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16
Apéndice III: Solución de la ecuación de ondas
Cada componente de E!
y de H!
cumple:
0122
2 =∂∂−∇
tV
uV
2
¿Es solución una onda plana: )ut(V)ut(VV +⋅+−⋅= rNrN!"!"
21 con kNjNiN zyx""""
++=N
y kzjyix"""!
++=r ?
)(V)ut(VV ϕ≡−⋅≡ rN!"
1 Reemplazando en las Ecuaciones de Maxwell
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ddu
tt
ddu
tt)(;)(HHH
EEE
HHEE !!!
!!!
!!!!
−=∂∂
∂∂=
∂∂
−=∂∂
∂∂=
∂∂
⇒==
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕdd
EEENNNkji
EEEzyx
kji
EEEzyx
kji
zyx
zyx
zyxzyx
ENE!
"
"""""""""
!!×=
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ϕddENE!
"!!×=×∇ ϕd
dHNH!
"!!×=×∇
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ dd
zH
yH
xH
zH
yH
xH zyxzyx HNH
!"!!
⋅=∂∂
∂∂
+∂∂
∂
∂+
∂∂
∂∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=⋅∇
⇒ϕd
dHNH!
"!!⋅=⋅∇
ϕddENE!
"!!⋅=⋅∇
ϕµ
ϕ ddu
dd HEN
!!"
=× ϕε
ϕ ddu
dd EHN
!!"
−=×
0=⋅ϕd
dHN!
" 0=⋅
ϕddEN!
"
r!
N"
17
Integrando respecto a ϕ para constante=N
"
⇒
=⋅=⋅−=×=×
00 HNENEHNHEN
!"!"
!!"!!"uu εµ Ondas transversales
Como µε
1=u y HHHEEN!!!!!"
εµ
µεµµ ====× 1u
HE!!
µε =
Como la luz tiene el carácter de onda armónica:
( )
−⋅= utsin rNAE
!"!!
λπ2
18
CONDICIONES DE CONTORNO SOBRE UNA SUPERFICIE DE
DISCONTINUIDAD O INTERFAZ
A partir de las ecuaciones de Maxwell, aplicadas a ambos lados de una interfaz de forma y características arbitrarias se obtiene:
1. La componente normal del vector inducción magnética es continua a través de una superficie de discontinuidad.
2. En presencia de una capa con densidad superficial de carga lsuperficiaρ# , la componente normal del desplazamiento eléctrico cambia abruptamente a través de la superficie, en una cantidad igual a lsuperficiaρ# .
3. La componente tangencial del vector campo eléctrico es continua a través de la superficie.
4. En presencia de una densidad superficial de corriente lsuperficiaj#
, la componente tangencial del vector campo magnético cambia abruptamente, en una cantidad igual a lsuperficiaj#
.
1B!
2B!
x"!
⋅1B
x"!
⋅2B
ε1 µ
ε2 µ
x
j##,ρ
ε1 µ
ε2 µ
x
1D!
2D!
j##,ρ
xx "!"!⋅=⋅ 2BB1 lsuperficiaxx ρ#"!"!
=⋅−⋅ 12 DD
ε1 µ
ε2 µ
x
E!
1E!
x"!
×2E
x"!
×1E
j##,ρ
xx "!"!×=× 2EE1
ε1 µ
ε2 µ
x
j##,ρ
lsuperficiajxx#"!"!
=×−× 12 HH
1H!
H!
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