Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
3 Medidas de
posición o de tendencia central
EJERCICIOS RESUELTOS
MEDIA ARITMÉTICA 1. Solución:
iY in ''iZ ii nZ ''
10 6 -2 -12 20 10 -1 -10
→y 30 18 0 0
40 10 1 10 50 6 2 12
Σ 50 - 0
iX if 'id ii fd '
CZ
Z i''
''∑=
iAX
d ii
−='
n
nZCOy ii
t
''∑+= =tO A 30= 30)0(1030 =+=y
30'
=
+= ∑
n
fdiAX ii NOTA: en una distribución SIMÉTRICA como la del ejercicio, la
Media se localiza en el centro de la distribución
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2
2. Solución:
2.1 26.14150063.7 ==
Σ=
nx
x i
2.2 m = 1 + 3,3 log 50 = 6,61 (6 o 7); 717,66
123160 ≅=−=C
''
1 ii yy −− in iy ii ny ih ii hy iZ ii nZ
120,1 – 127 4 123,5 494,0 0,08 9,88 -16,8 -67,2 127,1 – 134 9 130,5 1.174,5 0,18 23,49 -9,8 -88,2 134,1 – 141 13 137,5 1.787,5 0,26 35,75 -2,8 -36,4 141,1 – 148 15 144,5 2.167,5 0,30 43,35 4,2 63,0 148,1 – 155 5 151,5 757,5 0,10 15,15 11,2 56,0 155,1 – 162 4 158,5 634,0 0,08 12,68 18,2 72,8
Σ 50 - 7.015,0 1,00 140,30 - 0
''1 ii XX −− if iX ii fX
nf i
i
ii n
fX id ii fd
Nuevo rango = 162 – 120 = 42 2.3
(a) nny
y iiΣ=
nfX
X iiΣ= 3,140
50015.7 ==y
(b) ii hyy Σ= ( )nfXX ii /Σ= 3,140=y
(c) ( ) 0=−Σ=Σ iiii nyynZ 0=Σ ii fd (Ver última columna)
(d) nnZ
COy iit
''∑+=
nfd
AX ii∑+=
tii OyZ −=' AXd ii −=
150=tO 150=A
−+=
50485150y
'iZ in
ii nZ ' -26,5 4 -106,0 -19,5 9 -175,5 -12,5 13 -162,5 -5,5 15 -82,5 1,5 5 7,5 8,5 4 34,0 Σ 50 -485,0
AX i − if ii fd
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3
3,1407,9150 =−=y 3,140=X Cuando: AOt == 134
+=
50315134y
3,1403,6134 =+=y 3,140=X 2.4
'iZ ''
iZ in ii nZ '' 3,5 0,5 4 2,0 10,5 1,5 9 13,5 17,5 2,5 13 32,5 24,5 3,5 15 52,5 31,5 4,5 5 22,5 38,5 5,5 4 22,0
Σ - 50 145,0
AX i − 'id if ii fd '
n
nZcOy ii
t
''∑+=
+= ∑
nfd
iAX ii'
cZ
Z ii
''' =
i
AXd i
i
−='
tii OyZ −=' AXd ii −= Cuando:
120=tO 120=A
+=
501457120y 3,140=X
ti oy − in iti noy )( −
-10,5 4 -42,0 -3,5 9 -31,5 3,5 13 45,5
10,5 15 157,5 17,5 5 87,5 24,5 4 98,0 Σ 50 315,0
AX i − if ii fd
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4
( ) 3,1409,27120 =+=y Cuando 162=tO
n
nZcOy ii
t
''∑+=
−+=
501557162y
( )1,37162 −+=y 3,1407,21162 =−=y 162=A
+= ∑
nfd
iAX ii'
3,140=X 2.5 Este punto se deja para que sea solucionado por el estudiante 3. Solución: a) Primera submuestra b) Segunda submuestra
923,1321 =Σ
=n
nyy ii 291,148
22 =
Σ=
nny
y ii
923,13226456.3
1 ==y 29,14824
0,559.32 ==y
'iZ ''
iZ in ii nZ ''
-38,5 -5,5 4 -22,0 -31,0 -4,5 9 -40,5 -24,5 -3,5 13 -45,5 -17,5 -2,5 15 -37,5 -10,5 -1,5 5 -7,5 -3,5 -0,5 4 -2,0 Σ - 50 -155,0
AX i − 'id if ii fd '
iy in ii ny
123,5 4 494,0 130,5 9 1.174,5 137,5 13 1.787,5
Σ 26 3.456,0
iX if ii fX
iy in ii ny
144,5 15 2.167,5 151,5 5 757,5 158,5 4 634,0
Σ 24 3.559,0
iX if ii fX
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5
923,1321 =Σ
=n
fXX ii
∑
+=
iwwXwX
X 211 291,1482 =Σ
=n
fXX ii
nfXfX
X 2211 += 21
2211
nn
nynyy
++= 3,140
2426
)24(291,148)26(923,132 =++=
b) [ ] xKM KX = [ ] 6,280)3,140(2 ==KXM
La propiedad se refiere a: “La media aritmética del producto de una constante por una variable es igual a la media de la variable, multiplicado por la constante”.
iy Kyi in ii nKy
123,5 247 4 988 130,5 261 9 2.349 137,5 275 13 3.575 144,5 289 15 4.335 151,5 303 5 1.515 158,5 317 4 1.268 Σ - 50 14.030
iX iKX if ii fKX
[ ] [ ] ⇒= YKY KMM [ ] [ ]XKX KMM =
[ ] ⇒= yKM KY [ ] XKM KX =
[ ] ( ) 60,28030,1402 ==KYM
[ ] 60,28050030.14 ==KYM
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6
4. Solución
∑=
7
1
'
iid = 7
7
1
' =∑=i
iZ 55=tO 10=C 11040
765
7
5=++=∑
=hhhh
ii
55=A 10=i 11040765
7
5=++=∑
= nf
nf
nf
i
11040
765
7
5=++=∑
=hhhh
ii
11040765
7
5=++=∑
= nn
nn
nn
i
110=n 40765 =++ nnn 401155 =++n 2416405 =−=n
Otra solución posible:
17
1=∑
=iih
=++
=++
11040
11040
765
321
hhh
hhh
11030
4 =h
44321 11070 Hhhhh ==+++
nN
H 44 = 110
6363,070
4
4 ===NH
n
Por este método permite encontrar, que n puede ser cualquier valor diferente a 110.
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7
''1 ii yy −− iy in iN ii ny ''
iZ 'iZ ii nZ ' ii nZ ''
30,1 – 40 35 1 1 35 -2 -20 -20 -2 40,1 – 50 45 15 16 675 -1 -10 -150 -15
50,1 – 60 55 24 40 1.320 0 0 270.1170−
12717−
60,1 – 70 65 30 70 1.950 1 10 300 30 70,1 – 80 75 24 94 1.800 2 20 480 48 80,1 – 90 85 15 109 1.275 3 30 450 45 90,1 – 100 95 1 110 95 4 40 40 4
Σ - 110 - 7.150 7 - 1.100 110 ''
1 ii XX −− iX if iN ii fX 'id id ii fd ii fd '
Calculamos la media aritmética, aplicando algunas fórmulas ya vistas
a) nny
y iiΣ= 65
110
150.7 == 65=Σ=n
fXX ii
b) nnZ
Oy iit
'∑+= 651055
110
100.155 =+=+= 65=+= ∑
n
fdAX ii
c) nnZ
cOy iit
''∑+= 651055
110
1101055 =+=
+= 65'
=
+= ∑
nfd
iAX ii
NOTA: Como la distribución es SIMETRICA, la media ubica en la mitad de la variable (marcas de clase) 5. Solución:
''1 ii yy −− iN iy in ii ny ''
iZ ii nZ '' 'iZ ''
iZ ii nZ '' 6,1 – 12 8 9 8 72 -3 -24 -21 -3,5 -28,0
12,1 – 18 12 15 4 60 -2 -8 -15 -2,5 -10,0 18,1 – 24 40 21 28 588 -1 -28 -9 -1,5 -42,0
24,1 – 30 70 27 30 810 0 4060− -3 -0,5 -15,0
30,1 – 36 90 33 20 660 1 20 3 0,5 10,0 36,1 – 42 100 39 10 390 2 20 9 1,5 15,0 Σ - - 100 2.580 - -20 0 0 -70,0
''1 ii XX −− iN iX if ii fX 'id ii fd ' id 'id ii fd '
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8
a) n
nyy iiΣ
= 80,25100
580.2 ==
nnZ
cOy iit
''∑+= 80,25
100
12027
100
20627 =
−=
−+=
80,25=Σ=n
fXX ii 80,25
'
=
+= ∑
nfd
iAX ii 27=A
b) 80,2510042030
10070630 =
−=
−+=y 80,25=y =tO A 30=
6. Solución:
751 =n 100=n 6,521 =x 252 =n 4,482 =x
( ) ( )galonesx 55,51
100254,48756,52 =+=
7. Solución:
500=n 1501 =n 3502 =n 57,1=x 52,11 =x
nnxnx
x 2211 +=
( ) ( )500
35015052,157,1 2x+
= ∑
+=
iwwxwx
X 2211
( ) 235022850057,1 x+=
mediaestaturadeMtsx 59,1350
2287852 ==−
8. Solución:
200=n ?1 =n ?2 =n 20021 =+ nn 21 200 nn −=
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9
96,160=x 4,1631 =x 3,1572 =x
2003,1574,163
96,160 21 nn += ; ( ) 22 3,1572004,163192.32 nn +−=
22 3,1574,163680.32192.32 nn +−= 4881,6 2 =n
801,6
4882 ==n Estudiantes
120802001 =−=n Estudiantes 9. Solución:
?=n 271 =n ?2 =n 98,60=x 30,571 =x 30,652 =x
( )
2
2
273,65273,57
98,60n
n++=
22 3,651,547.198,6046,646.1 nn +=+ 232,436,99 n= 232 =n Estudiantes 10. Solución:
45=n 201 =n 252 =n 55=x 4,481 =x ?2 =x
( ) ( )
4525204,48
55 2x+=
225968475.2 x+= 28,602 =x Puntos
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10
11. Solución:
100=n 401 =n 602 =n 3,186=x ?1 =x 1012 −= xx
( ) ( )
100106040
3,186 11 −+=
xx
( )
1006006040
3,186 11 −+=
xx
6006040630.18 11 −+= xx
30,192100
230.191 == x
30,1821030,1922 =−=x Libras 12. Solución:
91=n 21 nn = 513 −= nn 3,69=x 4,701 =x 2,642 =x ?3 =x
91321 =++ nnn
( ) 9152 11 =−+ nn
9153 1 =−n
963 1 =n 32396
1 ==n 322 =n 273 =n
( ) ( )
9127322,64324,70
3,69 3x++= ; 04,74
271,999.1
3 ==x Promedio de calificación
13. Solución:
000.920=x 000.9701 =x 000.8402 =x ?1 =h ?2 =h
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11
nnxnx
x 2211 += 2211 hxhxx += 211 hh += 21 1 hh −=
( ) 2221 1 hxhxx +−= ( ) 22 000.8401000.970000.920 hh +−=
22 000.840000.970000.970000.920 hh +−= 000.50000.130 2 =h
%46,383846,0000.130000.50
2 ===h Hombres %54,616154,0000.130000.80
1 ===h Mujeres
14. Solución:
000.938=x 000.78=K [ ] xKM XK +=+
000.016.1000.938000.78 =+=+ xK Salario promedio
15. Solución:
0,70=x 4,681 =x 2,712 =x ?1 =n ?2 =n
21
21 2,714,6870
nnnn
++= → 2121 2,714,687070 nnnn +=+
2211 702,714,6870 nnnn −=− 21 2,16,1 nn =
75,06,12,1
2
1 ==nn
Es la relación
16. Solución:
351 =n 152 =n 50=n ?=x
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12
5,171 =x 85,3100225,17 =× 112 %22 xxx −= ; 65,1385,35,172 =−=x
nnxnx
x 2211 +=
( ) ( )
345,1650
75,2045,61250
1565,13355,17 =+=+=x Edad media del curso
17. Solución:
100=n ?1 =n ?2 =n 10021 =+ nn 21 100 nn −=
750.18=x 580.171 =x 780.192 =x
100780.19580.17
750.18 21 nn +=
( ) ( ) 22 780.19100580.17100750.18 nn +−=
22 780.19580.17000.758.1000.875.1 nn +−=
53200.2000.117
2 ==n Artículos 471 =n Artículos
18. Solución:
ii hyy Σ= 15,18=
( )nfxx ii /Σ= 15,18= Promedio de empleados por sucursal
iy ih ii hy
17 0,10 1,70 18 0,65 11,70 19 0,25 4,75 Σ 1,00 18,15
iX nf i / ( )nfX ii
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13
19. Solución:
nx
x iΣ= b) 000.83=x a)
51810180.5 ==x
800.51$
800.314$000.180000.83800.51 =++=x
Costo total promedio mensual
c) 18010
800.1 ==y
000.180$ 20. Solución:
ix
560 640 380 600 420 280 550 700 420 630
5.180
''1 ii yy −− in iy ii ny
80,1 – 120 1 100 100 120,1 – 160 3 140 420 160,1 – 200 2 180 360 200,1 – 240 3 220 660 240,1 – 280 1 260 260
Σ 10 - 1.800 ''
1 ii XX −− if iX ii fX
iy in ii ny
500 10 5.000 600 16 9.600 700 35 24.500 800 26 20.800 900 13 11.700 Σ 100 71.600
iX if ii fX
iy + 7% iy +49
535
642
749 →← igual
856 favorable
963
549 favorable
649
749
849
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14
21. Solución: a) Falso b) Falso c) Falso d) Falso (no puede ser mayor a 1) Se le deja al alumno investigar el por qué 22. Solución:
a) ( )
2
2
254,68,325
8,5n
n++=
( ) ( ) 22 4,68,3258,5258,5 nn +=+ 22 4,6958,5145 nn +=+ 22 8,54,695145 nn −=− 26,050 n=
836,0
502 ==n (Redondeamos)
108258312 =+=+ nn Cierto, el curso tiene más de 90 alumnos.
949
iy in iH – – – – – – – – –
4y – _3,0
=
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15
b) 7,06 =H 3,04 =H %40/ciertoR 4,03,07,046 =−=− HH
c) Siendo: 321 nnn == 321 fff == es falso
000.7513
000.864000.754000.635 =++=x
000.754000.751 ≠ Siendo: 321 nnn ≠≠ puede ser posible. Cuando 321 nnn == no es posible.
000.254000.864000.754000.635 321 =
++=
n
nnnx
(Procedimiento válido cuando 321 nnn ≠≠ 321 fff ≠≠ ) d) Falso. En el cálculo de la media geométrica no se necesita de la amplitud. e) 75% Hombres empleados públicos 81% Hombres sector privado
%100%25 Mujeres empleados públicos
%100%19 Mujeres sector privado
%22244
21925 ==+=x Mujeres en ambos sectores (Cierto)
– –
6y – – – – – – –
iX iX
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16
f) Cierto. Si normalmente %100o1∑ =ih , al multiplicar la frecuencia relativa por 2 nos queda: ∑ = 22 ih ; ∑ == %20000,2ih por lo tanto la media se duplica. 23. Solución: a) Cierto b) Falso c) Cierto 24. Solución: a) El total de apartamentos de esa urbanización b) Los 50 apartamentos de esa urbanización c) Tiempo de permanencia del aroma d) Tiempo: horas, minutos, segundos, corresponde a una variable continua. e)
nny
y iiΣ= 1,6
50305 ==y Horas
n
fXX iiΣ= 1,6= Horas
f) Se le deja al estudiante la elaboración de la gráfica. 25. Solución: 000.655=x Para el conjunto de personal se tiene: a) Un aumento de 400.707$)08,1(000.655%8 ==⇒ x También se puede resolver: [ ] 400.707$000.655400.52 =+=+ XKM
iy in ii ny
3 3 9 4 7 28 5 10 50 6 16 96 8 9 72
10 5 50 Σ 50 305
iX if ii fX
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400.52$08,0000.655 =× correspondiente al aumento del 8% b) Un aumento del 750.687$)05,1(000.655%5 ==⇒ x [ ] 750.687$000.655750.32 =+=+=+ xKM XK
Para el grupo es más conveniente la primera alternativa del 8% de aumento. 26. Solución: 000.752$000.90000.662)000.330(000.662 =+=×+=x Será el nuevo promedio de salario mensual. 27. Solución:
a) nx
x iΣ= %075,8
46,43,98,56,12 =+++=x Es el margen de utilidad
b)
nny
y iiΣ= 0937,0
000.562653.52 ==⇒ y
0937,0=Σ=n
fXX ii
El margen de utilidad es del 9,37%
c) La más representativa es 9,37% y no de 8,075% dado que es ponderada, teniendo en cuenta la totalidad de las ventas por cada línea de producto. 28. Solución:
a) nx
x iΣ= %475,1
49,5
44,16,21,18,0 ==+++=⇒ x
iy in ii ny
0,126 214.000 26.964 0,058 90.000 5.220 0,093 183.000 17.019 0,046 75.000 3.450 Σ 562.000 52.653
iX if ii fX
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Porcentaje de artículos defectuosos. Este cálculo se hace para que el alumno note la diferencia con la media ponderada b)
n
nyy iiΣ
=
n
fXX iiΣ=
%73,10173,0000.61
058.1 ===y
Son 1.058 (miles de unidades) producidas en forma defectuosa, para un porcentaje de 1,73% de la producción. 29. Solución:
801 =n 1202 =n 000.620=x 500.5821 += xx
801 =f 1202 =f
( ) ( )200
12080500.58000.620 22 xx ++
=
( ) ( ) 22 12080500.5880000.620200 xx +×+=
2200000.680.4000.000.124 x=−
2200000.320.119 x=
600.596200
000.320.1192 ==x Promedio salarial mensual
500.58600.5961 +=x
100.6551 =x Promedio mensual de salario
iy in ii ny
0,008 8.300 66,4 0,011 12.600 138,6 0,026 24.300 631,8 0,014 15.800 221,2
Σ 61.000 1.058,0
iX if ii fX
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30. Solución:
400=n 600.980=x 730.7251 =x 500.076.12 =x
=1n 1f ?= =2n 2f ?=
( )400
500.076.1400730.725600.980 22 nn +−=
( ) ( ) 22 500.076.1730.725400730.725400600.980 nn +−=
22 500.076.1730.725000.292.290000.240.392 nn +−=
22 730.725500.076.1000.292.290000.240.392 nn −=−
⇒= 2770.350000.948.101 n 291770.350
000.948.1012 ==n Operarios
1092914001 =−=n Técnicos 31. Solución:
80=n 000.9251 =x 000.8702 =x ?3 =x
80321 =++ nnn ⇒ 8010111 =−++ nnn
80321 =++ fff
301 =f 80103 1 =−n
302 =f 1390 n=
203 =f 301 =n 302 =n 203 =n empleados
( ) ( ) ( )80
2030000.87030000.925000.890 3x++
=
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( ) 320000.100.26000.750.2780000.890 x++=
500.867$20
000.100.26000.750.27000.200.713 =−−=x promedio salarial mensual
32. Solución:
11,111.6419770.5 ==⇒
Σ= x
nx
x i (miles)
a) ( ) 78,277.737$15,111,111.641 ==x b) ( ) 22,222.725$000.2022.222.705$10,111,111.641 =+==x Para el obrero la mejor decisión es la primera; para el empresario es la segunda alternativa. 33. Solución: a) Promedio, intenta resumir o representar las características de un conjunto de valores. Es un valor típico o representativo. b) Ventajas: más fácil de calcular, conocido, entendido por todos, el más utilizado. Desventajas: se ve afectado por valores extremos grandes; sensibles a cualquier cambio que se haga en sus datos. c) En datos sin agrupar no hay ponderación; en tablas de frecuencias se hace con el fin de
abreviar los cálculos, y se le denomina media ponderada. 34. Solución:
a) Inversión total ii nyΣ 000.210.16$= ii fXX Σ= 000.210.16=
b) 083,377.3$800.4
000.210.16 ==y
El valor promedio por acción.
iy in ii ny
2.500 500 1.250.000 5.800 1.200 6.960.000
10.000 600 6.000.000 800 2.500 2.000.000
Σ 4.800 16.210.000
iX if ii fX
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35. Solución:
a) 86,35
6,48,32,31,46,3 =++++=x Es la calificación promedio de los 5 cursos o
grupos, cuando cada uno de ellos tiene el mismo número de alumnos. b)
nny
y iiΣ=
n
fXX iiΣ
=
=y X 81,3147
6,560 == calificación ponderada
36. Solución:
iy in ii ny
3,2 26 83,2 3,6 32 115,2 3,8 34 129,2 4,1 40 164,0 4,6 15 69,0
Σ 147 560,6
iX if ii fX
''iZ ii nZ '' in iy ''
1 ii yy −− iN
1 2 2 20 15,1 – 25 2 2 20 10 30 25,1 – 35 12
3 75 25 1−→ jn 40 35,1 – 45 37 1−→ jN
4 100 25 jn→ 50 45,1 – 55 62 jN→
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NOTA: Para ''iZ = 0, le corresponderá el valor de Ot a y0 en este caso será 10. Ahora a 10 le
agregamos el valor de c, siendo 201 =y .
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyMediana1
'1
2 40280
2==n
20,4620,145253045
2531045
2537401045 =+=+=
+=
−+=eM
11
1'1
−+
+− +
+=JJ
JJ nn
ncyModo
75,4840
150452515
151045 =+
++=dM
37. Solución:
5 75 15 1+→ jn 60 55,1 – 65 77
6 18 3 70 65,1 – 75 80 Σ 290 80 − - -
'id ii fd ' if iX ''1 ii XX −− iF
iy in ii ny iN
0 2 0 2
2 3 6 5 1−→ jN
4 7 28 12 jN→
6 4 24 16 7 4 28 20 Σ 20 86 -
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a) Media aritmética: 3,42086 ==y
3,4=X
b) La mediana: 21nN j <− 4== je yM
c) El modo: 4== jd yM
38. Solución:
a) Media aritmética
93,550
50,296 ==y
b) La mediana: 21nN j <−
5,6== je yM
c) El modo: 5,6== jd yM
b)
−+=
−
−j
j
je n
Nn
cyM1
'1
2 05,630,075,525
20255,175,5 =+=
−+=eM
(Trabajando con intervalos iguales)
39. Solución:
a) La media aritmética: 8.675 675.810750.86 ==x
b) La mediana: 3.625 625.32
000.4250.3 =+=eM
iX if ii fX iF
''1 ii yy −− iy in ii ny iN
2,75 – 4,25 3,5 4 14,00 4
4,25 – 5,75 5,0 16 80,00 20 1−→ jN
5,75 – 7,25 6,5 25 162,50 45 jN→
7,25 – 8,75 8,0 5 40,00 50 Σ − 50 296,50 -
''1 ii XX −− iX if ii fX iF
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c) La moda: 3.000 000.3=dM , ya que se repite dos veces el valor de 3.000 d) El valor de 50.000 e) Mediana, ya que no se afecta por valores extremos 40. Solución:
a) 43,971.80370
000.278.56 ==Media
Salario promedio mensual
b) 352 =⇒ nMediana
000.801== Je yM Salario promedio mensual c) 000.801=→ dMModo
Salario promedio mensual 41. Solución:
40,84,293322 −=+ hyhy 213525 32 =+ hh ( ) 213568,025 33 =+− hh 21352517 33 =+− hh
40,010
43 ==h
32,0132 −=+ hh 68,032 =+ hh 32 68,0 hh −= 28,02 =h
iy in ii ny iN
642.000 2 1.284.000 2 751.000 12 9.012.000 14 758.000 8 6.064.000 22
794.000 10 7.940.000 32 1−→ jN
801.000 24 19.224.000 56 jN→
911.000 14 12.754.000 70 Σ 70 56.278.000 -
iX if ii fX iF
''1 ii yy −− ih iy ii hy iH
10,1 – 20 0,20 15 3,00 0,20
20,1 – 30 0,28 25 7,00 0,48 1−→ jH
30,1 – 40 0,40 35 14,00 0,88 jH→
40,1 – 50 0,12 45 5,40 1,00 Σ 1,00 - 29,40 -
''1 ii XX −− n
f i iX
nfX i
i n
Fi
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Mediana: 5,021
2==∑ ih
5,01 <−jH
a) 35== je yM Kgrs/mm
2
b)
−+=
−
−j
j
Je h
hcyM
1'
121
c) 35== jd yM Kgrs/mm2
5,3040,002,0
10304,0
48,02/11030 =
+=
−+=eM Kgrs/mm2
42. Solución:
1002
2002
==n
21nN j <−
−+=
−
−j
j
Je n
Nn
cyM1
'1
2
44,84445
90100200800 =−+=eM =
$844.444 Salario mensual
Moda = 700=jy . Se toma la marca de clase o sea 000.700$7002
800600⇒=+
Salario mensual Media aritmética. No es recomendable su cálculo en este ejercicio, dado que las frecuencias absolutas localizadas en los extremos de la variable no definidas, tienen un peso o importancia que no se puede desechar, estas ponderaciones son 30 y 50 respectivamente.
''1 ii yy −− in iN
Menos de 600 30 30
600,1 – 800 60 90 1−→ jN
800,1 – 1.000 45 135 jN→
1.000,1 – 1.200 15 150 1.200,1 y más 50 200
Σ 200 -
iX if iF
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En el caso de que obligatoriamente se requiera calcular, deberá prescindirse de los valores extremos, es decir:
n
fXX iiΣ= 825=
120
ii nyy
Σ= 825
120
000.99 ==
$825.000 Salario mensual
43. Solución:
a) 000.658== Jd yM
b) 000.668380
38000.20000.648 =
++=dM
0
38 120
1
1
===
−
+
J
J
J
n
n
n
c) ( ) ( ) 18,118.656381200120
38120000.20000.648 =
−+−−+=dM
d) ( ) 15,634.6523801202
038000.20000.648 =
−−−+=dM
e) 19,951.647380120
380000.20000.648 =
++−+=dM
''1 ii yy −− in iy ii ny
600,1 – 800 60 700 42.000 800,1 – 1.000 45 900 40.500
1.000,1 – 1.200 15 1.100 16.500 Σ 120 - 99.000
''1 ii XX −− if iX ii fX
''1 ii yy −− in iN iy
648.000,1 – 668.000 120 120 658.000 668.000,1 – 688.000 38 158 678.000 688.000,1 – 708.000 22 180 698.000 708.000,1 – 728.000 10 190 718.000 728.000,1 – 748.000 6 196 738.000 748.000,1 – 768.000 4 200 758.000
Σ 200 - - ''
1 ii XX −− if iF iX
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(b) 000.668=dM (c) 18,118.656=dM (d) 15,634.652=dM (e) 19,951.647 * Esta fórmula no es aplicable en este ejercicio, ya que el promedio debe localizarse entre el límite inferior y límite superior del recorrido. 44. Solución: a) 807468 << Asimetría negativa; b) 687480 >> Asimetría positiva c) 747474 == Simétrica d) 607474 >= Ligeramente asimétrica positiva 45. Solución: a) 67,61=x 5,62=eM 65=dM b) 67,60=x 62=eM hayNoM d = c) 49=x 38=eM 35=dM d) En (a) y (b) la Media y en (c) la Mediana 46. Solución:
a) 4 4 6 6 6 6 7 10 15 11,79
64 ==x ; 6=eM ; 6=dM
6=eM
8 10 1210 18 20 0,13678 ==x ; 11=eM ; 10=dM
11=eM
b) ( ) ( )
47,915
786415
13691111,7 =+=+=x
47. Solución:
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28
37274
2==⇒ nMediana 301 =−JN 46=JN
5,195,31616
3037816 =+=
−+=eM
⇒Modo Como la amplitud de los intervalos no es constante, lo recomendable es no
calcularlo, pero si lo exigen se debe establecer el mayor valor de if
cn i
i
i = y al frente en iy
se obtendrá el valor del Modo. 31=dM dado que 0,5=cni el valor más alto.
11,1974414.1 =⇒Media
48. Solución: 720 720 720 720 750 810 810 840 840 900 1.680 1.800
5,94212310.11 ==Media ; 720=dM ; 810
2810810 =+=eM
El mejor promedio es la mediana, por ser el centro, eliminando los extremos, correspondiente al salario más bajo y al más alto. Media = $942.500 Modo = $720.000 Mediana = $810.000
''1 ii yy −− in iy iN ic ii cn ii ny
3,1 – 8 8 5,5 8 5 1,60 44 8,1 – 10 8 9,0 16 2 4,00 72
10,1 – 16 14 13,0 30 6 2,33 182 16,1 – 24 16 20,0 46 8 2,00 320 24,1 – 30 18 27,0 64 6 3,00 486 30,1 – 32 10 31,0 74 2 5,00 310
Σ 74 - - - - 1.414 ''
1 ii XX −− if iX iF i if i / ii fX
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29
49. Solución: a) 41=y 37=eM 28=dM b) 432=y 384=eM 276=dM a) 41536 =+=x 37532 =+=eM 28523 =+=dM b) ( ) 4321236 ==x ( ) 3841232 ==eM 276)12(23 ==dM meses 50. Solución:
%66,79
9,689
0,86,72,86,84,78,61,63,89,7 ==++++++++=Media
Mediana: 6,1 6,8 7,4 7,6 9,7 8,0 8,2 8,3 8,6 eM
9,7=Mediana %
⇒Modo No hay, ningún valor se repite 51. Solución:
minutos875,18
15 −=−=Media (1 minuto y 52 segundos)
⇒Mediana -18 -12 -8 -8 -6 10 12 15; minutos7214 −=−=eM
7−=eM
8−=Moda (8 minutos de anticipación)
52. Solución:
''1 ii yy −− in iy ii ny iN ic ii cn
2,1 – 5 120 3,5 420,0 120 3 40,0
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30
48,6160037.1 ==Media
5,3=Modo
01 == −JNMediana
120=JN
802
=n
422120
08032 =+=
−+=eM
53. Solución:
nnnnnnn =+++++ 654321 → nffffff =+++++ 654321
( ) ( ) 150530305 1111 =+++++++ nnnn
150704 1 =+n
20480804 11 ==→= nn 201 =n 252 =n 303 =n
304 =n 255 =n 206 =n
Sabiendo que:
+= ∑
nnZ
cOy iit
''
⇒
+= ∑
nfd
iAX ii'
5,1 – 9 15 7,0 105,0 135 4 3,75 9,1 – 16 8 12,5 100,0 143 7 1,14
16,1 – 20 6 18,0 108,0 149 4 1,50 20,1 – 28 6 24,0 144,0 155 8 0,75 28,1 – 36 5 32,0 160,0 160 8 0,63
Σ 160 - 1.037,0 - - - ''
1 ii XX −− if iX ii fX iF i if i /
iy in ''iZ ii nZ ''
20 20 -4 -80
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31
(1) Se toma como =tO A 60= (2) De acuerdo a lo visto en la teoría al frente de tO se coloca cero, cuando =c i es
constante para =''iZ '
id (3) Luego hacia arriba se colocará 1− ; 2− etc., y hacia abajo 1, 2, etc.
(4) Reemplazamos en la fórmula inicial
−+=
1502256045 c
(5) Despejamos el valor de la amplitud =c i , siendo 105,1
15156045 =
−−=⇒−=− c
(6) Ahora completamos la columna de iX iy=
1−= MM H (Media armónica)
56,3889,3
150 ==HM
MoGM g == (M. Geométrica)
622234933,1150
33524,243log ==gM
( )622234933,1antilog=gM
,9014M g =
30 25 -3 -75 40 30 -2 -60 50 30 -1 -30 60 25 0 0 70 20 1 20
Σ 150 -225
iX if 'id ii fd '
iy in i
iy
n iylog ii yn log
20 20 1,00 1,30103 26,02060 30 25 0,83 1,47712 36,92803 40 30 0,75 1,60206 48,06180 50 30 0,60 1,69897 50,96910 60 25 0,42 1,77815 44,45375 70 20 0,29 1,84510 36,90196
Σ 150 3,89 - 243,33524
iX if i
iX
f iXlog ii Xf logΣ
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32
54. Solución:
83,29=Media 5,172
2213 =+=Mediana hayNoM d =
62,1689462213636 =×××××=geométricaMedia
La mediana es el valor central, el que mejor representa a ese conjunto de observaciones. 55. Solución:
a) 4,9547 ==Media
19,720128525 =××××=geométricaMedia
22,5958333,0
5
201
121
81
51
21
5 ==++++
=armónicaMedia
22,519,74,9 >> Se cumple la relación 11 −>>⇒ MMM o b) 4,9=Media 8=Mediana hay No=Modo hay No84,9 >> Se cumple la relación de MMM >>⇒ 1 56. Solución:
(1) Se observa que m = 4 número de intervalos (2) Sombreado aparecen los datos del problema (3) Determinamos la 1ª ecuación, recordando las propiedades de las
frecuencias y marcas de clases.
m ''1 ii yy −− iy in iN
(1) 3,75 – 4,25 3,5 4 4 (2) 4,25 – 5,75 5,0 16 20 (3) 5,75 – 7,25 6,5 25 45 (4) 7,25 – 8,75 8,0 5 50 − Σ − 50 -
- ''1 ii XX −− iX if iF
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
33
=+
=+
75,84)
5,32
)
'
'
cyb
cya
o
o Eliminamos a 'oy
b) 50,35,0
75,84'
'
−=−−=+
cy
cy
o
o
25,55,3 =c =⇒ c i 5,15,3
25,5 == Completamos la columna =iy iX
(4) Dividimos a la amplitud entre 75,025,1
2 =⇒ , restándolo a la marca de clase formamos
el límite inferior del intervalo y sumándolos, el límite superior.
93,550
5,296 ==Media
7639614,05019807,38
log ==geométricaMedia
( )7639614,0loganti=geométricaMedia
81,5=geométricaMedia 57. Solución:
∑
∑=
i
i
im
VSS
V
4
6080
100100120
60120
40070
V+++
=
...457,474 hpkV = 58. Solución:
706,264
300
300
250
300
250
300900 =
++=mV
...706,264 hpkVm =
ii ny iylog ii yn log
14,0 0,54407 2,17627 80,0 0,69897 11,18352
162,5 0,81291 20,32283 40,0 0,90309 4,51545
296,5 - 38,19807
ii fX iXlog ii Xf log
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34
59. Solución:
44,53
50200
60200
55200
50200
800 =+++
=mV
...44,53 hpkVm =
60. Solución:
48
601
401
2 =+
=mV
...48 mpkVm =
61. Solución:
A
B C
...30,38078,03
501
401
301
3 hpkVm ==
+
+
=
62. Solución:
A 10== tO i 6== c
∑
=−
i
i
yn
nM 1 ∑
=
i
iH
Xf
nM
194,4237,2
100 ==HM
''iZ ii NZ '' iN in iy
i
iy
n
3 15 5 5 28 0,18 4 80 20 15 34 0,44 5 225 45 25 40 0,63 6 450 75 30 46 0,65 7 665 95 20 52 0,38 8 800 100 5 58 0,09 Σ - - 100 - 2,37
'id ii fd ' iF if iX ii fX
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63. Solución: xi: 4,824 10,184 20,502 32,830 65,660
8,26=x 502,20=eM 501,121 =−M 507,18=oM 64. Solución:
44,44
401
501
2 =+
=HM Minutos
65. Solución:
67,11
101
141
2 =+
=HM Papeleras diarias 122
1014 =+=x Papeleras diarias
66. Solución:
a) 550.2$3
570.2830.2250.2 =++=Media Promedio por paquete
b) 58,527.2$
570.21
830.21
250.21
3. =++
=armónicaM Valor promedio por paquete
67. Solución:
m iy in iN ''iZ ii nZ '' ii yn /
(1) 30 4 4 -1 -4 0,1333 (2) 50 16 20 0 0 0,3200 (3) 70 25 45 1 25 0,3571 (4) 90 5 50 2 10 0,0555 − Σ 50 - - 31 0,8659
- iX if iF 'id ii fd ' -
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36
Σ+=
nnZ
cOy iit
''
+==⇒5031504,62 cy
Σ+=n
fdiAX ii
'
c62,04,12 =
2062,04,12 ==c
4520252
50
2 1 ==⇒==⇒ − JJ NyNn
Mediana (No aparece 2n )
== JyMediana JX 70=
74,578659,050 ==armónicaMedia
68. Solución:
83,144
1401
1501
2 =+
=armónicaMedia
69. Solución:
800.1$
600.31
800.11
200.11
3 =++
=armónicaMedia
Precio promedio pagado por el fabricante
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70. Solución:
50 25 30260
1 ===⇒ − JJ NNMediana
2612525
2530525.).( =+=
−+=CVMediana
5,27)( =VDMediana
77,23524,2
60 ==armónicaMedia
71. Solución: Media, mediana y moda
a) 3,1410
143 ==→ xMedia minutos de retardo
134 −−−→Mediana 2 4 4 6 10 124
32
6 ==eM minutos de retardo
4==→ Jd xMModa minutos
La más representativa es la moda, la que más se repite. b) En este caso se utilizó la mediana, por ser el menor valor de los tres, de esta manera se
muestra que hay un buen servicio. Para mostrar un mal servicio, se utilizó la media aritmética por ser el de mayor valor.
''1 ii yy −− in iy
i
iy
n iN
10,1 – 15 3 12,5 0,240 3 15,1 – 20 7 17,5 0,400 10 20,1 – 25 15 22,5 0,667 25 25,1 – 30 25 27,5 0,909 50 30,1 – 35 10 32,5 0,308 60
Σ 60 - 2,524 - ''
1 ii XX −− if iX ii Xf / iF
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38
72. Solución: d) Cuando la distribución es simétrica. de MMx ==
Los puntos a), b) y c) se le dejan al estudiante. 73. Solución:
a) Media: 67,2650
5,333.1 ==y
b) Mediana: 14,2914,1287
2425828 =+=
−+=eM
252
50
2==N
31
241
==−
J
J
N
N
c) Moda: 5,13== Jd yM ( ) 67,4/ =ii cn Es el de mayor valor
d) Tercer decil: ( )
1510
503
10
3 ==n 1621 ==− JJ NN
79,1479,21214
2153123 =+=
−+=D
e) Segundo cuartil: ( )
14,29254502
42
2 ==⇒== eMQn
31y 241 ==− JJ NN
ii yy '' 1 −− in JN ii cn / iy ii ny
6,1 - 12 2 2 0,33 9,0 18,0 12,1 - 15 14 16 4,67 13,5 189,0 15,1 - 20 5 21 1,00 17,5 87,5 20,1 - 28 3 1−JN 24 0,38 24,0 72,0
28,1 - 36 7 JN 31 0,88 32,0 224,0 36,1 - 40 16 47 4,00 38,0 608,0 40,1 - 50 3 50 0,30 45,0 135,0
Σ 50 - - - 1.333,5
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39
f) Percentil sesenta:
( )
30100
5060
100
60 ==n 31241 ==− JJ NN
86,3486,6287
243082860 =+=
−+=P
74. Solución:
( )
400856.320.1400300.857
960.260.1 22 nn +−=
( ) 22 856.320.1300.857400300.857000.384.504 nn +−= 22 300.857856.320.1000.920.342000.384.504 nn −=− 2556.463000.464.161 n=
348556.463
000.464.1612 ==n Operarios 523484001 =−=n Técnicos
75. Solución: Lo debe investigar el estudiante. 76. Solución: Con los datos del ejercicio No. 47, se pide calcular la media cuadrática, cúbica y el séptimo decil.
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40
92,2074388.32 ==cuadráticaMedia
28,2274
125.8183 ==cúbicaMedia
( )
8,5110747
7 =⇒= DdecilSéptimo 461 =−JN 64=JN
93,2593,12418
468,516247 =+=
−+=D
77. Solución:
67,66
40 ==x 4=dM ⇒eM 4 4 4 6 10 12
5=eM
39,767,546
12446104 222222
2 ==+++++=⇒ MCuadráticaMedia
06,867,5226
12446104 33333333
3 ==+++++=⇒ MCúbicaMedia
45,51,1
6
12/14/14/16/110/14/1
61 ==
+++++=⇒ −MArmónicaMedia
''1 ii yy −− iy in ii ny2 ii ny3 iN
3,1 – 8 5,5 8 242 1.331 8 8,1 – 10 9,0 8 648 5.832 16 10,1 – 16 13,0 14 2.366 30.758 30 16,1 – 24 20,0 16 6.400 128.000 46 24,1 – 30 27,0 18 13.122 354.294 64 30,1 – 32 31,0 10 9.610 297.910 74
Σ − 74 32.388 818.125 - ''
1 ii XX −− iX if ii fX 2 ii fX 3 iF
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41
99,5080.4612.4.4.6.10.4 66 ===⇒ oMGeométricaMedia
a)
06,839,767,699,545,5
3211
<<<<<<<<− MMMMM o
Se cumple la propiedad b)
1
1
67,654
5467,6
MMM
MMM
ed
ed
<<<<
===
Asimétrica positiva 78. Solución:
a) 53,210.692$152
000.216.105 ==Media
000.590$=Modo
762
1522
==⇒ nMediana
421 =−JN 152=JN
JyMediana 000.590$ == b) Tanto la Mediana como la Moda, podrían ser representativas, sin embargo al escoger
una de ellas, como mejor promedio nos inclinamos por la última. 79. Solución:
180
120
2
1
==
n
n
216
240
2 ==
x
x
?
7,226
3 ==
n
díasx
2303 =x
( ) ( ) ( )
3
3
300
2302161802401207,226
n
n
+++
=
( )
33
33
7,226230880.38800.28010.68230880.38800.287,2263007,226nn
nn
−=−−++=+
1003,3330 33 =⇒= nn (sección c)
iy in ii ny iN
1.930.000 2 3.860.000 2 1.510.000 4 6.040.000 6 1.370.000 6 8.220.000 12 1.350.000 4 5.400.000 16
646.000 26 16.796.000 42 590.000 110 64.900.000 152 Σ 152 105.216.000 -
iX if ii fX iF
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42
80. Solución: => Número de vehículos vendidos en 10 días es de 34 => Valor total de las ventas: 34(18.500.000) = $629.000.000 => el 0,5% = 0,005 gana por cada vehículo 629.000.000 (0,005) = $3.145.000 + 270.000 = $3.415.000 sería el sueldo promedio en los 10 días. 81. Solución: Se le deja al estudiante para su solución. 82. Solución:
003.973)998.083.1(374.873 ==oM
816.278)776.240(867.322 ==oM
057.234)358.267(903.204 ==oM
118.446)864.575(604.345 ==oM
83. Solución:
''1 ii yy −− in iN
iy ii ny
800,1 - 1.000 5 5 900 4.500 1.000,1 - 1.200 13 18 1.100 14.300 1.200,1 - 1.400 17 35 1.300 22.100 1.400,1 - 1.600 8 43 1.500 12.000 1.600,1 - 1.800 7 50 1.700 11.900
Σ 50 - - 64.800
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43
a) Media: 296.150
800.64 ==⇒ y
Moda: 300.1=⇒ dM
Mediana: 252
50
2==⇒
n
35181 ==− JJ NN
35,282.135,82200.117
1825200200.1 =+=
−+=eM
b) Media cuadrática: 2M⇒ 12,317.150
000.740.862 ==M
Media cúbica: 3M⇒ 70,337.1000.760.393.250
000.000.688.119 333 ===M
i
iy
n iylog ii yn log
0,005556 2,95424 14,77121 0,011818 3,04139 39,53810 0,013077 3,11394 52,93704 0,005333 3,17609 25,40873 0,004118 3,17609 22,61314 0,039902 - 155,26822
ii ny 2 ii ny 3
4.050.000 3.645.000.000
15.730.000 17.303.000.000
28.730.000 37.349.000.000
18.000.000 27.000.000.000
20.230.000 34.391.000.000
86.740.000 119.688.000.000
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44
Media Armónica: 07,250.1039902,0
501 ==−M
Media Geométrica:
1053644,350
26822,155log ==oM
57,274.11053644,3log == antiM o
84. Solución: a) La mediana b) La media geométrica c) Verdadero d) Verdadero e) Población 85. Solución: se le deja al estudiante. 86. Solución:
xxx ==+
52
21
1021 =+ xx oMxx == 421
1621 =xx
2
116
xx =
Reemplazamos en 521 =+ xx
01016
22
=−+ xx
01016 2
22 =−+ xx
01610 2
22
=+− xx
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
45
82 21 == xx
38,62
82333
3 =+=M
87. Solución: a) 169.000 (1,06) = $179.140, es el salario semanal b) 169.000 (1,04) = $175.760 + 5.800 = $181.560 La mayor es (b) con salario semanal de $181.560 89. Solución:
21
21
1
1
1
4,3
hh
hh
x
−=+=
=
2,42 =x
%5,62;%5,37;375,08,0
3,08,03,0
2,44,34,37,3
7,32,4)1(4,3
1222
22
22
====⇒=
+−==+−=
hhhh
hh
hhx
90. Solución:
508281778
50654321
=+++++
=+++++= nnnnnnn
17
102258
25
3
6
3
31
==+=+=+
n
n
n
nn
86 =n
''1 ii yy −− iy in
ii ny3 ii yn /
10,1 - 18 14 8 21.952 0,5714 18,1 - 26 22 7 74.536 0,3182 26,1 - 34 30 17 459.000 0,5667 34,1 - 42 38 8 438.976 0,2105 42,1 - 50 46 2 194.672 0,0435 50,1 - 58 54 8 1.259.712 0,1481
Σ − 50 2.448.848 1,8584
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
46
157
15
4
42
=+
=+
n
nn
84 =n
504225,0
2
2
=+=+
Cy
Cy
285,3
225,0504
2
2
=−=−−
=+
C
Cy
Cy
85,3
28 ==C
Media cúbica 59,3688,976.4850
844.448.2 333 ≅==⇒ M
Media armónica 90,268584,1
501 ==⇒ −M
91. Solución: a) Falso ya que: de MMx >> y se da 68 como dM , que debe ser menor o igual a 62 ?6268 >> b) 123 −>>>> MMxMM o 76,8 > 72,50 > 70 > 65 > 63 Se cumple la relación. 92. Solución:
24,13=gM 14=x 30,153 =M 70,142 =M
a) Media armónica = 47,123208,0
4
20
1
16
1
12
1
8
14 ==
+++
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
47
93. Solución: a) Verdadero b) Sólo una c) Geométrica d) Media aritmética e) Verdadero f) Mediana g) Verdadero 94. Solución:
( )500
400.86300200328.026.1 11 −+
=xx
( )400.86300300200000.164.513 11 −+= xx
000.920.25500000.164.513 1 −= x
168.078.1500
000.084.5391 ==x y 768.9912 =x
95. Solución: a) Media aritmética == 50tO A
''1 ii yy −− in ih iy ii ny '
iZ ii nZ '
15,1 – 25 8 0,04 20 160 -30 -240 25,1 – 35 20 0,10 30 600 -20 -400 35,1 – 45 42 0,21 40 1.680 -10 -420
45,1 – 55 60 0,30 50 3.000 0 10601060−
55,1 – 65 42 0,21 60 2.520 10 420 65,1 – 75 20 0,10 70 1.400 20 400 75,1 – 85 8 0,04 80 640 30 240 Σ 200 1,00 - 10.000 - 0
''1 ii XX −− if nf i / iX ii fX id ii fd
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
48
(Primer método abreviado)
nny
y iiΣ= 50
200
000.10 == 50=Σ=n
fXX ii
nnZ
Oy iit
'Σ+= 50050 =+= 50
'
=Σ
+=n
fdAX ii
== 50tO A
(Segundo método abreviado)
Σ+=
nnZ
cOy iit
'
50'
=
Σ+=
nfd
iAX ii
( ) 5001050 =+=y
B)
''1 ii yy −− in iN iy ii ny '
iZ ii nZ '
15,1 – 25 6 6 20 120 -30 -180 25,1 – 35 17 23 30 510 -20 -340 35,1 – 45 34 57 40 1.360 -10 -340 45,1 – 55 53 110 50 2.650 0 0 55,1 – 65 42 152 60 2.520 10 420 65,1 – 75 38 190 70 2.660 20 760 75,1 – 85 10 200 80 800 30 300
Σ 200 - - 10.620 0 620 ''
1 ii XX −− if iF iX ii fX id ii fd
A 50== tO
''iZ ii nZ ''
-3 -24 -2 -40 -1 -42 0 0 1 42 2 40 3 24
Σ 0
'id ii fd '
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
49
n
fXX iiΣ= 1,53= 1,5310,350
20062050 =+=
+=y
Σ+=n
fdiAX ii
'
1,53=
50=tO
n
nyy iiΣ
= 1,53200
620.10 ==
Σ+=
nnZ
cOy iit
''
1,53200
621050 =
+=y
b) Mediana A)
21nN j <− 10070 <
−+=
−
−j
j
je n
Nn
CyM1
'1
2
−+=
−
j
j
ie f
Fn
iLM12
−+=60
701001045eM
6030045 +=eM
''iZ ii nZ ''
-3 -18 -2 -34 -1 -34 0 0 1 42 2 76 3 30 Σ 62
'id ii fd '
''1 ii yy −− in iN
15,1 – 25 8 8 25,1 – 35 20 28
35,1 – 45 42 70 1−→ jN
45,1 – 55 60 130 jN→
55,1 – 65 42 172 65,1 – 75 20 192 75,1 – 85 8 200
Σ 200 - ''
1 ii XX −− if iF
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50
50545 =+=eM B)
53
571001045 −+=eM
53431045 +=eM
5343045 +=eM
11,5311,845 =+=eM
A)
21nN j <−
10070 < jje XyM ==
50=eM
B)
''1 ii yy −− in iN
15,1 – 25 6 6 25,1 – 35 17 23 35,1 – 45 34 57 1−→ JN
45,1 – 55 53 Jn→ 110 JN→
55,1 – 65 42 152 65,1 – 75 38 190 75,1 – 85 18 200
Σ 200 - ''
1 ii XX −− if iF
jy jn jN
20 8 8 30 20 28
40 42 70 1−→ jN
50 jy→ 60 130 jN→
60 42 172 70 20 192 80 8 200
Σ 200 -
JX Jf JF
jy jn jN
20 6 6 30 17 23
40 34 57 1−→ jN
50 jy→ 53 110 jN→
60 42 152 70 38 190 80 10 200
Σ 200 -
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
51
21nN j <− 10057 <
je yM =
50=eM 50== je yM (En ambos casos)
A)
''1 ii yy −− jn
15,1 – 25 8 25,1 – 35 20 35,1 – 45 42 1−→ jn
45,1 – 55 60 jn→
55,1 – 65 42 1+→ jn
65,1 – 75 20 75,1 – 85 8
Σ 200 ''
1 ii XX −− jf
c) Modo:
++=
−+
−−
11
1'1
jj
jje nn
ncyM
A) 508442045
4242421045 =+=
+
+=eM
B) 53,507642045
4234421045 =+=
++=dM
( )
( ) ( )
−+−−
+=+−
−−
11
1'1
jjjj
jjjd nnnn
nncyM
JX Jf JF
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
52
A) ( ) ( ) 5036
1804542604260
42601045 =+=
−+−
−+=dM
++=
−+
−
11
1
JJ
Jid ff
fiLM
B) ( ) ( ) 33,5130
1904542533453
34531045 =+=
−+−
−+=dM
( )
( ) ( )
−+−
−+=+−
−
11
1
JJJJ
JJid ffff
ffiLM
B)
d) Media geométrica: 70329835,120065967,340log ==gM
5,5070329835,1antilog ==gM
n
ynM ii
g
loglog
Σ=
Σ=n
XfM ii
o
logantilog
e) A) 123 MMM ed −= B) 123 MMM ed −= ( ) ( )502503 −=dM ( ) ( )1,5321,533 −=dM 50=dM 1,53=dM f) A)
iy in iylog ii yn log
20 6 1,20103 7,20618 30 17 1,47712 25,11104 40 34 1,60206 54,47004 50 53 1,69897 90,04541 60 42 1,77815 74,68230 70 38 1,84510 70,11380 80 10 1,90309 19,03090 Σ 200 - 340,65967
iX if iXlog ii Xf log
iy in ii yn /
20 8 0,40 30 20 0,67 40 42 1,05
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
53
Media armónica
∑
=
i
iH
yn
nM 35,4541,4
200 ==HM
35,45=HM
35,45==∑
i
iH
Xf
nM
B)
∑
=
i
iH
yn
nM 426,4813,4
200 ==HM
426,48=HM
B)
Media cuadrática y cúbica
n
nyM ii
2
2Σ= 04,55
200
000.6062 ==M
33
3 nny
M iiΣ= 3
3 200
000.534.36=M
74,56670.1823
3 ==M
04,552
2 =Σ
=n
fxM ii 74,563
3
3 =Σ=n
fXM ii
50 60 1,20 60 42 0,70 70 20 0,29 80 8 0,10
Σ 200 4,41
iX if ii Xf /
iy in ii yn /
20 6 0,30 30 17 0,56 40 34 0,85 50 53 1,06 60 42 0,70 70 38 0,54 80 10 0,12
Σ 200 4,13
iX if ii Xf /
in ii ny2 ii ny3 6 2.400 48.000
17 15.300 459.000 34 54.400 2.176.000 53 132.500 6.625.000 42 151.200 9.072.000 38 186.200 13.034.000 10 64.000 5.120.000
200 606.000 36.534.000
if ii fX 2 ii fX 3
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54
97. Solución: Siendo: 71 =M 6=eM 3
3 657=M
37 321 xxx ++
= 31 621 xx ++= 3115 xx += 31 15 xx −=
333
3313
3 36
657xx
M++
==
( ) 3
331 2166573 xx ++=
33
31216971.1 xx +=−
33
31755.1 xx +=
( ) 3
33
315755.1 xx +−=
33
33
233 45675375.3755.1 xxxx +−+−=
233 45675375.3755.1 xx +−=
045675620.1 2
33 =+− xx
( ) 0153645 233 =+− xx
Dos números que sumados den 15 y multiplicados sean igual a 36, serán: 3 y 12. Siendo: 31 =x 62 =x 123 =x 98. Solución:
25 21 xx +
= → 2110 xx += → 21 10 xx −=
21 . xxM o = → 214 xx= → 2116 xx= → 2
116x
x =
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
55
21 10 xx −= → 22
1016 xx
−= → 2221016 xx −=
01610 2
22 =+− xx 21 =x 82 =x
2,3625,02
81
21
211
1 ==
+
==∑
−
x
nM
99. Solución:
44836410064364100364642 =+++++++++=∑ ix
69,68,4410448
2
2 ==== ∑nx
M i
100. Solución:
00,1307,16930072.5
2 ===M
101. Solución: Variable discreta
iy in ii ny2 4 3 48 8 7 448
12 10 1.440 16 6 1.536 20 4 1.600
Σ 30 5.072
iX if ii fX 2
'iy in jN
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56
Primer cuartil = 1Q
5,12450
4==n Como no aparece 1−JN será 9 y
24=JN 61 == JyQ
Tercer cuartil →⇒ 3Q ( )
5,374
150
4
503
4
3 ===n (Posición)
Como no aparece 37,5 se toma como 341 =−JN y 40=JN
123 == JyQ
Sexto decil ⇒⇒ 6D ( )
3010300
10506
106 ===n No aparece, por lo tanto 86 == JyD
Percentil 80 ( ) ( )40
100000.4
1005080
10080
80 ===⇒⇒n
P
Como aparece, se tendrá que: 401 =−jN y 50=jN
132
14122
180 =+=
+= − jJ yy
P
b) Variable continua
2 3 3 4 6 9 6 15 24 8 8 32
10 2 34 12 6 40 14 10 50
Σ 50 -
iX if iF
''1 ii yy −− in jN
3,1 – 8 14 14 8,1 – 13 15 29 13,1 – 18 8 37 18,1 – 23 6 43 23,1 - 28 7 50 28,1 - 33 10 60
Σ 60 -
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
57
Primer cuartil
15460 = no está ; siendo: 141 =−JN 29=JN
33,815
1415581 =
−+=Q
Tercer cuartil ⇒3Q ( )
454
1804603 == no está ; siendo: 431 =−JN y 50=JN
43,247
43455233 =
−+=Q
Sexto decil ⇒6D ( )
3610606
106 ==n no está, por lo tanto 291 =−JN y 37=JN
38,178
29365136 =
−+=D
Percentil 80( )
48100
6080
100
80 ==⇒n
no está, por lo tanto 431 =−JN y 50=JN
57,267
434852360 =
−+=P
Veamos algunos modelos, cuando 2/1 nNJ <− 2/1 nFJ <− El segundo cuartil (Mediana), es aquel valor de la variable que supera al 50% de las observaciones y es superado por el 50%.
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyQ1
'12
42
Cuando 42
1nN j <−
''1 ii XX −− if iF
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
58
El tercer cuartil, es aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones. Variable continua
−+=
−−
j
j
j n
Nn
cyQ1'
1343
Cuando 43
1nN j <−
El quinto decil y el 50 percentil corresponden a la mediana.
(Quinto decil)
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyD1
'15
105
(50 percentil)
−+==
−
−j
j
j n
Nn
cyPC1
'15050
10050
El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40% de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyD1
'14
104
variable continua, cuando 104
1nN j <−
El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyP1
'160
10060
variable continua, cuando 10060
1nN j <−
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