Mecánica de Suelos II Profesor Oscar Echeverri Ramírez
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Capítulo 3. Distribución de esfuerzos (verticales) al interior del suelo
321 zzz σσσ >>
21111 xzxzz σσσ >> A mayor profundidad, menor esfuerzo inducido ( )zσ . A mayor distancia horizontal del punto de aplicación de la carga, menor esfuerzo inducido ( )zσ . Utilidad práctica: a. Para conocer si la presión transmitida por la sobrecarga
(estructura) es mayor o menor que la capacidad admisible del suelo ( )admσ .
Si: admzadmz o σσσσ ≥≤
b. Estimativo de asentamientos
Q
2z
3z
1zσ
2zσ1z
3zσ
11xzσ
2x1x
21xzσQ
2z
3z
1zσ
2zσ1z
3zσ
11xzσ
2x1x
21xzσ
Q
H2H
zσ0P
Q
H2H
zσ0P
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2
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆+×
+×=
0
0
0
log1 P
PPe
CHS C
H: espesor del manto compresible
CC : Índice de compresión
0P : Presión sobre el manto compresible (peso propio del suelo, desde la superficie hasta el punto medio del manto)
P∆ : Incremento de la presión debida a la sobrecarga Q, ZP σ≡∆ . oe :relación de vacíos para 0PP = Determinación de la magnitud de los esfuerzos verticales Se supone que la masa del suelo es: • Homogénea: las mismas propiedades en todos los puntos de la
masa. • Isotrópica: para un punto dado de la masa, las mismas
propiedades en todas las direcciones. • Linealmente elástica: proporcionalidad entre el esfuerzo y la
deformación y recuperación total de la forma y las dimensiones después de cesar la carga.
• Semi-infinita: limitada por una superficie horizontal y se extiende indefinidamente hacia abajo y horizontalmente en todas las direcciones.
Métodos de evaluación: a. Fórmulas matemáticas: ecuación de Boussinesq y ecuación de
Westergaard. b. Ábaco de Newmark. c. Ábaco de Steinbrenner. d. Isóbaras.
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a. Fórmulas matemáticas (Mecánica de suelos, E. Juárez B. & A.
Rico R., tomo II) a.1. Ecuación de Boussinesq
( )2
5
221
12
3
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
zrz
Qz π
σ
Q = carga concentrada
Carga uniformemente distribuida (q) sobre área circular
( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=
23
21
11z
Rqzσ
r
z
Q
zσ
r
z
Q
zσ
q
R
zσ
z
q
R
zσ
z
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Permite calcular esfuerzos verticales zσ a lo largo de una normal al área trazada por su centro. La solución de Boussinesq es aplicable para la determinación de zσ a profundidades no muy grandes (vías). No aplicable para z = 0. a.2. Ecuación de Westergaard (Introducción a la mecánica de suelos y cimentaciones, G.B. Sowers & G.F. Sowers).
Depósito estratificado finamente. Los estratos de arena o limo actúan como refuerzos que restringen la deformación horizontal de la arcilla ⇒ Sólo deformación vertical.
23
2
2 21−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
zr
zQ
z πσ
No aplicable a z = 0. b. Ábaco de Newmark.
Método gráfico para obtener zσ debido a la acción de una carga distribuida uniformemente que actúa sobre una superficie de cualquier forma geométrica (circular, rectangular, cuadrada, etc.).
Arena o limo
ArcillaArena o limo
Q
Arena o limo
ArcillaArena o limo
Q
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• se basa en la ecuación:
( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=
23
21
11z
Rqzσ
(Carga uniformemente distribuida sobre superficie circular).
Carta de Newmark.
Ref. Principios de ingeniería de cimentaciones, Braja.M Das.
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• obtención del ábaco
113
2
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
qzR zσ
Círculo qZσ z
R R 0 0 0 RO=0,00 z 1 0,1 0,27 R1=0,27 z 2 0,2 0,4 R2=0,40 z 3 0,3 0,518 R3 4 0,4 0,637 R4 5 0,5 0,766 R5 6 0,5 0,918 R6 7 0,6 1,11 R7 8 0,8 1,387 R8 9 0,9 1,908 R9 1 INFINITO
Si 1,0=q
zσ círculo cargado de radio zR 27,01 =
z: profundidad de un punto A bajo el centro del círculo (a escala). El esfuerzo será qz 1,0=σ
1R1R
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Si el círculo de zR 27,01 = , lo divido en n áreas iguales, cada una contribuirá al esfuerzo zσ en la proporción:
iINFLUENCIALADEVALORn
q==
1,0
zR 27,01 =
n = 20 ⇒ VALOR DE INFLUENCIA i = 0,005 q
Si concéntrico se dibuja el círculo de radio zR 40,02 = , la nueva corona circular agregada produce otro qz 1,0=σ y en total se obtiene qz 2,0=σ . Prolongando los radios que dividen el primer círculo se obtiene el mismo valor de influencia 0,005 q. Para cualquier número de divisiones y círculos el valor de influencia i, se puede calcular así:
nc
etcq
acladefraccióni
z
×
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
=2,01,0arg σ
c: numero de círculos. n: número de áreas.
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Utilización del ábaco 1. Hacer el dibujo del área cargada uniformemente (q) a la escala
del ábaco (AB = z).Hacer coincidir el punto bajo el cual se desea conocer zσ con el centro del ábaco.
2. Contar el número de áreas de influencia (n) cubiertas por el área
cargada. 3. Calcular qniz **=σ c. Ábaco de Steinbrenner Permite calcular zσ debajo de la esquina A de un área rectangular cargada uniformemente con intensidad p.
Para a>b
zσa
b
p
A
zσa
b
p
A
ab
p
A
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Cálculo de los esfuerzos verticales en el suelo debidos a una carga rectangular uniformemente distribuida (Según STEINBRENNER)
a
b
AZZ A
σσ =
ZZCσσ 2=
ZZBσσ 2=
ab
B
a
b C
ZZDσσ 4=
a
bD
a
b
a
b
AZZ A
σσ =
ZZCσσ 2=
ZZBσσ 2=
ab
B
ZZBσσ 2=
ab
B
ab
B
a
b C
ZZDσσ 4=
a
bD
ZZDσσ 4=
a
bD
0 0,150,10,05p
i Zσ=
0,20 0,25
2
10
8
6
16
12
18
14
4
20
bz
0,5
2,0
1,5
1,0
bz
0 0,150,10,05p
i Zσ=
0,20 0,25
2
10
8
6
16
12
18
14
4
20
bz
0,5
2,0
1,5
1,0
bz
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d. Isóbaras (Introducción a la mecánica de suelos y cimentaciones, G.B. Sowers & G.F. Sowers)
a. cimentación cuadrada b. cimentación infinitamente larga Líneas isobáricas de esfuerzo vertical debajo de una cimentación en sólido
semi-infinito y elástico; análisis de Westergaard.
A
3
4,5
A
1,5
1,54,5 + 1
6 A 6 A1,5 - 1
+4,5
A1,5
+ +
1,5
1,5 + 1
- 1
A
3
4,5
A
1,5
1,54,5 + 1
6 A 6 A1,5 - 1
+4,5
A1,5
+ +
1,5
1,5 + 1
- 13
4,5
A
1,5
1,54,5 + 1
6 A 6 A1,5 - 1
+4,5
A1,5
+ +
1,5
1,5 + 1
- 1
4,5
A
1,5
1,54,54,5 + 1
6 A6 A 6 A1,51,5 - 1
+4,5
A1,5
A1,5
+ +
1,5
1,5 + 1
- 1
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Ref. Fundamentals of Geotechical analysis, Dunn, Anderson and Kiefer.
a. cimentación cuadrada b. cimentación infinitamente larga
Líneas isobáricas de esfuerzo vertical debajo de una cimentación en sólido semi-infinito y elástico; análisis de Boussinesq.
Ref. Fundamentals of Geotechical analysis, Dunn, Anderson and Kiefer.
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En la práctica:
Terzaghi propone considerar zona afectada por las cargas
hasta 2,0=q
Zσ. Teniendo en cuenta que:
Los esfuerzos inducidos son de magnitud despreciable cuando son menores que el 20 % de la carga aplicada y que la mayor parte de los asentamientos (80%) ocurren a profundidades menores que D. Zona comprendida por isóbara qZ 2,0=σ ⇒ zona activa. Para qZ 2,0=σ , corresponde una profundidad D ≈ 1,5 B. B: menor dimensión del área cargada.
ZONA ACTIVAD
B
2,0=q
Zσ
q
ZONA ACTIVAD
B
2,0=q
Zσ
q
b bbB
1,5b
1,5B Interferencia
b bbB
1,5b
1,5B Interferencia
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Presiones de contacto Para calcular los esfuerzos verticales se supone que la cimentación es flexible. En la práctica ninguna cimentación es perfectamente flexible ni completamente rígida. La distribución de las presiones de contacto depende de los siguientes factores: • Propiedades elásticas de la cimentación. • Propiedades elásticas del suelo. • Rugosidad de la cimentación. • Magnitud de la carga aplicada. • Forma y dimensiones del área cargada. • Tiempo de aplicación de la carga.
P P
Perfiles de asentamientos
Presion de contacto
P P
Perfiles de asentamientos
Presion de contacto
Flexibles y lisas Rígidas y lisas
Arenas
Arcilla saturada00 =≠ φyc
00 ≠= φyc
Tipo de suelo Tipo de cimentación
PP PP
Perfiles de asentamientos
Presion de contacto
PP PP
Perfiles de asentamientos
Presion de contacto
Flexibles y lisas Rígidas y lisas
Arenas
Arcilla saturada00 =≠ φyc
00 ≠= φyc
Tipo de suelo Tipo de cimentación
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Problema a analizar: ¿Cómo reacciona el suelo (subrasante) ante las cargas? Teoría de reacción de la subrasante La deformación de un elemento es independiente de las cargas que actúan en los elementos vecinos.
ctePKS ==δ
SK : Coeficiente de reacción de la subrasante P: Presión (reacción de la subrasante) δ : Deformación producida por P.
SK ⇒ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
33 ,,Prmkg
cmg
volumenFuerza
longuitudesión
SK : Puede obtenerse con ensayos de carga directa (placa).
Teoría de reacción de la subrasante aplicada a cimentaciones rígidas. Consideraciones: 1. La deformación de la cimentación es lineal ⇒ reacción de la
subrasante (presión de contacto), tiene distribución lineal. 2. Σ Carga externa = Σ Reacción subrasante. 3. ΣMomentos carga externa = Σ Momentos reacción subrasante.
B
Qe:excentricidad
21
qmax qmin
B/2B/2
B
Qe:excentricidad
21
qmax qmin
B/2B/2
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QBqq mínmáx =×+2
(1) (equilibrio de fuerzas) Tomando momentos con respecto al punto 2.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ × eBQBBqBBq mínmáx
23232
2
(2) (equilibrio de momentos)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Be
BQqy
Be
BQq mínmáx
6161
Notas: - Debe evitarse que la carga esté muy excéntrica (qmáx >>> qmin). Genera ruptura por cortante. - En la práctica debe buscarse que qmáx ≈ qmín. - Si el punto de aplicación de la carga coincide con el centro del área cargada (e = 0) y
BQqqq mínmáx ===
Teoría de reacción de la subrasante aplicada a cimentaciones flexibles. La distribución de esfuerzos es mucho más compleja. Consideración práctica: se asume la cimentación flexible como si fuese rígida. Esta consideración esta por el lado de la seguridad debido a que los esfuerzos transmitidos por cimentaciones rígidas son mayores que los transmitidos por cimentaciones flexibles.
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Valores de los asentamientos (S) totales y diferenciales según NSR -98. H.4.1.9.2. Asentamientos totales Construcciones aisladas S ≤ 30 cm. Construcciones entre medianeros S ≤ 15 cm. Tabla H.4.1. Valores máximos de asentamientos diferenciales (∆S) calculados, expresados en función de la distancia entre apoyos o columnas (l).
TIPO DE CONSTRUCCIÓN
∆S MÁX
Edificios con muros de carga en concreto
o en mampostería.
l/500
Edificios en pórticos de concreto, sin acabados
susceptibles de dañarse con asentamientos menores.
l/300
Edificios en estructura metálica, sin acabados susceptibles de dañarse con asentamientos
menores.
l/160
Límites de giro
l/250