CAPÍTULO 5:CISALHAMENTO

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia Civil

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão

� Hipóteses Básicas:

� a) As tensões de cisalhamento τsão admitidas paralelas à força de cisalhamento V, portanto paralela a “y’’.

� b) As tensões τ não variam ao longo da largura da seção, e sim na altura.

� c) As tensões normais σ não ficam afetadas pelas deformações provocadas pelas tensões de cisalhamento.

<4

1

h

b

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão

� Analisando o elemento, vemos que existem tensões de cisalhamento horizontais agindo entre as camadas horizontais.

� Para y = ±h/2, então τ =0, pois não existem forças de cisalhamento na superfície da barra.

Pro

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Dia

s V

ande

rlei

5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

� É mais fácil determinar as tensões de cisalhamento horizontais agindo entre camadas da viga.

Pro

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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

� Modelo de cálculo:

zI

yM ⋅−=1σ

( )zI

ydMM ⋅+−=2σ

Pro

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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

� A face superior da barra está livre de tensões de cisalhamento.

� A face de baixo é submetida a tensões de cisalhamento τ.

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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

� Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mpm1p1, vemos que como σ1 ≠ σ2 , é necessário a tensão τpara equilibrar.

� As tensões verticais nos planos mp e m1p1 não estão sendo consideradas, pois iremos analisar apenas o equilíbrio na direção x.

� Diagrama de corpo livre do elemento mp m1p1:

dAI

yMdAF

z

⋅⋅=⋅= ∫∫ 11 σ

( )dA

I

ydMMdAF

z

⋅⋅+=⋅= ∫∫ 22 σ

onde y varia de y1 até h/2.

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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

� Fazendo o equilíbrio do elemento na direção x:

123231 0 FFFFFF −=∴=−+

∫ ⋅⋅= dAyI

dMF

z3

( )dA

I

ydMdA

I

yMdA

I

ydMMF

zzz

⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+= ∫∫∫3

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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

� F3 também pode ser vista em função da tensão τ:F3 = τ . b . dx , onde (b . dx) é a área da parte inferior

do elemento.

� Logo:

∫∫ ⋅⋅⋅

⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅ dAyIbdx

dMdAy

I

dMdxb

zz

1 ττ

neutra. linha a relação em

sombreada área da Estático Momento

tocisalhamen de força :onde

→=⋅

→=

∫ sMdAy

Vdx

dM

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� Com essa notação temos:

5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

toCisalhamen de Fórmula →⋅⋅=

z

s

Ib

MVτ

� Observações:� V, b e Iz são constantes em uma seção.

� Ms varia com a distância y1.� Na fórmula de cisalhamento tratamos todos os

elementos como valores positivos, pois sabemos que a tensão τ atua na mesma direção da força de cisalhamento V.

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5.2.1 Distribuição das Tensões de Cisalhamento na Seção Retangular

( )22

22

1

11 2

h

y

h

y

h

ys

ybdybydAyM

⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫

−⋅=

−⋅= 2

1

221

2

4228y

hbyhbM s

−⋅⋅

⋅=

⋅⋅= 2

1

2

42y

hb

Ib

V

Ib

MV

zz

sτ

−⋅

⋅= 2

1

2

42y

h

I

V

z

τ

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5.2.1 Distribuição das Tensões de Cisalhamento na Seção Retangular

� Variação quadrática com a distância y1.

−⋅

⋅= 2

1

2

42y

h

I

V

z

τ

A

V

I

hVy

zmáx ⋅

⋅=⋅⋅=→=

2

3

8 0 para

2

1 τ

0 2

para 1 =→= τhy

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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular

� Não podemos assumir que as tensões de cisalhamento agem paralelamente ao eixo y.

� Em um ponto m na superfície, a tensão deve agir de forma tangente.

� As tensões de cisalhamento na Linha Neutra, onde as tensões são máximas, podem ser assumidas como: paralelas a y e intensidade constante ao longo da largura.

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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular

� Logo, na Linha Neutra podemos usar a fórmula de cisalhamento:

z

smáx Ib

MV

⋅⋅=τ

� Onde:

4

4rI z

⋅= π3

2

3

4

2

32 rrryAMs

⋅=

⋅⋅⋅

⋅=⋅=π

π

rb ⋅= 2

2

3

4 3

4

3

24

2 r

Vr

rr

Vmáx ⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅

=ππ

τA

Vmáx ⋅

⋅=3

4τ

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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular

� Para seção circular vazada:

( )41

424

rrI z −⋅= π

( )31

323

2rrMs −⋅=

( )122 rrb −⋅=

++⋅+⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

21

22

2112

22

3

4

rr

rrrr

A

V

Ib

MV

z

smáxτ

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� Exemplo 1: De acordo com a viga de madeira mostrada, determine o máximo valor para P se a tensão admissível na flexão é σadm = 11MPa (para tração e compressão) e a tensão admissível para cisalhamento horizontal é τadm = 1,2MPa. Desconsidere o peso próprio.

5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

P

0,5m 0,5m

P

100mm

150mm

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Exemplo 1

� a) Diagrama de Esforços Internos:

A C D B

P

PD.E.C.

A C D B

0,5PD.M.F.

� Cisalhamento � trecho AC e DB� Flexão Máxima � trecho CD

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Exemplo 1

� b) Características geométricas:

222

3 3756

1510

62

cmhb

hI

W =×=⋅==

21501510 cmhbA =×=×=

WMW

Madmmáxadm

máxmáx ⋅=⇒≤= σσσ

3

2

2

3 admmáxadm

máxmáx

AV

A

V τττ ⋅⋅=⇒≤⋅

⋅=

� c) Carga Máxima:

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Exemplo 1

5,0

103751011

5,0

66 −⋅×⋅=⋅= WP adm

flexão

σ

KNPflexão 25,8=

3

102,1101502

3

2 64

.

⋅×⋅×=⋅⋅=−

admcisalh

AP

τ

KNPcisalh 12=

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� Exemplo 2: Dimensionar uma seção circular para a estrutura mostrada abaixo, de modo que não sejam ultrapassadas as seguintes tensões:

7..;70).( == SCMPaTRuptσ

8..;56).( == SCMPaCRuptσ

MPaadm 2,1=τB

40kN/m

A

4m2m

30kN

5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga

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Exemplo 2

� a) Tensões admissíveis:

MPaSC

TRuptTadm 10

7

70

..).(

)( ===σ

σ

MPaSC

CRuptCadm 7

8

56

..).(

)( ===σ

σ

kNRVA 125=kNRVB 65= D.E.C.

A C B

3065

95� b) Seções críticas:

Pro

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Exemplo 2

� Trecho :AC

( )xV −⋅+−= 64065

mxxV 375,4040175 =⇒=⋅−=

mKNM A .60230 −=×−=

( ) ( )mKNMC .81,52

2

375,4640375,4665

2

=−×−−×=

� Seções críticas: A e C

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� c) Tensões Normais Máximas:

� Seção A:

)(Cadmz

A

I

rM σ≤⋅

⇒⋅≤⋅

×⋅ 64

3

107

4

1060r

r

πmr 222,0≥

Exemplo 2

rCC 21 ==z

A

I

rM ⋅== 21 σσ

Como σ1 = σ2 , verificar para menor σadm:

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� d) Tensão de Cisalhamento Máxima:

admmáx

máx A

V ττ ≤⋅

⋅=3

4

mr 183,0≥

62

3

102,13

10954 ⋅≤⋅×⋅×rπ

⇒≥ mr 22,0 cmr 23=

Exemplo 2

Logo,

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� As tensões de cisalhamento nos flanges da viga atuam em ambas as direções, verticais e horizontais.

5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange

Alma

Mesa ou Flange

Mesa ou Flange

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5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange

� As tensões de cisalhamento na alma de viga de flange largo são verticais e são maiores que as tensões nos flanges.

� Devido a complexidade da distribuição das tensões de cisalhamento no flange, iremos considerar apenas as tensões agindo na alma da viga.

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5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma

� Vamos determinar a tensão de cisalhamento na linha ef.

z

s

Ib

MV

⋅⋅=τ onde b = t e Ms é da área sombreada

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5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma

� Momento Estático da área sombreada.

−⋅=221

1

hhbA

222

2

11

1

hhhy

−+=

−⋅= 11

2 2y

htA

22 1

1

12

yh

yy−

+=

( ) ( )21

21

21

22211 4

88yh

thh

byAyAM s ⋅−⋅+−⋅=⋅+⋅=

Pro

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5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma

� Logo:

( ) ( )[ ]21

21

21

2 48

yhthhbIt

V

It

MV

zz

s ⋅−⋅+−⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅=τ

( ) ( )31

31

331

3

12

1

1212hthbhb

htbhbI z ⋅+⋅−⋅⋅=⋅−−⋅=onde:

Pro

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5.3.2 Tensões de Cisalhamento Máximas e Mínimas

� τmáx ocorre na Linha Neutra, y1 = 0.

� τmín ocorre no encontro alma-flange, y1 = ±h1/2.

� Logo:

[ ]

[ ]21

2

21

21

2

8

8

hhIt

V

hthbhbIt

V

zmín

zmáx

−⋅⋅⋅

=

⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅

=

τ

τ

Pro

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5.3.3 Força de Cisalhamento na Alma

� A alma resiste a maior parte da força de cisalhamento e os flanges são superponíveis por uma pequena parcela.

( )mínmáxalma

htV ττ +⋅⋅⋅= 2

31

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5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange

� Exemplo 3: Considere a viga em balanço com seção transversal em T. Pede-se para determinar a tensão de cisalhamento máxima, e a tensão de cisalhamento a 3 cm da borda superior da viga, na seção de engastamento.

50kN

2m 25cm

5cm

5cm

45cm

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Exemplo 3

� a) Centróide e Momento de Inércia:

cmA

Ayy 57,18

1

11 =⋅

=∑∑

( ) 42'

4,88452 cmdAII iizz=⋅+=∑25cm

5cm

5cm

45cm

x

y

zy

Pro

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Exemplo 3

� b) Diagrama de Esforço Cortante:

kNVmáx 50=

50kN

+

D.E.C.

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Exemplo 3

� c) Tensão de Cisalhamento Máxima:

z

s

Ib

MV

⋅⋅=τ

( )43,3152

43,311 ××=⋅= AyMs

361,2469 cmM s =

=××= −−

−

82

63

10.4,8845210.5

10.61,246910.50máxτ MPa79,2

25cm

5cm

5cm

45cm

z

y1

Pro

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Exemplo 3

� d) Tensão a 3 cm de borda superior:

( ) ( )3

1

9,448

355,143,31

cmM

AyM

s

s

=

××−=⋅=

=×

×= −−

−

82

63

10.4,8845210.5

10.9,44810.50máxτ MPa51,0

z

25cm

5cm

5cm

45cmy1

3cm

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� Exemplo 4: Determinar a maior carga “q” (kN/m) que a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que σadm = 10MPa, τadm = 1,5MPa e a = 2m.

5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange

q

A B

a aa

D EC

aq aq aq

a

10cm5 5

20cm

55

Pro

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Exemplo 4

� a) Centróide e Momento de Inércia:

cmy

cmx

15

10

==

12

2010

12

3020 33

.)(int(ext.)

×−×=−= zzz III

433,333.38 cmI z =

Pro

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Exemplo 4

� b) Esforços internos máximos:RVB = 4,5q e RVD = 3,5q

qM B ⋅−= 4 qqqM C −=+⋅−= 78 qM D ⋅−= 4

Logo: qM máx ⋅−= 4 qVmáx ⋅= 5,2

Seções críticas: B, C e D.

2q

2,5q

0,5q

1,5q

2q

- -

+ +

A B C D E

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Exemplo 4

� c) Verificação da σadm:

MPaI

eMadm

z

1021 =≤⋅== σσσ

⇒⋅≤⋅

×⋅⋅−

−6

8

2

10101033,38333

10154 qmkNq /39,6≤

Pro

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Exemplo 4

� d) Verificação da τadm:

3175010102

101520

2

15cmMMM sises =

××−

××=−=

682

6

105,11033,383331010

1017505,2 ⋅=≤⋅×⋅

⋅×⋅=⋅⋅= −−

−

admz

smáxmáx

q

Ib

MV ττ

mkNq /14,13≤

Logo: mkNq /3,6=

Pro

f. R

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s V

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rlei

5.4 Fluxo de Cisalhamento

∫ ⋅⋅= dAyI

dMF3

Pro

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5.4 Fluxo de Cisalhamento

� Fluxo de Cisalhamento (f) é a força de cisalhamento horizontal por unidade de distância ao longo do eixo longitudinal da viga.

∫ ⋅⋅⋅== dAyIdx

dM

dx

Ff

13

Vdx

dM = sMdAy =⋅∫

I

MVf s⋅=

onde:

Pro

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rlei

5.4 Fluxo de Cisalhamento

� Áreas utilizadas para o cálculo do momento estático:

Pro

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rlei

� Exemplo 5: Uma viga em caixa de madeira é construída com duas tábuas de 40x180mm, que servem como flanges para duas almas de compensados de 15mm de espessura. A altura total da viga é de 280mm. O compensado é preso aos flanges por parafusos cuja força de cisalhamento admissível de F=800N cada. Se a força de cisalhamento V é de 10,5kN, determine o máximo espaçamento permissível S dos parafusos.

5.4 Fluxo de Cisalhamento

Pro

f. R

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Dia

s V

ande

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Exemplo 5

� a) Centróide e Momento de Inércia:

mmy

mmx

140

105

==

46

33

.)(int(ext.)

102,26412

200180

12

280210

mmI

I

III

z

z

zzz

×=

×−×=

−=

Pro

f. R

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Dia

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Exemplo 5

� b) Fluxo de Cisalhamento:

s

F

I

MVf s =⋅=

( ) 331086412018040 mmdAM fflanges ⋅=××=⋅=

mmNf /3,34102,264

10864105,106

33

=×

⋅×⋅=

Pro

f. R

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s V

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rlei

Exemplo 5

� c) Espaçamento dos parafusos:� Força admissível � F=800N� 2 parafusos por comprimento S � 2F

� Logo:

3,34

800222 ×==⇒=f

FSf

S

F

mmS 6,46=

Pro

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rlei

5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.

zx I

yM ⋅−=σbI

MV

z

s

⋅⋅=τe

PV = xPM ⋅=eCarga no plano de simetria

Pro

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omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.

zx I

yM ⋅−=σ

PV = xPM ⋅=eCarga fora do plano de simetria

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.

� As tensões de cisalhamento não podem ser

determinadas pela equação , pois a seção

não tem plano de simetria vertical .

� Esta barra irá sofrer flexão e torção sob ação da carga P.

bI

MV

z

s

⋅⋅=τ

Pro

f. R

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Dia

s V

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5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.

� Se a barra flexionar sem torção, poderíamos usar a fórmula de cisalhamento já conhecida. Para isso, a carga P tem que ser aplicada em um ponto específico da seção transversal, conhecido como Centro de Cisalhamento (S) .

� O centro de cisalhamento está em um eixo de simetria. Então, em seções duplamente simétricas o Centro de Cisalhamento (S) e o Centróide (C) coincidem.

Pro

f. R

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Dia

s V

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5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas

� Considere uma viga de seção transversal arbitrária, cuja linha de centro seja a curva mm, e a carga P age paralela ao eixo “y” através do Centro de Cisalhamento (S).

� onde “y” e “z” são eixos centroidais.

Pro

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Dia

s V

ande

rlei

5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas

� As tensões normais podem ser obtidas pela fórmula de flexão:

zx I

yM ⋅−=σ

Pro

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Dia

s V

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5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas

0321 =−− FFF

dxtF ⋅⋅=τ3 ∫∫ ⋅⋅−=⋅=s

z

zs

x dAyI

MdAF

0

1

01 σ

∫∫ ⋅⋅−=⋅=s

z

zs

x dAyI

MdAF

0

2

02 σ

� As tensões de cisalhamento no elemento abcd são obtidas pelo equilíbrio das forças:

� onde:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas

� Assim, obtemos:

∫ ⋅⋅⋅

⋅

−=s

z

zz dAytIdx

MM0

12 1τ

yzz V

dx

dM

dx

MM ==− 12onde: , que é paralela a y e positiva em sentido de P.

tI

MV

z

zsy

⋅⋅

= )(τ ���� Fórmula de CisalhamentoLogo:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas

� As tensões de cisalhamento estão direcionadas ao longo da linha de centro da seção, paralelas às bordas.

� τ é constante através as espessura t da parede.

� O fluxo de cisalhamento (f) é igual ao produto da

tensão τ pela espessura t.

z

zsy

I

MVtf )(⋅=⋅=τ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� Seção C ou Canal:

� O Centro de Cisalhamento está localizado no eixo de simetria (eixo z).

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� Baseado na fórmula de cisalhamento, as tensões de cisalhamento variam linearmente nos flanges e parabolicamente na alma.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� A tensão de cisalhamento que atua em um elemento

de seção transversal de área dA = t.ds produz a força

dF = ττττ . dA ou dF = f . ds , e .z

s

I

MVtf

⋅=⋅=τ

dsdA

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� A resultante das forças que age nos flanges AB e DE éa força horizontal F1;

� As tensões que atuam na alma BD vão ter como resultante uma força igual à força cortante V na seção:

∫ ⋅=B

AdsfF1

∫ ⋅==D

BdsfVF2

AB

D E

ds

h

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� As forças F1 provocam um momento em relação ao centróide de M = F1 . h, onde h é a distância entre as linhas de centro das mesas. Este momento que éresponsável pela resistência da seção à torção.

� Para eliminar o efeito desse momento, a força cortante V deve ser deslocada para a esquerda de uma distância “e”, de modo que:

( ) hFeV mesa ⋅=⋅ ( )

V

hFe mesa ⋅

=→

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� Onde conclui-se que não vai ocorrer torção na barra se a força P for aplicada em um ponto distante “e” da linha central da alma BD.

� A interação da linha de ação com o eixo de simetria “z”, representa o Centro de Cisalhamento da seção (S).

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� No caso da força P ser inclinada, acha-se as componentes Pz e Py atuando no ponto “S”.

P Py

Pz

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� Seções que não possuem nenhum plano de simetria:� Seção Cantoneira:

� A carga P atua perpendicularmente ao eixo principal z.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� Força elementar:

,

dsfdF ⋅=

z

s

I

MVf

⋅= sendo

dF

ds

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

∫ ⋅=S

AdsfF1

∫ ⋅=B

SdsfF2

� Forças Resultantes:

F1

F2

A

B

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas

� Como as resultantes F1 e F2 passam pelo ponto “S”, deduzimos que a força cortante V da seção deve passar por “S” também.

� O Centro de Cisalhamento é então o vértice da seção, pois a força V não provocará torção, independente da sua direção.

,

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Exemplo 6: Determinar o Centro de Cisalhamento S do perfil canal, de espessura uniforme e dimensões:b=100mm, h=150mm e t=3mm.

,

( ) ( )zz

zs

I

htsV

I

MVf 2⋅⋅⋅

=⋅

=

zI

htsVf

⋅⋅⋅⋅=

2

Fluxo de Cisalhamento:

5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.

t

t

t

AB

DE

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Exemplo 6

� Força Resultante no flange AB:

,

dssI

htV

I

htsVdsfF

b

z

b

z

B

A ∫∫∫ ⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅=001 22

z

b

z I

bhtVs

I

htVF

⋅⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅=

422

2

0

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Centro de Cisalhamento:

,

zz I

bht

V

h

I

bhtV

V

hFe

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅=

44

22

flangesalmaz III ⋅+= 2

( )

⋅⋅

+⋅⋅+⋅= tb

hbthtI z 212

212

233

Exemplo 6

( )hbhttbhtbht

I z +⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅= 6122612

2233

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Centro de Cisalhamento:

,( )hbht

tbhe

+⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=6

124

2

22

hb

be

+⋅⋅=

6

3 2

Exemplo 6

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Exemplo 7: Determinar, para o perfil canal, a distribuição de tensões de cisalhamento causada por uma força cortante vertical V de 800kN de intensidade, aplicada no Centro de Cisalhamento S.b=100mm, h=150mm, t=3mm, e = 40mm.

,

t

t

t

AB

DE

5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Tensão no flange AB:

,

zzz

s

I

hsV

tI

htsV

tI

MV

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=

22τ

2

htsMs ××=

Exemplo 7

Distribuição Linear

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Tensão em B:

,

( )hbht

I z +⋅⋅⋅= 612

2

( ) ( )hbht

bV

hbht

hbVB +⋅⋅⋅

⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=6

6

612

22τ

( ) =+×⋅×

××=15,01,0615,0003,0

1,08006Bτ MPa422,1

Exemplo 7

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica)

,

tI

MV

z

s

⋅⋅=τ

( )hbthh

thh

tbMs +⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= 48422

Exemplo 7

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica)

,

( )

( )( )( )hbht

hbV

thbht

hbth

V

máx +⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅=

62

43

612

48

2τ

( )( ) =

+××××+×××=

15,01,0615,0003,02

15,01,048003máxτ MPa956,1

Exemplo 7

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Exercício 1: Uma viga caixão quadrada é feita de duas pranchas de 20 x 80mm e duas pranchas de 20 x 120mm pregadas entre si, como mostra a figura. Sabendo que o espaçamento entre os pregos é s = 30mm e que a força cortante vertical na viga é V = 1200N, determine (a) a força cortante em cada prego, (b) a tensão de cisalhamento máxima na viga.

,

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Exercício 2: Para a viga e carregamento mostrado, determine a largura b mínima necessária, sabendo que, para o tipo de madeira usada, σadm = 12MPa e τadm = 825kPa. ,

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Exercício 3: A viga mostrada na figura foi feita colando-se várias tábuas. Sabendo que a viga está sujeita a uma força cortante de 5,5kN, determine a tensão de cisalhamento nas juntas coladas (a) em A, (b) em B.,

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Exercício 4: Várias tábuas são coladas para formas a viga caixão mostrada na figura. Sabendo que a viga está sujeita a uma força cortante vertical de 3kN, determine a tensão de cisalhamento nas junta colada (a) em A, (b) em B.

,