3. & : 5, 106 81, , . . 210 3849020-22, Fax 210 3301583 : .
100, 700 13, . . 2810 391097 Fax 2810 391085 [email protected],
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12. xiii IV 20 373 *21 e 401 22 410 23 427 24 452 25 475 26 488
27 501 V 28 525 29 531 30 543 550 560 604 608
13. 1
14. . BENJAMIN DISRAELI
15. 1 - . , - , , , . , . , , - . , . , . , : a C b a b ( ). ,
a1 CC an n a1; : : : ; an. , . a, b c, . b c, b Cc a , aC.b Cc/ a
b, a C b c, .a C b/ C c. , : (1) a, b c , a C .b C c/ D .a C b/ C
c: - : a C b C c a C .b C c/ D .a C b/ C c. - , , . a C b C c C d
(1) ..a C b/ C c/ C d; (2) .a C .b C c// C d; (3) a C ..b C c/ C
d/; (4) a C .b C .c C d//; (5) .a C b/ C .c C d/: . , , 3
16. 4 1 . , 1 .a C b/ C c D a C .b C c/; (1) (2) . (2) (3) 1, (
b C c b 1, d c). .3/ D .4/ D .5/ . 1 - 14 , 14 . , , , a1; : : : ;
an. - , ( ), - 24. , , , a1 CC an . 0 : (2) a , a C 0 D 0 C a D a:
0 : (3) a, , a, a C . a/ D . a/ C a D 0: 2 0, , : - , x a C x D a
a, x D 0 ( a). a , - a . , 13 : a C x D a; . a/ C .a C x/ D . a/ C
a D 0 .. a/ C a/ C x D 0 0 C x D 0 x D 0: , : a b a C . b/. ( 1, 2
3),
17. 1. 5 a C x D a. : x C 3 D 5; .x C 3/ C . 3/ D 5 C . 3/ x C
.3 C . 3// D 5 3 D 2 x C 0 D 2 x D 2: . , 1, 2 3 ( ). . a, b c, :
.a C b/Cc aC.b Cc/. a, b c. , (4) a b , a C b D b C a: 4 , - , , ,
. . , : a b b a. , a b b a, 14 . a b D b a a D b. , 14 - 14. , , .
, . , . ( , a b ab, ab.) (5) a, b c , a.bc/ D .ab/c: (6) a , a1 D
1a D a: 1 0. ( 1 0, , , 0.) (7) a 0, a 1 aa 1 D a 1a D 1:
18. 6 (8) a b , ab D ba: a 0 7. : 0b D 0 b, 0 1 00 1 D 1. . , -
: a=b a b 1 . 0 1 , a=0 0 . 7 . ab D ac, b D c, a D 0, ab ac 0, b
c. , a 0, b D c. 7 : ab D ac a 0; a 1.ab/ D a 1.ac/ .a 1a/b D .a
1a/c 1b D 1c b D c: 7 , ab D 0, a D 0 b D 0. , ab D 0 a 0; a 1.ab/
D 0 .a 1a/b D 0 1b D 0 b D 0: ( a D 0 b D 0. - a D 0 b D 0 , ). 7 .
, , x .x 1/.x 2/ D 0: x 1 D 0 x 2 D 0. x D 1 x D 2. , . , , . (9)
a, b c , a.b C c/ D ab C ac: ( 8 .b C c/a D ba C ca.) 9, a b D b a:
a b D b a; .a b/ C b D .b a/ C b D b C .b a/ a D b C b a a C a D .b
C b a/ C a D b C b: a.1 C 1/ D b.1 C 1/; a D b:
19. 1. 7 9 a0 D 0, , 6 ( ;). , . 18 , 0 2 3, , . 9 , . a0 C a0
D a.0 C 0/ D a0: , ( .a0/ ) a0 D 0. 9 . , . a/b D .ab/. , . a/b C
ab D . a/ C ab D 0b D 0: ( .ab/ ) . a/b D .ab/. . a/. b/ C .ab/ D .
a/. b/ C . a/b D . a/. b/ C b D . a/0 D 0: , .ab/ , . a/. b/ D ab:
, 19. , 1 9, . 9 , , - . , 9 - . , .x 1/.x 2/ D 0; . x2 3x C 2 D 0:
x2 3x C 2 D .x 1/.x 2/ 9: .x 1/.x 2/ D x.x 2/ C . 1/.x 2/ D xx C x.
2/ C . 1/x C . 1/. 2/ D x2 C x. 2/ C . 1/ C 2 D x2 3x C 2:
20. 8 9 . , 13 24 52 26 312 : 1324 D 13.210 C 4/ D 13210 C 134
D 2610 C 52: ( , 26 - , 2610). 134 D 52 9: 134 D .110 C 3/4 D 1104
C 34 D 410 C 12 D 410 C 110 C 2 D .4 C 1/10 C 2 D 510 C 2 D 52: 19
, . - 19 . (1) ( a C .b C c/ D .a C b/ C c. ) (2) ( a C 0 D 0 C a D
a. ) (3) ( a C . a/ D . a/ C a D 0: ) (4) ( a C b D b C a. ) (5) (
a.bc/ D .ab/c. ) (6) ( a1 D 1a D a 1 0. ) (7) ( aa 1 D a 1a D 1; a
0. ) (8) ( ab D ba. ) (9) ( ) a.b C c/ D ab C ac. . , . , ab ( a b)
ab ( a b), : ab ba (, 13 31 ). a a0
21. 1. 9 , a a0 . , : ab b a . , , P , P : (10) ( ) a : (i) a D
0 (ii) a P , (iii) a P . (11) ( ) a b P , a C b P . (12) ( ) a b P
, ab P . : ab a b P ab ba ab ab a D b ab ab a D b:* , , a0 a P . ,
, 1012. , a b , : i. a b D 0, ii. a b P , iii. .a b/ D b a P . , :
i. a D b, ii. ab, iii. ba. : ab, b a P , .b C c/ .a C c/ P , ab, a
C cb C c. , ab bc. b a P; c b P; c a D .c b/ C .b a/ P: , ab bc,
ac. ( ab bc abc, ac.) * . 1 C 13 1 C 12 , , D . 1 a b, .
22. 10 . a0 b0, ab0. . a0 , , 0a, 0 a D a P . b P , , 12, . a/.
b/ D ab P . ab0. ab0 a0, b0 a0, b0, : a20 a 0. , , , : 10 ( 1 D 12
). a0 a0 . a, jaj a : jaj Da; a0 a; a0: jaj , a D 0. , j 3j D 3,
j7j D 7, j1 C p 2 p 3j D 1 C p 2 p 3 j1 C p 2 p 10j D p 10p 2 1. ,
, . . 1 a b, ja C bjjaj C jbj: 4 : .1/ a0; b0 .2/ a0; b0 .3/ a0; b0
.4/ a0; b0: (1) a C b0, . ja C bj D a C b D jaj C jbj; . (4) a C
b0, : ja C bj D .a C b/ D a C . b/ D jaj C jbj: (2), a0 b0, ja C
bja b: . a C b0, a C ba b; , bb; , b0 b0. , a C b0, a ba b; ,
aa;
23. 1. 11 , a0 a0. , , (3) , a b (2). ( ) , - . , - , 1 jaj D p
a2: (, , p x x. x0.) .ja C bj/2 D .a C b/2 D a2 C 2ab C b2a2 C
2jajjbj C b2 D jaj2 C 2jajjbj C jbj2 D .jaj C jbj/2 : ja C bjjaj C
jbj x2y2 xy, x y ( 5). : , ja C bj D jaj C jbj a b ( - ), 0, ja C
bjjaj C jbj a b . , . 9, a b D b a a D b. a.1 C 1/ D b.1 C 1/; a D
b. a.1 C 1/ D b.1 C 1/ 1 C 1. , 0. , 1 C 1 0. 25 19 ! 10, 11, 12, :
10 1 C 10, 1 C 1 0. - - . , 112 - , . - . - , . ,
24. 12 . , , - . , , , , 112. - 112 . ( 1 12) . 112 . . 112 , .
, 112. 2 . 1 - . , . 1. : (i) ax D a a 0, x D 1. (ii) x2 y2 D .x
y/.x C y/. (iii) x2 D y2 , x D y x D y. (iv) x3 y3 D .x y/.x2 C xy
C y2 /. (v) xn yn D .x y/.xn 1 C xn 2 y CC xyn 2 C yn 1 /. (vi) x3
C y3 D .x C y/.x2 xy C y2 /. ( , (iv), xn C yn n .) 2. ; x D y. x2
D xy; x2 y2 D xy y2 ; .x C y/.x y/ D y.x y/; x C y D y; 2y D y; 2 D
1: 3. : (i) a b D ac bc , b; c 0. (ii) a b C c d D ad C bc bd , b;
d 0. (iii) .ab/ 1 D a 1 b 1 , a; b 0. ( , .ab/ 1 .) (iv) a bc d D
ac db , b; d 0.
25. 1. 13 (v) a bc d D ad bc , b; c; d 0. (vi) b; d 0, a b D c
d ad D bc. a b D b a . 4. x (i) 4 x3 2x. (ii) 5 x28. (iii) 5 x22.
(iv) .x 1/.x 3/0. ( ;) (v) x2 2x C 20. (vi) x2 C x C 12. (vii) x2 x
C 1016. (viii) x2 C x C 10. (ix) .x /.x C 5/.x 3/0. (x) .x 3 p 2
/.x p 2 /0. (xi) 2x8. (xii) x C 3x4. (xiii) 1 x C 1 1 x0. (xiv) x 1
x C 10. 5. : (i) ab cd, a C cb C d. (ii) ab, ba. (iii) ab cd, a cb
d. (iv) ab c0, acbc. (v) ab c0, acbc. (vi) a1, a2a. (vii) 0a1, a2a.
(viii) 0ab 0cd, acbd. (ix) 0ab, a2b2 . ( (viii).) (x) a; b0 a2b2 ,
ab. ( (ix), - .) 6. () 0xy, xnyn , n D 1; 2; 3; : : : : () xy n ,
xnyn . () xn D yn n , x D y. () xn D yn n , x D y x D y. 7. , 0ab,
ap aba C b 2b: p ab.a C b/=2 a, b0. 2-22.
26. 14 8. P , P , . 1012 (0 10) a b, , , : i. a D b, ii. ab,
iii. ba. (0 11) a, b c, ab bc, ac. (0 12) a, b c, ab, a C cb C c.
(0 13) a, b c, ab 0c, acbc. 1012 . 9. , - . (i) j p 2 C p 3 p 5 C p
7j. (ii) j.ja C bj jaj jbj/j. (iii) j.ja C bj C jcj ja C b C cj/j.
(iv) jx2 2xy C y2 j. (v) j.j p 2 C p 3j j p 5 p 7j/j. 10. , . (i)
ja C bj jbj. (ii) j.jxj 1/j. (iii) jxj jx2 j. (iv) a j.a jaj/j. 11.
x (i) jx 3j D 8. (ii) jx 3j8. (iii) jx C 4j2. (iv) jx 1j C jx 2j1.
(v) jx 1j C jx C 1j2. (vi) jx 1j C jx C 1j1. (vii) jx 1jjx C 1j D
0. (viii) jx 1jjx C 2j D 3. 12. : (i) jxyj D jxjjyj. (ii) 1 x D 1
jxj , x 0. ( jxj 1 .) (iii) jxj jyj D x y , y 0. (iv) jx yjjxj C
jyj. ( .)
27. 1. 15 (v) jxj jyjjx yj. ( , .) (vi) j.jxj jyj/jjx yj. (
(v);) (vii) jx C y C jjxj C jyj C jj. , . 13. x y max.x; y/. , max.
1; 3/ D max.3; 3/ D 3 max. 1; 4/ D max. 4; 1/ D 1. x y min.x; y/.
max.x; y/ D x C y C jy xj 2 ; min.x; y/ D x C y jy xj 2 : max.x; y;
/ min.x; y; /, , , max.x; y; / D max.x; max.y; //: 14. () jaj D j
aj. ( . a0. a0;) () bab jajb. , jajajaj. () ja C bjjaj C jbj. 15. x
y 0, x2 C xy C y20; x4 C x3 y C x2 y2 C xy3 C y40: : 1. 16. () .x C
y/2 D x2 C y2 x D 0 y D 0, .x C y/3 D x3 C y3 x D 0 y D 0 x D y. ()
x2 C 2xy C y2 D .x C y/20; 4x2 C 6xy C 4y20 x y 0. () () .x C y/4 D
x4 C y4 . () .x C y/5 D x5 C y5 . : .x C y/5 D x5 C y5 x3 C 2x2 y C
2xy2 C y3 D 0, xy 0. .x C y/3 D x2 y C xy2 D xy.x C y/. .x Cy/n D
xn C yn 11-63. 17. () 2x2 3xC4. : , 2x2 3x C 4 D 2.x 3=4/2 CI
28. 16 () x2 3x C 2y2 C 4y C 2. () x2 C 4xy C 5y2 4x 6y C 7.
18. () b2 4c0. b C p b2 4c 2 ; b p b2 4c 2 x2 C bx C c D 0. () b2
4c0. x x2 C bx C c D 0 x2 C bx C c0 x. : . () , x y 0, x2 C xy C
y20. () a x2 C axy C y20 x y 0; () x2 C bx C c ax2 C bx C c, a0.
19. a20 a, , . Schwarz: x1y1 C x2y2p x1 2 C x2 2 p y1 2 C y2 2: (
2-21.) Schwarz a20 a. () , x1 D y1 x2 D y2 0, Schwarz. y1 D y2 D 0.
y1 y2 0, x1 D y1 x2 D y2. 0.y1 x1/2 C .y2 x2/2 D 2 .y1 2 C y2 2 /
2.x1y1 C x2y2/ C .x1 2 C x2 2 /: 18, - Schwarz. () Schwarz 2xyx2 C
y2 ( ;) x D xi p x1 2 C x2 2 ; y D yi p y1 2 C y2 2 ; i D 1 i D 2.
() Schwarz .x1 2 C x2 2 /.y1 2 C y2 2 / D .x1y1 C x2y2/2 C .x1y2
x2y1/2 : () , , y1 D y2 D 0 0 x1 D y1 x2 D y2.
29. 1. 17 , - . , . , : x x0, y y0, x C y x0 C y0, xy x0y0, 1=y
1=y0. . , ( ) . 20. , jx x0j 2 jy y0j 2 ; j.x C y/ .x0 C y0/j; j.x
y/ .x0 y0/j: 21. , jx x0jmin 2.jy0j C 1/ ; 1 jy y0j 2.jx0j C 1/ ;
jxy x0y0j. ( min 13, . - jx x0j 2.jy0j C 1/ jx x0j1: , . : x x0 y
y0, xy x0y0 - x x0 y y0.) 22. , y0 0 jy y0jminjy0j 2 ; jy0j2 2; y 0
1 y 1 y0 : 23. , x0 y0 : y0 0 jy y0jI jx x0jI y 0 x y x0 y0 : , 21
22 ( x=y D x1=y). .
30. 18 24. . , 2, - . , , a1 CCan a1 C .a2 C .a3 CC .an 2 C .an
1 C an/// /: , a1 C a2 C a3 a1 C .a2 C a3/, a1 C a2 C a3 C a4 a1 C
.a2 C .a3 C a4//, . () .a1 CC ak/ C akC1 D a1 CC akC1: : k. () ,
nk, .a1 CC ak/ C .akC1 CC an/ D a1 CC an: : () - k. () s.a1; : : :
; ak/ a1; : : : ; ak. s.a1; : : : ; ak/ D a1 CC ak: : s0 .a1; : : :
; al / s00 .alC1; : : : ; ak/ s.a1; : : : ; ak/ D s0 .a1; : : : ;
al / C s00 .alC1; : : : ; ak/: 25. 0 1, C 19 , 1 C 1 D 0.
31. 2 1 , . . 1; 2; 3; : : : : N ( natural numbers = . 112 N ,
2 3 N. , N . , . N . P.x/ P x. P.x/ x, (1) P.1/ . (2) P.k/, P.k C
1/. (2) P.k C 1/ P.k/ (1) P.x/ x. , P.1/ , P.2/ ( - (2) k D 1). ,
P.2/ , P.3/ ( (2) k D 2). , , , P.k/ k. , . 1, . 2, . 3, .... ( ) .
1, . P.x/ . x , ( ) (2) , . 1 (1) . . n : 1 CC n D n.n C 1/ 2 : , n
D 1. k 1 CC k D k.k C 1/ 2 : 19
32. 20 1 CC k C .k C 1/ D k.k C 1/ 2 C k C 1 D k.k C 1/ C 2k C
2 2 D k2 C 3k C 2 2 D .k C 1/.k C 2/ 2 ; kC1. , n. , . , . 5 6 . ,
. A (1) 1 A, (2) k C 1 A, k A, A . , A x P.x/. , A n 1 CC n D n.n C
1/ 2 : A 1, k C 1 A, k A. A , , n. , . A , - A . - , , . - A , * ;.
; . A , A - . , : A . B n 1; : : : ; n A. , 1 B ( 1 A, A 1 ). , 1;
: : : ; k A, k C 1 A ( k C 1 A), 1, ..., k C 1 A. k B, k C1 B. n B,
* , , - . A, x P , P , A ; P , A D ;.
33. 2. 21 , 1, ..., n A n. A D ;, . ( 10). . . P.k C 1/ P.k/,
P.l/ lk. . , A (1) 1 A, (2) k C 1 A, 1, ..., k A, A . , . - , (
11). - 7, 17, 20 22. . , n ( n ) n: n D 12: : :.n 1/n: : (1) 1 D 1
(2) n D n.n 1/. n .n 1/ , . 23 , - , - . . a1 CC an; nX iD1 ai : ,
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