante.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
138
EJERCICIOS MISCELANEOS
7. Hallar “bn” tal que : f(t) = ∑∞
≥+
1an :nt2senb
3
2 donde f(t) = cost, o< t <
2π
8. Dado f(t) = ( ) f(t)tf ,4
3t
4 ,1
4sen =+<<
+ ππππ
Hallar la SCDF y STDF; usando el método de Derivación (2 veces).
9. Utilizando la SDF del TREN PERIODICO DE IMPULOS UNITARIOS y la
diferenciación, para hallar: c) La SCDF y STDF
d) ........261
171
101
51
21
1 +++++−=E
Para la función f(t), dado por: f(t)=et, -π < t < π, f (t+2π ) = f(t) 10. En el circuito mostrado se tiene: R = 10Ω, L =10H y V1(t) es la caída de tensión en la
inductancia. Hallar la SCDF y STDF de E(t)
11. Por diferenciación hallar STF de h(t)=t2, π< t <π , h(t+2π)=h(t) y la suma de: ∑≥1n
4n
1
Solución: ∗ g(t) = -2π u-1(t+π ) + 2u-2(t+π) -2 π u-1(t-π) ∗ g”(t)= -2π δ´ (t+π) + 2δ´(t+π) - 2δ´(t-π) - 2πδ´(t-π)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
139
g (t) es una función impar ∴ an=0, T=2π, w0=1
∑≥
=1
)(n
nsentbtg ......................(2)
Calculo de bn: -n2 bn = ∫−
π
πntdtsentg
n.)("
1
-n2 bn = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫− +−+−+++
π
πππδπδπδππδ ntdtsentttt
n.'222'2
1
∴ πnn
bn cos4−= .............. (4)
Pero g (t) = f’(t) = senntn
n
n∑
≥1
cos4
π
f (t) = 32
;cos)1(
42
12
π==+−∑
≥
+
Ca
Cntn
o
n
an
∴ f(t) = ntnn
n
cos)1(
43 1
3
2
∑≥
−−π
= 3
2π-
−+− ........3cos91
2cos41
(cos4 tnt
Luego integrando 2 veces:
∫ ∑ +−+=≥
Cntsenn
tdtt
n
n
13
22 )1(
43
π
0;)1(
433 1
3
22
=+−+= ∑≥
CCntsenn
tt
n
nπ función impar
t-3 - π2t = Cntsennn
n
+−∑
≥14
)1(12
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
140
C = 2oa
= ∫ =−π
π
πππ 2 60
7)
2421 2224
dttt
∴ t = π ⇒ π4 - 2π4 = 157 4π
+ πnnn
n
cos1)1(
481
4∑≥
+−
∴90
4π = ∑ 4
1
n
12. En el circuito mostrado v(t) = eαtcosw0t d) Hallar la frecuencia de resonancia e) ¿Qué ocurre con la frecuencia de resonancia si se intercambia R1 con C? f) ¿Depende de R1
la frecuencia de Resonancia?
8. Dada [ ] [ ]2,0,0,: ππ XIRT =Ω→Ω , hallar en caso existan yxxTBmn += 2)4,(
de manera que: ( ) zntSennxSenByxT mnmn∑∑
≥≥
+=11
1,
Consideramos ( ) ( ) 1,, −= txTtxG Hallaremos una expansión de medio rango impar para )(),( xgtxG = es decir considerando a la variable y como constante.
( ) ( ) ( ) nxsenyBtxGyB nn
n ∑≥
=∃1
,
( ) dxnxsentxGtBm ∫=π
π
2
0
),(4
4
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
141
( ),tBm es una función de t para cada INm∈ , luego tomamos una expansión de medio rango
impar, mnB∃
( ) ∑≥
=π
1
2n
mnm mtsenBtB
( )∫=2
0
22
4π
πdtntsentBB mmn
Así tenemos que:
( ) tnnxsenByxT mnmn
21,11∑∑
≥≥
=−
( )( )∫∫ −=2
002
21,2
ππ
πdxdtntsennxsenyxTBmn
( ) ( )( ) ntsennxsenntsennxsenyxTyxTmn
221,2
1,2
00112 ∫∫∑∑ −+=
≥≥
ππ
π
17. En el diagrama adjunto, hallar la STF de y(t)
2
2 D
Y (t)X (t)
Del diagrama tenemos:
[ ])()2(
,,)( 2
txtx
tttx
=+−∈=
πππ
x(t)
y(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
142
X (t)
2 D
2
Y (t)
Y (t)1
2
Y (t)
Y (t)1
2Y (t) X’ (t)
Y (t)1
2
( ) ( ) ( ) ( )txtytyty ++= '
21
21
( ) ( )∑
≥
−+=1n
2
n2
)tablas(ntcosn
14
3tx
π
Asumamos que ( ) ( )∑≥
++=1
0 cos2 n
nn ntsenbntaa
ty
( ) ( ) ( )∑ ∑∑
≥ ≥
+
≥
−−=+−+++1n 1n
2
1n2
1nnnnn
0 ntcosn
14
3ntcosnbntsennantsenbntcosa
2
a π
32
20 π−=
a
( ) ( )( )
( )( )222
2
1
1
1
1
0
1
nnb
nna
nabn
nban
n
n
n
nn
n
nn
+−=∧
+−=⇒
=−
−=+
( ) ( )∑≥
++
−+−=1
22
2 1cos
1
1
11
3 n
n ntsenn
ntnn
tyπ
18. Hallar la STF de ( ) πππ <<−−= ttt
tf ,126
422
x(t)
21
y(t)
21
y(t)
21
y(t) y(t)
y(t)
)´()´(2
1)()(
2
1txtytyty ++=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
143
( ) ( )tftf =+ π2
Así tenemos:
( ) ππππ <<−−+=− ∑≥
tntn
tt n
n
,cos14
520
51
126 41
4422
19. Determine la SCF para y(t) en el diagrama:
+
-2
D
16
D Y (t)
4
1
D
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tG t tt x, 2txtx 2π−=π++=
Del diagrama tendremos:
x(t)
y(t)
x(t) z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
144
+
-2
D
16
D Y (t)
4
1
D
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtztztztxtz 2''4'22
1 =+⇒−=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )II txtzztyztzty 24'44''16'4 =+=⇒+=
( ) ( )txtY '8=
-2π
-πt
X(t)
3z´(t)
z´(t)
z(t)
2z´(t) 2z´´(t) D
x(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
145
33
X’ (t)
S.C.F. para ( ) ( )( )∑Ζ∈
−−−=n
nttx πδπ 122'
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑Ζ∈ Ζ∈
++ −=−==n
jnt
n
njntn eetxty 11 1818'8
20. Si f y g tienen el mismo periodo, expresar ( ) ( )∫+Ta
a
t d t g t f en términos de sus coeficientes de
sus S.T.F.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑
∑
∑
≥
≥
≥
++=
++=
++=
1nonon
o
1nonon
o
1nonon
o
tnw sentg btnw costg atg2
a tg tf
tnw sen tnw cos 2
tg
tnw sen btnw cos a2
a tf
βαα
integrando de a hasta a + T
( ) ( )∫ ∑+
≥
++=T a
a 1nnnnno
o
2
T b
2
T a
2
T
4
a dt t g t f βαα
( ) ( ) ( )∫ ∑+
≥++=
Ta
a 1nnnnn
oo b a2
1
4
a dt t g t f
T
1 βαα
x(t)
)(2 ππδ −− t
( ) ( ) 123
2
122
1 +−
−
−=−−= ∫njnt
n dtetF πδππ
π
π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
146
21. Analizar la onda f(t), si los coeficientes de sus SCF son: a) reales b) imaginarios puros Solución:
c) Si f es par, entonces ( ) ∑≥
+=1n
ono tnw cos a
2
atf
( )
Ζ∈∀∈⇒==
=−=
n IR F2
aF,a
2
1F
2
aF,Jba
2
1F
no
onn
oonnn
d) Si ( ) ( ) 0FRe,puro imaginarioP IF nn =∈
( )
escondida impar simetríatiene f ,0a Si
impar simetríatiene f ,0a Si
Nn,0a0Jba2
1Re
o
o
nnn
≠
=
∈∀=⇒=
−
22. Determine la S.C.F. para ( ) tttf coscos=
( ) tttf coscos= es una función de periodo 1,2 0 == wT π
Por tablas:
jnt
Zn
en
t 2
02 14
122cos ∑
−∈ −−=
ππ
( )
( )jtjtjnt
Zn
jtjt eeen
eett −
−∈
− +−
−+= ∑ 22
0 14
111coscos
ππ
( ) ( )
−−
−−+= −
≥
+
≥
− ∑∑ tnj
n
tnj
n
jtjt en
en
ee 122
1
122
1 14
1
14
11
π-
( ) ( )
−−
−− −−
≥
+−
≥∑∑ tnj
n
tnj
n
en
en
122
1
122
1 14
1
14
1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
147
( ) ( ) ( )( ) ( )
−+
−−−+= −
≥
+
≥
− ∑∑ tnj
n
tnj
n
jtjt en
en
eetf 122
1
122
2 14
1
114
111
ππ
( )
( )( )
−−+
−− +−
≥
+−
≥∑∑ tnj
n
tnj
n
en
en
122
2
122
1 114
1
14
11
π
( ) ( ) ( )( ) jttnj
n
jtjt eenn
eetfπππ 3
1
14
1
114
111 1222
2
−
−+
−−−+= −
≥
− ∑
( )( ) jttnj
n
eenn
−+−
≥−
−+
−−− ∑ ππ 3
1
14
1
114
11 1222
2
23. Usando tablas, hallar la S.T.F. de ( ) ( )( ) ππ
π22,
42 ≤≤−=
+=
tttx
txtx
( ) πππ ≤≤−−−=
+
≥∑ tnt
nt
n
n
,cos1
43 2
1
1
22
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥ 2,
2cos
14
34 21
22 tnt
n
t n
n
( ) πππ
22,2
cos1
163
42
1
22 ≤≤−−+= ∑
≥
tnt
nt
n
n
24. Determine 0, ∪∈ INnan tal que : ∑≥
+=
−1
0
2
2cos22 n
n ntaa
tπ
Solucion:
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
,cos1
43 2
1
22
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
2,2cos1
43
42
1
22
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
148
( )22
,2cos1
12 21
22 πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
( ) ( ) 222,22cos
1
122 21
22
ππππππ ≤−≤−−−+=
− ∑≥
ttnn
tn
n
( ) ( ) ππππ ≤≤−−+=
− ∑≥
tnntn
tn
n
0,2cos1
122 21
22
( ) ( ) ππππ ≤≤−+=
− ∑≥
tntnn
tn
n
0,cos2cos1
122 21
22
πππ ≤≤+=
− ∑≥
tnn
tn
0,2cos1
122 21
22
así 2
1
nan =
25. Hallar el S.C.F. para y(t) en el diagrama
( ) ttx cos=
Solución:
8
5
+
+
-2
-3
4
x(t)
y(t)
ttx cos)( =
8z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
149
8
5
+
+
-2
-3
4
-3t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p
-2t
− ∞Z(u) d u
t
− ∞Z(u) d u
− ∞5
tZ(u) d u
t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p( (
t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p( (4
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−
−−=t pt
dpduuzduuztxtz .32
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−
++=t pt
dpduuzduuztzty .458
Este sistema equivaldría a resolver:
( ) ( ) ( ) ( )tztztxtz 3'2"" −−=
( ) ( ) ( ) ( )tztztzty 4'5"8" ++=
De donde obtiene la ecuación diferencial que relaciona a: ( ) ( )tzytx
________________________
x(t)
y(t)
∫∞−
t
duuz )(
2 ∫∞−
t
duuz )(
∫∞−
t
duuz )(5
dpduuzt P
∫ ∫∞− ∞−
)( dpduuz
t P
∫ ∫∞− ∞−
)(4
dpduuzt P
∫ ∫∞− ∞−
− )(3
z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
150
TRANSFORMADA DE FOURIER
Sea ,: ℜ→Af ℜ=A una función continua por secciones, tomamos un caso particular ( ) ( )tGtf r=
donde podemos apreciar que ella puede expresarse como el límite de una sucesión de funciones periódicas de período T , cuando ∞→T . Así el tren de pulsos rectangulares de período T .
1
2T
2T−
( )tfT
Ahora consideremos el tren de pulsos de período TT 21 =
1
2T
2T−
( )tf1
T
Cuando ∞→T , tenemos:
1
2T
2T−
( )tf
En otras palabras ( ) ( )tfLímtf TT ∞→
= .
Hallando la serie compleja de ( )tfT :
( ) ( ) tjnw
n
2T
2T
tjnwT
00 edtetfT
1tf ⋅
⋅= ∑ ∫
∞
−∞= −
−
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
151
Denotemos ,0nww = ( ) ,1 000 wnwwnw =−+=∆ T
wπ2
0 = .
Como Tw ∧0 varían inversamente; cuando T es grande, 0w es pequeño, así podemos escribir:
TLímdwT
π2∞→
=
También tendríamos que:
T
nnw
π20 =
cuando ∞→T .
( ) ( ) ( )dwwF2
1dwdtetf
2
1dtetf
T
2
2
1LímC
jwt
2T
2T
ntT
2j
Tn ⋅=⋅
⋅=⋅⋅= ∫∫
∞
∞−
−
−
−
∞→ πππ
π
π
Definimos la transformada de Fourier de ( )tf , ( )[ ] ( )wFtfF = como:
( ) ( )∫∞
∞−
−⋅=
jwtdtetfwF
También se suele escribir: ( ) ( )wFtf ↔
Por otro lado tenemos:
( ) ( )
( ) ( ) dwewFtf
dwewFtf
jwt
n
tT
j
n
⋅=→
⋅=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
π
π
π
2
1
2
12
Cuando ∞→T se obtiene:
( ) ( )∫∞
∞−
⋅=
jwtdwewF2
1tf
π
Así tenemos el par de Transformadas de Fourier:
( ) ( ) ( )TFdtetfwF
jwt
∫∞
∞−
−⋅=
( ) ( ) ( )TIFdwewF2
1tf
jwt
∫∞
∞−
⋅=π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
152
SIGNIFICADO FÍSICO DE T.F. Podemos apreciar la significación física, podemos obtenerla de la deducción de la TF. Consideremos la STF de la señal periódica:
( )
( ) tjw
n
n
tjw
nn
tjnw
nn
n
n
ewnw
SaT
wtf
dteCeCtf
∑
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
=→
==
2
0
La magnitud de cada armónico es
=2
nn
wkwSa
T
wC
EXISTENCIA DE LA TF Análogamente a las exigencias para ( )tf de manera que existiera su STF o SCF. En el caso de la TF
veamos las condiciones suficientes pero no necesarias para la existencia de la TF. CONDICIONES DE DIRICHLET Las condiciones suficientes para que exista la TF de ( )tf son:
2. Para cualquier intervalo finito:
a) ( )tf debe ser acotada.
b) ( )tf tiene un número finito de valores máximos o mínimos.
c) ( )tf es continua por tramos (número finito de discontinuidades).
2. ( )tf es absolutamente integrable, es decir:
( )∫∞
∞−
∞<
dttf
Algunas veces se pide que ( ) ,dttf
2
∫∞
∞−
∞< es decir que ( )tf tenga energía finita. (energía asociada a la
señal ( )tf tomada como un voltaje - -resistivo de Ω1 ).
La potencia para la señal ( )tf esta dada por:
( ) ( ) ( ) ( )12
2
=== RtfR
tftP
Así ( )∫∞
∞−∞→
∞<= dttfT
LímPT
21
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
153
Comentario. Si consideramos la señal:
( )
≠=
=0,0
0,1
t
ttx
Veamos si la señal ( )tx satisface las condiciones de DIRICHLET.
( )tx1
t
2. Consideremos cualquier intervalo finito [ ]ba, :
a) ( )tx es acotada.
b) Valor máximo [ ][ ]
∉∈
=ba
ba
,0,0
,0,1, valor mínimo 0=
c) ( )tx es continua por tramos.
2. ( )∫∞
∞−
= ,0dttx ( )tx es absolutamente integrable.
Por tanto para ( )tx , se cumplen las condiciones de DIRICHLET.
Así existe ( ) 0=wX .
Ejercicio. De un ejemplo en el cual no se cumpla las condiciones de DIRICHLET, pero que exista su TF. Puede intentar con ( ) ttx = .
( )tx no es absolutamente integrable ( )∫∞
∞−
ℜ∉dttx
TRANSFORMADA DEL IMPULSO
( )[ ] ( )∫∞
∞−
− ==
jwt 1dtettF δδ
Nota En algunos casos se define el par
( ) ( ) ( )TFdtetf2
1wF
jwt
∫∞
∞−
−⋅=π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
154
( ) ( ) ( )TIFdwewF2
1tf
jwt
∫∞
∞−
⋅=π
Las propiedades que veremos son equivalentes a las que resultarían usando esta definición. PARTE REAL E IMAGINARIA DE TRASFORMADA DE FOURIER :
Definición.- Si existe ( )∫∞
∞−
dttf , entonces se denomina Transformada de Fourier de ( )tf a:
( )( ) ( ) ( )∫∞
∞−
− == wFdtetftfF jwt
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )wjXwRtfF
senwtdttfjwtdttftfF
dtjsenwtwttftfF
+=
−+=
−=
∫∫
∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
cos
cos
R(w) es llamada la parte real de F(w) X(w) es llamada la parte imaginaria de F(w)
Apreciaciones
7) Vemos que: R(-w) = R(w)
R (-w) = ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−==− )(cos)()cos()( wRwtdttftdtwtf
Así: R(w) es par con respecto a su variable independiente w.
8) Análogamente: X(-w) = -X(w)
X(-w) = ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−−=−−=− )())(()()( wXsenwtdttftdtwsentf
X(w) es impar con respecto a w 9) Si f es par entonces, en caso exista F(w) se tiene que X(w) =0 10) Si f es impar entonces R(w) = 0
11) F(w)2 = R2(w) + X2(w)
12) ( ))(
)()(
wR
wXwtg =φ , ( ) ( )
( ) fasedeespectrowj
MAGNITUD
DEESPECTRO
ewFwF←
=φ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
155
( )wX
( )wR
( )1wX
( )1wR
( )1wF
7. ( ) ( ) ( )wR
tftf ↔−+2
, Recordar que como f es definida en todo ℜ :
( ) ( ) ( )tftftf oe += donde:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
2tftf
tf
tftftf
o
e
−−=
−+=
9. ( ) ( ) ( )wjX
tftf ↔−−2
PROPIEDADES DE LA T.F.
9. Linealidad
( ) ( )( ) ( )wGtg
wFtf
↔↔
→ ( ) ( )tgtf + ↔ ( ) ( ) GF DDwwGwF ∩∈∀+
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) GFjwtjwt
Gjwt
Fjwt
DDwdtetgdtetf
DwwGdtetg
DwwFdtetf
∩∈∀⋅∃∧⋅∃
∈∀=⋅∃
∈∀=⋅∃
∫∫
∫
∫
∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
,
,
,
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tgFtfFtgtfF
wGwFdtetgdtetfdtetgtftgtfF jwtjwtjwt
+=+∴
+=⋅+⋅=⋅+=+ ∫∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−
10. ( ) ( ) ( ) ( ) ,, FDwwrFtrfwFtf ∈↔⇒↔ r constante 11. Cambio de escala
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
156
Si ( ) ( ) ( ) FDwa
wF
aatfawFtf ∈
↔⇒≠∧↔ ,1
0
Visualizando:
( )[ ] ( )∫∞
∞−
−⋅= dteatfatfF jwt , hagamos a
dxdtxat =⇒=
1) ,0>a ( )[ ] ( ) ( )
=⋅=⋅= ∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−
a
wF
adxexf
aa
dxexfatfF
xa
wj
a
xjw 11
2) ,0<a ( )[ ] ( ) ( )
=⋅−
=⋅= ∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−
a
wF
adxexf
aa
dxexfatfF
xa
wj
a
xjw 11
12. ( ) ( ),wFtf −↔− 1−=a de la propiedad (3).
13. Retardo en el tiempo
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )wFedxexfedxexfttfF
ewFttf
jwtjwxjwttxjw
jwt
000
0
0
0
−∞
∞−
−−∞
∞−
+−
−
===−
↔−
∫∫
14. Retardo en la frecuencia
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0
0
000
0
wwFdtetfdteetfetfF
wwFetfwFtf
twwjjwttjwjwt
tjw
−===
−↔→↔
∫∫∞
∞−
−−∞
∞−
−
15. ( ) ( ) ( )[ ]000 2
1wwFwwFtwcostf ++−↔
Por propiedad (6)
( ) ( )00 wwFetf jwt −↔
( ) ( )00 wwFetf jwt +↔−
:⊕
( ) ( ) ( )0002 wwFwwFtwcostf ++−↔
( ) ( ) ( )[ ]000 2
1wwFwwFtwcostf ++−↔
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
157
16. ( ) ( ) ( )[ ]000 2
1wwFwwF
jtsenwtf +−−↔
9. ( )( ) ( )wjwFtfF =′ siempre que ( ) 0→tf cuando ±∞→t En realidad se puede generalizar:
nCfwFtf ∈∧→ )()( y si se cumplen las condicones de Dirichlet, entonces
)()()()( wFjwtf nn →
Para lo cual basta con derivar n veces:
∫∞
∞−
= dwewFtf jwt)()( 21π
10. ( ) ( )wFjw
dxxfFt 1=
∫∞−
0≠w ∧ ( ) ( ) 00 ==∫∞
∞−
Fdttf
( ) )()()()()( wFwjwGtftgdxxftgt
=→=′→= ∫∞−
para que exista ( )
∫∞−
t
dxxfF , debe cumplirse la condicion de la propiedad 9,
( ) 0→tg cuando ±∞→t , lo cual es cierto pues ( ) 0=∫∞
∞−
dttf
11. Propiedad de Simetría
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tFFdtetFwfdwewFtf
dwewFtfdwewFwFF
dttfetfF
wftfF
jwtjwt
jwtjwt
jwt
==−⇒=−⇒
=⇒=∴
=
−=
∫∫
∫∫
∫
∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
ππ
ππ
π
22
22
1
2
1
Hallar :
t
senatF
π
( )[ ]2
2 wdsen
wtPF d =
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
158
( )wPdt
sent
F d −=
π22
2 Si:
( )
( ) ( )wPwPt
senatF
wPsenatt
F
aa
a
22
222
=−=
−=
π
π
( ) ( )wPwP dd −=
( )wF
wa− a
1πa
12. ( )[ ] ( )wFtjtfF ′−= Generalizando:
Si )()(, wFtfNn ↔∈ , entonces )()()( )( wFtfjt nn ↔−
13. Propiedad de Convolución
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )wFwFtftfF
dxxtfxftftf
2121
2121
*
*
=→
−= ∫∞
∞−
Apreciación:
Si ( )tf1 y ( )tf2 son nulos ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=⇒<∀t
0
2121 dxxtfxftf*tf0t
También:
( ) ( )[ ] ( ) ( )tftfwFwFF 21211 *=−
Ejemplo: ( ) ??1
12
1 =
+−
jwF
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
159
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
−−−
∞
∞−
−−−−−−
−−
==
+⋅
+⇒
<
>
<<
=−
<
>=−
<
>=
−=∗=
+⋅
+⇒
==⇒+
==
+⋅
+
t
0
tt1
xtxtt1
t2121
1
tedxejw1
1
jw1
1F
0x,0
tx,0
tx0,1
xtx
xt,0
xt,1xt
0x,0
0x,1x
dxxtextetetejw1
1
jw1
1F
tetftfjw1
1wFwF;
jw1
1
jw1
1F
µµ
µµ
µµµµ
µ
Función Impulso
( )tfε
ε− ε
( ) ( )ttfLím δεε=
∞→, donde:
( )
≠=∞
=0,0
0,
t
ttδ ε2
1
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( ) 0jwt0
0jw
jwt
e1ttF1tF
1edtettF
0fdtttf
−
−∞
∞−
−
∞
∞−
=−∴=⇒
===
=
∫
∫
δδ
δδ
δ
0t
∞
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) πδπδ 221
00
wwF
ewFttfF jwt
=−=⇒
=− −
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
160
( ) ( )1AFAF =⇒
Luego como A es constante
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )0
0
0
00 21
2
wwFetfF
wweFeF
wAAF
tjw
tjwtjw
−=⇒
−==⇒
=
πδδπ
• [ ] ??cos 0 =twF
Prop. ( )[ ] ( )jw
wtF1+= πδµ
[ ]22
2.Pr
wa
aeFop ta
+=−
, donde 0>a
( ) ( )
[ ]22
0
0
0
0
2
11
wa
aeF
ajwjwaajw
e
ajw
e
dteedteedtee
ta
tajwtajw
jwtatjwtatjwtta
+=
++
−=
−−+
−=
+=
−
∞+−
∞−
−−
∞−−
∞−
−∞
∞−
−−∫∫∫
Consecuencia: wae
ta
a −−↔+
π22
22 ( esto por simetría)
wae
ta
a −↔+
π22
22
• [ ] ??2 =tsenF
( ) ( ) ( )[ ]
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]22222
422224
1
4
2
2
2
222
+−−−=⇒
−++−−=
−−+=
+ −−
wwwtsenF
wwwee
Fj
eeF
jtjtjtjt
δδπ
πδπδπδ
• ( )[ ] ??=ttF µ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
161
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] [ ]wFttfF
wwj
w
jw
jttF
jww
jjww
dw
d
jttF
′−=⇒
−′=
+′−=→
−′−=
+⋅−=
22
2
11
1111
δπδπµ
δππδµ
14. ( ) ( ) ( ) ( )wFjwtf nn ↔
PROBLEMAS
1. Hallar ( )( ) ??=tPF d
( )tPd
2d− 2
d
1
( )( ) ( ) ( )
−=−===
−
−
−
−
−∞
∞−
− ∫∫ 222
2
2
2
111
jwdjwdd
d
jwt
d
d
jwtjwtdd ee
jwe
jwdtedtetPtPF
( )
>
<<−
<
=
2,0
22,1
2,0
dt
dtd
dt
tPd
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
162
==−
+=
−= −−
22
12
cos
cos wdjsen
jwjsenee
jsene
jsene jj
j
j
ααααα αα
α
α
( )( )
=→
2
2wd
wdsen
dtPF d
Gráficamente ( )( ) ( )wFtPF d =
( )wF
w
5. Determine f(t), si F(w) = 2G2(w), φ(w) = w/2
F(t) = )e e(
jt
2dwe2
2
1 2
tj1
12
tjt
2
wj −
−∫ −=ππ
F(t) = )2/t(Sa2
)2/tsen(t
4) ee(
tj
2 2
jt
2
jt
πππ==−
−
6. Dada ,)4w)(1w(
3)w(8)w(F
22 +++= δ
determine f(t)
4w
1
1w
1)w(2
)4w)(1w(
3
)40)(10(
)w(8)w(F
222222 +−
++=
+++
++= δδ
t2t e4
1e
2
11)t(f −− −+=
π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
163
7. Hallar f(t) ; si F(w) = Cos( 2w+π ) δ (w-π / 2)
Propiedades de la función impulso:
F(w) =Cos (π + π) δ (w-π / 2)
F(w) = δ (w-π / 2)
] )w( [Fe)t(f 12
tj
δπ
−=
2
tj
e2
1)t(f
π
π=
EJERCICIO Determine f(t) cuando:
(b) ( ) 2/)(,)(1)( 2 wwwGewF w =−= − φ
(b) wwwGwwF == )(),()( 2 φ
(c) )1(2
1)(),()(2)( 4 −=−= wwwGwSgnwF φ
(d) [ ] 1)3(2)(1()( −+++= jwjwjwwF
(f) [ ] 12 )1)(1()(−++= wjwwF
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
164
Pulso Rectangular
( )
≥
<=
2
2
,0
,1
r
r
Rt
ttG
( )tGR
2r− 2
r
1
Hallemos ( )[ ]tGF R
Derivando:
( )tGR′
2r−
2r
( )2rt −−δ
Por ( MA143 ):
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
165
( )
( ) ( )
( ) ( ) 22
22
1
1
1
rjw
r
rjw
r
et
et
t
−
−
=+→
−=−−→
=
δ
δ
δ
Sumando (Linealidad):
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )2
2
22
2
222
2
2
rR
rR
rr
r
R
rrr
wrSatG
wjwrSatG
ww
wsenjtG
wjsentt
↔⇒
↔′→
↔′→
↔−−+ δδ
Función de Muestreo Recordemos de (MA143) la función de muestreo ( )tSa
( )
≠
==
0t ,t
tsen
0t ,1
tSa
• ( )tSa tiene ceros periódicos (Salvo el inicial).
• La amplitud de onda decrece; es decir, se enrolla alrededor del eje t.
• ( )tSa es par.
• ( ) π=∫∞
∞−
dttSa
( )tSa
π π2π3
π−π2−π3−
Hallamos ( )[ ]tSaF por simetría:
( ) ( ) ( )wGwGtrSa rr ππ 22 =−↔ (ya que ( )tGr es par)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
166
( )wF
w
1
( )wF
w
2r− 2
r
1
( )tGR
1
Pulso Triangular
1
2r− 2
r
( )tTr ( )tTr′
r2
r2−
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ]
=
=∴
−==′′⇒
−↔′′
−↔′′
+−↔′′
−+−+=′′
−
−
424
8
4
8
4
8
2
22
242
222
22
2
2
44
22
22
wrSa
rwrsen
rwtTF
wrsen
rtTFjwtTF
wrsen
rtT
eer
tT
eer
tT
tr
tr
tr
tT
r
rr
r
rjw
rjw
r
rjw
rjw
r
rrr δδδ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
167
Convolución en el tiempo
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−=∗
dxxtgxftgtf
Propiedades
5. ( ) ( ) ( ) ( ) ACONMUTATIVtftgtgtf ∗=∗
6. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )thtftgtfthtgtf ∗+∗=+∗ asocidistributividad
7. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tgtfrtgtrf ∗=∗
8. ( ) ( ) ( )tgtfth ∗= entonces ,n Ν∈∀ se cumple:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tgtfth mkn ∗= donde Ν∈+= m,k,mkn .
5. )()(*)( 00 ttftftt −=−δ
Autoconvolución ( ( ) ( )tftf ∗ )
Ejemplo. Hallar ( )th :
( ) ( ) ( )teteth tt µµ ∗=
( ) =th ∗
tete
t t
t
movil
Señal
fija
Señal
Si: ( ) 00 =< th,t
conmutatividad
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
168
Si: ( ) ∫ ==> −t
txtx tedxeeth,t0
0
( ) ( )tteth t µ=∴
Propiedad
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mkntgtfth
tgtfthSimkn +=∗=⇒
∗=
Ejemplo. Hallar ( )th :
( ) =th ∗a b c d
cdabdonde −>−
SOLUCION:
( ) =′ th ∗a b
( )ct −δ
( )dt −δ
( ) =′ th ∗a b
( )ct −δ
( )dt −δ
∗a b
+
( ) =′ th +da+ db+
ca+ cb+
t
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
169
( )
+<<+−
+<<+
+<<+
+<<+
=′
dbtcb ,1
cbtda ,0
datca ,1
catdb ,0
th
NOTA: dacbcdab +>+↔−>− Integrando:
( )
+>
+<<++−
+<<+
+<<++
+<
=
dbt ,E
dbtcb ,Dt
cbtda ,C
datca ,B t
cat ,A
th
Pero en la convolución de pulsos finitos, para t grande ella vale cero.
( )0E)0A( ==
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
=→=+++−⇒+=+
+=→+−−=−⇒+=+
−=→=−−++⇒+=+−−=→++=⇒+=+
+−
+−
+−
+−
EEdbcbdbhdbh
dbDDcbcdcbhcbh
cdCCcadadahdah
caBBcacahcah
Es decir:
( ) =th ∗a b c d
cdab −>−∧
= ca+da+ cb+
db+
Consecuencias
∗2− 0 1 2 1− 0 1 2
=
∗3 5 1 3 5
=2− 0
Observación
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )wGwFwH:dondewHFth
tgtfthSi
==→
∗=−1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
170
t0-2 -1 31 2
32
1
t-3 -1 1 3
21
Propiedad
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]wFwFtftf
,,iwFtfSi ii
2121 2
1
321
∗↔→
=↔
π
…
Ejemplo. Hallar ( )[ ]tSaF 2
( )
( ) ( )wGwGtr
rSa
wrrSatG
rr
r
ππ 222
2
=−↔
↔
Tomando 2=r :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]wGwGtSa
wGwGtSa
222
22
2
2
2
∗↔
=↔
π
ππ
∗1− 1
( )2
2 π↔tSa1− 1
Ejemplo: Determinar la convolución siguiente H (t) = (G1 (t + 3/2) + G1 (t + 1/2 ) + 3 G1 (t – 1/2) + 2 G1 (t – 3/2)+ G1 (t – 5/2)) * (G2 (t + 2) + 2 G2 (t) + G2 (t - 2))
h (t) = *
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
171
Graficando h(t) a diferente escala (para visualizarla mejor)
3
321 4
321
2
4
4
0-1-2 1
0-2 -1 1
-3-5 -4
2
1
-2
2
1
3
3
2
2
4 5
4 5
6
5
3 4 5
1
2 3 4
2
6
1
0-1
-1 0
1 2
1 2
-2
-4 -3 -1-2
3
0
4
0 1 2
-3 -1-2
0-3 -1-2
2
3
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
172
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )wje wFwF
CwFwjXwRwF
φ=
∈+=
( )wφ argumento de ( )wF , por tanto para hallar la inversa se puede utilizar esta relación.
Ejemplo: Hallar ( )tf , si ( ) ( )wGw
wF 22
= y ( )
2
ww =φ
( ) ( )
( )
( )
+−=
=
=
∫∫
∫
∫
+
−
+
−
∞
∞−
1
0
t2
1j0
1
wt2
1j
1
1
jwt2jw
jwt
dwwe2
1dwwe
2
1
2
1tf
dtee2
w
2
1tf
dwewF2
1tf
π
π
π
Ejemplo:
( )
++−
4231
ww
wF
δ
Se tiene por conocimiento de funciones generalizadas ( ) ( ) ( ) ( )tfttf δδ 0= ; f continua en .0=t
Luego:
( ) ( )[ ]
πδδ
8
1
4
1
41
231 ==
++−− wF
ww
wF
Propiedad
( )[ ] 01 >+
=− aajw
tef at µ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
173
Ejemplo:
( )( )
++−
321
11
jwjwF
( )
( )[ ]
( )[ ] ( )teewFF
jwF
jwFwFF
jwjwwF
tt µ
−=
+−
+=
+−
+=
−−
−−−
231
111
23
1
1
1
32
2
1
1
Ejemplo: ¿Es correcto el siguiente razonamiento?
1 ( )tµ
( ) ( )tt µ′=δ
t
t
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∗↔⇒==′ .....jw
ttjwFtF1
1 µµµ
Ahora:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
174
( )
<−
>==
0,1
0,1
t
t
t
ttSgn
( )tSgn
t
1
-1
( )jw
tSgn2↔
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ?¿
.....jw
wtF
tSgntttSgn
∗∗∧∗
∗∗+=
+=⇒−=
1
2
112
δµ
µµ
justifique su respuesta.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
175
TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES PERIÓDICAS
Sea f(t) una función periódica de periodo T, entonces tenemos:
tjn
Znn
oeF)t(f ω
∈∑=
[ ]
ℑ=ℑ ω
∈∑ tjn
Znn
oeF)t(f
[ ]∑∈
ωℑ=ωZn
tjnn
oeF)(F
( )( )∑∈
ω−ωπδ=ωZn
on n2F)(F
ó, equivalentemente,
( )∑ ∫∈
+ − −
=Zn
o
T a
a
tjn n2e)t(fT
1)(F o ωωπδω ω
( )∑ ∫∈
+ − −
=
Zno
Ta
a
tjn ne)t(fT
2)(F o ωωδπω ω
Aplicación
Determine la TF de x(t) que satisface: [ ]tt)t(x)t(''x −=+
Asumamos que [ ])t(x)(X ℑ=ω .
De la ecuación diferencial: ( ) ( )πωδπωωω π n2dtte2)(X)(XjZn
1
0
tn2j2 −
=+ ∑ ∫
∈
−,
Entonces:
( )π−ωδπω−
π=ω ∑∈
n2n2
j
1
2)(X
Zn2
Determinación de la FT usando TF Poseemos en un sistema S.L.I.T. (serie lineal invariante en el tiempo)
u(t) h(t) δ(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
176
δ(t) = u(t) * h(t)
1 = (π δ (ω)+1/ jω) H(ω) H(ω) = 1 = j ω = j ω
π δ (ω) + 1/ jω π j ω δ (ω)+1
h(t) = F-1 [H(ω)] = δ’(t) Es decir hemos detectado que el sistema es un diferenciador Veamos ahora un caso más interesante, como el de hallar la FT (función de Transferencia) del sistema. Tenemos un sistema analógico (entrada y salida analógicas), hallemos la ecuación diferencial que la caracteriza: y(t) = x(t) + ay’(t)+y’’(t) y’’(t) + ay’(t) – y(t) = x (t)
x(t) y(t) D
SISTEMA
x(t) y(t)
D D
a
+
+
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
177
Tomando TF ambos miembros, para hallar la función de transferencia: ((jω2 + a (jω)-1) Y (ω) = X (ω) H(ω) = Y(ω) = 1 X(ω) (jω2 + a(jω) - 1)
Como operación final, determinemos la T.F. de la entrada del sistema cuando la salida es y(t) = e -| t | u (t) Ejemplo: Hallar la función de transferencia para el sistema Del diagrama tenemos: Z(t) = x(t) + ay’(t) Z’(t) + aZ(t) = y(t) De (1) y (2) eliminando Z(t) : x ’(t) + ay’’(t) + a (x (t) + a y’(t)) = y(t)
x’ (t) + a x (t) = - ay’’(t) - a2 y’(t) + y(t) Tomando T.F.: ( jω + a )X(ω) = (-a (jω)2 - a2jω + 1) Y(ω) H(ω) = Y(ω) = jω + a X(ω) (a ω2 – a2 jω + 1) En el caso particular tenemos: Y(ω) = 1 jω + 1 Luego: X(ω) = Y(ω) = a ω2 - a2 jω + 1 H(ω) ( jω + a )( jω+1 )
x(t) y(t) D
D
a
+ +
a
Z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
178
Ejercicios: Determine la función de transferencia para los siguientes sistemas lineales.
Nota: y(t) = ∫ x (u)du y’(t) = x (t) (jω) Y (ω) = X (ω) H(ω) = 1 jω b) c) d) y(t) = x’(t-π)
x(t) y(t)
-∞
t
∫
a
a
a
D
b
+
+
x(t) y(t)
D x(t) y(t)
Ret
T0 =≺
D x(t) y(t)
∫
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
179
Y(ω) = jω X (ω) e jπt H(ω) = jω e jπt
e) a,b,c, > 0
Comentario
El problema latente es hallar una de las tres variables: x(t), y(t), h(t) que
satisfacen:
y(t) = x(t) * h(t) conociendo dos de ellas.
Veamos un caso simple : x(t) = µ -2 (t), h (t) = µ –3
Hallemos usando la definición:
y(t)= 1°) Si t<0 , y(t) = 0
2°) Si t>0, h (t) = ∫ u2 (t-u) du
2
t
0
D ∫
D C
b a
a
*
+ +
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
180
h(t) = (t/6u3 – u4/8)] t = (1/6 – 1/8) t4 = t4 0
Luego : h(t) = 1/24 t4 µ-1(t)
Nos preguntamos de que otra manera podemos hallar y (t), obviamente será usar la TF. Sea Y(ω) = F [y(t)]
Y(ω) = X(ω) = H(ω) X(ω) = -1 , H(ω) = 2j ω2 ω3 Y (ω) = X (ω) H(ω) = - 2j ω5 Cambiando al ambiente Laplaciano (TL) Y (s) = - 2j = 2 s 5 s5 j y(t) = -1 Y(s) = (1 / 24 ) t4 µ -1 (t). Obviamente al tomar la TIL hemos tomado en cuenta que la convolución de las señales causadas, es otra causal. Comprobar lo anteriormente manifestado para: x(t) = G2r (t-r) , h(t) = Gr (t-r/2) , y (t) = x(t) * h(t) X(w) = 2r Sa (ω (2r))e jrt , H(ω) = r Sa (ω r/2) e J r/2t 2 2 Ejercicio. Determine la TF para V(t) que cumple: )t(h)t('v)t(''v =+ , donde
2
t2
,tcos)t(hπ<<π−=
2
3t
2,0)t(h
π≤≤π= )2t(h)t(h π+=
u2 2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
181
n ∈ Ζ
Ejemplo: Si x (t) = t3 µ -1 (t) , y (t) = t4 µ-1 (t) , hallar Z (t)= x (t) * y (t)
6 24 Usando la relación entre la TL y TF, pues x (t) , y (t) son señales causales. Z (ω) = X(ω) Y(ω) X(ω) = X (s) = 1 = 1 . S= jω (Jω)4 ω4 Y(ω) = Y(s) = 1 = j . S= jω Jω5 ω5 Z(ω) = - J Z (s) = - j = 1 Z(t) = t9 µ -1 (t) ω9 (s/j) s9 8! Z(t) = t9 µ -1(t) 40320 Ejemplo: Sea x (t) = e-| t - to| una señal, hallar “x” (t) y luego hallar su T.F. x’’ (t) = x (t) -δ (t) F[x’’ (t)] = X( ω) –2 = 2 e -Jωto –2 ω2 + 1 Observamos que: e -|t| e -Jωto e - | t – to | Ejemplo:
Hallar la T.F. de x (t) = ∑ δ’ (t - nπ) cos t Vemos que: (δ (t - nπ)) cos t = (-1)n δ (t - nπ) [δ(t - nπ) cos t]’ = [δ’ (t - nπ) cos t] - [δ(t - nπ) sen t] (-1)n δ’ (t - nπ) = δ’ (t - nπ) cos t
e-(t - to) , t ≥ to X(t) = e t – to , t < to
-e-(t - to) , t > to X’(t) = e t – to , t < to
2
ω2 + 1
2
ω2 + 1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
182
n ∈ Ζ
n ∈ Ζ
x (t) es una función de periodo 2π
Fn = 1 . ∫ (δ’(t) - δ’ (t - π)) e -Jnt dt
2π
Fn = 1 (-1) ∫ (δ’(t) - δ’ (t - π)) (e -Jnt)’dt
2π Fn = -1 ( jn)(1 – (-1)n) = jn (-1) (1 – (-1)n) 2π 2n F2n = 0 , F2n – 1 = jn π
x (t) = j ∑ (2n - 1) en + J(2n – 1) t
X (ω) = j ∑ (2n - 1)2π δ (ω - (2n - 1)) Ejemplo: Dada |Xω| = (cos πω) G1 (ω) , φ (ω) = ω , determine x (t) Solucion:
Tenemos: x(t) = 1 ∫ (cos πω) e jω ejωt dω
2π
x(t) = 1 ∫ e j(1 + t) ω cosπω dω
7 π/4
-π/4
7 π/4
-π/4
X(ω) = j ∑ (2n - 1) δ (ω -(2n -1)) n ∈ Ζ
1/2
-1/2
-1/2
1/2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
183
2π
x(t) = 1 [π Senπω + j(1+t) cos πω e j(1 + t) ω]
2π x (t) = j Sen (1 + t/2) (1 + t)2 + π2 Ejemplo: Sea x (t) = e –t sen t µ -1 (t) , determine Xc (ω) Sabemos que en el dominio S: Sen t Cosωt = ½ (Sen (1 + ω)t + sen (1 - ω)t ) Ejercicio. Hallar x(t), si y(t) = x(t) * h (t) cuando
01) ),t(t)t(h 12
−µ= )t(t2)t(y 12
−µ=
02) ),1t(G)t(h 4 −= )t(G)t(y 2=
03) ),t(tG)t(h 2= )t(tG)t(y 4=
04) ( ),)t(G1t)t(h 2−= te)t(y −=
05) ),t(t)t(h 1−µ= )t(t)t(y 12
−µ=
06) ),t()t(h δ= )t(Sa)t(y =
07) ),nt()t(h −δ= )t(Sa)t(y =
08) ),t(')t(h δ= )t(t)t(y 12
−µ−=
09) ,sent)t(h = sent)t(y −=
10) ,sent)t(h = sent)t(y =
1/2
-1/2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
184
CRtf i →:)(
dw)w(F)w(F2
1dt)t(f)t(f
21
21 ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=π
∫∞
∞−
−=
Jwt2121 )1.....(dte))t(f)t(f())t(f)t(f(F
( ) ).........()w(F*)w(F)t(f)t(f 22
12121 π
↔
( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
=− dttftfdxxFxF )()()()(21
2121π
( )∫∫∞
∞−
−∞
∞−
=−
Jwt21
21 dte)t(f)t(fdx)xw(F)x(F2
1
π
)()( wFtf ii ↔
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−= )()(2
1)()( 2121 π
RRtf i →:)(
)()( wFtf ii ↔
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
=⇒ )()(2
1)()( 2121 π
∫∞
∞−
−= dtetfwF Jwt)()( 22
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−− ==− dtetfdtetfwF twJtwJ )(2
)(22 )()()(
∫∞
∞−
− ==− )()()( 222 wFdtetfwF Jwt
TEOREMA DE PARSEVAL TEOREMA: Si : Si : i:1,2
Visualización:
de (1) y (2): evaluando ω = 0: así obtenemos: TEOREMA:
Visualización:
)()( 22 wFwF −=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
185
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
= )()(2
1)()( 2121 π
⇒↔ )()( wFtf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
= dwwFdttf22
)(2
1)(
π
Rf →Ω: R=Ω
∫∞
∞−
dttf2
)(
∫∞
∞−
= dttfE2
)(
)()( tSatf =
∫∫∞
∞−
∞
∞−
== dtt
tSendttSaE
2
22 )(
)(
[ ] πππ
ππ
=== ∫∫−
∞
∞−
1
1
222 2
1)(
2
1dwdwwGE
)dt-(tf (t)f)(R 2
12 1 ττ ∫∞
∞−=
Por el teorema anterior: TEOREMA DE PARSEVAL :
ENERGIA
Si : (Es decir el dominio de f es casi todo los Reales, es decir los reales salvo algunos puntos
aislados y además si existe la integral
Entonces el contenido de energía de f(t) denotado como E será:
La identidad de Parseval nos permite hallar E. Ejemplo: Hallar el contenido de energía E de :
FUNCIONES DE CORRELACION Sean f 1(t) y f 2(t) dos señales, definimos la función correlación: La función de correlación R12(τ ) ó R21(τ) suministra una medida de la similitud o interdependencia de las señales f 1(t) y f 2(t) en términos de un parámetro τ.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
186
)(R)(R 1 22 1 ττ −=
)(f*)(f )t(f*)t(f)(R 21t212 1 τττ τ −=−==
dt (t)f )0(R2
111 ∫∞
∞−=
)dt-(tf (t)f)(R 2
12 1 ττ ∫∞
∞−=
)dtx(f )(xf)(R 2
12 1 ∫∞
∞−+= ττ
∫∞
∞−=−
2121 x))dx-(-(f (x)f)(f*)(f τττ
∫∞
∞−==
1221 )(R)dt-(tf (t)f ττ
)(F*)(F ] )(f*)(f[)](R[ 21212 1 ωωτττ −=−ℑ=ℑ
)(F*)(F ] )(f*)(f[)](R[ )](R[ 21212 121 ωωττττ −=−ℑ=−ℑ=ℑ
dt )-(tf (t)f )(R
1111 ∫∞
∞−= ττ
dt (t)f dt 0)-(tf (t)f)0(R2
1
1111 ∫∫∞
∞−
∞
∞−==
PROPIEDADES
6. Con el cambio: t - τ = x tenemos: 7. Prueba:
8. 9. 10. Prueba:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
187
)1()( 21 −= ttGtf
)1()( 22
2 −= tGttf
Ejercicios: Hallar las funciones de correlación R12 (τ) y R21 (τ), si: Ejemplo: Determinar la función de Correlación R12 (τ) para f1(t) =G2(t) y f2(t)=G4(t) Solución: f1(-t) = f2(t) R12 (τ)=f1(τ) * f2(-τ) = f1(τ) * f2(τ ) R12( τ) = τ * -1 1 -2 2 R12( τ) = τ -3 -2 -1 0 1 2 3
Ejercicios: Determine las funciones de correlación de las siguientes funciones: a) f1 (t) =G4 (t) f2 (t) = t G2 (t) b) f1 (t) =(1+ | t | ) G2 (t) ; f2 (t) =( Sent ) G2π (t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
188
RRRu →+*:
[ ] ∫−=
R
JwxdxeyxuyxuF ),(),(
RRRu →+0*:
[ ] ),(),(),( twUdxetxutxuFR
Jwx == ∫−
RRRu →+0*: y
[ ] ⇒= ),(),( twUtxuF
[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =
∫=R
JwxdwetwUtxu ),(2
1),(
π
∫=R
Jwxx dwetwUJwtxu )),()((
2
1),(
π
[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =
[ ] ( ) ),(),( 2 twUJwtxuF xx =
( ) ),(),(2
.. twUJwtxuF nxxxx =
TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES Sea podemos interpretar:
Generalmente nos interesa que Propiedades: Sea: (1) Razonando: Luego: (2) (3)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
189
[ ] ),(),( twUtxuF tt =
∫=R
JwxdwetwUtxu ),(2
1),(
π
∫=R
Jwxtt dwetwUtxu ),(
2
1),(
π
RRx →2:
RttRttx ∈∀∈ 2121 ,,),(
[ ]),(),( 2121 ttxFwwX =
∫ ∫−−
=
R
Jwt
R
Jwt dtedtettxwwX 21212121),(),(
∫ ∫+−=
R R
ttJw dtdtettxwwX 21)(
212121),(),(
(4) Caso:
Interpretaríamos que la señal que tiene 2 variables independientes t1, t2 se tomara inicialmente como una función de t1 y luego de t2 .
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
190
TRANSFORMADA SENO Y COSENO DE FOURIER
Sea x(t) una señal causal o definida para t > 0 ó t = 0 (salvo, quizá, algunos valores aislados de t). Definamos el siguiente par:
∫
∫∞
∞
=
=
0 c
0
tdcos)(X2
)t(
tdtcos)t(X)(
ωωωπ
ωω
x
X c
Este par es conocido como el Par de Transformadas Coseno de Fourier, directa e inversa, respectivamente. Análogamente definimos el par:
∫
∫∞
∞
=
=
0 s
0
tdsen)(X2
)t(
tdtsen)t(X)(
ωωωπ
ωω
x
X s
Y este par es conocido como el par de transformadas seno de Fourier , directa e
inversa, respectivamente, para x(t).
Ejemplo . Si )t(e)t(f 1t
−− µ= , hallar Fc(ω) y Fs(ω).
b
0
t
2b
0
tc e
1
tsentcoslímtdtcose)(F
++−== −
∞→
∞ −∫ ω
ωωωωω
1
1)(F
2c +ω=ω
Como consecuencia, podemos afirmar que
ωωωπ
µ tdcos1
12)t(e
0 21t
∫∞
−−
+=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
191
Evaluando en t = 2: dx1x
x2cose
2
0 22
∫∞−
+=π
b
0
t2b
0
ts e
1
tcostsenlímtdtsene)(F
++−== −
∞→
∞ −∫ ω
ωωωωω
1
)(F2s +ωω=ω
Ejemplo. Hallar Xc(ω) y Xs(ω) cuando x(t) = G2r(t-to), to > r > 0.
1
x(t)
0 to-r to+r
rt
rt
rt
rt c
o
o
o
o
tsen1
tdtcos)(X+
−
+
−
== ∫ ωω
ωω ⇒
α
G2r(t-to) = 2 /π ∫ (1/ω)(senω(to+r)-senω(to-r))cos(ωt) dω
0
Evaluando en t = to: 1 = ( ) ωωωωπ
dtcos0t2sen12
oo
0 −∫
∞
2
dtcost2sen
0
oo πωω
ωω=∫
∞
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
192
rt
rt
rt
rt s
o
o
o
o
tcos1
tdtsen)(X+
−
+
−
−== ∫ ωω
ωω ⇒ ( ))rt(cos)rt(cos1
)(X oos +−−= ωωω
ω
( ) ( )( ) ωωωωπ
drtcosrtcos12
)tt(G oo
0 or2 −−+=− ∫∞
Después de evaluar en t = to, resulta: ∫∞
=−
0
o
2dx
x
xt2cos1 π
Ejercicio.
Determinar Xc(ω) y Xs(ω) cuando:
1) )t(sent)t(x 1−µ=
2) )t(tcos)t(x 1−µ=
3) )t(sent)t(x 1−µ=
4) )t(tcos)t(x 1−µ=
5) ( ) )t(sentsent)t(x 1−µ+=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
193
RELACION ENTRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (T. F) Y
LA TRANSFORMADA DE FOURIER (T.F)
Apreciamos básicamente que la T.F. es mas cómoda que la aplicación de la T.L. (unilateral) para determinar una solución particular de una E.D.O. con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no. Así mismo para aplicar la T.L. la función F debe ser una original, pero la T.F. no exige dichos requisitos. La T.L. permite los teoremas del valor inicial y final que permiten resolver eficazmente una E.D.O. , lo cual no sucede con la TF. La aplicación de la T.L. es mas restringida que la T.F. en los problemas de circuitos analógicos. Las ecuaciones diferenciales, pueden algunas veces hallarse la señal, mediante el uso de la T.L. y donde la T.F. es muy tediosa. Ambas cumplen las condiciones básicas de un operador: conmutabilidad y asociatividad.
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CAUSALES Tenemos que recordar que toda X(t) definida en todo ∡ salvo algunos puntos aislados, se dice que es una señal de tipo causal si:
X(t) = 0 , para t ε Dom X y t < 0 Entonces podemos apreciar que para este tipo de señales se tiene que:
Así con las funciones singulares tendremos:
JwssXwX
== )()(
JswwXsX
−== )()(∧
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
194
312
3
1)(,)(
21
)()()2(s
sXtuttutX === −−
212
1)(,)()()()1(
ssXtuttutX === −−
33)(1
)(w
J
JwwX ==
)t(Sgn)t(X,0t 1,-
0t ,1)t(X)3( =
<
>+=
t
ttSgntomadohemos =)((
)(21)( 1 tutX −+−=
∫ ∫∞−
∞−− +−=
0
0
JwtJwt dtedte)1( )w(X
JwJwJwwX
2)10(
1)01(
1)( =−−−=
JwtSgn
2)( ↔
[ ])(121
)()4( 1 tSgntu +=−
+↔− Jwwtu
2)(2
21
)(1 πδ
Jwwtu
2)()(1 +↔− πδ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
195
( ) )()()()5( 1 tutCostX −=
22 1)(,
1)(
w
JwwX
s
ssX
−=
+=
)(cos)()6( 1 tutettX t−=
( ) [ ]22
22
21)1(
1)1()1(2
11
1)(
+−
+−−−=
+−−−=
s
ss
s
s
ds
dsX
[ ]22
22
1)1(
1)1()1(2)(
+−
+−−−=
Jw
JwJwwX
)()()7( ttX δ=
1)(,1)( == wXsX
( ) 0,)(cos)()8( 1 >−= − aatuttX
atatLeaesX asas sensencoscos)cos(tL)( −=+= −−
+
−+
= −
1sen
1cos
)( 22 s
a
s
asesX as
( )aaJww
ewX aJw sencos1
1)( 2 −
−= −
( ) ( )atuttXsiwXDeterminar −= −1sen)(,)()9(
taatLeatLesX asas cossencossen)sen()( +=+= −−
+
++
= −
1sen
1cos
)( 22 s
as
s
aesX as
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
196
TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL MUESTREADA
Consideraremos un tren de δt , una función periódica de periodo T definida :
δt (t) = ∑ δt (t – nT) 1 , t = to
δ (t - to) = 0, t ± to
Al tomar una señal x (t), si la multiplicamos por δT(t), resultaría que la nueva señal se puede considerar como “una señal muestreada” de tomar muestra (T = Ts)
n∈ Z
)t(Tδ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
197
n∈Z n∈Z
n∈Z
n∈Z
n∈Z
Xs (t) = x(t) ∑ δ (t - nts) = ∑ x (n Ts) δ(t – nTs)
Xs (ω) = 1 [X(ω) * 2π ∑ δ (ω - nωs)] , ωs = 2π/Ts 2π Ts
Xs (ω) = 1 ∫ F(λ) [∑ δ (ω - λ - nωs)dλ] Ts
Xs (ω) = 1 ∑ [ ∫ F(λ) δ (ω - λ - nωs)dλ] Ts
Xs (ω) = 1 ∑ X (ω - nωs) Ts
Esto nos lleva a interpretar que si tenemos que: Entonces: Obviamente esto es sensato cuando ωs - ωB > 0, así cuando ωs > ωB (ωB es conocida como la frecuencia de corte, ωs frecuencia de muestreo). Así tenemos una señal X(t), luego la muestreamos cuando ωs > ωB, podemos recuperar la señal x(t) a partir de Xs (ω). Cuando ωB < ωs se tiene lo que conoce como el efecto ALIASING , es decir por la superposición no es probable recuperar las señales.
∞
-∞
∞
-∞
Xs(ω)
A x(ω)
- ω ω
-ωs -ωB ωB ωs
ωs-ωB
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
198
ESPECTROS DE FRECUENCIA Como en el caso de las series de Fourier, en el caso de la Transformada de Fourier X (ω) , podemos expresarla: X (ω) = |X (ω)| e jφ(ω) |X (ω)| es el modulo de X (ω), φ (ω) es la fase (argumento) de X (ω) así tendremos dos espectros de frecuencia: c) La gráfica de |X (ω)| versus ω , es conocido como el espectro de magnitud. d) La gráfica de φ (ω) versus ω, es conocido como el espectro de fase. Ejemplo: La función Sgn (t) = t , tiene como transformada de Fourier: |t| F[Sgn (t)] = X (ω) = 2 . Jω |X(ω)| = 2 ESPECTRO DE MAGNITUD
|ωωωω|
-π/2, ω > 0 φ (ω) = π/2, ω < 0 ESPECTRO DE FASE
|X(ω)|
ω
π / 2
- π / 2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
199
EJERCICIO: Si |X (ω)| = |Sea (ω/2)| , φ = ∠ X (ω) descrita por la grafica adjunta, determina x (t)
−6π −4π 6π−2π 0
π
2π 4π
−4π −2π 0 2π 4π
1
ω
|X (ω)|
φ (ω)
ω
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
200