1. 1.
2. 2. Michael Spivak 2 : : : , , 2010
3. 3. & : 5, 106 81, , . . 210 3849020-22, Fax 210 3301583 : . 100, 700 13, . . 2810 391097 Fax 2810 391085 info@cup.gr, www.cup.gr : / : : Calculus, Fourth Edition, Publish or Rerish, Inc. c : 1967, 1980, 1994, 2008 by Michael Spivak c : 1991, 2008 : 4 : : , : - : : 1991 : 2010 Times New Roman Monotype Garamond Premier Pro Adobe. MathTime Pro 2 (MathTime is a trademark of Publish or Perish, Inc. Personal TeX, Inc. www.pctex.com, November 2009). LATEX David J. McClurkin. ISBN 978-960-524-302-9
4. 4. Y. P.
5. 5. , . FRANCIS BACON
6. 6. , , - , . , - , , . , , . , , , . , . , - - . , , , . , - . 29 , 2 ( ) , 3 5 . - , 3 11 . , . 3 , 1 2 - , , . - 2 3 , 2 - , . , , - . . , - , , , . 625 . - , , - . , , . , vii
7. 7. viii , . . , . . , - , . . Jane Bjorkgren , . Richard Serkey - , Richard Weiss . Michael Freeman, Jay Goldman, Anthony Phillips Robert Wells , . , - . W.A. Benjamin, Inc., , - . Brandeis, 1965-1966, . , - . . , - , , - . . Waltman, Massachusetts 1967 MICHAEL SPIVAK
8. 8. , - . 13 , - . , : , , - , Riemann, , . , - , , , New- ton, Simpson, - . 160 , , . Ted Shifrin. Frederick Gordon - 1 , , 12-2, . Joseph Lip- man , 11, . Roy O. Davies 11-66 20-8 [21-8 ] Marina Ratner - , . , - . [1980] MICHAEL SPIVAK ix
9. 9. ( ) 17 , - . , 4 : , , - . , 12 . . , 13, - ( 18 19). , - - . . 13 , 14 . - . - , , . [1994] MICHAEL SPIVAK x
10. 10. ! 13 , 14 , . , 14 , , . , - 5 20, , , - . , Nils von Barth, Philip Loewen, Fernndo Mejias, Lance Miller , , Michael Maltenfort , . Ted Shifrin University of Georgia, . , , , , 8-20 , Reisz, [38] , , Ted. [2008] MICHAEL SPIVAK xi
11. 11. vi I 1 3 2 19 II 3 35 . 49 4 51 1. 68 2. 73 3. 76 5 81 6 103 7 110 8 120 . 130 III 9 135 10 152 11 170 . 198 12 208 . 220 13 228 . Riemann 255 14 257 15 274 *16 293 *17 298 18 306 19 327 . 364 xii
12. 12. xiii IV 20 373 *21 e 401 22 410 23 427 24 452 25 475 26 488 27 501 V 28 525 29 531 30 543 550 560 604 608
13. 13. 1
14. 14. . BENJAMIN DISRAELI
15. 15. 1 - . , - , , , . , . , , - . , . , . , : a C b a b ( ). , a1 CC an n a1; : : : ; an. , . a, b c, . b c, b Cc a , aC.b Cc/ a b, a C b c, .a C b/ C c. , : (1) a, b c , a C .b C c/ D .a C b/ C c: - : a C b C c a C .b C c/ D .a C b/ C c. - , , . a C b C c C d (1) ..a C b/ C c/ C d; (2) .a C .b C c// C d; (3) a C ..b C c/ C d/; (4) a C .b C .c C d//; (5) .a C b/ C .c C d/: . , , 3
16. 16. 4 1 . , 1 .a C b/ C c D a C .b C c/; (1) (2) . (2) (3) 1, ( b C c b 1, d c). .3/ D .4/ D .5/ . 1 - 14 , 14 . , , , a1; : : : ; an. - , ( ), - 24. , , , a1 CC an . 0 : (2) a , a C 0 D 0 C a D a: 0 : (3) a, , a, a C . a/ D . a/ C a D 0: 2 0, , : - , x a C x D a a, x D 0 ( a). a , - a . , 13 : a C x D a; . a/ C .a C x/ D . a/ C a D 0 .. a/ C a/ C x D 0 0 C x D 0 x D 0: , : a b a C . b/. ( 1, 2 3),
17. 17. 1. 5 a C x D a. : x C 3 D 5; .x C 3/ C . 3/ D 5 C . 3/ x C .3 C . 3// D 5 3 D 2 x C 0 D 2 x D 2: . , 1, 2 3 ( ). . a, b c, : .a C b/Cc aC.b Cc/. a, b c. , (4) a b , a C b D b C a: 4 , - , , , . . , : a b b a. , a b b a, 14 . a b D b a a D b. , 14 - 14. , , . , . , . ( , a b ab, ab.) (5) a, b c , a.bc/ D .ab/c: (6) a , a1 D 1a D a: 1 0. ( 1 0, , , 0.) (7) a 0, a 1 aa 1 D a 1a D 1:
18. 18. 6 (8) a b , ab D ba: a 0 7. : 0b D 0 b, 0 1 00 1 D 1. . , - : a=b a b 1 . 0 1 , a=0 0 . 7 . ab D ac, b D c, a D 0, ab ac 0, b c. , a 0, b D c. 7 : ab D ac a 0; a 1.ab/ D a 1.ac/ .a 1a/b D .a 1a/c 1b D 1c b D c: 7 , ab D 0, a D 0 b D 0. , ab D 0 a 0; a 1.ab/ D 0 .a 1a/b D 0 1b D 0 b D 0: ( a D 0 b D 0. - a D 0 b D 0 , ). 7 . , , x .x 1/.x 2/ D 0: x 1 D 0 x 2 D 0. x D 1 x D 2. , . , , . (9) a, b c , a.b C c/ D ab C ac: ( 8 .b C c/a D ba C ca.) 9, a b D b a: a b D b a; .a b/ C b D .b a/ C b D b C .b a/ a D b C b a a C a D .b C b a/ C a D b C b: a.1 C 1/ D b.1 C 1/; a D b:
19. 19. 1. 7 9 a0 D 0, , 6 ( ;). , . 18 , 0 2 3, , . 9 , . a0 C a0 D a.0 C 0/ D a0: , ( .a0/ ) a0 D 0. 9 . , . a/b D .ab/. , . a/b C ab D . a/ C ab D 0b D 0: ( .ab/ ) . a/b D .ab/. . a/. b/ C .ab/ D . a/. b/ C . a/b D . a/. b/ C b D . a/0 D 0: , .ab/ , . a/. b/ D ab: , 19. , 1 9, . 9 , , - . , 9 - . , .x 1/.x 2/ D 0; . x2 3x C 2 D 0: x2 3x C 2 D .x 1/.x 2/ 9: .x 1/.x 2/ D x.x 2/ C . 1/.x 2/ D xx C x. 2/ C . 1/x C . 1/. 2/ D x2 C x. 2/ C . 1/ C 2 D x2 3x C 2:
20. 20. 8 9 . , 13 24 52 26 312 : 1324 D 13.210 C 4/ D 13210 C 134 D 2610 C 52: ( , 26 - , 2610). 134 D 52 9: 134 D .110 C 3/4 D 1104 C 34 D 410 C 12 D 410 C 110 C 2 D .4 C 1/10 C 2 D 510 C 2 D 52: 19 , . - 19 . (1) ( a C .b C c/ D .a C b/ C c. ) (2) ( a C 0 D 0 C a D a. ) (3) ( a C . a/ D . a/ C a D 0: ) (4) ( a C b D b C a. ) (5) ( a.bc/ D .ab/c. ) (6) ( a1 D 1a D a 1 0. ) (7) ( aa 1 D a 1a D 1; a 0. ) (8) ( ab D ba. ) (9) ( ) a.b C c/ D ab C ac. . , . , ab ( a b) ab ( a b), : ab ba (, 13 31 ). a a0
21. 21. 1. 9 , a a0 . , : ab b a . , , P , P : (10) ( ) a : (i) a D 0 (ii) a P , (iii) a P . (11) ( ) a b P , a C b P . (12) ( ) a b P , ab P . : ab a b P ab ba ab ab a D b ab ab a D b:* , , a0 a P . , , 1012. , a b , : i. a b D 0, ii. a b P , iii. .a b/ D b a P . , : i. a D b, ii. ab, iii. ba. : ab, b a P , .b C c/ .a C c/ P , ab, a C cb C c. , ab bc. b a P; c b P; c a D .c b/ C .b a/ P: , ab bc, ac. ( ab bc abc, ac.) * . 1 C 13 1 C 12 , , D . 1 a b, .
22. 22. 10 . a0 b0, ab0. . a0 , , 0a, 0 a D a P . b P , , 12, . a/. b/ D ab P . ab0. ab0 a0, b0 a0, b0, : a20 a 0. , , , : 10 ( 1 D 12 ). a0 a0 . a, jaj a : jaj Da; a0 a; a0: jaj , a D 0. , j 3j D 3, j7j D 7, j1 C p 2 p 3j D 1 C p 2 p 3 j1 C p 2 p 10j D p 10p 2 1. , , . . 1 a b, ja C bjjaj C jbj: 4 : .1/ a0; b0 .2/ a0; b0 .3/ a0; b0 .4/ a0; b0: (1) a C b0, . ja C bj D a C b D jaj C jbj; . (4) a C b0, : ja C bj D .a C b/ D a C . b/ D jaj C jbj: (2), a0 b0, ja C bja b: . a C b0, a C ba b; , bb; , b0 b0. , a C b0, a ba b; , aa;
23. 23. 1. 11 , a0 a0. , , (3) , a b (2). ( ) , - . , - , 1 jaj D p a2: (, , p x x. x0.) .ja C bj/2 D .a C b/2 D a2 C 2ab C b2a2 C 2jajjbj C b2 D jaj2 C 2jajjbj C jbj2 D .jaj C jbj/2 : ja C bjjaj C jbj x2y2 xy, x y ( 5). : , ja C bj D jaj C jbj a b ( - ), 0, ja C bjjaj C jbj a b . , . 9, a b D b a a D b. a.1 C 1/ D b.1 C 1/; a D b. a.1 C 1/ D b.1 C 1/ 1 C 1. , 0. , 1 C 1 0. 25 19 ! 10, 11, 12, : 10 1 C 10, 1 C 1 0. - - . , 112 - , . - . - , . ,
24. 24. 12 . , , - . , , , , 112. - 112 . ( 1 12) . 112 . . 112 , . , 112. 2 . 1 - . , . 1. : (i) ax D a a 0, x D 1. (ii) x2 y2 D .x y/.x C y/. (iii) x2 D y2 , x D y x D y. (iv) x3 y3 D .x y/.x2 C xy C y2 /. (v) xn yn D .x y/.xn 1 C xn 2 y CC xyn 2 C yn 1 /. (vi) x3 C y3 D .x C y/.x2 xy C y2 /. ( , (iv), xn C yn n .) 2. ; x D y. x2 D xy; x2 y2 D xy y2 ; .x C y/.x y/ D y.x y/; x C y D y; 2y D y; 2 D 1: 3. : (i) a b D ac bc , b; c 0. (ii) a b C c d D ad C bc bd , b; d 0. (iii) .ab/ 1 D a 1 b 1 , a; b 0. ( , .ab/ 1 .) (iv) a bc d D ac db , b; d 0.
25. 25. 1. 13 (v) a bc d D ad bc , b; c; d 0. (vi) b; d 0, a b D c d ad D bc. a b D b a . 4. x (i) 4 x3 2x. (ii) 5 x28. (iii) 5 x22. (iv) .x 1/.x 3/0. ( ;) (v) x2 2x C 20. (vi) x2 C x C 12. (vii) x2 x C 1016. (viii) x2 C x C 10. (ix) .x /.x C 5/.x 3/0. (x) .x 3 p 2 /.x p 2 /0. (xi) 2x8. (xii) x C 3x4. (xiii) 1 x C 1 1 x0. (xiv) x 1 x C 10. 5. : (i) ab cd, a C cb C d. (ii) ab, ba. (iii) ab cd, a cb d. (iv) ab c0, acbc. (v) ab c0, acbc. (vi) a1, a2a. (vii) 0a1, a2a. (viii) 0ab 0cd, acbd. (ix) 0ab, a2b2 . ( (viii).) (x) a; b0 a2b2 , ab. ( (ix), - .) 6. () 0xy, xnyn , n D 1; 2; 3; : : : : () xy n , xnyn . () xn D yn n , x D y. () xn D yn n , x D y x D y. 7. , 0ab, ap aba C b 2b: p ab.a C b/=2 a, b0. 2-22.
26. 26. 14 8. P , P , . 1012 (0 10) a b, , , : i. a D b, ii. ab, iii. ba. (0 11) a, b c, ab bc, ac. (0 12) a, b c, ab, a C cb C c. (0 13) a, b c, ab 0c, acbc. 1012 . 9. , - . (i) j p 2 C p 3 p 5 C p 7j. (ii) j.ja C bj jaj jbj/j. (iii) j.ja C bj C jcj ja C b C cj/j. (iv) jx2 2xy C y2 j. (v) j.j p 2 C p 3j j p 5 p 7j/j. 10. , . (i) ja C bj jbj. (ii) j.jxj 1/j. (iii) jxj jx2 j. (iv) a j.a jaj/j. 11. x (i) jx 3j D 8. (ii) jx 3j8. (iii) jx C 4j2. (iv) jx 1j C jx 2j1. (v) jx 1j C jx C 1j2. (vi) jx 1j C jx C 1j1. (vii) jx 1jjx C 1j D 0. (viii) jx 1jjx C 2j D 3. 12. : (i) jxyj D jxjjyj. (ii) 1 x D 1 jxj , x 0. ( jxj 1 .) (iii) jxj jyj D x y , y 0. (iv) jx yjjxj C jyj. ( .)
27. 27. 1. 15 (v) jxj jyjjx yj. ( , .) (vi) j.jxj jyj/jjx yj. ( (v);) (vii) jx C y C jjxj C jyj C jj. , . 13. x y max.x; y/. , max. 1; 3/ D max.3; 3/ D 3 max. 1; 4/ D max. 4; 1/ D 1. x y min.x; y/. max.x; y/ D x C y C jy xj 2 ; min.x; y/ D x C y jy xj 2 : max.x; y; / min.x; y; /, , , max.x; y; / D max.x; max.y; //: 14. () jaj D j aj. ( . a0. a0;) () bab jajb. , jajajaj. () ja C bjjaj C jbj. 15. x y 0, x2 C xy C y20; x4 C x3 y C x2 y2 C xy3 C y40: : 1. 16. () .x C y/2 D x2 C y2 x D 0 y D 0, .x C y/3 D x3 C y3 x D 0 y D 0 x D y. () x2 C 2xy C y2 D .x C y/20; 4x2 C 6xy C 4y20 x y 0. () () .x C y/4 D x4 C y4 . () .x C y/5 D x5 C y5 . : .x C y/5 D x5 C y5 x3 C 2x2 y C 2xy2 C y3 D 0, xy 0. .x C y/3 D x2 y C xy2 D xy.x C y/. .x Cy/n D xn C yn 11-63. 17. () 2x2 3xC4. : , 2x2 3x C 4 D 2.x 3=4/2 CI
28. 28. 16 () x2 3x C 2y2 C 4y C 2. () x2 C 4xy C 5y2 4x 6y C 7. 18. () b2 4c0. b C p b2 4c 2 ; b p b2 4c 2 x2 C bx C c D 0. () b2 4c0. x x2 C bx C c D 0 x2 C bx C c0 x. : . () , x y 0, x2 C xy C y20. () a x2 C axy C y20 x y 0; () x2 C bx C c ax2 C bx C c, a0. 19. a20 a, , . Schwarz: x1y1 C x2y2p x1 2 C x2 2 p y1 2 C y2 2: ( 2-21.) Schwarz a20 a. () , x1 D y1 x2 D y2 0, Schwarz. y1 D y2 D 0. y1 y2 0, x1 D y1 x2 D y2. 0.y1 x1/2 C .y2 x2/2 D 2 .y1 2 C y2 2 / 2.x1y1 C x2y2/ C .x1 2 C x2 2 /: 18, - Schwarz. () Schwarz 2xyx2 C y2 ( ;) x D xi p x1 2 C x2 2 ; y D yi p y1 2 C y2 2 ; i D 1 i D 2. () Schwarz .x1 2 C x2 2 /.y1 2 C y2 2 / D .x1y1 C x2y2/2 C .x1y2 x2y1/2 : () , , y1 D y2 D 0 0 x1 D y1 x2 D y2.
29. 29. 1. 17 , - . , . , : x x0, y y0, x C y x0 C y0, xy x0y0, 1=y 1=y0. . , ( ) . 20. , jx x0j 2 jy y0j 2 ; j.x C y/ .x0 C y0/j; j.x y/ .x0 y0/j: 21. , jx x0jmin 2.jy0j C 1/ ; 1 jy y0j 2.jx0j C 1/ ; jxy x0y0j. ( min 13, . - jx x0j 2.jy0j C 1/ jx x0j1: , . : x x0 y y0, xy x0y0 - x x0 y y0.) 22. , y0 0 jy y0jminjy0j 2 ; jy0j2 2; y 0 1 y 1 y0 : 23. , x0 y0 : y0 0 jy y0jI jx x0jI y 0 x y x0 y0 : , 21 22 ( x=y D x1=y). .
30. 30. 18 24. . , 2, - . , , a1 CCan a1 C .a2 C .a3 CC .an 2 C .an 1 C an/// /: , a1 C a2 C a3 a1 C .a2 C a3/, a1 C a2 C a3 C a4 a1 C .a2 C .a3 C a4//, . () .a1 CC ak/ C akC1 D a1 CC akC1: : k. () , nk, .a1 CC ak/ C .akC1 CC an/ D a1 CC an: : () - k. () s.a1; : : : ; ak/ a1; : : : ; ak. s.a1; : : : ; ak/ D a1 CC ak: : s0 .a1; : : : ; al / s00 .alC1; : : : ; ak/ s.a1; : : : ; ak/ D s0 .a1; : : : ; al / C s00 .alC1; : : : ; ak/: 25. 0 1, C 19 , 1 C 1 D 0.
31. 31. 2 1 , . . 1; 2; 3; : : : : N ( natural numbers = . 112 N , 2 3 N. , N . , . N . P.x/ P x. P.x/ x, (1) P.1/ . (2) P.k/, P.k C 1/. (2) P.k C 1/ P.k/ (1) P.x/ x. , P.1/ , P.2/ ( - (2) k D 1). , P.2/ , P.3/ ( (2) k D 2). , , , P.k/ k. , . 1, . 2, . 3, .... ( ) . 1, . P.x/ . x , ( ) (2) , . 1 (1) . . n : 1 CC n D n.n C 1/ 2 : , n D 1. k 1 CC k D k.k C 1/ 2 : 19
32. 32. 20 1 CC k C .k C 1/ D k.k C 1/ 2 C k C 1 D k.k C 1/ C 2k C 2 2 D k2 C 3k C 2 2 D .k C 1/.k C 2/ 2 ; kC1. , n. , . , . 5 6 . , . A (1) 1 A, (2) k C 1 A, k A, A . , A x P.x/. , A n 1 CC n D n.n C 1/ 2 : A 1, k C 1 A, k A. A , , n. , . A , - A . - , , . - A , * ;. ; . A , A - . , : A . B n 1; : : : ; n A. , 1 B ( 1 A, A 1 ). , 1; : : : ; k A, k C 1 A ( k C 1 A), 1, ..., k C 1 A. k B, k C1 B. n B, * , , - . A, x P , P , A ; P , A D ;.
33. 33. 2. 21 , 1, ..., n A n. A D ;, . ( 10). . . P.k C 1/ P.k/, P.l/ lk. . , A (1) 1 A, (2) k C 1 A, 1, ..., k A, A . , . - , ( 11). - 7, 17, 20 22. . , n ( n ) n: n D 12: : :.n 1/n: : (1) 1 D 1 (2) n D n.n 1/. n .n 1/ , . 23 , - , - . . a1 CC an; nX iD1 ai : , nX iD1 ai - i D 1; 2; : : : ; n. , nX iD1 i D 1 C 2 CC n D n.n C 1/ 2 : i nX iD1 i, ( n !):