Lei dos Senos
Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante
ex:
h
45° 60°
8 x
sen60
8
sen45
x
x
hsen60
8.sen45x.sen60
8
hsen45 sen45h .8
x.sen60h
3
68x
2
3
2
2
8x
Lei dos Senos
Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita nesse triângulo
C B a
b
β
A’
c
γ
α
2R
α
A
2R
asenα
2Rsenγ
c
senβ
b
senα
a
2Rsenα
a
Lei dos Senos
C B 135°
A
R2 sen
c
sen
b
sen
a
02
C B a
b
β
c
γ
α
A
R
R = 6 cm
cm26a
R2sen135
a 12.sen135a
2
2
Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita nesse triângulo
a
Lei dos Cossenos
“Teorema de Pitágoras” para um triângulo qualquer: obtusângulo, acutângulo ou retângulo
ex:
h
C A m
x
B
c
α b-m
b
m²h²c²
2bc.cos-c²b²x²
m²h²c²
m)²-(bh²x²
c.cosαm c
mcosα
m²2bm-b²h²x²
2bm-c²b²x²
Note que:
α = 90° ⇒ cosα = 0 ⇒ x² = b² + c²
Lei dos Cossenos
“Teorema de Pitágoras” para um triângulo qualquer: obtusângulo, acutângulo ou retângulo
=
01
x
30°
A
B
4
C 34
03212x-x²
).x.cos(3032.4-x²)²3(44²
2
3.x.38-x²4816
x= 8
x= 4
30°
A’’
C
A’
B 34
4
4
4
4
60°
30°
Triângulo isósceles obtusângulo Triângulo escaleno retângulo
06
30°
A
O
1
B
α
B
A
0
2
1
30°
2.senαx
Lei dos Senos
30sen
1
sen
x
0 < x ≤ 2
-1 ≤ senα ≤ 1
-2 ≤ 2.senα ≤ 2
x
Note que:
x = 2 ⇒ senα = 1 ⇒ α = 90°
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